拋物線的解析式的三種形式.doc

拋物線的解析式的三種形式拋物線的解析式有三種形式： 一般式：（a0）；頂點(diǎn)式：，（h，k）是頂點(diǎn)坐標(biāo)；交點(diǎn)式：（a0），其中x1，x2是方程的兩個(gè)實(shí)根。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)題目的條件選擇相應(yīng)的形式以簡(jiǎn)化計(jì)算。利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式的步驟可以總結(jié)為五個(gè)字：設(shè)、列、求、定。例1、已知二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），且過(guò)點(diǎn)（1，0），求此二次函數(shù)的解析式。（試用兩種不同的方法）分析：根據(jù)所給條件中有頂點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)，可以選用頂點(diǎn)式。解法一：設(shè)二次函數(shù)的解析式為：因?yàn)槎魏瘮?shù)圖像過(guò)點(diǎn)（1，0）所以所以所以函數(shù)解析式為。分析：根據(jù)所給條件中頂點(diǎn)坐標(biāo)可知，拋物線的對(duì)稱軸為x2，利用拋物線的對(duì)稱性，可求得點(diǎn)（1，0）關(guān)于對(duì)稱軸x2的對(duì)稱點(diǎn)（5，0），可選用交點(diǎn)式。解法二：設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，因?yàn)槎魏瘮?shù)圖像過(guò)點(diǎn)（2，3）所以所以函數(shù)解析式為。點(diǎn)評(píng)：當(dāng)題目條件中有頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，選用頂點(diǎn)式；當(dāng)條件中有兩個(gè)與x軸的交點(diǎn)時(shí)，一般選用交點(diǎn)式。但我們注意到，解法二是在知道拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)后，利用對(duì)稱軸可從頂點(diǎn)坐標(biāo)中得到，再利用拋物線的對(duì)稱性獲得另外一個(gè)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用交點(diǎn)式獲得結(jié)果。兩種方法各有千秋，仔細(xì)體會(huì)必定會(huì)有所收獲。當(dāng)然此題也可使用一般式，但不如這兩種方法簡(jiǎn)單。例2、已知二次函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)有最小值4，且圖像在x軸上截得線段長(zhǎng)為4，求函數(shù)解析式。分析：當(dāng)題目條件中點(diǎn)的條件不足三個(gè)時(shí)，要充分利用二次函數(shù)的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化條件。在本題中由于所給條件能得到一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，4），另外一個(gè)條件是圖像在x軸上截得的線段長(zhǎng)，條件似乎不是特別充分。仔細(xì)分析，有“當(dāng)x1時(shí)有最小值4”就知道對(duì)稱軸，再有“圖像在x軸上截得線段長(zhǎng)為4”，利用對(duì)稱性可得圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），（1，0），從而可利用交點(diǎn)式解決問題。 解：當(dāng)x1時(shí)有最小值4，且圖像在x軸上截得線段長(zhǎng)為4函數(shù)圖像與x軸交于（3，0），（1，0）兩點(diǎn)。設(shè)二次函數(shù)的解析式為二次函數(shù)過(guò)（1，4）a1 點(diǎn)評(píng)：本題當(dāng)然還可直接使用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的兩個(gè)等式，再利用“圖像在x軸上截得線段長(zhǎng)為4”轉(zhuǎn)化為，組合成一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程組來(lái)解。不過(guò)這種方法計(jì)算量大一些。 例3、如圖，已知直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過(guò)正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)A、B、C。（1）用尺規(guī)畫出該圓弧所在圓的圓心M的位置；（2）若A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），D點(diǎn)的坐標(biāo)為（7，0），試驗(yàn)證點(diǎn)D是否在經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線上； （3）在（2）的條件下，求證直線CD是M的切線。解：（1）如圖，點(diǎn)M即為所求。 （2）由A（0，4），可得小正方形的邊長(zhǎng)為1，從而B（4，4）、C（6，2）。 設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線的解析式為， 依題意，解得， 所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線的解析式為， 把點(diǎn)D（7，0）的橫坐標(biāo)代入上述解析式，得： ，所以點(diǎn)D不在經(jīng)過(guò)A、B、C的拋物線上。 （3）如下圖，設(shè)過(guò)C點(diǎn)與x軸垂直的直線與x軸的交點(diǎn)為E，連結(jié)MC，作直線CD。 所以CE2，ME4，ED1，MD5， 在RtCEM中，CEM90， 所以， 在RtCED中，CED90，所以，所以， 所以MCD90， 因?yàn)镸C為半徑， 所以直線CD是M的切線。點(diǎn)評(píng)：本題第（1）問是一個(gè)尺規(guī)作圖題，需要確定圓心的位置；第（2）問中所給三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)不具有使用頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式的特點(diǎn)，所以只能踏踏實(shí)實(shí)地利用一般式求解；第（3）問和圓的知識(shí)結(jié)合起來(lái)，求證直線與圓相切。要求熟練使用線段與坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化，在證明線與線的垂直關(guān)系時(shí)還需要使用勾股定理的逆定理。例4、已知拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸分別交于，兩點(diǎn)（1）求此拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)為線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，求直線的解析式；（3）若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)自的中點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)），再到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)），最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)求使點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長(zhǎng)解：（1）根據(jù)題意，所以解得所以拋物線解析式為（2）依題意可得的三等分點(diǎn)分別為，設(shè)直線的解析式為當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，直線的解析式為；當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，直線的解析式為 （3）如圖，由題意，可得點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為連結(jié)根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)間線段最短可知，的長(zhǎng)就是所求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的最短總路徑的長(zhǎng) 5分所以與軸的交點(diǎn)為所求點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)為所求點(diǎn)可求得直線的解析式為可得點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為由勾股定理可求出所以點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的最短總路徑的長(zhǎng)為 點(diǎn)評(píng)：第（1）問是一個(gè)常規(guī)的求解析式的問題，比較簡(jiǎn)單；第（2）問如果注意到線段OA的三等分點(diǎn)有兩個(gè)，從而判斷直線DC有兩條，利用待定系數(shù)法求出直線解析式，也不難；本題的難點(diǎn)是第（3）問，要求“最短總路徑”需要具有扎實(shí)的基本功和分析、理解、轉(zhuǎn)化問題的能力。例5、已知二次函數(shù)的圖象如圖1所示，拋物線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（1，0）、B（2，0）、C（0，2）（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)（2）若點(diǎn)N為線段BM上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)N在線段MB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)N不與點(diǎn)B、點(diǎn)M重合），設(shè)OQ的長(zhǎng)為t，四邊形NQAC的面積為s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍（3）在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使PAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（4）將OAC補(bǔ)成矩形，使OAC的兩個(gè)頂點(diǎn)成為矩形一邊的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對(duì)邊上，試直接寫出矩形的未知的頂點(diǎn)坐標(biāo)（不需要計(jì)算過(guò)程）圖1解：（1）設(shè)拋物線的解析式為ya（x1）（x2），2a1（2），a1，yx2x2；其頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）（2）設(shè)線段BM所在直線的解析式為ykxb，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（t， h）， 解得：k，b3，線段BM所在的直線的解析式為yx3ht3，2h0，2t30，即t2SSAOCS梯形OCNQ12（2）ts與t間的函數(shù)關(guān)系式為s自變量t的取值范圍為tAC，所以邊AC的對(duì)角APC不可能為直角（4）以點(diǎn)O，點(diǎn)A（或點(diǎn)O，點(diǎn)C）為矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊OA（或邊OC）的對(duì)邊上，如圖2，此時(shí)未知頂點(diǎn)坐標(biāo)是點(diǎn)D（1，2）。以點(diǎn)A，點(diǎn)C為矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊AC的對(duì)邊上，如圖3，此時(shí)未知頂點(diǎn)坐標(biāo)是E（） ，F(xiàn)（）易證AEOOFC，又AC， 設(shè)OEa， 則OFa， AE，由勾股定理得：（）2a21，aOE，再設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x， y），由射影定理得:x， y，此時(shí)未知頂點(diǎn)坐標(biāo)是E（）；同理可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)為（） 【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）一、填空 1、已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則這個(gè)二次函數(shù)為 。2、若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則值必為 。3、如圖所示是一學(xué)生推鉛球時(shí)，鉛球行進(jìn)高度與水平距離的函數(shù)圖像，鉛球推出的距離是4、已知二次函數(shù)的圖像開口向上，且與y軸的正半軸相交，請(qǐng)你寫出一個(gè)滿足條件的二次函數(shù)的解析式：_。5、函數(shù)y的對(duì)稱軸是x2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，0），則abc ；6、拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，則這條拋物線的解析式為 。7、若2，4是方程的兩個(gè)根，則對(duì)應(yīng)拋物線y的對(duì)稱軸是_。8、關(guān)于x的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，則拋物線的頂點(diǎn)在_象限。9、用鋁合金型材料做一個(gè)形狀如圖1所示的矩形窗框，設(shè)窗框的一邊為xm，窗戶的透光面積為ym2，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示。（1）觀察圖象，當(dāng)x m時(shí)，窗戶透光面積最大。（2）當(dāng)窗戶透光面積最大時(shí)，窗框的另一邊長(zhǎng)是 m。10、若點(diǎn)P（1，a）和Q（1，b）都在拋物線yx21上，則線段PQ的長(zhǎng)是_11、若二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，其中c為整數(shù)，則c 。（只要求寫出一個(gè)）12、函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則k ；交點(diǎn)坐標(biāo)為 。二、選擇題： 13、在半徑為的圓面上，挖去一個(gè)半徑為的圓，剩下的面積是，則與的函數(shù)關(guān)系式是（ ）A. B. C. D. 14、二次函數(shù)的圖像上有兩個(gè)點(diǎn)A（1，y），B（2，y），則y1、y2的大小關(guān)系為（ ） A. y y B. yy C. y y D. y y15、已知：a1，點(diǎn)（a1，y1），（a，y2），（a1，y3）都在函數(shù)的圖象上，則（ ）A. y1y2y3 B. y1y3y2 C. y3y2y1 D. y2y1y3 16、二次函數(shù)yx2pxq中，若pq0，則它的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ ） A. （1，1） B. （1，1） C. （1，1） D. （1，1）17、拋物線yax2bxc頂點(diǎn)是（3，5），且與y軸交于點(diǎn)（0，2），則拋物線解析式為（ ）A. y3x29x14 B. y3x216x22C. yx22x2 D. yx26x4.18、拋物線yax2bxc中，a0，b0，c0，則頂點(diǎn)在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限19、不論x為何值，yax2bxc永遠(yuǎn)是正值的條件是（ ）.（其中b24ac）A. a0，0 B. a0，0 C. a0，0 D. a0，0. 20、二次函數(shù)yax2bxc的圖象，如圖所示（b24ac），那么（ ） A. b0 c0 0 B. b0 c0 0C. b0 c0 0 D. b0 c0 021、小敏在某次投籃中，球的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線的一部分（如圖），若命中籃圈中心，則他與籃底的距離l是（ ）A. 3.5m B. 4m C. 4.5m D. 4.6m22、已知M、N兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，且點(diǎn)M在雙曲線上，點(diǎn)N在直線yx3上，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，b），則二次函數(shù)yabx2（ab）x （ ） A. 有最小值，且最小值是 B. 有最大值，且最大值是C. 有最大值，且最大值是 D. 有最小值，且最小值是三、解答題1、已知二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），且經(jīng)過(guò)直線yx3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)B、C。（1）求此拋物線的解析式；（2）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)：（3）若點(diǎn)M在第四象限內(nèi)的拋物線上，且OMBC，垂足為D，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。2、如圖，是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，為原點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，. （1）在邊上取一點(diǎn)，將紙片沿翻折，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，求點(diǎn)，的坐標(biāo)；（2）若過(guò)點(diǎn)的拋物線與軸相交于點(diǎn)，求拋物線的解析式和對(duì)稱軸方程；（3）若（2）中的拋物線與軸交于點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使的內(nèi)心在坐標(biāo)軸上？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（4）若（2）中的拋物線與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上移動(dòng)，作直線，當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到什么位置時(shí)，兩點(diǎn)到直線的距離之和最大？請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的解析式.【試題答案】一、1、；2、m3；3、10；4、yx22；5、0；6、；7、x3；8、第一；9、1，1.5；10、2； 11、10；12、0，1，9；（1/3，0），（1，0），（1/3，0）二、13、D；14、C；15、C；16、D；17、C；18、C；19、B；20、B；21、B；22、C。三、1、（1）yx22x3；（2）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，4）；（3）M（）。2、解法一：（1）依題意，在中，. . 而，. ，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為. 解法二：（上同解法一）. 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則. 在中，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為. （2）設(shè)拋物線的解析式為，拋物線過(guò)點(diǎn)，解得拋物線的解析式為. 對(duì)稱軸的方程為. （或用配方法：對(duì)稱軸的方程為.）（3）存在這樣的點(diǎn)，使的內(nèi)心在坐標(biāo)軸上. 解法一：若的內(nèi)心在軸上，設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為. 直線的解析式為. 解方程組得，. 點(diǎn)的坐標(biāo)為. 若的內(nèi)心在軸上，設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的解析式為. 解方程組得，. 點(diǎn)的坐標(biāo)為. 綜合可知點(diǎn)的坐標(biāo)為或. 解法二：當(dāng)?shù)膬?nèi)心在軸上時(shí)