江蘇省淮安市淮陰市2014-2015學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷.pdf

知人善教 提分高效 閏土教育祝您成功閏土教育祝您成功 第 1 頁(yè) 共 17 頁(yè) 20142014 20152015 學(xué)年江蘇省淮安市淮陰市高三 上 期中數(shù)學(xué)試卷學(xué)年江蘇省淮安市淮陰市高三 上 期中數(shù)學(xué)試卷 一 填空題 本大題滿分一 填空題 本大題滿分 7070 分 每小題分 每小題 5 5 分 分 1 設(shè)集合 A x x 1 B x x a 若 A B R 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 2 復(fù)數(shù) z 1 2i 2 i 的實(shí)部為 3 某大學(xué)為了解在校本科生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向 擬采用分層抽樣的方向 從該校四個(gè)年級(jí)的本科生 中抽取一個(gè)容量為 300 的樣本進(jìn)行調(diào)查 已知該校一年級(jí) 二年級(jí) 三年級(jí) 四年級(jí)的本科生人數(shù)之比為 4 5 5 6 則應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取 名學(xué)生 4 從 1 2 3 4 這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù) 和為 5 的概率是 5 函數(shù)的圖象中 離坐標(biāo)原點(diǎn)最近的一條對(duì)稱軸的方程為 6 閱讀如圖所示的程序框圖 運(yùn)行相應(yīng)的程序 則程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為 7 等比數(shù)列 an 的公比大于 1 a5 a1 15 a4 a2 6 則 a3 8 一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐同底等高 若圓錐的側(cè)面積是其底面積的 2 倍 則圓柱的側(cè)面積是其底面積的 倍 9 在平面直角坐標(biāo)系中 直線 x 0 被圓 x 2 y2 4 截得的弦長(zhǎng)為 10 設(shè)函數(shù) f x 的最大值為 M 最小值為 m 則 M m 11 已知點(diǎn) P 1 m 是函數(shù) y ax 圖象上的點(diǎn) 直線 x y b 是該函數(shù)圖象在 P 點(diǎn)處的切線 則 a b m 12 設(shè) P 為 ABC 中線 AD 的中點(diǎn) D 為邊 BC 中點(diǎn) 且 AD 2 若 則 13 若存在正數(shù) x 使 e x x a 1 成立 則 a 的取值范圍是 14 已知 x y 1 y 0 x 0 則 最小值為 知人善教 提分高效 閏土教育祝您成功閏土教育祝您成功 第 2 頁(yè) 共 17 頁(yè) 二 解答題 本大題共二 解答題 本大題共 6 6 小題 共小題 共 9090 分 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算步驟 分 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算步驟 15 已知 tan 2 1 求的值 2 求的值 16 如圖 四邊形 ABCD 為正方形 PD 平面 ABCD PD AD AF PC 于點(diǎn) F FE CD 交 PD 于點(diǎn) E 1 證明 CF 平面ADF 2 若 AC BD O 證明 FO 平面 AED 17 設(shè)橢圓 1 a b 0 的左焦點(diǎn)為 F 短軸上端點(diǎn)為 B 連接 BF 并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn) A 連接 AO 并延長(zhǎng)交 橢圓于點(diǎn) D 過 B F O 三點(diǎn)的圓的圓心為 C 1 若 C 的坐標(biāo)為 1 1 求橢圓方程和圓 C 的方程 2 若 AD 為圓 C 的切線 求橢圓的離心率 18 為迎接省運(yùn)會(huì)在我市召開 美化城市 在某主干道上布置系列大型花盆 該圓形花盆直徑 2 米 內(nèi)部劃分為不 同區(qū)域種植不同花草 如圖所示 在蝶形區(qū)域內(nèi)種植百日紅 該蝶形區(qū)域由四個(gè)對(duì)稱的全等三角形組成 其中一個(gè) 三角形 OAB 的頂點(diǎn) O 為圓心 A 在圓周上 B 在半徑 OQ 上 設(shè)計(jì)要求 ABO 120 1 請(qǐng)?jiān)O(shè)置一個(gè)變量 x 寫出該蝶形區(qū)域的面積 S 關(guān)于 x 的函數(shù)表達(dá)式 2 x 為多少時(shí) 該蝶形區(qū)域面積 S 最大 19 設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn 1 若數(shù)列 an 是首項(xiàng)為 1 公比為 2 的等比數(shù)列 求常數(shù) m t 的值 使 Sn man t 對(duì)一切大于零的自然數(shù) n 都成 立 2 若數(shù)列 an 是首項(xiàng)為 a1 公差 d 0 的等差數(shù)列 證明 存在常數(shù) m t b 使得 Sn man 2 ta n b 對(duì)一切大于零的 自然數(shù) n 都成立 且 t 知人善教 提分高效 閏土教育祝您成功閏土教育祝您成功 第 3 頁(yè) 共 17 頁(yè) 3 若數(shù)列 an 滿足 Sn man 2 ta n b n N m t b m 0 為常數(shù) 且 S n 0 證明 當(dāng) t 時(shí) 數(shù)列 an 為等 差數(shù)列 20 已知函數(shù) f x e x e x 2x x R 1 證明 f x 為奇函數(shù) 并在 R 上為增函數(shù) 2 若關(guān)于 x 的不等式 f x me x 2x 2m 3 在 0 上恒成立 求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 3 設(shè) g x f 2x 4bf x 當(dāng) x 0 時(shí) g x 0 求 b 的最大值 附加題附加題 21 已知在一個(gè)二階矩陣 M 的變換作用下 點(diǎn) A 2 1 變成了點(diǎn) A 3 4 點(diǎn) B 1 2 變成了點(diǎn) B 0 5 求矩陣 M 22 在極坐標(biāo)系中 已知圓 與直線相切 求實(shí)數(shù) a 的值 23 如圖 在三棱柱 ABC A1B1C1中 BA AC AB AC A1B 2 頂點(diǎn) A1在底面 ABC 上的射影恰為點(diǎn) B 1 求異面直線 AA1與 BC 所成角的大小 2 在棱 B1C1上確定一點(diǎn) P 使 AP 并求出二面角 P AB A1的平面角的正弦值 24 已知 1 n展開式的各項(xiàng)依次記為 a 1 x a2 x a3 x an x an 1 x 設(shè) F x a1 x 2a2 x 2a2 x 3a3 x nan x n 1 an 1 x 1 若 a1 x a2 x a3 x 的系數(shù)依次成等差數(shù)列 求 n 的值 2 求證 對(duì)任意 x1 x2 0 2 恒有 F x1 F x2 2 n 1 n 2 1 知人善教 提分高效 閏土教育祝您成功閏土教育祝您成功 第 4 頁(yè) 共 17 頁(yè) 20142014 20152015 學(xué)年江蘇省淮安市淮陰市高三 上 期中數(shù)學(xué)試卷學(xué)年江蘇省淮安市淮陰市高三 上 期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析參考答案與試題解析 一 填空題 本大題滿分一 填空題 本大題滿分 7070 分 每小題分 每小題 5 5 分 分 1 設(shè)集合 A x x 1 B x x a 若 A B R 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 a 1 考點(diǎn) 交集及其運(yùn)算 專題 集合 分析 利用數(shù)軸 在數(shù)軸上畫出集合 數(shù)形結(jié)合求得兩集合的并集 解答 解 A x x 1 B x x a 且 A B R 如圖 故當(dāng) a 1 時(shí) 命題成立 故答案為 a 1 點(diǎn)評(píng) 本題考查集合關(guān)系中的參數(shù)問題 屬于以數(shù)軸為工具 求集合的并集的基礎(chǔ)題 本題解題的關(guān)鍵是借助于 數(shù)軸完成題目 2 復(fù)數(shù) z 1 2i 2 i 的實(shí)部為 3 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 專題 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù) 分析 直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn) 則復(fù)數(shù)的實(shí)部可求 解答 解 z 1 2i 2 i 12 4i 2i 2 i 3 3i 復(fù)數(shù) z 1 2i 2 i 的實(shí)部為 3 故答案為 3 點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 考查了復(fù)數(shù)的基本概念 是基礎(chǔ)題 3 某大學(xué)為了解在校本科生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向 擬采用分層抽樣的方向 從該校四個(gè)年級(jí)的本科生 中抽取一個(gè)容量為 300 的樣本進(jìn)行調(diào)查 已知該校一年級(jí) 二年級(jí) 三年級(jí) 四年級(jí)的本科生人數(shù)之比為 4 5 5 6 則應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取 60 名學(xué)生 考點(diǎn) 分層抽樣方法 專題 概率與統(tǒng)計(jì) 分析 先求出一年級(jí)本科生人數(shù)所占總本科生人數(shù)的比例 再用樣本容量乘以該比列 即為所求 解答 解 根據(jù)分層抽樣的定義和方法 一年級(jí)本科生人數(shù)所占的比例為 故應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取名學(xué)生數(shù)為 300 60 故答案為 60 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分層抽樣的定義和方法 利用了總體中各層的個(gè)體數(shù)之比等于樣本中對(duì)應(yīng)各層的樣本數(shù)之比 屬于基礎(chǔ)題 知人善教 提分高效 閏土教育祝您成功閏土教育祝您成功 第 5 頁(yè) 共 17 頁(yè) 4 從 1 2 3 4 這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù) 和為 5 的概率是 考點(diǎn) 列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 專題 概率與統(tǒng)計(jì) 分析 從 1 2 3 4 這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù) 其基本事件共有以下 6 個(gè) 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 其中兩個(gè)數(shù)的和為 5 的共有兩個(gè) 1 4 2 3 據(jù)此可得出答案 解答 解 從 1 2 3 4 這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù) 其基本事件共有以下 6 個(gè) 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 其中兩個(gè)數(shù)的和為 5 的共有兩個(gè) 1 4 2 3 故所求事件的概率 P 故答案為 點(diǎn)評(píng) 把所有的基本事件一一列舉出來 再找出所要求的事件包含的基本事件個(gè)數(shù)即可 5 函數(shù)的圖象中 離坐標(biāo)原 點(diǎn)最近的一條對(duì)稱軸的方程為 x 考點(diǎn) 正弦函數(shù)的圖象 專題 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 分析 先求出函數(shù)的對(duì)稱軸方程為 x k Z 從而可求離坐標(biāo)原點(diǎn)最近的一條對(duì)稱 軸的方程 解答 解 函數(shù)的對(duì)稱軸方程為 x k Z 當(dāng) k 1 時(shí) x 是離坐標(biāo)原點(diǎn)最近的一條對(duì)稱軸的方程 故答案為 x 點(diǎn)評(píng) 本題主要考察了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì) 屬于基礎(chǔ)題 6 閱讀如圖所示的程序框圖 運(yùn)行相應(yīng)的程序 則程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為 9 考點(diǎn) 專題 算法和程序框圖 分析 算法的功能是求 S 的值 根據(jù)條件確定跳出循環(huán)的 i 值 解答 解 由程序框圖知 算法的功能是求 S 的值 知人善教 提分高效 閏土教育祝您成功閏土教育祝您成功 第 6 頁(yè) 共 17 頁(yè) S 1 S 跳出循環(huán)的 i 值為 9 輸出 i 9 故答案為 9 點(diǎn)評(píng) 本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖 根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是解題的關(guān)鍵 7 5 分 2014 秋 淮安期中 等比數(shù)列 an 的公比大于 1 a5 a1 15 a4 a2 6 則 a3 4 考點(diǎn) 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 專題 等差數(shù)列與等比數(shù)列 分析 根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an a1q n 1求出 a 1和 q 得到通項(xiàng)公式即可求出 a3 解答 解 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an a1q n 1由 a 5 a1 15 a4 a2 6 得 a1q 4 a 1 15 a1q 3 a 1q 6 解得 q 2 或 q 則 a3 a1q 2 4 或 4 等比數(shù)列 an 的公比大于 1 則 a3 a1q 2 4 故答案為 4 點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生利用等比數(shù)列性質(zhì)的能力 8 一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐同底等高 若圓錐的側(cè)面積是其底面積的 2 倍 則圓柱的側(cè)面積是其底面積的 2 倍 考點(diǎn) 棱柱 棱錐 棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積 專題 空間位置關(guān)系與距離 分析 根據(jù)幾何體的性質(zhì) 公式轉(zhuǎn)化為用 r 表示的式子判斷 解答 解 一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐同底等高 設(shè)底面半徑為 r 高為 h 圓錐的側(cè)面積是其底面積的 2 倍 rl 2 r 2 l 2r h r 圓柱的側(cè)面積 2 rl 2 r 2 其底面積 r 2 圓柱的側(cè)面積是其底面積的 2倍 故答案為 點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)體的幾何性質(zhì) 表面積的運(yùn)算公式 屬于中檔題 9 在平面直角坐標(biāo)系中 直線 x 0 被圓 x 2 y2 4 截得的弦長(zhǎng)為 2 考點(diǎn) 圓的切線方程 專題 計(jì)算題 直線與圓 分析 求出圓心到直線 x 0 的距離 利用勾股定理 可得結(jié)論 解答 解 圓 x 2 y2 4 的圓心坐標(biāo)為 0 0 半徑為 2 圓心到直線 x 0 的距離為 d 知人善教 提分高效 閏土教育祝您成功閏土教育祝您成功 第 7 頁(yè) 共 17 頁(yè) 弦 AB 的長(zhǎng)等于 2 2 故答案為 2 點(diǎn)評(píng) 本題考查圓心到直線的距離 考查垂徑定理 考查學(xué)生的計(jì)算能力 屬于基礎(chǔ)題 10 設(shè)函數(shù) f x 的最大值為 M 最小值為 m 則 M m 2 考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)在最大值 最小值問題中的應(yīng)用 專題 綜合題 壓軸題 分析 函數(shù)可化為 f x 令 則為奇函 數(shù) 從而函數(shù)的最大值與最小值的和為 0 由此可得函數(shù) f x 的最大值與 最小值的和 解答 解 函數(shù)可化為 f x 令 則為奇函數(shù) 的最大值與最小值的和為 0 函數(shù) f x 的最大值與最小值的和為 1 1 0 2 即 M m 2 故答案為 2 點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值 考查函數(shù)的奇偶性 解題的關(guān)鍵是將函數(shù)化簡(jiǎn) 轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)的奇偶性解題 11 已知點(diǎn) P 1 m 是函數(shù) y ax 圖象上的點(diǎn) 直線 x y b 是該函數(shù)圖象在 P 點(diǎn)處的切線 則 a b m 2 考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 專題 計(jì)算題 導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用 分析 求出函數(shù) y ax 的導(dǎo)數(shù) 求出切線的斜率 由已知切線 得到 a 2 1 從而得到 m 再由切線過切點(diǎn) 即可得到 b 進(jìn)而得到 a b m 解答 解 點(diǎn) P 1 m 是函數(shù) y ax 圖象上的點(diǎn) 則 m a 2 函數(shù) y ax 的導(dǎo)數(shù) y a 該函數(shù)圖象在 P 點(diǎn)處的切線斜率為 a 2 由于直線 x y b 是該函數(shù)圖象在 P 點(diǎn)處的切線 知人善教 提分高效 閏土教育祝您成功閏土教育祝您成功 第 8 頁(yè) 共 17 頁(yè) 則有 a 2 1 即 a 1 m 3 b 1 m 4 則有 a b m 1 4 3 2 故答案為 2 點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率 考查運(yùn)算能力 屬于基 礎(chǔ)題 12 設(shè) P 為 ABC 中線 AD 的中點(diǎn) D 為邊 BC 中點(diǎn) 且 AD 2 若 則 0 考點(diǎn) 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 專題 平面向量及應(yīng)用 分析 利用向量的三角形法則可得 由數(shù)量積 運(yùn)算即可得出結(jié)論 解答 解 由題意可得 PA PD 1 2 3 2 1 1 1 0 故答案為 0 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量加減的運(yùn)算法則及數(shù)量積運(yùn)算等知識(shí) 屬于基礎(chǔ)題 13 若存在正數(shù) x 使 e x x a 1 成立 則 a 的取值范圍是 a 1 考點(diǎn) 特稱命題 專題 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 分析 由不等式將參數(shù) a 進(jìn)行分離 利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解 解答 解 由 e x x a 1 得 x ex a ex 1 a x 設(shè) f x x 則 f x 在 0 上單調(diào)遞增 當(dāng) x 0 時(shí) f x f 0 1 若存在正數(shù) x 使 e x x a 1 成立 則 a 1 故答案為 a 1 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用 將參數(shù)分離是解決本題的關(guān)鍵 利用函數(shù)的單調(diào)性是本題的突破點(diǎn) 考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力 綜合性較強(qiáng) 14 已知 x y 1 y 0 x 0 則 最小值為 考點(diǎn) 函數(shù)的最值及其幾何意義 專題 不等式的解法及應(yīng)用 分析 根據(jù)條件利用消元法 轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 的式子 利用基本不等式的性質(zhì)即可求出式子的最值 解答 解 由 x y 1 y 0 得 y 1 x 0 知人善教 提分高效 閏土教育祝您成功閏土教育祝您成功 第 9 頁(yè) 共 17 頁(yè) 解得 x 1 且 x 0 當(dāng) 0 x 1 時(shí) 2 當(dāng)且僅當(dāng) 即 x 時(shí)取等號(hào) 此時(shí)的最小值 當(dāng) x 0 時(shí) x 0 x 0 2 x 0 1 當(dāng)且僅當(dāng) 即 2 x 2 4x2 即 3x2 4x 4 0 解得 x 2 或 x 舍 時(shí) 取得號(hào) 此時(shí)最小值為 綜上 最小值為 故答案為 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查式子最值的求解 根據(jù)條件結(jié)合基本不等式的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵 綜合性較強(qiáng) 有一點(diǎn) 的難度 二 解答題 本大題共二 解答題 本大題共 6 6 小題 共小題 共 9090 分 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算步驟 分 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算步驟 15 已知 tan 2 1 求的值 2 求的值 考點(diǎn) 兩角和與差的正切函數(shù) 二倍角的余弦 專題 三角函數(shù)的求值 分析 1 由可求得 sin cos 的值 利用兩角和的正弦即可求得 的值 2 由 sin2 2sin cos 可求得 cos2 的值 利用兩角差的余弦可得的值 解答 解 1 由得 4 分 6 分 2 sin2 2sin cos 8 分 公式和結(jié)論各 1 分 知人善教 提分高效 閏土教育祝您成功閏土教育祝您成功 第 10 頁(yè) 共 17 頁(yè) 10 分 12 分 公式和結(jié)論各 1 分 點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的正切函數(shù) 考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系式的應(yīng)用 屬于中檔題 16 如圖 四邊形 ABCD 為正方形 PD 平面 ABCD PD AD AF PC 于點(diǎn) F FE CD 交 PD 于點(diǎn) E 1 證明 CF 平面 ADF 2 若 AC BD O 證明 FO 平面 AED 考點(diǎn) 直線與平面垂直的判定 直線與平面平行的判定 專題 空間位置關(guān)系與距離 分析 1 要證 CF 平面 ADF 需要證明 CF 垂直面 ADF 內(nèi)兩相交直線 由 AF PC 于點(diǎn) F 只需證明 AD CF 2 根據(jù)已知和 1 只要證明 F 是 CP 中點(diǎn)即可 解答 證明 1 由 PD 平面 ABCD 得 PD AD 又 AD DC AD DC C 根據(jù)線面垂直的判定定理 得 AD 平面 PDC 又 CF 面 PCD 得 AD CF 又 AF CF AF CF C 根據(jù)線面垂直的判定定理 得 CF 平面 ADF 2 因?yàn)?AD PD 由 1 知 F 為 PC 中點(diǎn) ABCD 為正方形 AC BD O O 是 AC 中點(diǎn) 連接 FO 則 FO 是三角形 ACP 的邊 AP 的中位線 FO AP 又 AP 面 APD FO 面 APD 根據(jù)線面平行的判定定理 FO 面 APD 即 FO 面 AED 點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直于線面平行的判定 屬于基礎(chǔ)題 17 設(shè)橢圓 1 a b 0 的左焦點(diǎn)為 F 短軸上端點(diǎn)為 B 連接 BF 并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn) A 連接 AO 并延長(zhǎng)交 橢圓于點(diǎn) D 過 B F O 三點(diǎn)的圓的圓心為 C 1 若 C 的坐標(biāo)為 1 1 求橢圓方程和圓 C 的方程 2 若 AD 為圓 C 的切線 求橢圓的離心率 考點(diǎn) 直線與圓錐曲線的綜合問題 專題 圓錐曲線的定義 性質(zhì)與方程 分析 1 由題意可得三角形 BFO 外接圓圓心為斜邊 BF 中點(diǎn) C 由此求得 b c 的值 結(jié)合隱含條件求出 a 則 橢圓方程和圓 C 的方程可求 2 由 AD 為圓 C 的切線 得到 AD CO 聯(lián)立直線和橢圓方程求得 A 的坐標(biāo) 由得到 a b c 的關(guān)系式 結(jié)合隱含條件可求橢圓的離心率 解答 解 1 三角形 BFO 為直角三角形 其外接圓圓心為斜邊 BF 中點(diǎn) C 由 C 點(diǎn)坐標(biāo)為 1 1 得 b 2 c 2 知人善教 提分高效 閏土教育祝您成功閏土教育祝您成功 第 11 頁(yè) 共 17 頁(yè) a 2 b2 c2 8 則圓半徑 橢圓方程為 圓方程為 x 1 2 y 1 2 2 2 由 AD 與圓 C 相切 得 AD CO BF 方程為 由 得 由 得 b 4 2a2c2 a 2 c2 2 2a2c2a4 4a2c2 c4 0 解得 點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與圓的方程的求法 考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系 解答此題的關(guān)鍵是由平面幾何知識(shí)得 到對(duì)應(yīng)的關(guān)系 考查了學(xué)生的計(jì)算能力 是中檔題 18 為迎接省運(yùn)會(huì)在我市召開 美化城市 在某主干道上布置系列大型花盆 該圓形花盆直徑 2 米 內(nèi)部劃分為不 同區(qū)域種植不同花草 如圖所示 在蝶形區(qū)域內(nèi)種植百日紅 該蝶形區(qū)域由四個(gè)對(duì)稱的全等三角形組成 其中一個(gè) 三角形 OAB 的頂點(diǎn) O 為圓心 A 在圓周上 B 在半徑 OQ 上 設(shè)計(jì)要求 ABO 120 1 請(qǐng)?jiān)O(shè)置一個(gè)變量 x 寫出該蝶形區(qū)域的面積 S 關(guān)于 x 的函數(shù)表達(dá)式 2 x 為多少時(shí) 該蝶形區(qū)域面積 S 最大 考點(diǎn) 正弦定理 專題 解三角形 分析 1 設(shè) AOB x 在三角形 AOB 中 由正弦定理表示出 OB S 為 4 個(gè)三角形 AOB 面積 表示出 S 與 x 關(guān)系 式即可 2 由 1 的結(jié)論整理 S 利用正弦函數(shù)的值域確定出 S 最大時(shí) x 的值即可 解答 解 1 設(shè) AOB x 在三角形 AOB 中 由正弦定理得 知人善教 提分高效 閏土教育祝您成功閏土教育祝您成功 第 12 頁(yè) 共 17 頁(yè) OB sin 60 x 則 S 4S AOB 2OA OBsinx sin 60 x sinx 2 由 1 整理得 S cosx sinx sinx sin 2x 30 則 x 30 時(shí) 蝶形區(qū)域面積最大 點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦定理 兩角和與差的正弦函數(shù)公式 以及三角形面積公式 熟練掌握正弦定理是解本題的 關(guān)鍵 19 設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn 1 若數(shù)列 an 是首項(xiàng)為 1 公比為 2 的等比數(shù)列 求常數(shù) m t 的值 使 Sn man t 對(duì)一切大于零的自然數(shù) n 都成 立 2 若數(shù)列 an 是首項(xiàng)為 a1 公差 d 0 的等差數(shù)列 證明 存在常數(shù) m t b 使得 Sn man 2 ta n b 對(duì)一切大于零的 自然數(shù) n 都成立 且 t 3 若數(shù)列 an 滿足 Sn man 2 ta n b n N m t b m 0 為常數(shù) 且 S n 0 證明 當(dāng) t 時(shí) 數(shù)列 an 為等差 數(shù)列 考點(diǎn) 數(shù)列的應(yīng)用 數(shù)列的求和 專題 綜合題 等差數(shù)列與等比數(shù)列 分析 1 利用等比數(shù)列的求和公式 即可求常數(shù) m t 的值 2 確定 利用 Sn man 2 ta n b 對(duì)一切大于零的自然數(shù) n 都成立 且 t 即可得出結(jié)論 3 由題知 Sn Sn 1 an 可得 即可證明結(jié)論 解答 解 1 所以 m 2 t 1 4 分 2 在等差數(shù)列 an 中 an a1 n 1 d 所以 所以存在 使得命題成立 6 分 3 由題知 Sn Sn 1 an 知人善教 提分高效 閏土教育祝您成功閏土教育祝您成功 第 13 頁(yè) 共 17 頁(yè) 若 an an 1 0 則 S2 0 與題設(shè)矛盾 所以 m 0 得 所以數(shù)列 an 為等差數(shù)列 6 分 點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的應(yīng)用 考查等差數(shù)列的求和公式 考查學(xué)生分析解決問題的能力 屬于中檔題 20 已知函數(shù) f x e x e x 2x x R 1 證明 f x 為奇函數(shù) 并在 R 上為增函數(shù) 2 若關(guān)于 x 的不等式 f x me x 2x 2m 3 在 0 上恒成立 求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 3 設(shè) g x f 2x 4bf x 當(dāng) x 0 時(shí) g x 0 求 b 的最大值 考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 專題 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 分析 1 驗(yàn)證 f x f x 再用導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證單調(diào)性 2 由 f x me x 2x 2m 3 得 ex e x 2x mex 2x 2m 3 故 m ex 2 ex e x 3 變形得 令 t e x 1 得 用基本不等式求最值 3 g x f 2x 4bf x e 2x e 2x 4b ex e x 8b 4 x 求導(dǎo)整理得 g x 2 ex e x 2 ex e x 2b 2 由于 e x e x 2 0 只對(duì)因式 ex e x 2b 2 分情況討論即可 解答 解 1 x R f x e x ex 2x ex e x 2x f x 所以 f x 為奇函數(shù) 而 f x 0 在 R 上恒成立 所以 f x 在 R 上增 2 由 f x me x 2x 2m 3 得 ex e x 2x mex 2x 2m 3 m ex 2 ex e x 3 變形得 m 只要大于或等于右邊式子的最大值即可 令 t e x 1 得 3 g x f 2x 4bf x e 2x e 2x 4b ex e x 8b 4 x g x 2 e 2x e 2x 2b ex e x 4b 2 2 e x e x 2 2b ex e x 4b 4 2 e x e x 2 ex e x 2b 2 e x e x 2 0 i 當(dāng) b 2 時(shí) 2b 2 2 e x e x 2b 2 0 g x 0 等號(hào)僅當(dāng) x 0 時(shí)成立 所以 g x 在 上單調(diào)遞增 而 g 0 0 所以對(duì)任意 x 0 g x 0 ii 當(dāng) b 2 時(shí) 2b 2 2 知人善教 提分高效 閏土教育祝您成功閏土教育祝您成功 第 14 頁(yè) 共 17 頁(yè) 若 x 滿足 2 e x e x 2b 2 即 0 x ln b 1 時(shí) g x 0 而 g 0 0 因此當(dāng) 0 x ln b 1 時(shí) g x 0 不滿足要求 綜上 b 2 故 b 的最大值為 2 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 突出分類討論的數(shù)學(xué)思想 分類的技巧是解題的關(guān)鍵 附加題附加題 21 已知在一個(gè)二階矩陣 M 的變換作用下 點(diǎn) A 2 1 變成了點(diǎn) A 3 4 點(diǎn) B 1 2 變成了點(diǎn) B 0 5 求矩陣 M 考點(diǎn) 幾種特殊的矩陣變換 專題 計(jì)算題 矩陣和變換 分析 利用待定系數(shù)法求解 先設(shè)所求的矩陣 再利用矩陣的乘法得到方程組 最后求解方程組即得 解答 解 設(shè)該二階矩陣為 M 由題意得 所以 解得 a 2 b 1 c 1 d 2 即 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二階矩陣的乘法 考查運(yùn)算能力 屬于基礎(chǔ)題 22 在極坐標(biāo)系中 已知圓 與直線相切 求實(shí)數(shù) a 的值 考點(diǎn) 簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程 專題 坐標(biāo)系和參數(shù)方程 分析 首先把極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化 進(jìn)一步利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑求出 a 的值 解答 解 已知圓 則 轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為 轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為 x y a 0 利用圓心到直線的距離 解得 a 1 或 1 點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn) 極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化 點(diǎn)到直線的距離的應(yīng)用及相關(guān)的運(yùn)算 知人善教 提分高效 閏土教育祝您成功閏土教育祝您成功 第 15 頁(yè) 共 17 頁(yè) 23 如圖 在三棱柱 ABC A1B1C1中 BA AC AB AC A1B 2 頂點(diǎn) A1在底面 ABC 上的射影恰為點(diǎn) B 1 求異面直線 AA1與 BC 所成角的大小 2 在棱 B1C1上確定一點(diǎn) P 使 AP 并求出二面角 P AB A1的平面角的正弦值 考點(diǎn) 與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題 異面直線及其所成的角 專題 空間角 分析 1 以 A 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 利用向量法能求出 AA1與棱 BC 所成的角的大小 2 分別求出平面 P AB A1的法向量和平面 ABA1的法向量 利用向量法能求出二面角 P AB A1