（名師課堂）高中數(shù)學(xué) 2.1.1節(jié) 平面教學(xué)過程設(shè)計(jì) 新人教A版必修2.doc

第二章 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系第2.1.1節(jié)平面提出問題怎樣理解平面這一最基本的幾何概念;平面的畫法與表示方法;如何描述點(diǎn)與直線、平面的位置關(guān)系？直線與平面有一個(gè)公共點(diǎn)，直線是否在平面內(nèi)？直線與平面至少有幾個(gè)公共點(diǎn)才能判斷直線在平面內(nèi)？根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)，幾個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)平面？如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，它們的位置關(guān)系如何？請畫圖表示;描述點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系常用幾種語言？自己總結(jié)三個(gè)公理的有關(guān)內(nèi)容.活動(dòng)：讓學(xué)生先思考或討論，然后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對回答正確的學(xué)生及時(shí)表揚(yáng)，對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.對有困難的學(xué)生可提示如下：回憶我們學(xué)過的最基本的概念（原始概念），如點(diǎn)、直線、集合等.我們的桌面看起來像什么圖形？表示平面和表示點(diǎn)、直線一樣，通常用英文字母或希臘字母表示.點(diǎn)在直線上和點(diǎn)在直線外；點(diǎn)在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面外.確定一條直線需要幾個(gè)點(diǎn)？引導(dǎo)學(xué)生觀察教室的門由幾個(gè)點(diǎn)確定.兩個(gè)平面不可能僅有一個(gè)公共點(diǎn)，因?yàn)槠矫嬗袩o限延展性.文字語言、圖形語言、符號(hào)語言.平面的基本性質(zhì)小結(jié).討論結(jié)果：平面與我們學(xué)過的點(diǎn)、直線、集合等概念一樣都是最基本的概念（不加定義的原始概念），只能通過對它描述加以理解，可以用它定義其他概念，不能用其他概念來定義它，因?yàn)樗遣患佣x的.平面的基本特征是無限延展性，很像如來佛的手掌(吳承恩的立體幾何一定不錯(cuò)).我們的桌面看起來像平行四邊形，因此平面通常畫成平行四邊形，有些時(shí)候我們也可以用圓或三角形等圖形來表示平面，如圖2.平行四邊形的銳角通常畫成45，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍.如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，我們常把它遮擋的部分用虛線畫出來，如圖3. 圖2 圖3 平面的表示法有如下幾種：（1）在一個(gè)希臘字母、的前面加“平面”二字，如平面、平面、平面等，且字母通常寫在平行四邊形的一個(gè)銳角內(nèi)(圖4)；（2）用平行四邊形的四個(gè)字母表示，如平面abcd（圖5）；（3）用表示平行四邊形的兩個(gè)相對頂點(diǎn)的字母來表示，如平面ac（圖5）. 圖4 圖5下面我們總結(jié)點(diǎn)與直線、平面的位置關(guān)系如下表：點(diǎn)a在直線a上（或直線a經(jīng)過點(diǎn)a）aa元素與集合間的關(guān)系點(diǎn)a在直線a外（或直線a不經(jīng)過點(diǎn)a）aa點(diǎn)a在平面內(nèi)（或平面經(jīng)過點(diǎn)a）a點(diǎn)a在平面外（或平面不經(jīng)過點(diǎn)a）a直線上有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，直線沒有全部落在平面內(nèi)(圖7)，直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，則直線全部落在平面內(nèi).例如用直尺緊貼著玻璃黑板，則直尺落在平面內(nèi).公理1：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).這是用文字語言描述，我們也可以用符號(hào)語言和圖形語言（圖6）描述. 空間圖形的基本元素是點(diǎn)、直線、平面.從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，從而可以把直線、平面看成是點(diǎn)的集合，因此它們之間的關(guān)系除了用文字和圖形表示外，還可借用集合中的符號(hào)語言來表示.規(guī)定直線用兩個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)小寫的英文字母表示，點(diǎn)用一個(gè)大寫的英文字母表示，而平面則用一個(gè)小寫的希臘字母表示.公理1也可以用符號(hào)語言表示：若aa,ba,且a,b,則a. 圖6 圖7請同學(xué)們用符號(hào)語言和圖形語言描述直線與平面相交.若aa,ba,且a,b,則a.如圖（圖7）.在生活中，我們常?？梢钥吹竭@樣的現(xiàn)象：三腳架可以牢固地支撐照相機(jī)或測量用的平板儀等等. 上述事實(shí)和類似的經(jīng)驗(yàn)可以歸納為下面的公理.公理2：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.如圖（圖8）.圖8公理2刻畫了平面特有的性質(zhì)，它是確定一個(gè)平面位置的依據(jù)之一.我們用平行四邊形來表示平面，那么平面是不是只有平行四邊形這么個(gè)范圍呢？不是，因?yàn)槠矫媸菬o限延展的.直線是可以落在平面內(nèi)的，因?yàn)橹本€是無限延伸的，如果平面是有限的，那么無限延伸的直線又怎么能在有限的平面內(nèi)呢？所以平面具有無限延展的特征.現(xiàn)在我們根據(jù)平面的無限延展性來觀察一個(gè)現(xiàn)象（課件演示給學(xué)生看）.問：兩個(gè)平面會(huì)不會(huì)只有一個(gè)公共點(diǎn)？不會(huì)，因?yàn)槠矫媸菬o限延展的，應(yīng)當(dāng)有很多公共點(diǎn).正因?yàn)槠矫媸菬o限延展的，所以有一個(gè)公共點(diǎn)，必有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn).那么這無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在什么位置呢？可見，這無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在一條直線上. 這說明，如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線.此時(shí)，就說兩平面相交，交線就是公共點(diǎn)的集合，這就是公理3.如圖（圖9），用符號(hào)語言表示為：p,且p=l,且pl.圖9 公理3告訴我們，如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面一定相交，且其交線一定過這個(gè)公共點(diǎn).也就是說，如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們必定還有另外一個(gè)公共點(diǎn)，只要找出這兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn)，就找出了它們的交線. 由此看出公理3不僅給出了兩個(gè)平面相交的依據(jù)，還告訴我們所有交點(diǎn)在同一條直線上，并給出了找這條交線的方法.描述點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系常用3種語言:文字語言、圖形語言、符號(hào)語言.“平面的基本性質(zhì)”小結(jié)：名稱作用公理1判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)公理2確定一個(gè)平面的依據(jù)公理3兩平面相交的依據(jù)應(yīng)用示例例1 如圖10，用符號(hào)語言表示下列圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.圖10活動(dòng)：學(xué)生自己思考或討論，再寫出（最好用實(shí)物投影儀展示寫的正確的答案）.教師在學(xué)生中巡視，發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)糾正，并及時(shí)評價(jià).解：在（1）中，=l,a=a,a=b.在（2）中，=l,a,b,al=p,bl=p.變式訓(xùn)練1.畫圖表示下列由集合符號(hào)給出的關(guān)系：(1)a,b,al,bl;(2)a,b,ac,bc=p,=c.解：如圖11.圖112.根據(jù)下列條件，畫出圖形.（1）平面平面=l，直線ab，abl，eab，直線ef=f，fl;（2）平面平面=a，abc的三個(gè)頂點(diǎn)滿足條件:aa，b，ba，c，ca.答案：如圖12.圖12點(diǎn)評：圖形語言與符號(hào)語言的轉(zhuǎn)換是本節(jié)的重點(diǎn)，主要有兩種題型：(1)根據(jù)圖形，先判斷點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，然后用符號(hào)表示出來.(2)根據(jù)符號(hào)，想象出點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，然后用圖形表示出來.例2 已知直線a和直線b相交于點(diǎn)a.求證：過直線a和直線b有且只有一個(gè)平面.圖13證明：如圖13,點(diǎn)a是直線a和直線b的交點(diǎn),在a上取一點(diǎn)b，b上取一點(diǎn)c，根據(jù)公理2經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)a、b、c有一個(gè)平面，因?yàn)閍、b在平面內(nèi)，根據(jù)公理1，直線a在平面內(nèi),同理直線b在平面內(nèi)，即平面是經(jīng)過直線a和直線b的平面.又因?yàn)閍、b在a上，a、c在b上，所以經(jīng)過直線a和直線b的平面一定經(jīng)過點(diǎn)a、b、c.于是根據(jù)公理2，經(jīng)過不共線的三點(diǎn)a、b、c的平面有且只有一個(gè)，所以經(jīng)過直線a和直線b的平面有且只有一個(gè).變式訓(xùn)練求證：兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線在同一平面內(nèi).證明：如圖14，直線a、b、c、d兩兩相交，交點(diǎn)分別為a、b、c、d、e、f,圖14直線a直線b=a,直線a和直線b確定平面設(shè)為，即a,b.b、ca，e、fb,b、c、e、f.而b、fc，c、ed,c、d,即a、b、c、d在同一平面內(nèi).點(diǎn)評：在今后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到證明點(diǎn)和直線共面問題，除公理2外，確定平面的依據(jù)還有：(1)直線與直線外一點(diǎn).(