物理學(xué)答案(第五版,上冊(cè))馬文蔚.doc

2 -1如圖(a)所示,質(zhì)量為m 的物體用平行于斜面的細(xì)線聯(lián)結(jié)置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速運(yùn)動(dòng),當(dāng)物體剛脫離斜面時(shí),它的加速度的大小為()(A) gsin (B) gcos (C) gtan (D) gcot 分析與解當(dāng)物體離開(kāi)斜面瞬間,斜面對(duì)物體的支持力消失為零,物體在繩子拉力F (其方向仍可認(rèn)為平行于斜面)和重力作用下產(chǎn)生平行水平面向左的加速度a,如圖(b)所示,由其可解得合外力為mgcot ,故選(D)求解的關(guān)鍵是正確分析物體剛離開(kāi)斜面瞬間的物體受力情況和狀態(tài)特征 2 -2用水平力FN把一個(gè)物體壓著靠在粗糙的豎直墻面上保持靜止當(dāng)FN逐漸增大時(shí),物體所受的靜摩擦力Ff的大小()(A) 不為零,但保持不變(B) 隨FN成正比地增大(C) 開(kāi)始隨FN增大,達(dá)到某一最大值后,就保持不變(D) 無(wú)法確定分析與解與滑動(dòng)摩擦力不同的是,靜摩擦力可在零與最大值FN范圍內(nèi)取值當(dāng)FN增加時(shí),靜摩擦力可取的最大值成正比增加,但具體大小則取決于被作用物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由題意知,物體一直保持靜止?fàn)顟B(tài),故靜摩擦力與重力大小相等,方向相反,并保持不變,故選(A)2 -3一段路面水平的公路,轉(zhuǎn)彎處軌道半徑為R,汽車輪胎與路面間的摩擦因數(shù)為,要使汽車不至于發(fā)生側(cè)向打滑,汽車在該處的行駛速率()(A) 不得小于(B) 必須等于(C) 不得大于 (D) 還應(yīng)由汽車的質(zhì)量m 決定分析與解由題意知,汽車應(yīng)在水平面內(nèi)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng),為保證汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)不側(cè)向打滑,所需向心力只能由路面與輪胎間的靜摩擦力提供,能夠提供的最大向心力應(yīng)為FN由此可算得汽車轉(zhuǎn)彎的最大速率應(yīng)為vRg因此只要汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)的實(shí)際速率不大于此值,均能保證不側(cè)向打滑應(yīng)選(C)2 -4一物體沿固定圓弧形光滑軌道由靜止下滑,在下滑過(guò)程中,則()(A) 它的加速度方向永遠(yuǎn)指向圓心,其速率保持不變(B) 它受到的軌道的作用力的大小不斷增加(C) 它受到的合外力大小變化,方向永遠(yuǎn)指向圓心(D) 它受到的合外力大小不變,其速率不斷增加分析與解由圖可知,物體在下滑過(guò)程中受到大小和方向不變的重力以及時(shí)刻指向圓軌道中心的軌道支持力FN作用,其合外力方向并非指向圓心,其大小和方向均與物體所在位置有關(guān)重力的切向分量(m gcos ) 使物體的速率將會(huì)不斷增加(由機(jī)械能守恒亦可判斷),則物體作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力(又稱法向力)將不斷增大,由軌道法向方向上的動(dòng)力學(xué)方程可判斷,隨 角的不斷增大過(guò)程,軌道支持力FN也將不斷增大,由此可見(jiàn)應(yīng)選(B)2 -5圖(a)示系統(tǒng)置于以a 1/4 g 的加速度上升的升降機(jī)內(nèi),A、B 兩物體質(zhì)量相同均為m,A 所在的桌面是水平的,繩子和定滑輪質(zhì)量均不計(jì),若忽略滑輪軸上和桌面上的摩擦,并不計(jì)空氣阻力,則繩中張力為()(A) 58 mg(B) 12 mg(C) mg(D) 2mg分析與解本題可考慮對(duì)A、B 兩物體加上慣性力后,以電梯這個(gè)非慣性參考系進(jìn)行求解此時(shí)A、B 兩物體受力情況如圖(b)所示,圖中a為A、B 兩物體相對(duì)電梯的加速度,ma為慣性力對(duì)A、B 兩物體應(yīng)用牛頓第二定律,可解得F 5/8 mg故選(A)討論對(duì)于習(xí)題2 -5 這種類型的物理問(wèn)題,往往從非慣性參考系(本題為電梯)觀察到的運(yùn)動(dòng)圖像較為明確,但由于牛頓定律只適用于慣性參考系,故從非慣性參考系求解力學(xué)問(wèn)題時(shí),必須對(duì)物體加上一個(gè)虛擬的慣性力如以地面為慣性參考系求解,則兩物體的加速度aA 和aB 均應(yīng)對(duì)地而言,本題中aA 和aB的大小與方向均不相同其中aA 應(yīng)斜向上對(duì)aA 、aB 、a 和a之間還要用到相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律,求解過(guò)程較繁有興趣的讀者不妨自己嘗試一下2 -6圖示一斜面,傾角為,底邊AB 長(zhǎng)為l 2.1 m,質(zhì)量為m 的物體從題2 -6 圖斜面頂端由靜止開(kāi)始向下滑動(dòng),斜面的摩擦因數(shù)為0.14試問(wèn),當(dāng)為何值時(shí),物體在斜面上下滑的時(shí)間最短？ 其數(shù)值為多少？分析動(dòng)力學(xué)問(wèn)題一般分為兩類：(1) 已知物體受力求其運(yùn)動(dòng)情況；(2) 已知物體的運(yùn)動(dòng)情況來(lái)分析其所受的力當(dāng)然,在一個(gè)具體題目中,這兩類問(wèn)題并無(wú)截然的界限,且都是以加速度作為中介,把動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律聯(lián)系起來(lái)本題關(guān)鍵在列出動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程后,解出傾角與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系f(t),然后運(yùn)用對(duì)t 求極值的方法即可得出數(shù)值來(lái)解取沿斜面為坐標(biāo)軸Ox,原點(diǎn)O 位于斜面頂點(diǎn),則由牛頓第二定律有 (1)又物體在斜面上作勻變速直線運(yùn)動(dòng),故有則 (2)為使下滑的時(shí)間最短,可令,由式(2)有則可得 ,此時(shí) 2 -7工地上有一吊車,將甲、乙兩塊混凝土預(yù)制板吊起送至高空甲塊質(zhì)量為m1 2.00 102 kg,乙塊質(zhì)量為m2 1.00 102 kg設(shè)吊車、框架和鋼絲繩的質(zhì)量不計(jì)試求下述兩種情況下,鋼絲繩所受的張力以及乙塊對(duì)甲塊的作用力：(1) 兩物塊以10.0 m-2 的加速度上升；(2) 兩物塊以1.0 m-2 的加速度上升從本題的結(jié)果,你能體會(huì)到起吊重物時(shí)必須緩慢加速的道理嗎？分析預(yù)制板、吊車框架、鋼絲等可視為一組物體處理動(dòng)力學(xué)問(wèn)題通常采用“隔離體”的方法,分析物體所受的各種作用力,在所選定的慣性系中列出它們各自的動(dòng)力學(xué)方程根據(jù)連接體中物體的多少可列出相應(yīng)數(shù)目的方程式結(jié)合各物體之間的相互作用和聯(lián)系,可解決物體的運(yùn)動(dòng)或相互作用力解按題意,可分別取吊車(含甲、乙)和乙作為隔離體,畫(huà)示力圖,并取豎直向上為Oy 軸正方向(如圖所示)當(dāng)框架以加速度a 上升時(shí),有F -(m1 m2 )g (m1 m2 )a (1)FN2 - m2 g m2 a (2)解上述方程,得F (m1 m2 )(g a) (3)FN2 m2 (g a) (4)(1) 當(dāng)整個(gè)裝置以加速度a 10 m-2 上升時(shí),由式(3)可得繩所受張力的值為F 5.94 103 N乙對(duì)甲的作用力為FN2 -FN2 -m2 (g a) -1.98 103 N(2) 當(dāng)整個(gè)裝置以加速度a 1 m-2 上升時(shí),得繩張力的值為F 3.24 103 N此時(shí),乙對(duì)甲的作用力則為FN2 -1.08 103 N由上述計(jì)算可見(jiàn),在起吊相同重量的物體時(shí),由于起吊加速度不同,繩中所受張力也不同,加速度大,繩中張力也大因此,起吊重物時(shí)必須緩慢加速,以確保起吊過(guò)程的安全2 -8如圖(a)所示,已知兩物體A、B 的質(zhì)量均為m 3.0kg 物體A 以加速度a 1.0 m-2 運(yùn)動(dòng),求物體B 與桌面間的摩擦力(滑輪與連接繩的質(zhì)量不計(jì))分析該題為連接體問(wèn)題,同樣可用隔離體法求解分析時(shí)應(yīng)注意到繩中張力大小處處相等是有條件的,即必須在繩的質(zhì)量和伸長(zhǎng)可忽略、滑輪與繩之間的摩擦不計(jì)的前提下成立同時(shí)也要注意到張力方向是不同的解分別對(duì)物體和滑輪作受力分析圖(b)由牛頓定律分別對(duì)物體A、B 及滑輪列動(dòng)力學(xué)方程,有mA g -F mA a (1)F1 -F mB a (2)F -2F1 0 (3)考慮到mA mB m, F F , F1 F1 ,a2a,可聯(lián)立解得物體與桌面的摩擦力討論動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一般解題步驟可分為：(1) 分析題意,確定研究對(duì)象,分析受力,選定坐標(biāo)；(2) 根據(jù)物理的定理和定律列出原始方程組；(3) 解方程組,得出文字結(jié)果；(4) 核對(duì)量綱,再代入數(shù)據(jù),計(jì)算出結(jié)果來(lái)2 -9質(zhì)量為m的長(zhǎng)平板A 以速度v在光滑平面上作直線運(yùn)動(dòng),現(xiàn)將質(zhì)量為m 的木塊B 輕輕平穩(wěn)地放在長(zhǎng)平板上,板與木塊之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為,求木塊在長(zhǎng)平板上滑行多遠(yuǎn)才能與板取得共同速度？分析當(dāng)木塊B 平穩(wěn)地輕輕放至運(yùn)動(dòng)著的平板A 上時(shí),木塊的初速度可視為零,由于它與平板之間速度的差異而存在滑動(dòng)摩擦力,該力將改變它們的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)根據(jù)牛頓定律可得到它們各自相對(duì)地面的加速度換以平板為參考系來(lái)分析,此時(shí),木塊以初速度-v(與平板運(yùn)動(dòng)速率大小相等、方向相反)作勻減速運(yùn)動(dòng),其加速度為相對(duì)加速度,按運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可解得 該題也可應(yīng)用第三章所講述的系統(tǒng)的動(dòng)能定理來(lái)解將平板與木塊作為系統(tǒng),該系統(tǒng)的動(dòng)能由平板原有的動(dòng)能變?yōu)槟緣K和平板一起運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能,而它們的共同速度可根據(jù)動(dòng)量定理求得又因?yàn)橄到y(tǒng)內(nèi)只有摩擦力作功,根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)能定理,摩擦力的功應(yīng)等于系統(tǒng)動(dòng)能的增量木塊相對(duì)平板移動(dòng)的距離即可求出解1以地面為參考系,在摩擦力F mg 的作用下,根據(jù)牛頓定律分別對(duì)木塊、平板列出動(dòng)力學(xué)方程F mg ma1F -F ma2a1 和a2 分別是木塊和木板相對(duì)地面參考系的加速度若以木板為參考系,木塊相對(duì)平板的加速度a a1 a2 ,木塊相對(duì)平板以初速度- v作勻減速運(yùn)動(dòng)直至最終停止由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有- v2 2as由上述各式可得木塊相對(duì)于平板所移動(dòng)的距離為解2以木塊和平板為系統(tǒng),它們之間一對(duì)摩擦力作的總功為W F (s l) -Fl mgs式中l(wèi) 為平板相對(duì)地面移動(dòng)的距離由于系統(tǒng)在水平方向上不受外力,當(dāng)木塊放至平板上時(shí),根據(jù)動(dòng)量守恒定律,有mv(mm) v由系統(tǒng)的動(dòng)能定理,有由上述各式可得2 -10如圖(a)所示,在一只半徑為R 的半球形碗內(nèi),有一粒質(zhì)量為m 的小鋼球,當(dāng)小球以角速度在水平面內(nèi)沿碗內(nèi)壁作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),它距碗底有多高？分析維持鋼球在水平面內(nèi)作勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),必須使鋼球受到一與向心加速度相對(duì)應(yīng)的力(向心力),而該力是由碗內(nèi)壁對(duì)球的支持力FN 的分力來(lái)提供的,由于支持力FN 始終垂直于碗內(nèi)壁,所以支持力的大小和方向是隨而變的取圖示Oxy 坐標(biāo),列出動(dòng)力學(xué)方程,即可求解鋼球距碗底的高度解取鋼球?yàn)楦綦x體,其受力分析如圖(b)所示在圖示坐標(biāo)中列動(dòng)力學(xué)方程 (1) (2)且有 (3)由上述各式可解得鋼球距碗底的高度為可見(jiàn),h 隨的變化而變化2 -11火車轉(zhuǎn)彎時(shí)需要較大的向心力,如果兩條鐵軌都在同一水平面內(nèi)(內(nèi)軌、外軌等高),這個(gè)向心力只能由外軌提供,也就是說(shuō)外軌會(huì)受到車輪對(duì)它很大的向外側(cè)壓力,這是很危險(xiǎn)的因此,對(duì)應(yīng)于火車的速率及轉(zhuǎn)彎處的曲率半徑,必須使外軌適當(dāng)?shù)馗叱鰞?nèi)軌,稱為外軌超高現(xiàn)有一質(zhì)量為m 的火車,以速率v 沿半徑為R 的圓弧軌道轉(zhuǎn)彎,已知路面傾角為,試求：(1) 在此條件下,火車速率v0 為多大時(shí),才能使車輪對(duì)鐵軌內(nèi)外軌的側(cè)壓力均為零？ (2) 如果火車的速率vv0 ,則車輪對(duì)鐵軌的側(cè)壓力為多少？分析如題所述,外軌超高的目的欲使火車轉(zhuǎn)彎的所需向心力僅由軌道支持力的水平分量FNsin 提供(式中 角為路面傾角)從而不會(huì)對(duì)內(nèi)外軌產(chǎn)生擠壓與其對(duì)應(yīng)的是火車轉(zhuǎn)彎時(shí)必須以規(guī)定的速率v0行駛當(dāng)火車行駛速率vv0 時(shí),則會(huì)產(chǎn)生兩種情況：如圖所示,如vv0 時(shí),外軌將會(huì)對(duì)車輪產(chǎn)生斜向內(nèi)的側(cè)壓力F1 ,以補(bǔ)償原向心力的不足,如vv0時(shí),則內(nèi)軌對(duì)車輪產(chǎn)生斜向外的側(cè)壓力F2 ,以抵消多余的向心力,無(wú)論哪種情況火車都將對(duì)外軌或內(nèi)軌產(chǎn)生擠壓由此可知,鐵路部門為什么會(huì)在每個(gè)鐵軌的轉(zhuǎn)彎處規(guī)定時(shí)速,從而確保行車安全解(1) 以火車為研究對(duì)象,建立如圖所示坐標(biāo)系據(jù)分析,由牛頓定律有 (1) (2)解(1)(2)兩式可得火車轉(zhuǎn)彎時(shí)規(guī)定速率為(2) 當(dāng)vv0 時(shí),根據(jù)分析有 (3) (4)解(3)(4)兩式,可得外軌側(cè)壓力為當(dāng)vv0 時(shí),根據(jù)分析有 (5) (6)解(5)(6)兩式,可得內(nèi)軌側(cè)壓力為2 -12一雜技演員在圓筒形建筑物內(nèi)表演飛車走壁設(shè)演員和摩托車的總質(zhì)量為m,圓筒半徑為R,演員騎摩托車在直壁上以速率v 作勻速圓周螺旋運(yùn)動(dòng),每繞一周上升距離為h,如圖所示求壁對(duì)演員和摩托車的作用力分析雜技演員(連同摩托車)的運(yùn)動(dòng)可以看成一個(gè)水平面內(nèi)的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)和一個(gè)豎直向上勻速直線運(yùn)動(dòng)的疊加其旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋線軌跡展開(kāi)后,相當(dāng)于如圖(b)所示的斜面把演員的運(yùn)動(dòng)速度分解為圖示的v1 和v2 兩個(gè)分量,顯然v1是豎直向上作勻速直線運(yùn)動(dòng)的分速度,而v2則是繞圓筒壁作水平圓周運(yùn)動(dòng)的分速度,其中向心力由筒壁對(duì)演員的支持力FN 的水平分量FN2 提供,而豎直分量FN1 則與重力相平衡如圖(c)所示,其中角為摩托車與筒壁所夾角運(yùn)用牛頓定律即可求得筒壁支持力的大小和方向解設(shè)雜技演員連同摩托車整體為研究對(duì)象,據(jù)(b)(c)兩圖應(yīng)有 (1) (2) (3) (4)以式(3)代入式(2),得 (5)將式(1)和式(5)代入式(4),可求出圓筒壁對(duì)雜技演員的作用力(即支承力)大小為與壁的夾角為討論表演飛車走壁時(shí),演員必須控制好運(yùn)動(dòng)速度,行車路線以及摩托車的方位,以確保三者之間滿足解題用到的各個(gè)力學(xué)規(guī)律2 -13一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng),其受力如圖所示,設(shè)t 0 時(shí),v05m-1 ,x02 m,質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量m 1kg,試求該質(zhì)點(diǎn)7末的速度和位置坐標(biāo)分析首先應(yīng)由題圖求得兩個(gè)時(shí)間段的F(t)函數(shù),進(jìn)而求得相應(yīng)的加速度函數(shù),運(yùn)用積分方法求解題目所問(wèn),積分時(shí)應(yīng)注意積分上下限的取值應(yīng)與兩時(shí)間段相應(yīng)的時(shí)刻相對(duì)應(yīng) 解由題圖得由牛頓定律可得兩時(shí)間段質(zhì)點(diǎn)的加速度分別為對(duì)0 t 5 時(shí)間段,由得積分后得 再由得積分后得將t 5 代入,得v530 m-1 和x5 68.7 m對(duì)5t 7 時(shí)間段,用同樣方法有得 再由 得x 17.5t2 -0.83t3 -82.5t 147.87將t 7代入分別得v740 m-1 和x7 142 m2 -14一質(zhì)量為10 kg 的質(zhì)點(diǎn)在力F 的作用下沿x 軸作直線運(yùn)動(dòng),已知F 120t 40,式中F 的單位為N,t 的單位的在t 0 時(shí),質(zhì)點(diǎn)位于x 5.0 m處,其速度v06.0 m-1 求質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和位置分析這是在變力作用下的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題由于力是時(shí)間的函數(shù),而加速度adv/dt,這時(shí),動(dòng)力學(xué)方程就成為速度對(duì)時(shí)間的一階微分方程,解此微分方程可得質(zhì)點(diǎn)的速度v (t)；由速度的定義vdx /dt,用積分的方法可求出質(zhì)點(diǎn)的位置解因加速度adv/dt,在直線運(yùn)動(dòng)中,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律有依據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件,即t0 0 時(shí)v0 6.0 m-1 ,運(yùn)用分離變量法對(duì)上式積分,得v6.0+4.0t+6.0t2 又因vdx /dt,并由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件：t0 0 時(shí)x0 5.0 m,對(duì)上式分離變量后積分,有x 5.0+6.0t+2.0t2 +2.0t32 -15輕型飛機(jī)連同駕駛員總質(zhì)量為1.0 103 kg飛機(jī)以55.0 m-1 的速率在水平跑道上著陸后,駕駛員開(kāi)始制動(dòng),若阻力與時(shí)間成正比,比例系數(shù)5.0 102 N-1 ,空氣對(duì)飛機(jī)升力不計(jì),求：(1) 10后飛機(jī)的速率；(2) 飛機(jī)著陸后10內(nèi)滑行的距離分析飛機(jī)連同駕駛員在水平跑道上運(yùn)動(dòng)可視為質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)其水平方向所受制動(dòng)力F 為變力,且是時(shí)間的函數(shù)在求速率和距離時(shí),可根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律,采用分離變量法求解解以地面飛機(jī)滑行方向?yàn)樽鴺?biāo)正方向,由牛頓運(yùn)動(dòng)定律及初始條件,有得 因此,飛機(jī)著陸10后的速率為v 30 m-1又 故飛機(jī)著陸后10內(nèi)所滑行的距離2 -16質(zhì)量為m 的跳水運(yùn)動(dòng)員,從10.0 m 高臺(tái)上由靜止跳下落入水中高臺(tái)距水面距離為h把跳水運(yùn)動(dòng)員視為質(zhì)點(diǎn),并略去空氣阻力運(yùn)動(dòng)員入水后垂直下沉,水對(duì)其阻力為bv2 ,其中b 為一常量若以水面上一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,豎直向下為Oy 軸,求：(1) 運(yùn)動(dòng)員在水中的速率v與y 的函數(shù)關(guān)系；(2) 如b /m 0.40m -1 ,跳水運(yùn)動(dòng)員在水中下沉多少距離才能使其速率v減少到落水速率v0 的1 /10？ (假定跳水運(yùn)動(dòng)員在水中的浮力與所受的重力大小恰好相等)分析該題可以分為兩個(gè)過(guò)程,入水前是自由落體運(yùn)動(dòng),入水后,物體受重力P、浮力F 和水的阻力F的作用,其合力是一變力,因此,物體作變加速運(yùn)動(dòng)雖然物體的受力分析比較簡(jiǎn)單,但是,由于變力是速度的函數(shù)(在有些問(wèn)題中變力是時(shí)間、位置的函數(shù)),對(duì)這類問(wèn)題列出動(dòng)力學(xué)方程并不復(fù)雜,但要從它計(jì)算出物體運(yùn)動(dòng)的位置和速度就比較困難了通常需要采用積分的方法去解所列出的微分方程這也成了解題過(guò)程中的難點(diǎn)在解方程的過(guò)程中,特別需要注意到積分變量的統(tǒng)一和初始條件的確定解(1) 運(yùn)動(dòng)員入水前可視為自由落體運(yùn)動(dòng),故入水時(shí)的速度為運(yùn)動(dòng)員入水后,由牛頓定律得P -F -F ma由題意P F、Fbv2 ,而a dv /dt v (d v /dy),代入上式后得-bv2 mv (d v /dy)考慮到初始條件y0 0 時(shí), ,對(duì)上式積分,有(2) 將已知條件b/m 0.4 m -1 ,v 0.1v0 代入上式,則得*2 -17直升飛機(jī)的螺旋槳由兩個(gè)對(duì)稱的葉片組成每一葉片的質(zhì)量m136 kg,長(zhǎng)l3.66 m求當(dāng)它的轉(zhuǎn)速n320 r/min 時(shí),兩個(gè)葉片根部的張力(設(shè)葉片是寬度一定、厚度均勻的薄片)分析螺旋槳旋轉(zhuǎn)時(shí),葉片上各點(diǎn)的加速度不同,在其各部分兩側(cè)的張力也不同；由于葉片的質(zhì)量是連續(xù)分布的,在求葉片根部的張力時(shí),可選取葉片上一小段,分析其受力,列出動(dòng)力學(xué)方程,然后采用積分的方法求解解設(shè)葉片根部為原點(diǎn)O,沿葉片背離原點(diǎn)O 的方向?yàn)檎?距原點(diǎn)O 為r處的長(zhǎng)為dr一小段葉片,其兩側(cè)對(duì)它的拉力分別為F(r)與F(rdr)葉片轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),該小段葉片作圓周運(yùn)動(dòng),由牛頓定律有由于r l 時(shí)外側(cè)F 0,所以有上式中取r 0,即得葉片根部的張力F0 -2.79 105 N負(fù)號(hào)表示張力方向與坐標(biāo)方向相反2 -18一質(zhì)量為m 的小球最初位于如圖(a)所示的A 點(diǎn),然后沿半徑為r的光滑圓軌道ADCB下滑試求小球到達(dá)點(diǎn)C時(shí)的角速度和對(duì)圓軌道的作用力分析該題可由牛頓第二定律求解在取自然坐標(biāo)的情況下,沿圓弧方向的加速度就是切向加速度a,與其相對(duì)應(yīng)的外力F是重力的切向分量mgsin,而與法向加速度an相對(duì)應(yīng)的外力是支持力FN 和重力的法向分量mgcos由此,可分別列出切向和法向的動(dòng)力學(xué)方程Fmdv/dt和Fnman 由于小球在滑動(dòng)過(guò)程中加速度不是恒定的,因此,需應(yīng)用積分求解,為使運(yùn)算簡(jiǎn)便,可轉(zhuǎn)換積分變量 倡該題也能應(yīng)用以小球、圓弧與地球?yàn)橄到y(tǒng)的機(jī)械能守恒定律求解小球的速度和角速度,方法比較簡(jiǎn)便但它不能直接給出小球與圓弧表面之間的作用力解小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到重力P 和圓軌道對(duì)它的支持力FN 取圖(b)所示的自然坐標(biāo)系,由牛頓定律得 (1) (2)由,得,代入式(1),并根據(jù)小球從點(diǎn)A 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C 的始末條件,進(jìn)行積分,有得 則小球在點(diǎn)C 的角速度為由式(2)得 由此可得小球?qū)A軌道的作用力為負(fù)號(hào)表示FN 與en 反向2 -19光滑的水平桌面上放置一半徑為R 的固定圓環(huán),物體緊貼環(huán)的內(nèi)側(cè)作圓周運(yùn)動(dòng),其摩擦因數(shù)為,開(kāi)始時(shí)物體的速率為v0 ,求：(1) t 時(shí)刻物體的速率；(2) 當(dāng)物體速率從v0減少到12 v0時(shí),物體所經(jīng)歷的時(shí)間及經(jīng)過(guò)的路程 分析運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)之間的聯(lián)系是以加速度為橋梁的,因而,可先分析動(dòng)力學(xué)問(wèn)題物體在作圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,促使其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化的是圓環(huán)內(nèi)側(cè)對(duì)物體的支持力FN 和環(huán)與物體之間的摩擦力F ,而摩擦力大小與正壓力FN成正比,且FN與FN又是作用力與反作用力,這樣,就可通過(guò)它們把切向和法向兩個(gè)加速度聯(lián)系起來(lái)了,從而可用運(yùn)動(dòng)學(xué)的積分關(guān)系式求解速率和路程解(1) 設(shè)物體質(zhì)量為m,取圖中所示的自然坐標(biāo),按牛頓定律,有由分析中可知,摩擦力的大小FFN ,由上述各式可得取初始條件t 0 時(shí)v v 0 ,并對(duì)上式進(jìn)行積分,有(2) 當(dāng)物體的速率從v 0 減少到1/2v 0時(shí),由上式可得所需的時(shí)間為物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程2 -20質(zhì)量為45.0 kg 的物體,由地面以初速60.0 m-1 豎直向上發(fā)射,物體受到空氣的阻力為Fr kv,且k 0.03 N/( m-1 )(1) 求物體發(fā)射到最大高度所需的時(shí)間(2) 最大高度為多少？分析物體在發(fā)射過(guò)程中,同時(shí)受到重力和空氣阻力的作用,其合力是速率v 的一次函數(shù),動(dòng)力學(xué)方程是速率的一階微分方程,求解時(shí),只需采用分離變量的數(shù)學(xué)方法即可但是,在求解高度時(shí),則必須將時(shí)間變量通過(guò)速度定義式轉(zhuǎn)換為位置變量后求解,并注意到物體上升至最大高度時(shí),速率應(yīng)為零解(1) 物體在空中受重力mg和空氣阻力Fr kv 作用而減速由牛頓定律得 (1)根據(jù)始末條件對(duì)上式積分,有(2) 利用的關(guān)系代入式(1),可得分離變量后積分故 討論如不考慮空氣阻力,則物體向上作勻減速運(yùn)動(dòng)由公式和分別算得t6.12和y184 m,均比實(shí)際值略大一些2 -21一物體自地球表面以速率v0 豎直上拋假定空氣對(duì)物體阻力的值為Fr kmv2 ,其中m 為物體的質(zhì)量,k 為常量試求：(1) 該物體能上升的高度；(2)物體返回地面時(shí)速度的值(設(shè)重力加速度為常量)分析由于空氣對(duì)物體的阻力始終與物體運(yùn)動(dòng)的方向相反,因此,物體在上拋過(guò)程中所受重力P 和阻力Fr 的方向相同；而下落過(guò)程中,所受重力P 和阻力Fr 的方向則相反又因阻力是變力,在解動(dòng)力學(xué)方程時(shí),需用積分的方法解分別對(duì)物體上拋、下落時(shí)作受力分析,以地面為原點(diǎn),豎直向上為y 軸(如圖所示)(1) 物體在上拋過(guò)程中,根據(jù)牛頓定律有依據(jù)初始條件對(duì)上式積分,有物體到達(dá)最高處時(shí), v 0,故有(2) 物體下落過(guò)程中,有對(duì)上式積分,有則 2 -22質(zhì)量為m 的摩托車,在恒定的牽引力F的作用下工作,它所受的阻力與其速率的平方成正比,它能達(dá)到的最大速率是vm 試計(jì)算從靜止加速到vm/2所需的時(shí)間以及所走過(guò)的路程分析該題依然是運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方程求解變力作用下的速度和位置的問(wèn)題,求解方法與前兩題相似,只是在解題過(guò)程中必須設(shè)法求出阻力系數(shù)k由于阻力Fr kv2 ,且Fr又與恒力F 的方向相反；故當(dāng)阻力隨速度增加至與恒力大小相等時(shí),加速度為零,此時(shí)速度達(dá)到最大因此,根據(jù)速度最大值可求出阻力系數(shù)來(lái)但在求摩托車所走路程時(shí),需對(duì)變量作變換解設(shè)摩托車沿x 軸正方向運(yùn)動(dòng),在牽引力F和阻力Fr 同時(shí)作用下,由牛頓定律有 (1)當(dāng)加速度a dv/dt 0 時(shí),摩托車的速率最大,因此可得kF/vm2 (2)由式(1)和式(2)可得 (3)根據(jù)始末條件對(duì)式(3)積分,有則 又因式(3)中,再利用始末條件對(duì)式(3)積分,有則 *2 -23飛機(jī)降落時(shí),以v0 的水平速度著落后自由滑行,滑行期間飛機(jī)受到的空氣阻力F1-k1 v2 ,升力F2k2 v2 ,其中v為飛機(jī)的滑行速度,兩個(gè)系數(shù)之比k1/ k2 稱為飛機(jī)的升阻比實(shí)驗(yàn)表明,物體在流體中運(yùn)動(dòng)時(shí),所受阻力與速度的關(guān)系與多種因素有關(guān),如速度大小、流體性質(zhì)、物體形狀等在速度較小或流體密度較小時(shí)有Fv,而在速度較大或流體密度較大的有Fv2 ,需要精確計(jì)算時(shí)則應(yīng)由實(shí)驗(yàn)測(cè)定本題中由于飛機(jī)速率較大,故取Fv2 作為計(jì)算依據(jù)設(shè)飛機(jī)與跑道間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為,試求飛機(jī)從觸地到靜止所滑行的距離以上計(jì)算實(shí)際上已成為飛機(jī)跑道長(zhǎng)度設(shè)計(jì)的依據(jù)之一分析如圖所示,飛機(jī)觸地后滑行期間受到5 個(gè)力作用,其中F1為空氣阻力, F2 為空氣升力, F3 為跑道作用于飛機(jī)的摩擦力,很顯然飛機(jī)是在合外力為變力的情況下作減速運(yùn)動(dòng),列出牛頓第二定律方程后,用運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問(wèn)題的相關(guān)規(guī)律解題由于作用于飛機(jī)的合外力為速度v的函數(shù),所求的又是飛機(jī)滑行距離x,因此比較簡(jiǎn)便方法是直接對(duì)牛頓第二定律方程中的積分變量dt 進(jìn)行代換,將dt 用代替,得到一個(gè)有關(guān)v 和x 的微分方程,分離變量后再作積分 解取飛機(jī)滑行方向?yàn)閤 的正方向,著陸點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),如圖所示,根據(jù)牛頓第二定律有 (1) (2)將式(2)代入式(1),并整理得分離變量并積分,有得飛機(jī)滑行距離 (3)考慮飛機(jī)著陸瞬間有FN0 和vv0 ,應(yīng)有k2v02 mg,將其代入(3)式,可得飛機(jī)滑行距離x 的另一表達(dá)式討論如飛機(jī)著陸速度v0144 kmh-1 ,0.1,升阻比,可算得飛機(jī)的滑行距離x 560 m,設(shè)計(jì)飛機(jī)跑道長(zhǎng)度時(shí)應(yīng)參照上述計(jì)算結(jié)果2 -24在卡車車廂底板上放一木箱,該木箱距車箱前沿?fù)醢宓木嚯xL 2.0 m,已知?jiǎng)x車時(shí)卡車的加速度a 7.0 m-2 ,設(shè)剎車一開(kāi)始木箱就開(kāi)始滑動(dòng)求該木箱撞上擋板時(shí)相對(duì)卡車的速率為多大？設(shè)木箱與底板間滑動(dòng)摩擦因數(shù)0.50分析如同習(xí)題2 -5 分析中指出的那樣,可對(duì)木箱加上慣性力F0 后,以車廂為參考系進(jìn)行求解,如圖所示,此時(shí)木箱在水平方向受到慣性力和摩擦力作用,圖中a為木箱相對(duì)車廂的加速度解由牛頓第二定律和相關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有F0 -Fma -mgma (1)v 2 2aL (2)聯(lián)立解(1)(2)兩式并代入題給數(shù)據(jù),得木箱撞上車廂擋板時(shí)的速度為*2 -25如圖(a)所示,電梯相對(duì)地面以加速度a 豎直向上運(yùn)動(dòng)電梯中有一滑輪固定在電梯頂部,滑輪兩側(cè)用輕繩懸掛著質(zhì)量分別為m1 和m2 的物體A和B設(shè)滑輪的質(zhì)量和滑輪與繩索間的摩擦均略去不計(jì)已知m1 m2 ,如以加速運(yùn)動(dòng)的電梯為參考系,求物體相對(duì)地面的加速度和繩的張力分析如以加速運(yùn)動(dòng)的電梯為參考系,則為非慣性系在非慣性系中應(yīng)用牛頓定律時(shí)必須引入慣性力在通常受力分析的基礎(chǔ)上,加以慣性力后,即可列出牛頓運(yùn)動(dòng)方程來(lái)解取如圖(b)所示的坐標(biāo),以電梯為參考系,分別對(duì)物體A、B 作受力分