微分算子法求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解.doc

微分算子法求解常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解微分算子法求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解 李紹剛 段復(fù)建 徐安農(nóng) （桂林電子科技大學(xué)，計(jì)算科學(xué)與數(shù)學(xué)系，廣西桂林，541004）摘要：本文主要介紹了二階微分算子的性質(zhì)及其它在一些求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的常見運(yùn)算公式，并對其中的大部分重要公式給出了詳細(xì)的較為簡單的證明，并通過具體而翔實(shí)的例子加以說明它在解題中的具體應(yīng)用，大大簡化了二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解的求法。關(guān)鍵詞：線性微分算子 非齊次 微分方程 特解 中圖分類號(hào)：O175.1引言對于微分方程，尤其是常系數(shù)非齊次線性微分方程，算子法求其特解一直是研究的熱點(diǎn)問題，見參考文獻(xiàn)3-9，有一些是針對一般高階的常系數(shù)非齊次線性微分方程3-6，文獻(xiàn)6研究了高階的變系數(shù)非齊次線性微分方程的算子特解算法，而7是針對二階的常系數(shù)非齊次線性微分方程的算子特解解法，但是理論不是很完善，而微分級(jí)數(shù)法以及復(fù)常系數(shù)非齊次線性微分方程在一般教科書很少出現(xiàn)，針對性不夠強(qiáng)。因?yàn)樵诟叩葦?shù)學(xué)中，二階非齊次常系數(shù)線性微分方程特解的求法在微分方程中占有很重要的地位，也是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，大多高數(shù)教材采用待定系數(shù)法來求其特解，根據(jù)不同情況記憶特解的設(shè)法對大多數(shù)學(xué)生而言還是很有難度的，而且有些題目計(jì)算過程非常復(fù)雜，本文就針對微分算子法在求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解方面的應(yīng)用做一些討論，給出理論的詳細(xì)證明，并通過例子說明理論的的一些具體應(yīng)用。我們考慮如下的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式 其中為常數(shù)。 （1）引入微分算子，則有：于是（1）式可化為： 即： （2）令 稱其為算子多項(xiàng)式。則（2）式即為： 其特解為： ， 在這里我們稱為逆算子。一 基本理論 眾所周知：算子多項(xiàng)式有如下性質(zhì)1 （一）算子多項(xiàng)式的性質(zhì)： 1 （3）2設(shè), （4）則作者簡介：李紹剛(1978-),男，河南漯河人，桂林電子工業(yè)學(xué)院計(jì)算科學(xué)與數(shù)學(xué)系碩士研究生，主要研究方向?yàn)樽顑?yōu)化理論與算法。聯(lián)系電話：5601272(研究室)3設(shè)，則 （5）基于上述算子多項(xiàng)式的性質(zhì)，我們可以得到下列算子多項(xiàng)式的運(yùn)算公式。（二）算子多項(xiàng)式的運(yùn)算公式：1 （6） 證明：2 （7） 證明：由歐拉公式：，則有： 3 （8） 證明：類似于性質(zhì)2的證明，我們有由歐拉公式：，則有： 4 （9） 證明：因?yàn)?所以 5 （10） 證明：不妨設(shè)，則有： 左邊 右邊 所以左邊=右邊，證畢。二 逆算子在解題中的應(yīng)用： 我們首先給出逆算子的性質(zhì)： （一） 逆算子的性質(zhì) 類似于算子多項(xiàng)式的性質(zhì)我們有：1. F(D)f(x)=f(x) （約定） （11） 2. （12） 3. 設(shè), 則 （13）接下來我們討論逆算子的基本運(yùn)算公式及其在解題中的具體應(yīng)用（二） 逆算子的運(yùn)算公式： 1逆算子移位原理： （14） 證明：由（9）式易證。 這是逆算子很重要的一個(gè)性質(zhì)，在許多題目的求解中都要用到，我們后面會(huì)討論它的應(yīng)用。2 （其中 （15） 若不妨設(shè)為的重根（，則有： ，其中表示對求階導(dǎo)數(shù)。 證明：由（6）式易證 （其中下面考慮設(shè)為的重根（，則可令： 其中，則易知有： （由逆算子移位原理：此時(shí)） （由逆算子公式14） 例2 解：因?yàn)椋?，而所以有?y=例3 解：因?yàn)椋?1為 的二重根，此時(shí)， 所以有： 3（1）當(dāng)時(shí)有： （2）當(dāng)時(shí)有： （16） 證明：（1）由（7）和（8）式易證。（2） ，不妨設(shè)，則有： （a） 而 所以： （b）仿類似可證。 例4 解：因?yàn)椋?，所以由性質(zhì)3的公式（1）有： y= 例5 解：因?yàn)椋?，所以由性質(zhì)3的公式（2）有： y=x通過上述兩道例題可以看出，對形如或者，均可以用性質(zhì)3進(jìn)行求解。 4，其中是用1形式的除（按升冪排列）所得的多項(xiàng)式，其最高次數(shù)為。 （17） 證明： 其中表示余式。兩端同乘得： 這里中最低次冪為，對的運(yùn)算為零。所以 例6 解：因?yàn)椋?，利用性質(zhì)1和4，所以有： y= 5 （18） 證明：要證此式，只需證明：左邊 =右邊 證畢。例7 解：因?yàn)椋?， 所以由性質(zhì)5有： y= 6；，其中 （19）我們?nèi)钥紤]例7 解：用算子移位原理來轉(zhuǎn)而求解的實(shí)數(shù)部分即為所求。 因?yàn)椋?所以有：y= 我們不妨再用待定系數(shù)法來求解這道題： 另解： 該方程對應(yīng)的齊次方程為：，特征方程為： 由于不是特征方程的根，所以應(yīng)設(shè)特解為： 將其代入所給方程，得： 比較兩端同類項(xiàng)的系數(shù)，得 由此解得： 于是求得的一個(gè)特解為： 通過本題可以看出：對形如或 既可以用性質(zhì)1和5兩種方法進(jìn)行求解，也可以看出算子移位原理應(yīng)用的廣泛性，而傳統(tǒng)的待定系數(shù)法需要進(jìn)行比較復(fù)雜的求導(dǎo)運(yùn)算和解方程組，而算子法恰恰避免了這些缺點(diǎn)，求解過程簡單易懂。 7 （其中積分號(hào)共n個(gè)）。 （20） 證明：由求導(dǎo)是積分的逆運(yùn)算可知結(jié)論成立。上述例題均選自高等數(shù)學(xué)教材中，用算子法求解的這些二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解，與一般教材上講的用待定系數(shù)法相比較在計(jì)算方面顯得更見簡單和快捷，非常利于學(xué)生理解和掌握，培養(yǎng)他們學(xué)習(xí)興趣也會(huì)起到的很大推動(dòng)作用，對教法的研究如果側(cè)重于我們常用的優(yōu)秀教材，不僅對老師的日常教學(xué)提供更好的參考，而且對學(xué)生的學(xué)習(xí)提供更大的方便。參考文獻(xiàn)：1 葉彥謙，常微分方程講義（第二版）M。北京：人民教育出版社，1982。2 M.R施皮格爾，高等數(shù)學(xué)的理論與習(xí)題M，上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1978。3 葛正洪，算子法求非齊次常系數(shù)線性微分方程組的特解J，北方工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1998.9:40-464 李紅，用算子法求常系數(shù)線性非齊次方程特解J，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，1998.2:21-235 周展宏，求常系數(shù)線性非齊次微分方程特解的微分算子級(jí)數(shù)法J,高等數(shù)學(xué)研究，2004.5:28-30.6 羅辒遜，高階變系數(shù)線性微分方程的新算子解法J，武漢教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1996.12:29-32.7 湯光宋,求二階復(fù)常系數(shù)線性非齊次微分方程特解的公式J,周口師專學(xué)報(bào)1997.12:11-13.Operator Method for Special Solution of System of the SecondOrder Inhomogeneous Linear Differential Equationwith Constant CoefficientsLI Shao-gang DU Fu-jian XU An-nong(Dept. of Computing Science and Math ，Guilin University of Electronic Technology，Guilin，541004, China)Abstract：Based on the differential operator ,this paper not only introduce the character of the second order differential operator and some popular formulas for solving the second order inhomogeneous linear differential equation with constant coefficient ,but also prove the most formulas ,in the end, we show its concrete applications in solving the problem with some example, which demonstrates that this method can make the solution of the second order inhomogeneous linear diffe