遼寧省瓦房店市第八初級中學(xué)八年級數(shù)學(xué)下冊《18.1 勾股定理（三）》教案 新人教版.doc

18.2 勾股定理的逆定理(三)教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能 能運用勾股定理的逆定理解決簡單的實際問題二、過程與方法1經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為敷學(xué)模型的過程，體會用勾股定理的逆定理解決實際問題的方法，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用章識2在解決實際問題的過程中，體驗解決問題的策略，發(fā)展學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新精神3在解決實際問題的過程中，學(xué)會與人合作，并能與他人交流思維過程和結(jié)果，形成反思的意識三、情感態(tài)度與價值觀1在用勾股定理的逆定理探索解決實際問題的過程中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心2在解決實際問題的過程中，形成實事求是的態(tài)度以及進(jìn)行質(zhì)疑和獨立思考問題的習(xí)慣教學(xué)重點 運用勾股定理的逆定理解決實際問題教學(xué)難點 將實際問題轉(zhuǎn)化成用勾股定理的逆定理解決的數(shù)學(xué)問題教具準(zhǔn)備 多媒體課件教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 活動1問題1：小紅和小軍周日去郊外放風(fēng)箏，風(fēng)箏飛得又高又遠(yuǎn)，他倆很想知道風(fēng)箏離地面到底有多高，你能幫助他們嗎?問題2：如下圖所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要檢測正面的ad邊和bc邊是否垂直于底邊ab，但他隨身只帶了卷尺 (1)你能替他想想辦法完成任務(wù)嗎? (2)李叔叔量得ad的長是30厘米，ab的長是40厘米，bd的長是50厘米，ad邊垂直于ab邊嗎? (3)小明隨身只有一個長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗ad邊是否垂直于ab邊嗎?bc邊與ab邊呢? 設(shè)計意圖： 通過對兩個實際問題的探究，讓學(xué)生進(jìn)一步體會到勾股定理和勾股定理的逆定理在實際生活中的廣泛應(yīng)用，提高學(xué)生的應(yīng)用意識，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神和應(yīng)用能力 在將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題時，肯定要有一定的困難，教師要給學(xué)生充分的時間和空間去思考，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑 師生行為： 先由學(xué)生自主獨立思考，然后分組討論，交流各自的想法 教師應(yīng)深入到學(xué)生的討論中去，對于學(xué)生出現(xiàn)的問題，教師急時給予引導(dǎo) 在此活動中，教師應(yīng)重點關(guān)注學(xué)生， 能否獨立思考，尋找解決問題的途徑 能否積極主動地參加小組活動，與小組成員充分交流，且能靜心聽取別人的想法 能否由此活動，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣生：對于問題1，我們組是這樣考慮的：小紅拉著風(fēng)箏站在原地，小軍到風(fēng)箏的正下方也就是說小軍的頭頂就是風(fēng)箏小紅放線，使線端到達(dá)他所站的位置，然后在線端做一記號，最后收回風(fēng)箏，量出放出的風(fēng)箏線的總長度ab，再量出小明和小軍所站位置的兩點間的距離bc，利用勾股定理便可以求出ab的長度(如下圖所示) 生：對于問題2，我們組是這樣考慮的：李叔叔隨身只帶卷尺檢測ad，bc是否與底邊垂直，也就是要檢測dab90，cba90，連接bd或ac，也就是要檢測dab和cba是否為直角三角形很顯然，這是一個需要用勾股定理的逆定理來解決的實際問題 根據(jù)我們的分析，用勾股定理的逆定理來解決，要檢測da月是否為直角三角形，即dab90，李叔叔只需用卷尺分別量出ab，bd、da的長度，然后計算ab2da2和bd2，看他們是否相等，若相等，則說明adab，同理可檢測bc是否垂直于ab 師：很好，對于問題2中的第(2)個小問題，李叔叔已量得ad，ab，bd的長度，根據(jù)他量出的長度能說明da和ab垂直嗎? 生：可以，因為ad2ab23024022500，而bd22500，所以ad2ab2bd2可得ad與ab垂直 師：小明帶的刻度尺長度只有20厘米，他有辦法檢驗ad與ab邊的垂直嗎? 生：可以利用分段相加的方法量出ad，ab，bd的長度 生：這樣做誤差太大，可以ab，ad上各量一段較小的長度例如在ab邊上量一小段ae8cm，在ad邊上量一小段af6cm，而ae2af282626436100102，這時只要量一下ef是否等于10cm即可 如果ef10cm，ef2100，則有ae2af2ef2，根據(jù)勾股定理的逆定理可知aef是直角三角形，eaf90即dab90所以adab；如果ef10cm，則ef2100，所以ae2af2ef2，aef不是直角三角形，即ad不垂直于ab 師：看來，同學(xué)們方法還真多，沒有被困難嚇倒，祝賀你們 接下來，我們繼續(xù)用勾股定理的逆定理解決幾個問題二、講授新課活動2 問題：例1判斷由線段a、b、c組成的三角形是不是直角三角形 (1)a15，b8，c17； (2)a13，b14，c15； (3)求證：m2n2，m2n2，2mn(mn，m，n是正整數(shù))是直角三角形的三條邊長 設(shè)計意圖： 進(jìn)一步讓學(xué)生體會用勾股定理的逆定理，實現(xiàn)數(shù)和形的統(tǒng)一，第(3)題又讓學(xué)生從一次從一般形式上去認(rèn)識勾股數(shù)，如果能讓學(xué)生熟記幾組勾股數(shù)，我們在判斷三角形的形狀時，就可以避開很麻煩的運算 師生行為： 先由學(xué)生獨立完成，然后小組交流 教師應(yīng)巡視學(xué)生解決問題的過程，對成績較差的同學(xué)給予指導(dǎo) 在此活動中，教師應(yīng)重點關(guān)注學(xué)生： 能否用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀。 能否發(fā)現(xiàn)問題，反思后及時糾正 能否積極主動地與同學(xué)交流意見 生：根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方 解：(1)因為1528222564289， 172289， 所以15282172，這個三角形是直角三角形 (2)因為132142169196365 152225 所以132142152這個三角形不是直角三角形 生：要證明它們是直角三角形的三邊，首先應(yīng)判斷這三條線段是否組成三角形，然后再根據(jù)勾股定理的逆定理來判斷它們是否是直角三角形的三邊長 (3)證明： mn、m、n是正整數(shù) (m2n2)(m2n2)2m22mn， 即(m2n2)(m2n2)2mn 又因為(m2n2)2mnm2n(2mn)， 而2mnm(mn)0， 所以(m2n2)2mnm2n2 這三條線段能組成三角形 又因為(m2n2)2m4n42m2n2 (m2n2)2m4n42m2n2 (2mn)24m2n2， 所以(m2n2)2(2mn)2 m4n42m2n24m2n2 m4n42m2n2 (m2n2)2 所以，此三角形是直角三角形，m2n2、2mn、m2n2(mn、m、n是正整數(shù))這三邊是直角三角形的三邊 師：我們把像15、8、7這樣，能夠成為三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù) 而且我們不難發(fā)現(xiàn)m2n2、m2n2、2mn也是一組勾股數(shù)，而且這組勾股數(shù)由于m可取值的不同會得到不同的勾股數(shù)， 例如m2，n1時，m2n222123，m2n222125，2mn2214，而3、4、5就是一組勾股數(shù) 你還能找到不同的勾股數(shù)嗎? 生：當(dāng)m3，n2時，m2n232225，m2n213，2mn23212，所以5、12、13也是一組勾股數(shù)， 當(dāng)m4，n2時，m2n2422212，m2n220，2mn24216，所以12、16、20也是一組勾股數(shù) 師：由此我們發(fā)現(xiàn)，勾股數(shù)組有無數(shù)個，而上面介紹的就是尋找勾股數(shù)組的一種方法 17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家費馬也研究了勾股數(shù)組的問題，并且在這個問題的啟發(fā)下，想到了一個更一般的問題，1637年，他提出了數(shù)學(xué)史上的一個著名猜想費馬大定理，即當(dāng)n2時，找不到任何的正整數(shù)組，使等式xnynzn成立，費馬大定理公布以后，引起了各國優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的關(guān)注，他們圍繞著這個定理頑強地探索著，試圖來證明它1995年，英籍?dāng)?shù)學(xué)家懷爾斯終于證明了費馬大定理，解開了這個困惑世間無數(shù)智者300多年的謎 活動3 問題：例2“遠(yuǎn)航”號，“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里，它們離開港口一個半小時后相距30海里，如果知道“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎? 設(shè)計意圖： 讓學(xué)生體會勾股定理的逆定理在航海中的應(yīng)用，從而樹立遠(yuǎn)大理想，更進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)的實用價值， 師生行為： 教師先鼓勵學(xué)生根據(jù)題意畫出圖形，然后小組內(nèi)交流討淪，教師需巡視，對有困難的學(xué)生一個啟示，幫助他們尋找解題的途徑 在此活動中，教師應(yīng)重點關(guān)注： 學(xué)生能否根據(jù)題意畫出圖形 學(xué)生能否積極主動地參與活動 學(xué)生是否充滿信心解決問題生：我們根據(jù)題意畫出圖形，(如下圖)，可以看到，由于“遠(yuǎn)航”號的航向已知，如果求出兩艘輪船的航向所成的角，就能知道“海天”號的航向了解：根據(jù)題意畫出下圖 pq161.524， pr121.518，qa30 因為242182302，即pq2pr2qr2 所以qpr90 由“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行可知，qps45，所以rps45，即“海天”號沿西北或東南方向航行 三、鞏固提高 活動4問題：a、b、c三地兩兩距離如下圖所示，a地在b地的正東方向，c地在b地的什么方向? 設(shè)計意圖： 進(jìn)一步熟練掌握勾股定理的逆定理的應(yīng)用 師生行為： 由學(xué)生獨立完成后，由一個學(xué)生板演，教師講解 解：bc2ab252122169， ac2132169， 所以bc2ab2ac2，即bc的方向與ba方向成直角，abc90，c地應(yīng)在b地的正北方向四，課時小結(jié)活動5 問題：談?wù)勥@節(jié)課的收獲有哪些?掌握勾股定理及逆定理，來解決簡單的應(yīng)用題，會判斷一個三角形是直角三角形 設(shè)計意圖： 這種形式的小結(jié)，激發(fā)了學(xué)生的主動參與意識，調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為每一位學(xué)生都創(chuàng)造了在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中獲得成功體驗的機(jī)會 師生行為： 教師課前可準(zhǔn)備一組小卡片，卡片上寫上針對這節(jié)課內(nèi)容不同形式的小問題，請同學(xué)們抽簽回答板書設(shè)計 182 勾股定理的逆定理(三)1勾股定理的逆定理一實際問題(判定直角三角形的形狀)2勾股數(shù)組3在實際生活中的應(yīng)用活動與探究 如下圖，在正方形abcd中e是bc的中點，f為cd上一點，且cfcd求證：aef是直角三角形過程：要證aef是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要證ae2ef2af2即可 利用代數(shù)方法(即勾股定理的逆定理)計算三角形的三邊長，看它們是否是勾股數(shù)，以判斷三角形是否是直角三角形，這是解決幾何問題常用的方法之一 結(jié)果：設(shè)正方形abcd的邊長是a，則becea，cf a，df a，在rtabe中，由勾股定理得 ae2ab2bf2a2(a)2a2同理，在rtadf中，af2ad2df2a2(a)2a2，在rtcef中，ef2ce2cf2(a)2(a)2a2 所以，af2ae2ef2 所以，aef是直角三角形習(xí)題詳解 習(xí)題182 1解：(1)a249，b2576，c2625 a2b249576625c2625 所以，a2b2c2，根據(jù)勾股定理的逆定理，得由線段a7，b24，c25能組成直角三角形 (2)a22.25，b24，c26.25， 而a2b22.2546.25， 所以，a2b2c2，根據(jù)勾股定理的逆定理，得由線段a1.5，b2，c2.5可組成直角三角形(3)a2，b21，c2，b2c21即，a2b2c2，所以，以a，b1，c 為邊可組成直角三角形 (4)a21600，b22500，c23600 而a2b241003600，即a2b2c2，不能構(gòu)成直角三角形2，(1)逆命題：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補此逆命題成立 (2)逆命題：如果兩個角相等，那么這兩個角走直角此逆命題不成立 (3)逆命題：如果兩個三角形三邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等此逆命題成立 (4)逆命題：已知兩個數(shù)，如果它們的平方相等，則這兩個數(shù)也相等此逆命題不成立3解：根據(jù)題意，如下圖所示ab80m，bc60m，ca100m因為，8026021002，即ab2bc2ac2，所以abc為rt，即小明向東走了80m后又向北或向南走了60m，最后回到原地(a點)4解：a24m2，b2(m21)2m42m21，c2(m21)2m42m21，而a2b2m2m42m21m42m21所以a2b2c2，即a、b、c為勾股數(shù) 當(dāng)m2時，可得一組勾股數(shù)：4、3、5； 當(dāng)m3時，可得一組勾股數(shù)：6、8、lo； 當(dāng)m4時，可得一組勾股數(shù)，