（全國(guó)通用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（考點(diǎn)引領(lǐng)+技巧點(diǎn)撥）第三章 三角函數(shù)、三角恒等變換及解三角形第9課時(shí) 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用.docVIP

最高考系列 高考總復(fù)習(xí)2014屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（考點(diǎn)引領(lǐng)+技巧點(diǎn)撥）第三章三角函數(shù)、三角恒等變換及解三角形第9課時(shí)三角函數(shù)的綜合應(yīng)用考情分析考點(diǎn)新知理解和掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、兩角和與差的正弦余弦與正切公式、二倍角公式及正弦定理和余弦定理，并能運(yùn)用它們解決有關(guān)三角函數(shù)的綜合問題2. b級(jí)考點(diǎn)： 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 二倍角公式 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 正弦定理和余弦定理1. (必修5p9例題4題改編)設(shè)abc的三個(gè)內(nèi)角a、b、c所對(duì)的邊分別是a、b、c，且，則a_答案：解析：由，得，即sinacosa，所以a.2. (必修4p45習(xí)題1.3第8題改編)將函數(shù)ysinx的圖象向左平移(02)個(gè)單位后，得到函數(shù)ysin的圖象，則_答案：解析：將函數(shù)ysinx向左平移(02)個(gè)單位得到函數(shù)ysin(x)只有時(shí)有ysinsin.3. (必修4p109習(xí)題3.3第6(2)題改編)tan_答案：2解析：原式2.4. (必修4p115復(fù)習(xí)題第13題改編)已知函數(shù)f(x)sinxcosxcos2x(xr)，則f(x)在區(qū)間上的值域是_答案：解析：f(x)sin2xcos2xsin.當(dāng)x時(shí)，2x，故值域?yàn)?5. 在abc中，ac，bc2，b60，則邊bc上的高為_答案：解析：由余弦定理，得7c242c，即c22c30，解得c3，所以邊bc上的高h(yuǎn)3sin60.1. 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2cos21，tan.2. 兩角和與差的正弦余弦和正切公式：sin()sincoscossin，cos()coscossinsin，tan().3. 二倍角公式：sin22sincos，cos2cos2sin22cos2112sin2，tan2.4. 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)5. 正弦定理和余弦定理：(1) 正弦定理：2r(r為三角形外接圓的半徑)(2) 余弦定理：a2b2c22bccosa，cosa.題型1三角恒等變換例1已知sin，a.(1) 求cosa的值；(2) 求函數(shù)f(x)cos2xsinasinx的值域解：(1) 因?yàn)閍，且sin，所以a0，0，yf(x)的部分圖象如圖所示，p、q分別為該圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，點(diǎn)p的坐標(biāo)為(1，a)(1) 求f(x)的最小正周期及的值；(2) 若點(diǎn)r的坐標(biāo)為(1，0)，prq，求a的值解：(1) 由題意得t6.因?yàn)閜(1，a)在yasin的圖象上，所以sin1.因?yàn)?0，所以a.已知函數(shù)f(x)sin(x)(0，0)為偶函數(shù)，且其圖象上相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離為.(1) 求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；(2) 若sinf()，求的值解：(1) f(x)為偶函數(shù)， sin(x)sin(x)，即2sinxcos0恒成立， cos0，又 0， . 又其圖象上相鄰對(duì)稱軸之間的距離為， t2， 1，f(x)cosx. (2) 原式2sincos，又 sincos， 12sincos， 即2sincos，故原式 .題型3正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用例3(2013浙江)在銳角abc中，內(nèi)角a、b、c的對(duì)邊分別為a、b、c，且2asinbb.(1) 求角a的大?。?2) 若a6，bc8，求abc的面積解：(1) 由2asinbb及正弦定理，得sina.因?yàn)閍是銳角，所以a.(2) 由余弦定理a2b2c22bccosa，得b2c2bc36.又bc8，所以bc.由三角形面積公式sbcsina，得abc的面積為.在abc中，角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，c，a5，abc的面積為10.(1) 求b，c的值；(2) 求cos的值解：(1) 由已知，c，a5，因?yàn)閟abcabsinc，即10b5sin，解得b8.由余弦定理可得：c2256480cos49, 所以c7.(2) 由(1)有cosb，由于b是三角形的內(nèi)角，易知sinb，所以coscosbcossinbsin.題型4三角函數(shù)、平面向量、解三角形的綜合應(yīng)用例4已知向量m與n(3，sinacosa)共線，其中a是abc的內(nèi)角(1) 求角a的大小；(2) 若bc2，求abc面積s的最大值，并判斷s取得最大值時(shí)abc的形狀解：(1) 因?yàn)閙n，所以sina(sinacosa)0.所以sin2a0，即sin2acos2a1，即sin1.因?yàn)閍(0，)，所以2a.故2a，a.(2) 由余弦定理，得4b2c2bc.又sabcbcsinabc，而b2c22bcbc42bcbc4(當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)等號(hào)成立)，所以sabcbcsinabc4.當(dāng)abc的面積取最大值時(shí)，bc.又a，故此時(shí)abc為等邊三角形已知abc的角a、b、c所對(duì)的邊分別是a、b、c，設(shè)向量m(a，b)，n(sin b，sin a)，p(b2，a2)(1) 若mn，求證：abc為等腰三角形；(2) 若mp，邊長(zhǎng)c2，角c，求abc的面積(1) 證明： mn， asin absin b，即ab，其中r是abc外接圓半徑， ab. abc為等腰三角形(2) 解：由題意可知mp0，即a(b2)b(a2)0. abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40，ab4(舍去ab1)， sabsin c4sin .在已知值求角中，應(yīng)合理選擇三角函數(shù)形式進(jìn)行求解，避免增根【示例】(本題模擬高考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，滿分14分)若sin，sin，且、均為銳角，求的值學(xué)生錯(cuò)解：解： 為銳角， cos.又為銳角， cos. sin()sincoscossin，由于090，090， 0180，故45或135.審題引導(dǎo)： 在已知值求角中，角的范圍常常被忽略或不能發(fā)現(xiàn)隱含的角的大小關(guān)系而出現(xiàn)增根不能排除要避免上述情況的發(fā)生，應(yīng)合理選擇三角函數(shù)形式進(jìn)行求解，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，估算出角的較精確的取值范圍，并不斷縮小角的范圍，在選擇三角函數(shù)公式時(shí)，一般已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)，已知正余弦函數(shù)值時(shí)，若角在(0，)時(shí)，一般選余弦函數(shù)，若是，則一般選正弦函數(shù)規(guī)范解答： 解： 為銳角， cos.(2分)又為銳角， cos.(4分)且cos()coscossinsin，(10分)由于0，0，所以0，因?yàn)閥cosx在上是單調(diào)遞減函數(shù)，故.(14分)錯(cuò)因分析： 沒有注意挖掘題目中的隱含條件，忽視了對(duì)角的范圍的限制，造成出錯(cuò)事實(shí)上，僅由sin()，0180而得到45或135是正確的，但題設(shè)中sin，sin，使得030，030從而060，故上述結(jié)論是錯(cuò)誤的在已知值求角中，應(yīng)合理選擇三角函數(shù)形式進(jìn)行求解，避免增根本題中00，所以c.根據(jù)正弦定理可得，即2，所以sina.因?yàn)閍bbc，所以ac，所以a，即b，所以三角形為直角三角形，所以sabc1.4. (2013新課標(biāo)卷)設(shè)當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)sinx2cosx取得最大值，則cos_答案：解析： f(x)sinx2cosx.令cos，sin，則f(x)(sinxcossincosx)sin(x)，當(dāng)x2k，kz，即x2k，kz時(shí)，f(x)取最大值，此時(shí)2k，kz， coscossin.1. (2014揚(yáng)州期末)在銳角abc中，角a、b、c所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c.向量m(1，cosb)，n(sinb，)，且mn.(1) 求角b的大??；(2) 若abc面積為10，b7，求此三角形周長(zhǎng)解：(1) mnsinbcosb， mn， mn0， sinbcosb0. abc為銳角三角形， cosb0， tanb. 0b， b.(2) sabcacsinbac，由題設(shè)ac10，得ac40.由72a2c22accosb，得49a2c2ac， (ac)2(a2c2ac)3ac49120169. ac13， 三角形周長(zhǎng)是20.2. 在abc中， a、b、c分別是角a、b、c的對(duì)邊，abc的周長(zhǎng)為2，且sinasinbsinc.(1) 求邊c的長(zhǎng)；(2) 若abc的面積為sinc，求角c的度數(shù)解：(1) 在abc中， sinasinbsinc，由正弦定理，得abc ， abccc(1)c2. ab2，c.(2) 在abc中， sabcabsincsinc， ab ，即ab.又ab2，在abc中，由余弦定理，得cosc，又在abc中c(0，)， c60.3. (2013湖北卷)在abc中，角a、b、c對(duì)應(yīng)的邊分別是a、b、c.已知cos2a3cos(bc)1.(1) 求角a的大?。?2) 若abc的面積s5，b5，求sinbsinc的值解：(1) 由已知條件得：cos2a3cosa1， 2cos2a3cosa20，解得cosa， a60.(2) sbcsina5c4，由余弦定理，得a221，(2r)228， sinbsinc.4. (2013北京卷)在abc中，a3，b2，b2a.(1) 求cosa的值；(2) 求c的值解：(1) 因?yàn)閍3，b2，b2a.所以在abc中，由正弦定理得.所以.故cosa. (2) 由(1)知cosa，所以sina.又因?yàn)閎2a，所以cosb2cos2a1.所以sinb. 在abc中，sincsin(ab)sinacosbcosasinb. 所以c5. 1. 三角變換的基本策略是化異為同，即將函數(shù)名稱、角、次數(shù)等化異為同2. 對(duì)于函數(shù)yasin(x)b，常用“五點(diǎn)法”畫圖象，運(yùn)用整體思想研究