生日悖論是個(gè)延續(xù)了百余年的謬誤.doc

生日悖論是個(gè)延續(xù)了百余年的謬誤發(fā)展非線性經(jīng)濟(jì)學(xué)的哲學(xué)漫談商與儒這是我在提議發(fā)展我國(guó)非線性經(jīng)濟(jì)學(xué)時(shí)，用自己的非線性哲學(xué)思維審視精確科學(xué)數(shù)學(xué)的一篇哲學(xué)漫談，我相信諸位很容易判斷我的結(jié)論是否正確。歡迎各位批評(píng)和指正！概率理論是經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要分析工具，它真的是那么科學(xué)、那么完美、那么無(wú)暇可擊嗎？我們先來(lái)看個(gè)例子： 一個(gè)袋子里有9個(gè)材質(zhì)、形狀、重量都一樣的小球，它們分成3組，分別寫著1-3的數(shù)字。我們隨機(jī)摸3個(gè)小球，問：摸到3個(gè)數(shù)字相同的小球和摸到3個(gè)數(shù)字都不同的小球，哪個(gè)概率大？顯然數(shù)字相同的小球只有3個(gè)組合：111，222，333；而數(shù)字都不同的小球有6個(gè)排列（123，132，213，231，312，321），所以答案一定是摸到數(shù)字都不同的3個(gè)小球的概率大。 現(xiàn)在我們用三種不同的顏色分別代替三個(gè)不同的數(shù)字，給這些小球上涂上紅蘭棕三色，每種顏色涂3個(gè)小球。我們隨機(jī)摸3個(gè)小球，問：摸到3個(gè)顏色相同的小球和3個(gè)顏色都不同的小球，哪個(gè)概率大？ 顏色相同的3個(gè)小球只有三個(gè)組合紅紅紅、藍(lán)藍(lán)藍(lán)、棕棕棕；顏色都不同的3個(gè)小球有6種不同排列（紅藍(lán)棕、紅棕藍(lán)、藍(lán)紅棕、藍(lán)棕紅、棕紅藍(lán)、棕藍(lán)紅），所以答案一定是摸到顏色都不同的3個(gè)小球的概率大。現(xiàn)在我們?cè)僭谌M顏色相同的小球上分別寫上123三個(gè)不同的數(shù)字：1 1 12 2 23 3 3 于是，如上圖所示，9個(gè)小球中，顏色相同的小球，數(shù)字一定不同；數(shù)字相同的小球，顏色一定不同。我們問：隨機(jī)摸3個(gè)小球，概率最小的是哪一種情況時(shí)，就形成了一個(gè)“悖論”回答“摸到3球顏色相同的概率最小”，那么這3球的數(shù)字一定不同（這是同時(shí)發(fā)生的必然事件，概率為1），摸到3球數(shù)字不同的概率一定不是最??；回答“摸到3球數(shù)字相同的概率最小”，那么這3球的顏色一定不同，摸到3球顏色不同的概率一定不是最小。概率是門嚴(yán)密精確的數(shù)學(xué)，怎么會(huì)得到如此矛盾的結(jié)果呢？我們來(lái)分析其中的原因：如上圖所示，我們先來(lái)研究一下，這里顏色和數(shù)字的互相關(guān)系。取顏色相同就是取列，顏色相同數(shù)字一定不同；取數(shù)字相同就是取行，數(shù)字相同顏色一定不同，因而顏色和數(shù)字在這里的關(guān)系是“正交”，也是等價(jià)的（轉(zhuǎn)90度就互相轉(zhuǎn)換了）。從哲學(xué)角度看，兩個(gè)正交的特征，本身體現(xiàn)了一種對(duì)立與辯證的關(guān)系。數(shù)學(xué)是嚴(yán)格遵守形式邏輯的科學(xué)，是以形式邏輯為生命（存在前提）的，因而絕對(duì)排斥辯證邏輯。所以在同一個(gè)題目里，它只能認(rèn)定同時(shí)出現(xiàn)的兩個(gè)正交特征中的一個(gè)，而將另一個(gè)排斥。 我們以“數(shù)字”作為標(biāo)識(shí)特征來(lái)具體論證上述結(jié)論：我們隨機(jī)摸3個(gè)小球，當(dāng)3個(gè)球的數(shù)字都不同時(shí)，會(huì)出現(xiàn)六種排列（123，132，213，231，312，321）；而3個(gè)球數(shù)字相同時(shí)，卻只有三個(gè)組合 111，222，333 ，不是排列，為什么不排列呢？我們很清楚的知道，這里的3個(gè)1（或3個(gè)2、3個(gè)3）肯定不是同一種球（看顏色就知道，3個(gè)1其實(shí)是三種不同顏色的小球），完全可以排列，也應(yīng)該排列，但實(shí)際上你就是排列了，也沒有用，因?yàn)榕帕泻螽a(chǎn)生的各個(gè)項(xiàng)，會(huì)因?yàn)樗鼈兊臄?shù)字相同而被壓縮（同類項(xiàng)合并），原因在于形式邏輯在這里只認(rèn)數(shù)字，數(shù)字相同的小球，雖然顏色不同，但無(wú)論你如何排列，它們都只是同一個(gè)數(shù)字，所以被合并（壓縮）了！以“顏色”作為標(biāo)識(shí)特征，也能得到相類似的分析結(jié)果。這個(gè)現(xiàn)象顯然與計(jì)算概率的理論相悖，根據(jù)概率的計(jì)算理論，任何一種可能出現(xiàn)的排列或組合，就是一種可能出現(xiàn)的基本事件，在計(jì)算概率時(shí)，都應(yīng)該被包括進(jìn)去，不能因?yàn)樾问竭壿嫛白R(shí)別能力”的局限，遺漏了不該遺漏的基本事件，因?yàn)檫@些排列客觀上是存在差異的，并不是同類項(xiàng)！1 2 34 5 67 8 9假定我們?nèi)缟蠄D所示，給三種顏色的小球分別標(biāo)上1-9的數(shù)字后，我們發(fā)現(xiàn)，隨機(jī)摸3個(gè)小球，假定我們按小球的顏色排列組合，只能得到27個(gè)基本事件。假定我們按數(shù)字排列組合(這次不會(huì)有任何遺漏)，我們居然得到了504個(gè)基本事件！原來(lái)，“正交”特征的被排斥，不僅排斥了同色小球的排列，也排斥了不同色小球的組合！形式邏輯排斥辯證邏輯這就是概率理論在這里出現(xiàn)問題的根本原因！概率理論的問題僅僅于此嗎？不是！從哲學(xué)角度看，真實(shí)世界是模擬和辨證的，是連續(xù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)；形式邏輯是人造的，是離散結(jié)構(gòu)，凡是嚴(yán)格遵守形式邏輯的科學(xué)，一定是“線性科學(xué)”，是離散結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，它對(duì)真實(shí)世界連續(xù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的描述只能是一種“逼近和近似”，在系統(tǒng)的標(biāo)度、維度、精度、速度、溫度等變化時(shí)，這種描述的“誤差（矛盾）”一定會(huì)顯現(xiàn)。離散結(jié)構(gòu)（線性系統(tǒng)）與連續(xù)結(jié)構(gòu)（真實(shí)世界）之間的矛盾，本質(zhì)上就是形式邏輯與辯證邏輯之間的矛盾、是數(shù)字量與模擬量之間的矛盾。用線性系統(tǒng)去逼近和近似的分析真實(shí)世界，矛盾是一定會(huì)顯現(xiàn)的！還是用上面的例子，來(lái)具體看看概率理論的線性局限性：一、 維度變化：我們給這些小球增加一個(gè)正交的特征，就是增加了維度，上面的分析已經(jīng)告訴我們，概率理論在維度增加時(shí)，就會(huì)得出自相矛盾的結(jié)論。二、 精度變化：我們給3色的9個(gè)小球標(biāo)上1-9的數(shù)字，就是提高了對(duì)小球的識(shí)別精度。對(duì)于同樣的9個(gè)三色小球，我們隨機(jī)摸3球，假定要計(jì)算3球都為紅色的概率，在精度沒有提高時(shí)，小球只有顏色作為標(biāo)識(shí)，這個(gè)概率為 1/27=3.7%。提高精度后（用數(shù)字做標(biāo)識(shí)），基本事件變成了504個(gè)，這個(gè)概率變成1/84=1.19%了！按理我們不改變小球的顏色、僅僅給小球加上數(shù)字標(biāo)識(shí)，是不應(yīng)該改變摸到3球都為紅色的概率的，但是概率理論卻明明白白的算出來(lái)，兩者的概率是不同的，而且差異很大（差了3倍?。∵@個(gè)結(jié)論顯然與真實(shí)世界的真實(shí)情況是相悖的。三、 標(biāo)度的變化：我們擴(kuò)大3色小球的標(biāo)度再增加9個(gè)同樣3色的小球，這次用1-18的數(shù)字來(lái)標(biāo)定這18個(gè)3色小球，還是隨機(jī)摸3個(gè)小球，基本事件就變成了4896個(gè)，3球都為紅色的概率變成5/204=2.45%。如果再增加9個(gè)同樣3色的小球，用1-27的數(shù)字來(lái)標(biāo)定這27個(gè)小球，還是隨機(jī)摸3個(gè)小球，基本事件變成了 17550個(gè)，3球同為紅色的概率變成了28/975=2.87%。概率理論在這里用這些不同的數(shù)字明確告訴我們，即使3種顏色的小球同比例增加，隨機(jī)摸3球都為紅色的概率是會(huì)變化的?？墒俏覀?nèi)绻唤o這些小球標(biāo)上數(shù)字的話，概率理論卻會(huì)告訴我們，不管可供取樣的小球增加多少，只要3種顏色的小球同比例增加，隨機(jī)摸3球都為紅色的概率是不變的，始終是1/27！難道在顏色球上標(biāo)不標(biāo)數(shù)字會(huì)影響摸顏色球時(shí)發(fā)生的概率嗎？顯然不會(huì)！所以我說，線性理論在維度、精度、標(biāo)度變化時(shí)，它的誤差會(huì)顯現(xiàn)概率理論是線性的，一定有它的局限性。在實(shí)際運(yùn)用概率理論時(shí)，人們的線性理解，也會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤。譬如生日悖論，就是一個(gè)延續(xù)了百年以上的謬誤！而且至今還在繼續(xù)誤導(dǎo)全世界的下一代！生日悖論是個(gè)有名的根據(jù)概率理論得出的結(jié)論。先把百度百科的相關(guān)內(nèi)容轉(zhuǎn)摘如下：生日悖論是指，如果一個(gè)房間里有23個(gè)或23個(gè)以上的人，那幺至少有兩個(gè)人的生日相同的概率要大于50%。這就意味著在一個(gè)典型的標(biāo)準(zhǔn)小學(xué)班級(jí)(30人)中，存在兩人生日相同的可能性更高。對(duì)于60或者更多的人，這種概率要大于99%。從引起邏輯矛盾的角度來(lái)說生日悖論并不是一種悖論，從這個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)與一般直覺相抵觸的意義上，它才稱得上是一個(gè)悖論。大多數(shù)人會(huì)認(rèn)為，23人中有2人生日相同的概率應(yīng)該遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于50%。計(jì)算與此相關(guān)的概率被稱為生日問題，在這個(gè)問題之后的數(shù)學(xué)理論已被用于設(shè)計(jì)著名的密碼攻擊方法：生日攻擊。生日悖論是這樣描述的：不計(jì)特殊的年月，如閏二月。先計(jì)算房間里所有人的生日都不相同的概率，那么第一個(gè)人的生日是 365選365第二個(gè)人的生日是 365選364第三個(gè)人的生日是 365選363:第n個(gè)人的生日是 365選365-(n-1)所以所有人生日都不相同的概率是：(365/365) (364/365) (363/365) (362/365) . (365-n+1/365)那幺，n個(gè)人中有至少兩個(gè)人生日相同的概率就是：1-(365/365) (364/365) (363/365) (362/365) . (365-n+1/365)所以當(dāng)n=23的時(shí)候，概率為0.507 當(dāng)n=100的時(shí)候，概率為0.9999996 真是不算不知道，一算嚇一跳?！纠斫馍浙Ｕ摗?理解生日悖論的關(guān)鍵在于領(lǐng)會(huì)相同生日的搭配可以是相當(dāng)多的。如在前面所提到的例子，23個(gè)人可以產(chǎn)生23 22/2 = 253種不同的搭配，而這每一種搭配都有成功相等的可能。從這樣的角度看，在253種搭配中產(chǎn)生一對(duì)成功的配對(duì)也并不是那樣的不可思議。 于是我開始在網(wǎng)上查，看看有沒有人提出過這個(gè)論斷是錯(cuò)的，結(jié)果不但沒有找到有人說它錯(cuò)，還看到了這些數(shù)據(jù)：當(dāng)：N=50，概率為96.3%，N=60, 概率已經(jīng)大于99%； N=100，概率為99.99996%; N=200時(shí)，居然為0后面29個(gè)9！ 我也看到了描述這個(gè)結(jié)論的曲線N過了60人之后，概率已經(jīng)大于99%，曲線就像一根漸近線，以幾乎平行的方式接近概率等于1的直線，最終在N=366處達(dá)到1。還找到Paul Halmos （1916-2006）用數(shù)學(xué)論證（非數(shù)字方法）對(duì)這個(gè)論斷的證明，Halmos還寫了這樣一段話：“這個(gè)推導(dǎo)是基于一些數(shù)學(xué)系學(xué)生必須掌握的重要工具。生日問題曾經(jīng)是一個(gè)絕妙的例子，用來(lái)演示純思維是如何勝過機(jī)械計(jì)算：一兩分鐘就可以寫出這些不等式，而乘法運(yùn)算則需要更多時(shí)間，并更易出錯(cuò)，無(wú)論使用的工具是一只鉛筆還是一臺(tái)老式電腦。計(jì)算器不能提供的是理解力，或數(shù)學(xué)才能，或產(chǎn)生更高級(jí)、普適化理論的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)?！?同一篇文章中還有這樣的說明：生日悖論普遍的應(yīng)用于檢測(cè)哈希函數(shù):N-位長(zhǎng)度的哈希表可能發(fā)生碰撞測(cè)試次數(shù)不是2N次而是只有2N/2次。這一結(jié)論被應(yīng)用到破解cryptographic hash function的生日攻擊中。生日問題所隱含的理論已經(jīng)在Schnabel 1938名字叫做capture-recapture的統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)得到應(yīng)用，來(lái)估計(jì)湖里魚的數(shù)量。還有不少國(guó)外的數(shù)學(xué)家，用其他一些方法，也得出了生日悖論的結(jié)果；甚至還有很多如何用各種程序產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來(lái)檢驗(yàn)這個(gè)悖論正確的例子！我在網(wǎng)上查到的概率學(xué)，不管國(guó)內(nèi)外，無(wú)一例外將它作為教材；我還查到很多用生日悖論作為直觀靠不住的例子的文章和書，很多還是科學(xué)家寫的書生日悖論難道真的是如此神奇而正確的嗎？我用兩個(gè)辦法來(lái)檢驗(yàn)一下：一個(gè)就是，直接計(jì)算“發(fā)生兩個(gè)人以上生日相同的概率”，而不是先算發(fā)生生日不同的概率，再用1去減。由于每個(gè)人只能在365天里的某一天出生，所以每個(gè)人的生日取值就是全部生日的1/365。N=1 時(shí)，不可能發(fā)生生日相同的事件，概率: P=0；N=2 時(shí)，“任意兩個(gè)人生日相同”的概率: P=1/365；N=3;時(shí)，設(shè)3人為A，B，C； 三個(gè)人之間有三個(gè)“任意兩個(gè)人生日相同”的可能（三人及三人以上生日都相同的不是基本事件，被排除）：AB，AC，BC；因?yàn)椤叭我鈨蓚€(gè)人生日相同”的概率為 1/365；所以三人之間發(fā)生兩兩生日相同的概率為3*（1/365）=3/365；N=4 ；A，B，C，DAB，AC，AD；BC，BD；CD這里有六個(gè)“任意兩人生日相同”的可能，所以P=6/365；N=5； A，B，C，D，EAB，AC，AD，AEBC，BD，BECD，CEDE這里有10個(gè)“任意兩個(gè)人生日相同”的可能，所以P=10/365；顯然，這是個(gè)等差級(jí)數(shù)，等差級(jí)數(shù)求和的公式為 N（N-1）/2（寫到這里我們明白了，取樣23個(gè)人的時(shí)候，比對(duì)“兩人生日相同”的次數(shù)有253個(gè)，就是這樣算出來(lái)的：23*(23-1)/2=253; ）則，N個(gè)人生日相同的概率P=N*（N-1） /（2*365）但是，當(dāng)N=20時(shí)，有兩個(gè)人生日相同的概率為 52%，已經(jīng)超過50%。當(dāng)N=27時(shí)，有兩個(gè)人生日相同的概率為 96%N=28時(shí)，有兩個(gè)人生日相同的概率為 103%！算到這里顯然看出這個(gè)公式錯(cuò)了！因?yàn)楦怕适遣荒艽笥? 的！但是從邏輯上、計(jì)算上看,我們完全遵循了概率理論，這里并沒有任何錯(cuò)啊？！問題在哪里呢？我們后面再分析。 我用了第二種方式擴(kuò)大它的標(biāo)度。根據(jù)題目的設(shè)定，我們知道這個(gè)生日悖論的結(jié)論可以適用于任何標(biāo)度。假定1年有1000天、10000天、100000天 按生日悖論的算法，我計(jì)算出1-1000中，只要隨機(jī)取38個(gè)數(shù)，其中兩個(gè)數(shù)相同的概率就達(dá)到50%；在1-10000中，只要隨機(jī)取118個(gè)數(shù)，其中兩個(gè)數(shù)相同的概率就達(dá)到50%；在1-100000中，只要隨機(jī)取363個(gè)數(shù)，其中兩個(gè)數(shù)相同的概率就達(dá)到50%。 如果計(jì)算1-100000個(gè)數(shù)中，取多少數(shù)就能使發(fā)生兩個(gè)相同數(shù)的概率超過99.999%, 我估計(jì)不會(huì)超過5%，將它畫成曲線，我們一定會(huì)看到這根曲線離開0點(diǎn)后，會(huì)很快“直沖云霄”（接近1），這時(shí)離開“終點(diǎn)（100000）還有十萬(wàn)八千里！后面的數(shù)字卻早就全部沒有意義了，只有那個(gè)100001候補(bǔ)守門員在場(chǎng)外守候，因?yàn)樽詈蟠_定概率為1 非它出場(chǎng)不可！我相信這里一定出問題了！也就是說，我們?cè)?65個(gè)數(shù)字中，只要隨機(jī)取占總數(shù)6.5%個(gè)數(shù)23個(gè)；在1-1000個(gè)數(shù)中，只要隨機(jī)取占總數(shù)3.8% 的數(shù)38個(gè)；在1-10000中，只要隨機(jī)取占總數(shù)1.18%個(gè)數(shù)118個(gè)，在1-100000中，只要隨機(jī)取占總數(shù)0.36%個(gè)數(shù)363個(gè)，則取出的這些數(shù)中有兩個(gè)相同數(shù)的概率就都達(dá)到了50%！如果我們把數(shù)字?jǐn)U大到1億，我相信這個(gè)比例會(huì)小于萬(wàn)分之一！在1億個(gè)數(shù)里隨機(jī)的取出不到萬(wàn)分之一的數(shù)，卻能使這些取出的數(shù)里有兩個(gè)相同數(shù)的概率大于50%這絕對(duì)是個(gè)不符合事實(shí)的結(jié)論，與之相悖的不是直觀，而是事實(shí)！因?yàn)楦鶕?jù)對(duì)題目的分析，我們知道，這個(gè)被取樣的系統(tǒng)，是設(shè)定為一個(gè)分布最均衡的系統(tǒng)，也就是熵為最大的系統(tǒng)。那就是說，無(wú)論你如何取樣，無(wú)論你取樣后如何計(jì)算，都不可能改變?cè)到y(tǒng)的熵值，也不應(yīng)該改變?cè)到y(tǒng)的熵值；同樣，無(wú)論你怎樣取樣、取樣多少，被取樣的群體，也應(yīng)該是熵為最大的系統(tǒng)、與原系統(tǒng)是一致的。但是生日悖論的結(jié)論卻等于告訴我們，只要一取樣，被取樣部分的“熵值”就變小了！而且這個(gè)變小與原系統(tǒng)的標(biāo)度有關(guān)，標(biāo)度越大的系統(tǒng)，被取樣部分的熵值越低！這與題目給出的先決條件顯然是相悖的。所以從熵的角度，我們很容易得出生日悖論是個(gè)謬誤的結(jié)論！我們還可以這樣來(lái)考察生日悖論的結(jié)論：假定我們對(duì)這個(gè)熵最大的系統(tǒng)隨機(jī)取樣24人，他們平均分布在12個(gè)月的概率應(yīng)該是最大，也就是平均一個(gè)月分布兩個(gè)人的概率應(yīng)該是最大的。發(fā)生兩個(gè)人生日相同的前提條件，是兩個(gè)人在同一個(gè)月里出生，不在同一個(gè)月出生的人雖然也可以互相比對(duì)生日，但是這個(gè)比對(duì)的結(jié)果是確定的概率為0事件（不可能發(fā)生的事件），不能列入基本事件。所以23個(gè)人雖然有253次比對(duì)生日的機(jī)會(huì)，實(shí)際上其中絕大多數(shù)是概率為0 的事件，正是由于大量的非基本事件參與了計(jì)算，才會(huì)得出那么離譜的結(jié)論。其實(shí)這里的關(guān)鍵，就是一個(gè)“序”的問題！大家在理解生日問題的時(shí)候，都會(huì)把生日問題看成是一個(gè)沒有“序”的問題，因?yàn)槲覀冎魂P(guān)心是否有人生日相同，對(duì)哪一天發(fā)生生日相同事件、這些生日相同事件是如何排序的、或同一天生日的有幾個(gè)人等，我們都不必考慮，所以生日問題一直被認(rèn)為是沒有“序”的問題。事實(shí)上，生日問題有一個(gè)內(nèi)在嚴(yán)格的“序”！一年的365個(gè)生日，就像365個(gè)席位，本身是嚴(yán)格排序的，它們之間沒有“兩兩相同”的問題（或者說不存在比對(duì)的需要）。我們一旦取樣N個(gè)人，這N個(gè)人每個(gè)人占據(jù)的席位就是確定的，不會(huì)再變動(dòng)，不是同一個(gè)席位的任何人之間，根本就不存在互相比對(duì)生日相同的必要（或者說比對(duì)生日是否相同的概率是確定的0）。用這樣的思路來(lái)分析這個(gè)問題，我們就很清楚了，在這里根據(jù)概率理論將N個(gè)人排列組合后再計(jì)算生日相同的概率的做法，是錯(cuò)誤的！實(shí)際上被取樣的N個(gè)人，并不是圍成一群在互相比對(duì)生日，而是直奔自己的席位坐下，不同席位的人，根本不存在比對(duì)生日的必要（這種比對(duì)是確定的概率為0 事件）。實(shí)際情況是：取樣N個(gè)人，只要這N個(gè)人中有人坐到了相同的席位上，就發(fā)生了生日相同事件，同時(shí)，也一定有“空席位”產(chǎn)生，也就是N個(gè)人占據(jù)了少于N個(gè)席位，所以生日問題實(shí)際上要研究的，就是被取樣的N個(gè)人各自坐到自己的席位上以后，占據(jù)的席位總數(shù)與N是否相同，如果N個(gè)人占據(jù)的席位數(shù)小于N個(gè)，就一定發(fā)生了生日相同的事件。因此，計(jì)算取樣N個(gè)人發(fā)生生日相同事件的概率，關(guān)鍵就是計(jì)算N個(gè)人應(yīng)該占據(jù)的N個(gè)席位中，發(fā)生“空席位”的可能是多少。根據(jù)這個(gè)思路，我做出以下推論：一、N個(gè)人最多占據(jù)N個(gè)席位（N；A不能既等于A又等于alatino Linotype; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-bidi-font-family: Times New Roman; mso-fareast-font-family: 宋體; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA無(wú)窮等于無(wú)窮、不等于0、無(wú)窮不能既等于0 又不等于0）。同為實(shí)數(shù)，超越數(shù)顯然與其他實(shí)數(shù)有極大的差別，呈現(xiàn)了顯著的非線性。我相信它們就是球面數(shù)系被強(qiáng)行壓平后產(chǎn)生的碎片，或者說，是對(duì)數(shù)軸（直線）進(jìn)行模數(shù)轉(zhuǎn)換后留下的非線性（高頻）碎片但是集合論證明代數(shù)數(shù)的數(shù)量遠(yuǎn)比超越數(shù)少（有人把代數(shù)數(shù)比喻成由超越數(shù)組成的黑暗天空中的星星）。所以我開個(gè)玩笑上帝不會(huì)創(chuàng)造這么多沒有用的超越數(shù)吧？我們似乎可以這樣比喻：現(xiàn)代數(shù)學(xué)像個(gè)極挑剔的導(dǎo)演，它從數(shù)億萬(wàn)計(jì)的大眾中，只選了幾個(gè)完美的明星（譬如自然數(shù)），卻讓它們統(tǒng)治了整個(gè)數(shù)學(xué)舞臺(tái)。但是我相信隨著社會(huì)的進(jìn)步，數(shù)學(xué)舞臺(tái)的真正演員應(yīng)該是“人民大眾”的!從哲學(xué)角度看，數(shù)字計(jì)算機(jī)的硬件極限是量子計(jì)算機(jī)，軟件極限就是基于線性（精確）數(shù)學(xué)和形式邏輯（布爾）代數(shù)的算法。一旦模擬數(shù)學(xué)和辯證邏輯代數(shù)被創(chuàng)建，計(jì)算機(jī)將產(chǎn)生一個(gè)非線性的飛躍模擬計(jì)算機(jī)（生物計(jì)算機(jī)）就能被發(fā)明！我認(rèn)為模擬數(shù)學(xué)研究的就是連續(xù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，模擬數(shù)學(xué)用的數(shù)系，一定就是那個(gè)占據(jù)三維空間的球面數(shù)系，在這個(gè)數(shù)系上，數(shù)軸上的空隙不存在了，令數(shù)學(xué)家最頭痛的區(qū)間、奇點(diǎn)、處處連續(xù)卻處處不可微、無(wú)窮小量與0的矛盾、超越數(shù)都不再存在！只是我們的思維也必須有很大的改變，因?yàn)槿嗽斓摹白匀粩?shù)、二進(jìn)制、十進(jìn)制、三維空間”都是典型的離散結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，我們對(duì)它們太熟悉了，甚至已經(jīng)把它們的“存在”當(dāng)成了真實(shí)、真理、和必然。但是在模擬數(shù)學(xué)里，它們一定隨著離散結(jié)構(gòu)的消失而消失，或者被賦予完全不同的意義！不過，線性數(shù)學(xué)和線性科學(xué)永遠(yuǎn)不會(huì)過時(shí)，永遠(yuǎn)不會(huì)被拋棄，因?yàn)樵谌嗽斓钠脚_(tái)上（全世界統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)、協(xié)議譬如計(jì)時(shí)單位、時(shí)差、長(zhǎng)度單位、重量單位、溫度單位、海平面、經(jīng)緯度），它們還是非常好用的。就像經(jīng)典力學(xué)永遠(yuǎn)不會(huì)被量子力學(xué)和相對(duì)論淘汰、歐氏幾何永遠(yuǎn)不會(huì)被曲面幾何淘汰一樣，雖然前者只是后者的一個(gè)特例而已！ 數(shù)學(xué)是忽略事物的內(nèi)容，只研究事物存在形式中的“數(shù)、量、積、形（空間位置、形狀）”的學(xué)科，因而是高度抽象的，也因此而成為許多學(xué)科的工具。數(shù)學(xué)遵循的是嚴(yán)密的形式邏輯。世界上不存在“只有存在形式、沒有存在內(nèi)容”的東西，所以數(shù)學(xué)盡管被廣泛的應(yīng)用于實(shí)踐中，但是數(shù)學(xué)本身的研究對(duì)象，在真實(shí)世界里是不存在的，它們都是“抽象”的概念。譬如：點(diǎn)、線、面就是這樣的抽象概念。無(wú)論是歐幾里德的幾何原本還是希爾伯特的幾何基礎(chǔ)，點(diǎn)、線、面的概念，都只作為原始概念或不加證明的公理，事實(shí)上我們對(duì)這些抽象的概念也確實(shí)無(wú)法證明或證偽，甚至根本無(wú)需證明或證偽。你要學(xué)幾何學(xué)，就必須信它，你若不信它，就無(wú)法學(xué)幾何學(xué)（當(dāng)然你可以自己另外創(chuàng)造一門幾何學(xué)），因?yàn)樗鼈兪侨繋缀螌W(xué)的元點(diǎn)（出發(fā)點(diǎn)）。從哲學(xué)角度看，形式邏輯的特點(diǎn)是“永不拐彎”，所以它從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)后，永遠(yuǎn)只能直線式的發(fā)展，數(shù)學(xué)和幾何的定理，都是從元點(diǎn)出發(fā)后，不斷由前面得出的定理出發(fā)，去推出后面的定理。因此它可以順著原路退回來(lái)（可逆），卻不可能“拐彎”后回到出發(fā)點(diǎn)，也是說，它不可能用后面的任何定理，反過來(lái)證明自己前面的出發(fā)點(diǎn)。所以任何基于形式邏輯的系統(tǒng)，能做到的“自洽”，最多就是“不自相矛盾（相容）”，而不可能做到“完備”，也就是無(wú)法只用自己的公理系統(tǒng)，來(lái)證明自己系統(tǒng)中所有的定義或命題這就是“哥德爾不完備定理”的哲學(xué)本質(zhì)。用個(gè)最通俗的例子來(lái)說明上面的意思，那就是：一個(gè)人的力氣再大，也無(wú)法拉住自己的頭發(fā)，把自己提起來(lái)！事實(shí)上“形式邏輯”本身，只是一個(gè)人造的“思維工具”（這里不展開了，有興趣的可以查看我另一篇文章非線性哲學(xué)淺說）。它是個(gè)線性的工具，因而只用形式邏輯來(lái)建造的所有思維工具（各類學(xué)科），都是線性的思維工具。但真實(shí)世界是非線性的，人類很快在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)了真實(shí)世界的非線性本質(zhì)和線性工具的局限性，光的波粒二象性的發(fā)現(xiàn)、測(cè)不準(zhǔn)定律和不完備定律的被承認(rèn)，都標(biāo)志著人類看到了真實(shí)世界是非線性的（不是線性確定的）；而量子力學(xué)（我認(rèn)為它只是“半非線性科學(xué)”，因?yàn)樗弥卣霓k法，把非線性的矛盾（發(fā)散的項(xiàng)）扔到一個(gè)更大的系統(tǒng)去處理，從而使自己在研究的系統(tǒng)能夠用線性方式處理）、相對(duì)論、混沌、分形、孤立子、自組織（耗散結(jié)構(gòu)）等理論的創(chuàng)立，都是人類開始創(chuàng)建非線性思維工具的現(xiàn)實(shí)例子。寫到這里，再來(lái)分析經(jīng)濟(jì)學(xué)的線性局限問題，就很容易了。我要強(qiáng)調(diào)的是兩點(diǎn)：第一、經(jīng)濟(jì)學(xué)的線性特征，除了因?yàn)樗糜诜治龅臄?shù)學(xué)本身是線性的，還在于它的研究方式也是線性的，經(jīng)濟(jì)學(xué)在建立每一個(gè)理論時(shí)，都必須忽略或設(shè)定一些條件，這些被忽略或設(shè)定的條件，實(shí)際上在建立該理論時(shí)，都在發(fā)生變化，都在時(shí)時(shí)刻刻影響著哪些被研究的項(xiàng)，就像用經(jīng)典力學(xué)分析“天體的三體運(yùn)動(dòng)”一樣，三體之間的關(guān)系是耦合，不是線性的疊加，所以這些理論，都是“排除了非線性因素”后的線性定律！他們與真實(shí)世界只是“逼近和近似”，是很難真正吻合的！第二、數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是忽略了被研究事物的內(nèi)容后，只研究事物存在形式中的數(shù)、量、積、形，研究的對(duì)象是最“抽象的、精確的”，可以完全人為設(shè)定的，數(shù)學(xué)遵循的是嚴(yán)格的形式邏輯，完全排斥了辯證邏輯，因?yàn)閿?shù)學(xué)成為了“最精確、最抽象”的學(xué)科，并成為一切學(xué)科的工具。自然科學(xué)的研究對(duì)象是精確界定的物，切斷了