幾何畫板在中考動態(tài)問題教學(xué)中運用的探究2016中考研討會.docx

化靜為動，動中求定幾何畫板在中考動態(tài)問題教學(xué)中運用的探究 青山湖教研室 范云波引言：著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞指出：“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面，一方面它是歐幾里德式的嚴謹科學(xué)，從這個方面看，數(shù)學(xué)像一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像一門實驗性的歸納科學(xué).”幾何畫板提供了一個十分理想的展現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程并讓學(xué)生積極探索問題的“做數(shù)學(xué)”的環(huán)境?，F(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展對數(shù)學(xué)教育的價值、目標、內(nèi)容以及學(xué)與教的方式產(chǎn)生了重大的影響。把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的強有力工具，致力于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂意并有更多的精力投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去。幾何畫板是信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合的主要工具之一，其快捷精準的繪圖、智能的幾何變換、直觀的動態(tài)演示等功能，為學(xué)生創(chuàng)造了一個探索幾何圖形內(nèi)在關(guān)系的環(huán)境，讓學(xué)生在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中深化對各種圖形的感性認識，形成豐富的幾何認知經(jīng)驗，促進對數(shù)學(xué)問題的深入理解和思考。幾何畫板為學(xué)生探索知識增添了更多的途徑，同時也為教師研究教學(xué)開辟了更廣的空間。在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何充分發(fā)揮幾何畫板的功能優(yōu)勢，優(yōu)化課堂教學(xué)，成為當(dāng)前新課程改革中值得探索的一個問題。幾何畫板在輔助數(shù)學(xué)教學(xué)方面的獨特優(yōu)勢開創(chuàng)了教與學(xué)的新方式，有助于教師成為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者，有助于學(xué)生成為主動獲取知識的探索者。本文結(jié)合教學(xué)案例，從數(shù)形結(jié)合、實驗探究、輔助變式、原創(chuàng)欣賞四個方面來探討幾何畫板在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實踐運用，旨在為廣大數(shù)學(xué)教師后期中考復(fù)習(xí)及今后的數(shù)學(xué)教學(xué)中提供一些借鑒或啟示。 一、揭示數(shù)形關(guān)系，優(yōu)化思維品質(zhì) 數(shù)（數(shù)量關(guān)系）與形（空間形式）是數(shù)學(xué)教學(xué)中的兩大基本內(nèi)容。數(shù)形結(jié)合思想貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)教材體系之中，它是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一。華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微”，也就是說數(shù)與形之間相輔相成：以形助數(shù)，可以化抽象為直觀；以數(shù)輔形，可以化直觀為精確。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，因受教學(xué)條件的限制，數(shù)與形很難真正地完美結(jié)合，特別是有些蘊藏在數(shù)量關(guān)系背后的幾何意義很難直觀地展現(xiàn)出來。而幾何畫板憑借其強大的功能優(yōu)勢彌補了這一不足，能化隱為顯，化靜為動，直觀地反映數(shù)、形的同步變化，為學(xué)生提供一個探索和構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的平臺，從而幫助學(xué)生優(yōu)化思維品質(zhì)，簡化解題過程，提高學(xué)習(xí)效率。例題1(2015江西省T6)已知拋物線y=ax2+bx+c（a0）過（-2，0）,（2，3）兩點，那么拋物線的對稱軸（ ）.A.只能是x=1 B.可能是y軸 C.在y軸右側(cè)且在直線x=2的左側(cè) D.在y軸左側(cè)且在直線x=-2的右側(cè)解析：拋物線y=ax2+bx+c（a0）過（2，0），（2，3）兩點，點（2，0）關(guān)于對稱軸的對稱點橫坐標x2滿足：2x22，20，拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)且在直線x=2的右側(cè)故選D通通過幾何畫板演示不難發(fā)現(xiàn)例題1是一個錯題（見上圖），上述解析也是錯誤的，D選項不正確，應(yīng)將D.在y軸左側(cè)且在直線x=-2的右側(cè)改為在y軸左側(cè)。數(shù)形結(jié)合思想是使抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來，用這種思想指導(dǎo)，一些幾何問題可以用代數(shù)方法來處理，一些代數(shù)問題又可以用幾何圖形幫助解決，最明顯地表現(xiàn)是利用直角坐標系將幾何問題與代數(shù)問題結(jié)合聯(lián)系起來,這種思想是近年來中考的熱點之一.教學(xué)策略: “由數(shù)思形，由形探數(shù)” “以形助數(shù)，用數(shù)解形”, 例題2（2015江西T14）如圖，在ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射線CO上的一個動點，AOC=60，則當(dāng)PAB為直角三角形時，AP的長為2或2或2對于例題2學(xué)生能答到三解的不多。老師在講解這題時，如果能運用幾何畫板進行分類討論教學(xué)就能有效突破重難點。分類思想方法實質(zhì)上是按照數(shù)學(xué)對象的共同性和差異性，將其區(qū)分為不同的種類的思想方法，其作用是克服思維的片面性，防止漏解要注意，在分類時，必須按同一標準分類，做到不重不漏此類題有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的完備性, 增強學(xué)生思維的深刻性。解題策略：“合理分類，分級討論”“標準統(tǒng)一，不漏不重” 畫板將數(shù)、形之間的關(guān)系動態(tài)地展示出來，活躍了學(xué)生的思維活動，使抽象的數(shù)學(xué)知識變得生動形象，容易接受。二、探究數(shù)學(xué)實驗，把握問題本質(zhì)學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)不僅需要演繹、推理，也需要實驗、歸納。數(shù)學(xué)實驗作為一種新穎的數(shù)學(xué)研究方法，已成為中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新形式。廣義的數(shù)學(xué)實驗是指在特定的實驗條件下，實驗者為了解決某個未知問題，驗證某個數(shù)學(xué)猜想，獲取某個數(shù)學(xué)結(jié)論，運用一定的技術(shù)手段或工具，并以數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo)，將實驗對象進行數(shù)學(xué)化的處理，從而解釋數(shù)學(xué)現(xiàn)象、理解數(shù)學(xué)內(nèi)容或構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的一類數(shù)學(xué)研究活動。進行數(shù)學(xué)教學(xué)時，既要關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容抽象化、形式化的一面，還要關(guān)注數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程中經(jīng)驗化、具體化的一面，為此可以利用幾何畫板進行數(shù)學(xué)實驗，輔助學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)特點，認清數(shù)學(xué)本質(zhì)。ABPCD例題3.（2010重慶綦江）如圖，在矩形ABCD中，AB4，BC3，點P從起點B出發(fā)，沿BC、CD逆時針方向向終點D勻速運動設(shè)點P所走過的路程為x，則線段AP、AD與矩形圍成的圖形面積為y，則下列圖象能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（ ）OOOOyyyyxxxx7333737712121212ABCD利用幾何畫板工具把靜態(tài)的知識動態(tài)化，抽象的知識具體化，改變了教師一貫的解決例題教學(xué)方法，讓學(xué)生親身體驗，自主探索，在學(xué)中做，在做中學(xué)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，同時培養(yǎng)學(xué)生主動探索研究、動手操作實踐的能力，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力， 提升了思維活動的層次，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本素質(zhì).觸類旁通，學(xué)習(xí)方法的遷移也將有助于其它內(nèi)容的學(xué)習(xí)，從而整體地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力解題策略：“關(guān)注全程,落足臨界” , “化動為靜,以靜制動” 例題4.(09年天水中考)在正方形ABCD中，點P是CD邊上一動點，連接PA，分別過點B、D作BEPA、DFPA，垂足分別為E、F，如圖(1)請?zhí)骄緽E、DF、EF這三條線段的長度具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？若點P在DC的延長線上，如圖，那么這三條線段的長度之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？若點P在CD的延長線上呢，如圖，請分別直接寫出結(jié)論；(2)就(1)中的三個結(jié)論選擇一個加以證明解：（1）如圖時，BE=DF+EF；如圖時，BE=DFEF；如圖時，BE=EFDF（2）證明：如圖，AEB=DFA=90，1=2=903，AB=DAABEDAF，BE=AF，AE=DFAF=AE+EF，BE=DF+EF如圖、圖時，同理可證ABEDAF，BE=AF，AE=DF只是AF=AEEF或AF=EFAE例題5.（2015江西T24）我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“稱為中垂三角形”，例如圖1，圖2，圖3中，AF，BE是ABC的中線，AFBE，垂足為P，像ABC這樣的三角形均稱為“中垂三角形”，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c特例探索（1）如圖1，當(dāng)ABE=45，c=2時，a=2，b=2如圖2，當(dāng)ABE=30，c=4時，a=2，b=2歸納證明（2）請你觀察（1）中的計算結(jié)果，猜想a2，b2，c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式拓展應(yīng)用（3）如圖4，在ABCD中，點E、F、G分別是AD，BC，CD的中點，BEEG，AD=2，AB=3，求AF的長 規(guī)律開放探索問題是指根據(jù)已知條件或所提供的若干特例,通過觀察、類比、歸納，揭示和發(fā)現(xiàn)題目所蘊含的本質(zhì)規(guī)律與特征，得到一般性結(jié)論的一類探索性問題.考查的問題一般包括數(shù)學(xué)命題、式子、圖形等，探究的結(jié)果一般要求能運用代數(shù)式、方程、函數(shù)等進行描述. 此類題有助于培養(yǎng)學(xué)生的能力觀察類比歸納總結(jié)能力, 提升學(xué)生從特殊到一般思想應(yīng)用的意識解題策略：“特例入手,類比一般” 幾何畫板為學(xué)生進行數(shù)學(xué)實驗創(chuàng)造了良好的條件，利用其實時度量功能，能快速地為學(xué)生提供精準的度量數(shù)據(jù)，這有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題背后所隱藏的規(guī)律。在例題4教學(xué)時，可以先用“幾何畫板”課件進行演示，通過點擊不同的按鈕來改變線段的長度，看BE、DF、EF這三條線段的長度具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，然后引導(dǎo)學(xué)生歸納出隱藏在現(xiàn)象背后的規(guī)律。這些實驗操作讓學(xué)生體驗了由特殊到一般、由一般到特殊的數(shù)學(xué)研究過程。幾何畫板所呈現(xiàn)的豐富的動態(tài)圖形，極大地開闊了學(xué)生的視野，給學(xué)生提供了更多“發(fā)現(xiàn)”的機會。三、輔助變式教學(xué)，提升課堂效率變式教學(xué)是促進數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種有效的教學(xué)方式，長期以來被數(shù)學(xué)教師廣泛地用于教學(xué)之中。在現(xiàn)代信息技術(shù)不斷發(fā)展的背景下，重新審視數(shù)學(xué)變式教學(xué)，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力有著深遠的意義。幾何畫板所具有的圖形動畫處理、幾何變換、自動推理、符號計算等功能，為數(shù)學(xué)變式教學(xué)創(chuàng)造了一個簡易、快捷的智能操作平臺。在數(shù)學(xué)變式教學(xué)中，利用幾何畫板從不同層次、不同角度、不同途徑、不同背景這四方面變更數(shù)學(xué)對象的內(nèi)容或形式，引導(dǎo)學(xué)生從變化的現(xiàn)象中抓住不變的本質(zhì)，從不變的本質(zhì)中探索變化的規(guī)律，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展及形成的過程，強化對知識結(jié)構(gòu)的認識，增加思維活動的經(jīng)驗，提高分析問題和解決問題的技能。例題6(江西省2015T6變式).已知拋物線y=ax2+bx+c（a0）與x軸有兩個交點x1、x2 且-2x10, 2x23點，拋物線的對稱軸與x軸交點的坐標為（x，0）則（ ）.A. -2x0 B. 2x3 C. 0x1.5 D. 0x2通過給學(xué)生一些變式訓(xùn)練有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問能力題和解決問題的能力, 提高邏輯思維能力和發(fā)展創(chuàng)造性思維能力, 訓(xùn)練學(xué)生揭示各方面知識內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律, 加深知識的理解和應(yīng)用并使知識融會貫通解題策略：“一題多解,一題多改”“一題多變,一題多問” 例題7（2015江西T14變式）如圖，在ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是直線CO上的一個動點，AOC=60，則當(dāng)PAB為直角三角形時，AP的長為這題是一個結(jié)論開放探索問題。（題目中的結(jié)論不確定或題目中的結(jié)論需類比、引申、拓廣，或改變題目的條件，探究原有的結(jié)論是否成立，或題目給出特例，要求探究歸納總結(jié)出一般性的結(jié)論，常與化歸思想方法結(jié)合應(yīng)用）這類題有助于培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力, 提高邏輯思維能力和發(fā)展創(chuàng)造性思維能力, 充分提升學(xué)生類比思想與轉(zhuǎn)化化歸的思想教學(xué)策略: “執(zhí)因索果,順藤摸瓜” 例題8.如圖，四邊形ABCD是邊長為1 的正方形，四邊形EFGH是邊長為2的正方形，點D與點F重合，點B，D（F），H在同一條直線上，將正方形ABCD沿FH方向平移至點B與點H重合時停止，設(shè)點D、F之間的距離為x，正方形ABCD與正方形EFGH重疊部分的面積為y，則能大致反映y與 x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（ ）例題（原創(chuàng)）如圖-1，在RtABC中，C=90, B=30,AC=1,CDAB，垂足為D,現(xiàn)將ACD繞D點順時針旋轉(zhuǎn)得到ACD, 旋轉(zhuǎn)時間為t秒,ACD繞D點旋轉(zhuǎn)的角速度/秒. （1）旋轉(zhuǎn)時間t= 秒時，ACAB;（2）ACD繞D點順時針旋轉(zhuǎn)一周（3600），斜邊AC掃過的面積為 （3）如圖-2，連接AC、 CB若6t9，求證：為定值；當(dāng)t9時，上述結(jié)論還成立嗎？如成立直接寫出比值，不成立請說明理由。（第23題圖-1） （第23題圖-2）在初中階段存在一些典型的幾何變換問題，由于傳統(tǒng)的變式教學(xué)無法直觀、形象地演示圖形的變化過程，使得學(xué)生的認知不能深入到問題的內(nèi)部本質(zhì)，此時可借助幾何畫板的幾何變換、動畫等功能，將幾何圖形因條件改變而變化的過程從不同角度呈現(xiàn)出來。盡管圖形的部分條件發(fā)生變化，但解題思路依然沒變，其中一個直角三角形是由另一個直角三角形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)而得到。利用幾何畫板的復(fù)制和動態(tài)模擬功能，可以從復(fù)雜圖形中分離出基本模型，并使其與原圖形保持同步變化，這樣有助于學(xué)生認識圖形，學(xué)會從基本模型入手尋找解題的突破口，從而收到觸類旁通、舉一反三的效果。數(shù)學(xué)教學(xué)中合理地整合幾何畫板，能讓學(xué)生真正參與問題的解決過程，體驗知識的形成過程，構(gòu)建清晰的認知結(jié)構(gòu)，深刻地理解和掌握數(shù)學(xué)知識。幾何畫板豐富了教學(xué)的手段，給數(shù)學(xué)教學(xué)注入了新的活力，使得在傳統(tǒng)的筆紙環(huán)境中無法開展的數(shù)學(xué)探究活動能真正開展起來，更重要的是它使抽象、枯燥的數(shù)學(xué)變得直觀、形象，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有助于學(xué)生從傳統(tǒng)的被動式學(xué)習(xí)向主動式學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)換。但值得注意的是，教學(xué)