線性代數(shù)新版教案.doc

皖 西 學(xué) 院 教 案2014- 2015學(xué)年 第2學(xué)期課程名稱 線性代數(shù) 授課專業(yè)班級 14級合班 授課教師 汪 軼 職稱 講 師 教學(xué)單位 金數(shù)學(xué)院 教研室 高 數(shù) 學(xué) 期 授 課 計(jì) 劃說明 課程類別必修總學(xué)分3總學(xué)時48本學(xué)期學(xué)時教學(xué)周次周學(xué)時學(xué) 時 分 配48163講授實(shí)驗(yàn)上機(jī)考查其他48教學(xué)目的要求教學(xué)目的通過本課程的教學(xué)，使學(xué)生掌握線性代數(shù)的基礎(chǔ)理論與方法，培養(yǎng)學(xué)生正確運(yùn)用數(shù)學(xué)知識來解決實(shí)際問題的能力，并為進(jìn)一步學(xué)習(xí)后續(xù)課程與相關(guān)課程打好基礎(chǔ)?；疽笸ㄟ^本課程的教學(xué)，使學(xué)生系統(tǒng)地掌握行列式、矩陣、n維向量、線性方程組、特征值與特征向量、二次型的基本概念、基本理論及基本方法，具有比較熱練的運(yùn)算能力、一定的邏輯推理能力和抽象思維能力，并且培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用獲取的基本知識和基本理論去分析問題和解決問題的能力。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)線性方程組解的結(jié)構(gòu)；線性變換應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)矩陣和向量組的秩及其性質(zhì)；線性無關(guān)概念。選用教材 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，線性代數(shù)（第五版），高等教育出版社，2007年主要參考資料1 張禾瑞，郝炳新：高等代數(shù)（第四版），高等教育出版社，1999年； 2 胡金德，王飛燕：線性代數(shù)（第二版），清華大學(xué)出版社，1995年3 李永樂：線性代數(shù)輔導(dǎo)講義，西安交大大學(xué)出版社， 2010年備注單 元 教 案知識單元主題第一章 行列式學(xué)時10教學(xué)內(nèi)容（摘 要）1二階與三階行列式 2全排列及其逆序數(shù)3階行列式的定義 4對換5行列式的性質(zhì) 6行列式按行（列）展開7克拉默法則教學(xué)目的要求1.會計(jì)算二階和三階行列式，了解階行列式的定義；2.理解代數(shù)余子式的定義及性質(zhì)；3.會利用行列式的性質(zhì)及按行（列）展開計(jì)算簡單的階行列式；4.掌握克拉默法則。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：1.行列式的性質(zhì)及其計(jì)算；2.克拉默法則。難點(diǎn)：階行列式的定義；對換。教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書推演教學(xué)后記對n階行列式定義的理解有點(diǎn)困難，需要通過對二三階行列式展開式的特點(diǎn)逐漸引入. 需適當(dāng)加強(qiáng)學(xué)生對行列式計(jì)算技巧的訓(xùn)練.分 教 案授課主題 第一章 1-3課次2教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書推演學(xué)時4教學(xué)目的要求會計(jì)算二階和三階行列式；會計(jì)算排列逆序數(shù)；了解階行列式的定義.教學(xué)重難點(diǎn)二三階行列式的對角線法則; 階行列式的定義.教 學(xué) 內(nèi) 容 綱 要備注1 二階與三階行列式一、二元線性方程組與二階行列式12二階行列式的定義二階行列式的值等于主對角元乘積減副對角元乘積例13三階行列式例2 計(jì)算三階行列式 例3 求解方程2全排列及其逆序數(shù)一、全排列與逆序定義2.1 由個不同元素排成一列，稱為這個元素的一個全排列（或簡稱級排列)個不同元素的所有不同的排列共有種規(guī)定一個標(biāo)準(zhǔn)排列次序：稱為標(biāo)準(zhǔn)序。在1、2、所構(gòu)成的任一排列中，若某兩個元素的排列次序與標(biāo)準(zhǔn)順序不同，就稱為一個逆序。一般地，個自然數(shù)的一個任意排列記作，若第個位置上的元素的左邊有個元素比大，就說元素的逆序是。一個排列中所有逆序的和，稱為這個排列的逆序數(shù)，記作因此排列的逆序數(shù)就是： 例1求排列32514的逆序數(shù)例2求排列的逆序數(shù)解： 級排列的標(biāo)準(zhǔn)序?yàn)榕帕械哪嫘驍?shù)為逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，而逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。例1中的排列就是一個奇排列；排列561423也是一個偶排列易知：個不同的級排列中，奇排列和偶排列各占一半3階行列式的定義定義3.1 由個元素排成行列，構(gòu)成的運(yùn)算式 稱為階行列式，簡記為，其中稱為行列式的元素，為的一個排列，為排列的逆序數(shù)知識導(dǎo)入在中學(xué)，我們接觸過二元、三元等簡單的線性方程組. 提問1在中學(xué)時我們已知要得到一個線性方程組的一組確定解的條件是什么？提問2例1的方程組有幾個方程？提問3用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？討論所有n級排列中逆序數(shù)最大的排列的逆序數(shù)是多少？從上面定義可知，階行列式的運(yùn)算式中，一般項(xiàng)由個位于不同行不同列的元素相乘而得，符號由排列的逆序數(shù)的奇偶性決定特別規(guī)定，一階行列式注意行列式記號不要與絕對值記號混淆在行列式中，將所組成的對角線稱為的主對角線，這些元素稱為主對角元。而所組成的對角線則稱為的副對角線. 除了主對角線元素外其它元素都為零的行列式稱為對角行列式.例5 證明階對角行列式； 稱主對角線以上（下）的元素全為零的行列式稱為下（上）三角形行列式.例6證明，請同學(xué)們理解逆序數(shù)的求法課后作業(yè)P25-26 1,2.分 教 案授課主題 第一章 4-6課次2教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書推演學(xué)時4教學(xué)目的要求掌握行列式的性質(zhì)并利用性質(zhì)計(jì)算行列式.教學(xué)重難點(diǎn)行列式的性質(zhì)及計(jì)算教 學(xué) 內(nèi) 容 綱 要備注4對換1對換的概念定義41 在一個排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換若對換的是相鄰的兩個元素，則稱為相鄰對換2對換的性質(zhì)定理1 一個排列任意兩個元素對換，排列改變奇偶性證 先證相鄰對換的情形；再證一般對換的情形推論 奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù)證 由定理1.1知對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù)，而標(biāo)準(zhǔn)排列是逆序數(shù)為零的偶排列，故推論成立。 3定理2階行列式也可定義為 ， 其中為排列的逆序數(shù).5 行列式的性質(zhì)一、行列式的基本性質(zhì)把行列式的行、列互換所得到的行列式稱為的轉(zhuǎn)置行列式，記作，若記則 性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即.證 將的轉(zhuǎn)置行列式記作，則由定義知于是由定理1.2推出：由性質(zhì)1可知，行列式中行與列具有對等的地位，對行成立的性質(zhì)，對列也成立，反之亦然。以下我們僅討論行的性質(zhì)，然后引申到列即可性質(zhì)2 行列式兩行（列）互換，行列式的值變號以表示第行，表示第列，則表示交換兩行，表示交換兩列由性質(zhì)2即可得到下面的推論推論 若行列式中有兩行（列）元素對應(yīng)相等，則的值為零性質(zhì)3 用數(shù)乘以行列式，等于將數(shù)乘到的某一行（列）中所有的元素上。證 按定義，則推論1 行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面.第行（列）乘以，記為（）；第行（列）提出公因子，記為（或）。推論2 若行列式有一行（列）的元素全為零，則其值為零.性質(zhì)4 若行列式有兩行元素對應(yīng)成比例，則其值為零.下面的性質(zhì)稱為“拆行”：性質(zhì)5 若的某一行（列）的元素都可表為兩數(shù)之和，則以下等式成立：證 按定義，=性質(zhì)5 把行列式某一行（列）的各元素倍加到另一行的對應(yīng)元素上去，行列式的值不變 行列式性質(zhì)2、3、5涉及到行列式的三種運(yùn)算：換行（列）、倍乘、倍加，即，和，。二、運(yùn)用性質(zhì)計(jì)算行列式利用行列式的性質(zhì)可有效地簡化行列式的計(jì)算如利用性質(zhì)把行列式化成上三角行列式，便可直接得到行列式的值。例7計(jì)算對于元素排列有某些明顯規(guī)律的行列式，可根據(jù)其特點(diǎn)采用一些計(jì)算技巧，常用的如建立遞推公式和用數(shù)學(xué)歸納法等例8 計(jì)算行列式 例9 計(jì)算行列式例10設(shè)，證明證 對作運(yùn)算，把化為下三角形行列式：，對作運(yùn)算，把化為下三角形行列式：，于是，對的前行作運(yùn)算，再對后列作運(yùn)算，就可把化為下三角形行列式故例11計(jì)算階行列式6行列式按行（列）展開一、余子式與代數(shù)余子式定義1 在階行列式中任取一個元素，劃去所在的第行、第列，剩下來的階行列式稱為元素的余子式，記作；記稱為元素的代數(shù)余子式例如在中，元素的余子式是，而它的代數(shù)余子式是引理 如果階行列式的第行除外的其余元素都為零，則這個行列式等于與其代數(shù)余子式的乘積，即黑板演示一般的對換可以通過一系列的相鄰對換來實(shí)現(xiàn), 且為奇數(shù)次鄰換實(shí)現(xiàn)提問n 元排列共有 n! 個，其中奇、偶排列的個數(shù)相等，各有多少個？提問如何計(jì)算行列式？討論具有怎樣特點(diǎn)的行列式可用定義計(jì)算？討論適用遞推和數(shù)歸法計(jì)算的行列式具有什么特點(diǎn)？提問行列式中各項(xiàng)的元素如何取得的?。證 先證最簡單的情況：設(shè)，這是例10中時的情況，由例1.6的結(jié)論，即有又因，故得再證一般的情況，設(shè)的第行除外的其余元素都為零： 將的第行依次與上面的行逐行對換，再將第列依次與左面的列逐列對調(diào)，共經(jīng)次對調(diào)，將調(diào)到了第1行第1列的位置上，所得的行列式記為，則，而在中的余子式仍然是在中的余子式。利用已證的結(jié)果有，因此定理3 階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即 ， 或 證 任選的第行，把該行元素都寫作個數(shù)之和： +，由引理即得 。按第列展開可類似證明這個定理稱為行列式按一行（列）展開法則它為行列式計(jì)算提供了又一種思路：將階行列式的計(jì)算轉(zhuǎn)化為階行列式的計(jì)算，這稱為降階按定理3計(jì)算例7例12證明范德蒙行列式其中記號表示全體同類因子的乘積推論行列式某一行（列）元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零即 或注 例13 設(shè) 元的余子式和代數(shù)余子式依次記作,求討論此處證明為何不作2次的對調(diào)實(shí)現(xiàn)？課后作業(yè)P26-284（2）（4）、5（4）、7(2)(4)(6) 分教案授課主題 第一章 7課次1教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書推演學(xué)時2教學(xué)目的要求掌握克拉默法則教學(xué)重難點(diǎn)克拉默法則及其逆否命題教 學(xué) 內(nèi) 容 綱 要備注4克萊默（Cramer）法則一Cramer法則（法則） 設(shè)線性方程組， 其系數(shù)行列式，用常數(shù)向量替換的第列所得的階行列式記作，即 ,（）若，則線性方程組存在唯一解： 例14解線性方程組例15設(shè)曲線，試求系數(shù) 解 將在四個點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，關(guān)于的線性方程組 其系數(shù)行列式是，轉(zhuǎn)置得，是一個四階范得蒙行列式，得于是由克萊默法則知，方程組有唯一解，再分別計(jì)算：，故 于是所求曲線方程為 提問何謂齊次線性方程組？。（法則）的逆否命題是：定理4 如果線性方程組（1）的系數(shù)行列式, 則（1）一定有唯一解定理如果線性方程組（1）無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式一定為零二、齊次線性方程組如果線性方程組（1）的常數(shù)項(xiàng)都等于零，即 稱為齊次線性方程組。利用克萊默法則容易得到下面的定理：定理5 若齊次方程組（2）的系數(shù)行列式，則它只有零解。其逆否命題是：定理6 若齊次方程組（2）有非零解，則它的系數(shù)行列式一定為零事實(shí)上，齊次線性方程組（2）有非零解它的系數(shù)行列式為零例16問取何值時，齊次線性方程組有非零解？Cramer法則只能應(yīng)用于方形的方程組，且系數(shù)行列式不能為零在計(jì)算時需要計(jì)算個階的行列式，當(dāng)較大時計(jì)算量通常很大。因此Cramer法則的主要意義是在理論上，它明確指出了方程組的解與系數(shù)之間的關(guān)系，并給出了一種新穎的“塊狀處理”的模式討論命題與逆否命題等價問題課后作業(yè)P2810（1）、11單 元 教 案知識單元主題第二章矩陣及其運(yùn)算學(xué)時10教學(xué)內(nèi)容（摘 要）1矩陣 2矩陣的運(yùn)算3逆矩陣 4矩陣分塊法教學(xué)目的要求1、理解矩陣的概念，了解零矩陣、對角矩陣、單位矩陣、對稱矩陣等矩陣的特點(diǎn)。2、熟練掌握矩陣的線性運(yùn)算、矩陣與矩陣的乘法、矩陣的轉(zhuǎn)置、方陣的行列式以及它們的運(yùn)算規(guī)律。3、理解可逆矩陣的概念、性質(zhì)、以及矩陣可逆的重要條件，理解伴隨矩陣的概念和性質(zhì)，會用伴隨矩陣求矩陣的逆陣。4、知道分塊矩陣及其運(yùn)算規(guī)律，掌握分塊對角矩陣的計(jì)算。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)1. 矩陣的計(jì)算2. 矩陣的按行，列分塊難點(diǎn)：逆矩陣的求法；分塊矩陣的運(yùn)算教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書推演教學(xué)后記對一般分塊矩陣只做了解，只掌握分塊對角矩陣的計(jì)算，其它可弱化分 教 案授課主題第一章 1-2課次2教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書推演學(xué)時4教學(xué)目的要求1、理解矩陣的概念，了解零矩陣、對角矩陣、單位矩陣、對稱矩陣等矩陣的特點(diǎn)。2、熟練掌握矩陣的線性運(yùn)算、矩陣與矩陣的乘法、矩陣的轉(zhuǎn)置、方陣的行列式以及它們的運(yùn)算規(guī)律。教學(xué)重難點(diǎn)矩陣與矩陣的乘法教 學(xué) 內(nèi) 容 綱 要備注第二章 矩陣及其運(yùn)算前一章討論的Cramer法則，對于線性方程組不是方形的或其系數(shù)行列式等于零，便不能用了，但它的那種集成化處理的思想方法還是可以借鑒的。由此可以引向線性代數(shù)更重要的概念矩陣。矩陣是許多學(xué)科使用頻率很高的一個集成化的數(shù)學(xué)工具，凡涉及到多個方面相互關(guān)聯(lián)的多元數(shù)量關(guān)系，往往可用矩陣來進(jìn)行整體描述和處理。本章主要學(xué)習(xí)矩陣的基本代數(shù)運(yùn)算加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、（方陣）取行列式、（可逆矩陣）求逆，以及矩陣的分塊及分塊矩陣的基本代數(shù)運(yùn)算。1 矩陣一 、矩陣的定義定義2.1 由個數(shù)排成行、列，并加上括號，這樣排成的數(shù)表： 稱為一個行列矩陣，簡稱矩陣，通常記為或。有時也記作或，其中稱為矩陣的(第行、第列的)元素。二、一些常用的特殊矩陣個元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記為.只有一行的矩陣稱為行矩陣： .只有一列的矩陣稱為列矩陣: ， 行數(shù)等于列數(shù)（即）的矩陣稱為階方陣。下面是幾種特殊的方陣：若時，即 ,則稱為階下三角矩陣若時，即 ，則稱為階上三角矩陣若時， 即 則稱它為對角矩陣它既是上三角陣，也是下三角陣，可以記作。 若為階對角矩陣，且主對角元素全相等，即 ，則稱為階純量矩陣。特別地，若，即 ，則稱為階單位矩陣當(dāng)且僅當(dāng)，是同型矩陣（即行數(shù)相等、列數(shù)也相等）、且它們的對應(yīng)元素相等（即）時，則稱矩陣與矩陣相等，記作2 矩陣的運(yùn)算一、矩陣的加法定義2.2 設(shè)矩陣和，那么矩陣與的和記作，規(guī)定其和為 根據(jù)定義容易驗(yàn)證矩陣的加法滿足下列運(yùn)算律（都是同型矩陣）：（1）交換律： ；（2）結(jié)合律： ； 若，則存在矩陣，滿足稱為的負(fù)矩陣由此可以定義矩陣的減法為 。 二、數(shù)與矩陣相乘（“數(shù)乘”）：定義2.3 設(shè)矩陣，是一個數(shù)，規(guī)定與矩陣的乘積為 矩陣的數(shù)乘滿足下列運(yùn)算律（設(shè)為同型矩陣，為數(shù)）：（1）交換律： ；（2）結(jié)合律： ；（3）第一分配律： ；（4）第二分配律： .矩陣的加減運(yùn)算以及數(shù)乘統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算例1 設(shè)， ，求三、矩陣的乘法定義2.4 設(shè)是一個矩陣，是一個矩陣，則規(guī)定矩陣A和矩陣B的乘積是一個矩陣，其中 上述定義表明，乘積矩陣的第行第列元素，是的第行的個元素與的第列的個元素一一對應(yīng)相乘的乘積之和。因此只有當(dāng)左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時，這兩個矩陣才可乘，我們稱為左乘，或右乘。例2 設(shè)，求.矩陣的乘法應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1. 任意兩個矩陣未必可乘，應(yīng)首先考察矩陣的規(guī)格，以確定是否可乘以及乘積的規(guī)格2. 交換律一般不成立一般來說；即使是同階矩陣相乘，交換律一般也不成立。例如設(shè)， B =，容易驗(yàn)證。而如果成立，則說矩陣與可交換。3. 消去律一般不成立，即由，不能斷定或。例如 ，因此，即使，一般由 也不能推出但矩陣的乘法仍滿足以下運(yùn)算律（假設(shè)運(yùn)算都可行）：（1）結(jié)合律：；（2）左分配律：；右分配律：； （3）與數(shù)乘可交換：。對單位矩陣E，容易驗(yàn)證，可見單位矩陣E在矩陣乘法的運(yùn)算中的作用類似于數(shù)的運(yùn)算中“1”的作用。由于數(shù)量矩陣 故當(dāng)它乘方陣時便有 和 利用矩陣的乘法，可以將線性方程組 表示成矩陣形式 并簡記為 ， 其中 ，。即為線性方程組的系數(shù)矩陣，稱X為未知數(shù)（變元）向量，為常數(shù)向量而矩陣 稱為線性方程組的增廣矩陣?yán)? 若A，B，C都為同階的對角矩陣，容易驗(yàn)證ABC仍為對角矩陣，且ABC =推廣之，有限個同階對角矩陣的乘積還是對角矩陣，其主對角元就是各個對角矩陣對應(yīng)的主對角元相乘積。有了矩陣的乘法，可以定義階方陣的冪：定義2.5 設(shè)是階方陣，當(dāng)為正整數(shù)時，的冪運(yùn)算規(guī)定為： 從定義知，就是個的連乘，顯然只有方陣才有冪。由于矩陣乘法符合結(jié)合律，所以方陣的冪滿足以下運(yùn)算律（其中為正整數(shù)）：， ，注對兩個階方陣、來說，一般因此，一些熟知的的乘法公式一般不再成立，如、 ，等等。但只要與可交換，則這些公式就都成立了。例4 設(shè)， 求（為正整數(shù)）。解：逐次相乘 =， =， 于是猜測： =下用數(shù)學(xué)歸納法證明之：當(dāng)，上已見結(jié)論成立。假設(shè)時結(jié)論成立，則時：=所以對任意的的正整數(shù)，均有=。四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義2.6 把矩陣的行、列互換，得到一個矩陣，稱為的轉(zhuǎn)置，記為，即： 轉(zhuǎn)置也是矩陣的一種代數(shù)運(yùn)算，滿足下述運(yùn)算律（設(shè)運(yùn)算是可行的）：（1） ；（2）； （3），(是數(shù))；（4） 。證：我們僅證明（4）：設(shè) ，記 ， ， ，則有 ，。故 若，即有 ，則稱為對稱矩陣；若，即有 ，則稱為反對稱矩陣；對稱矩陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等，而反對稱矩陣的主對角線上所有元素均為零，其余元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相反例5設(shè)列矩陣滿足為階單位矩陣，證明是對稱矩陣，且五、方陣的行列式定義2.7 由n階方陣的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣的行列式，記作或det。對方陣取行列式，是施加于方陣的一種運(yùn)算，且滿足下列運(yùn)算律（、為階方陣，為數(shù)）：（1）；（2）；（3）。例6 設(shè)，其中是行列式中元素的代數(shù)余子試證證： 記，據(jù)第一章的性質(zhì)8，有： ， （），故 ，類似地亦可證有本例中的方陣，是由方陣所唯一確定的，稱為的伴隨矩陣六、共軛矩陣設(shè)稱為的共軛矩陣提問矩陣與行列式的本質(zhì)區(qū)別？提問對角線上的元素行列標(biāo)特點(diǎn)？提問數(shù)乘行列式如何乘的？說明為何稱為矩陣的線性運(yùn)算？提問同學(xué)們所學(xué)的運(yùn)算還有哪種不滿足交換律？提醒同學(xué)注意此處公式2，再次強(qiáng)調(diào)數(shù)乘行列式和矩陣的區(qū)別.課后作業(yè)P53563、4（4）、7、9分 教 案授課主題第二章 3-4課次2教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書推演學(xué)時4教學(xué)目的要求1、理解可逆矩陣的概念、性質(zhì)、以及矩陣可逆的重要條件，理解伴隨矩陣的概念和性質(zhì)，會用伴隨矩陣求矩陣的逆陣。2、知道分塊矩陣及其運(yùn)算規(guī)律，掌握分塊對角矩陣的計(jì)算。教學(xué)重難點(diǎn)分塊矩陣及其運(yùn)算規(guī)律教 學(xué) 內(nèi) 容 綱 要備注3逆矩陣1、可逆矩陣的概念定義2.8 對于階方陣，若存在一個同階方陣，能使，則稱方陣可逆，稱是的逆矩陣的逆矩陣記為 注1若方陣可逆，則的逆矩陣是唯一的事實(shí)上，若、都是的逆矩陣，由、，便可推出，所以的逆矩陣唯一 2、矩陣可逆的充要條件以及求逆陣的公式定理2.1 方陣可逆的充分必要條件是證： 必要性：設(shè)可逆，即存在，由，知充分性：設(shè)，由例2.5知有因，便可導(dǎo)出 ，于是由定義知可逆，且得求逆公式：若，稱為非奇異的，即“可逆”等價于“非奇異”推論 設(shè)、是同階方陣，若有（或），則、皆可逆，且、互為逆矩陣3、逆矩陣的性質(zhì)（1）若可逆，則亦可逆，且； （2）若可逆，數(shù)，則亦可逆，且 ；（3）若、同階且皆可逆，則亦可逆，且；（4）若可逆，則 亦可逆，且； 注2若可逆，則由可推出；即對可逆矩陣，消去律成立當(dāng)時，定義： ，（其中為正整數(shù)） 當(dāng)、為整數(shù)（正或負(fù)）時、均成立例1求二階矩陣的逆矩陣?yán)?設(shè)，求例3設(shè) 求矩陣使其滿足例4設(shè) 求結(jié)合加法、數(shù)乘和乘法三種運(yùn)算，可定義方陣的多項(xiàng)式：設(shè)有階方陣和關(guān)于的次多項(xiàng)式 ，定義矩陣的次多項(xiàng)式為 ，易見仍是一個階方陣注3 矩陣的任意兩個多項(xiàng)式是可交換的，即的計(jì)算方法：（1）如果，從而（2）如果為對角矩陣，則從而例5 若方陣A滿足，證明可逆，并求其逆。證 由及與可交換得： ，即，由定理2.推論知，可逆，且有4 矩陣分塊法把一個規(guī)格較大的矩陣劃分成若干小塊，用分塊方式來處理，把大矩陣的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為小矩陣的運(yùn)算，不僅能使運(yùn)算較為簡明，更重要的是使運(yùn)用微型計(jì)算機(jī)組合來計(jì)算大矩陣成為可能。一、矩陣的分塊定義2.9 用一些縱、橫虛線將矩陣分割成若干小矩陣，以這些小矩陣為元素的矩陣稱為分塊矩陣，各個小矩陣稱為的子塊例如 其中 ， ， ， 也可以按行分塊： ， 或按列分塊： 二、分塊矩陣的運(yùn)算對分塊矩陣進(jìn)行運(yùn)算時，可以把每一個子塊當(dāng)作矩陣的一個元素來處理，但應(yīng)保證運(yùn)算的可行1、 分塊矩陣的加法、數(shù)乘和轉(zhuǎn)置設(shè)矩陣、是兩個同型矩陣，且分塊法一致，即：，其中每一與的規(guī)格都對應(yīng)相同，則規(guī)定加法為； 設(shè)為數(shù)，則規(guī)定數(shù)乘為 ；規(guī)定轉(zhuǎn)置為 2.、分塊矩陣的乘法設(shè)是矩陣，是矩陣若將分為個子塊 ，將分為個子塊，且的列與的行分塊法一致，則規(guī)定與的乘法為其中，例1設(shè) ，求三、分塊對角陣設(shè)是階矩陣，若的一個分塊矩陣只有在主對角線上有非零子塊，即，其中是階小方陣（階數(shù)可不同），而其余的非主對角子塊都為零矩陣，那么稱為的分塊對角矩陣?yán)纾喝粲?， 則，注1 分塊對角陣有以下性質(zhì)（1）若，則；（2）若每一，則有 證由知存在，由便得 例2設(shè)，求例3 設(shè)，其中皆為可逆方陣（不必同階），求證可逆，并求對矩陣分塊時，應(yīng)特別重視按行和按列分塊：矩陣按行分塊 ， 矩陣按列分塊 注1例4設(shè)線性方程組 簡記為 ， 其中 ，也可記為 四、克拉默法則的證明課題引入：矩陣與數(shù)相仿，有加、減、乘三種運(yùn)算，矩陣的乘法是否也和數(shù)一樣有逆運(yùn)算呢？提醒:類比記憶此處公式3和矩陣乘積轉(zhuǎn)置公式.板書：對C=AB相應(yīng)矩陣進(jìn)行按行列分法，及左行右列口訣.課后作業(yè)P535611（3）、12（4）、13（2）26、28、29（1）、30（2）單 元 教 案知識單元主題第三章 矩陣的初等變換與線性方程組學(xué)時8教學(xué)內(nèi)容（摘 要）1矩陣的初等變換 2矩陣的秩 3線性方程組的解教學(xué)目的要求1、掌握矩陣的初等變換，并會用初等行變換求矩陣的逆；2、理解矩陣的秩的概念，知道初等變換不改變矩陣秩的原理，掌握用初等變換求矩陣秩的方法，知道矩陣的秩與標(biāo)準(zhǔn)形關(guān)系；3、掌握齊次與非齊次線性方程組有解的條件；4、熟練掌握用矩陣的初等行變換求解線性方程組的方法。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)矩陣的初等變換；用初等行變換求矩陣的逆；矩陣的秩，初等變換求矩陣的秩；用矩陣的初等行變換解線性方程組。難點(diǎn)：矩陣的初等變換；矩陣秩的概念；線性方程組有解的條件教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書推演教學(xué)后記加強(qiáng)初等變換矩陣乘法關(guān)系這一部分內(nèi)容的教學(xué)。部分同學(xué)對初等（行）變換求逆矩陣的原理理解不夠.分 教 案授課主題 第三章 1課次2教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書推演學(xué)時4教學(xué)目的要求掌握矩陣的初等變換，初等矩陣；理解初等變換與矩陣乘法關(guān)系.教學(xué)重難點(diǎn)理解初等變換與矩陣乘法關(guān)系，部分學(xué)生對初等（行）變換求逆矩陣的原理理解不夠.教 學(xué) 內(nèi) 容 綱 要備注第三章 矩陣的初等變換與線性方程組1 矩陣的初等變換一、分析用消元法解線性方程組的過程方程組（1）的增廣矩陣二、初等變換的概念定義3.1 下面三種變換稱為矩陣的初等行變換：（1） 對調(diào)兩行（對調(diào)、兩行，記為），稱為對調(diào)變換；（2） 用數(shù)乘某一行中所有元素（第行乘記為），稱為倍乘變換；（3）把某一行所有元素的倍加到另一行的對應(yīng)元素上（第行的倍加到第行上記為），稱為倍加變換將定義中的“行”換成“列”，即得到矩陣的初等列變換的定義（將記號換成）矩陣的初等行變換與矩陣的初等列變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等變換初等變換都存在著逆變換，如變換的逆變換就是其本身；變換的逆變換為；變換的逆變換為；定義3.2 如果矩陣經(jīng)有限次初等行變換變成矩陣，則稱矩陣與行等價記為；如果矩陣經(jīng)有限次初等列變換變成矩陣，則稱矩陣與列等價記為；如果矩陣經(jīng)有限次初等變換變成矩陣，則稱矩陣與等價記為注1等價關(guān)系具有下面三條性質(zhì)：1 反身性：；2 對稱性：若有，則必有；3 傳遞性：若有、，則必有容易驗(yàn)證矩陣之間的初等變換滿足上面等價關(guān)系的三條性質(zhì)。三、利用初等行變換解線性方程組（行階梯形矩陣）（行最簡形矩陣）上面矩陣對應(yīng)方程組，取為自由未知量，并令，即得其中是任意常數(shù)行階梯形矩陣的特點(diǎn)：可劃一條階梯線，線的下方全為零；每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，稱為非零首元行最簡形矩陣的特點(diǎn)：行階梯形，非零首元為1，且非零首元所在的列的其他元素都為0注2對于任何矩陣總可以經(jīng)過有限次初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡形矩陣初等變換的主要作用是化簡矩陣而保持其等價性(這在用矩陣解線性方程組中很重要)?；喚仃嚨闹饕^程是：首先通過初等行變換把化成行階梯形矩陣，然后繼續(xù)用初等行變換把化成行最簡形矩陣。此后如果再用初等列變換，還可將進(jìn)一步化成標(biāo)準(zhǔn)形.注3對于任何矩陣總可以經(jīng)過有限次初等變換（行變換和列變換）把它化為標(biāo)準(zhǔn)形此標(biāo)準(zhǔn)形由三個數(shù)完全確定，其中就是行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)所有與等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個等價類中形狀最簡單的一個例1 設(shè)，把化成行最簡形二 初等矩陣一、初等矩陣的概念定義3.3單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣（初等方陣）1、對調(diào)兩行或?qū)φ{(diào)兩列由單位矩陣的第、j行（列）對調(diào)而得到的初等矩陣，記作 2、以數(shù)乘某行或某列由單位矩陣第行（列）乘而得到的倍乘初等矩陣，記作； 3、倍加變換得倍加初等矩陣由單位矩陣的第行的k倍加到第行而得到（也就是由單位矩陣E的第列的k倍加到第列而得到）的初等矩陣，記作 （） （）注1初等矩陣皆可逆，且它們的逆陣仍為同類初等陣。由于， 。二、初等矩陣的應(yīng)用容易驗(yàn)證： 導(dǎo)致的第，行對調(diào)；導(dǎo)致的第，列對調(diào)；導(dǎo)致的第行乘；導(dǎo)致的第列乘；導(dǎo)致的第行的倍加到第行；導(dǎo)致的第列的倍加到第列。定理1 設(shè)是一個矩陣，對進(jìn)行一次初等行變換，相當(dāng)于在的左邊乘一個相應(yīng)的階初等矩陣；對進(jìn)行一次初等列變換，相當(dāng)于在的右邊乘一個相應(yīng)的階初等矩陣。定理2 矩陣可逆的充分必要條件是存在有限個初等矩陣，使得.推論1方陣可逆推論2 矩陣存在階可逆矩陣及階可逆矩陣，使得.(此推論證明留給讀者)注2對可逆矩陣和同階單位矩陣作同樣的初等行變換，則把變成單位矩陣的同時，單位矩陣也就變成了證由定理2知，若，則（其中為初等矩陣，）由此推得于是所以對和施行相同的初等變換，則變成了, 變成了例1 設(shè)，求注意：用初等行變換求的逆矩陣（或求解線性方程組）時，不必驗(yàn)證是否可逆，如果作變換時左邊子塊出現(xiàn)了全零行，則表明不可逆，此時需要另行討論了。對于個未知數(shù)個方程的線性方程組，若可逆，則線性方程組的解為由知：利用矩陣的初等行變換當(dāng)將變成時，就變成，此即方程組的解 例2設(shè), ，求線性方程組的解例3求解矩陣方程, 其中.分析學(xué)生思考：如何求？對矩陣作初等列變換，使 即可得.或者改為對作初等行變換，使即可得,從而求得課題引入：對用消元法解線性方程組的三個手續(xù)抽象為對矩陣的初等變換.并從解方程的角度說明非零數(shù)乘的必要性.課后作業(yè)P79813（2）、4（1）、5分 教 案授課主題 第三章 2-3課次2教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書推演學(xué)時4教學(xué)目的要求理解矩陣的秩，掌握線性方程組的解.教學(xué)重難點(diǎn)矩陣的秩，線性方程組解的判定定理教 學(xué) 內(nèi) 容 綱 要備注2矩陣的秩一、矩陣秩的概念給定矩陣，它的標(biāo)準(zhǔn)形由數(shù)完全確定，這個數(shù)就是行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)，便是本節(jié)要討論的矩陣的秩定義3.4 在矩陣中，任取行與列,位于這些行列交叉處的個元素，不改變它們在中所處的位置次序而得的階行列式，稱為矩陣的階子式定義3.5設(shè)在矩陣中有一個階子式，且所有階子式（如果存在的話）全等于，那么稱為矩陣的最高階非零階子式，數(shù)稱為矩陣的秩記作.注1（1）規(guī)定零矩陣的秩等于0（2）在中當(dāng)所有階子式全為0時，則所有高于階的子式也全為0（3）若中有某個階子式不為0，則；若中所有階子式全為0，則（4）若為矩陣，則（5）.對于階矩陣,當(dāng)時，當(dāng)時，故可逆矩陣又稱為滿秩矩陣，不可逆矩陣又稱降秩矩陣?yán)?例2二、矩陣秩的求法定理3若，則.定理3為我們提供了一個十分便捷的求秩方法：對于給定的矩陣，只要用初等變換把它變成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)即是矩陣的秩例3并求的一個最高階非零子式例4，求矩陣及矩陣的秩例5已知，求的值三、矩陣秩的性質(zhì)（歸納總結(jié)）1、若為矩陣，則2、.3、若，則4、若可逆，則.5、,特別地，.6. 設(shè)與可加，則有7設(shè)與可乘，則89若為階可逆陣，則10若是分塊對角陣：，則有 例6設(shè)為階矩陣，證明3線性方程組的解一、線性方程組的三種形式線性方程組的一般形式是這種形式稱為聯(lián)列方程形式根據(jù)向量的線性運(yùn)算，上述形式還可以寫作： 并進(jìn)一步記作 它表達(dá)了一組向量之間的線性表示關(guān)系，因此這種形式稱為方程組的向量形式根據(jù)矩陣分塊運(yùn)算的法則，式又可進(jìn)一步寫作： 并進(jìn)而記為： 上式就是一個矩陣方程，故稱為矩陣形式這三種形式，所記的是同一個對象，只是所用工具不同、表達(dá)視角不同而已。通過這三種形式，矩陣、向量組、方程組三者互相溝通了，這便于我們從不同的角度、運(yùn)用不同的工具來剖析線性方程組的內(nèi)涵。例如若方程組的聯(lián)列方程形式為 ，則其向量形式為 ，矩陣形式為 二、線性方程組的求解線性方程組的系數(shù)矩陣為 記 稱為方程組的增廣矩陣定理4.元線性方程組（1）無解；（2）有唯一解；（3）有無窮多解定理的證明過程給出了解方程組的步驟例1求解齊次線性方程組例2求解非齊次線性方程組解對其增廣矩陣作行初等變換，由此可知，故此方程組無解例3求解非齊次線性方程組例4設(shè)有線性方程組，問取何值時，方程組有唯一解；無解；有無窮多個解？并在有無限多解時求其通解解法一 這是方形的方程組，考慮克萊默法則常常較方便因此，當(dāng)時，方程組有唯一解當(dāng)時，,此時，故方程組無解當(dāng)時，此時，故方程組有無窮多個解，且其通解為解法二 對增廣矩陣作初等行變換，此時應(yīng)小心防止出現(xiàn)增根或失根，于是當(dāng)且時，方程組有唯一解；而當(dāng)時方程組無解；當(dāng)方程組有無窮多個解如解法一三、線性方程組解的存在性理論定理定理5線性方程組有解定理6元齊次線性方程組有非零解定理7矩陣方程有解定理8設(shè)，則定理9矩陣方程只有零解概念辨析：子快，子式，余子式課后作業(yè)P79809（3）、11、15、20、21單 元 教 案知識單元主題第四章向量組的線性相關(guān)性學(xué)時10教學(xué)內(nèi)容（摘 要）1向量組及其線性組合 2向量組的線性相關(guān)性3向量組的秩 4線性方程組的解的結(jié)構(gòu)5向量空間教學(xué)目的要求1、理解維向量、向量組的概念，掌握向量組與矩陣對應(yīng)關(guān)系。2、理解向量組的線性組合、線性相關(guān)性、兩向量組等價等概念。3、理解向量組的最大無關(guān)組與秩的概念，會用矩陣的初等變換求向量組的秩和最大無關(guān)組。4、掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的求法，非齊次線性方程組通解的構(gòu)造，系數(shù)矩陣秩與解向量集合秩之間的聯(lián)系。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)向量組的線性相關(guān)性；用矩陣的初等變換求向量組的秩和最大無關(guān)組；齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的求法.難點(diǎn)：向量組的線性相關(guān)性；向量組的最大無關(guān)組的求法教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書推演教學(xué)后記講這一部分內(nèi)容概念較多，要充分理解各概念間的聯(lián)系，多留時間給學(xué)生思考分 教 案授課主題 第四章 1-2課次2教學(xué)方法手段多媒體課件教學(xué)輔以板書推演學(xué)時4教學(xué)目的要求1、理解維向量、向量組的概念，掌握向量組與矩陣對應(yīng)關(guān)系.2、理解向量組的線性組合、線性相關(guān)性、兩向量組等價等概念.教學(xué)重難點(diǎn)向量組的線性相關(guān)性教 學(xué) 內(nèi) 容 綱 要備注1 向量組及其線性組合一、維向量1維向量的概念定義4.1 由個有次序的數(shù)所組成的數(shù)組稱為維向量，其中稱為向量的第個分量個分量都是實(shí)數(shù)的向量稱為維實(shí)向量，分量是復(fù)數(shù)的向量稱為維復(fù)向量本課程一般只討論實(shí)向量2、維向量的表示方法向量寫成一行，稱為行向量，通常記作或全體維實(shí)向量的集合記作 向量寫成一列，稱為列向量，通常記為 、 等行的形式和列的形式不能混寫3、維向量的運(yùn)算向量也是矩陣，規(guī)定行(列)向量按矩陣的運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算二向量組的線性組合若干個同維數(shù)的列向量(或行向量)所組成的集合叫做向量組注1一個 矩陣對應(yīng)一個 維列向量組, 也對應(yīng)一個維行向量組定義4.2給定向量組，對于任何一組實(shí)數(shù)線性組合稱為這個線性組合的系數(shù)給定向量組和向量，如果存在一組實(shí)數(shù)，使則向量是向量組的線性組合也稱向量能由向量組線性表示易知：向量能由向量組線性表示有解定理1向量能由向量組線性表示的充要條件是三向量組的等價性定義4.3設(shè)有兩個向量組及，若中每一個向量都能由向量組線性表示，則稱向量組能由向量組線性表示若向量組與向量組能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價向量組中的每個向量都能由向量組線性表示, 即對每個有數(shù)，使，從而這里，矩陣稱為這一線性表示的系數(shù)矩陣注2若，則（1）的列向量組可由的列向量組線性表示,為這一表示的系數(shù)矩陣.（2）的行向量組可由的行向量組線性表示,為這一表示的系數(shù)矩陣.注3矩陣與行(列)等價，則的行(列)向量組 的行(列)向量組等價.向量組能由向量組線性表示就是矩陣方程有解定理2向量組能由向量組線性表示的充分必要