維修線性流量閥的內(nèi)筒設(shè)計(jì).doc

維修線性流量閥的內(nèi)筒設(shè)計(jì) 【摘要】本題主要研究線性流量閥的的設(shè)計(jì)問題，要求在滿足設(shè)計(jì)規(guī)范的情況下設(shè)計(jì)內(nèi)筒孔的形狀。設(shè)計(jì)過程中運(yùn)用了貪婪算法和最優(yōu)化模型的有關(guān)知識(shí)對(duì)其進(jìn)行了定性的分析和定量的研究。針對(duì)問題一，首先判斷基本多邊形能否滿足設(shè)計(jì)需求；其次，利用貪婪算法的思想逐步尋找內(nèi)筒孔的最佳形狀，通過計(jì)算各種可能形狀的線性區(qū)間并進(jìn)行比較得知內(nèi)筒孔設(shè)計(jì)為四邊形時(shí)能滿足的線性區(qū)間較好；最后，對(duì)四邊形進(jìn)行改進(jìn)，令內(nèi)筒孔的邊界盡量與外筒孔有可重合的區(qū)域(即將四邊形與外筒孔相鄰的邊界改成圓弧形狀)，經(jīng)計(jì)算可得此時(shí)的內(nèi)筒孔的形狀滿足設(shè)計(jì)規(guī)范，具體形狀為：針對(duì)問題二，在問題一的基礎(chǔ)上，首先，令第一問設(shè)計(jì)的形狀滿足內(nèi)筒孔的面積要求以及線性區(qū)間的長(zhǎng)度要求中的一個(gè)，在保證能滿足其中一個(gè)條件的基礎(chǔ)上對(duì)圖形改進(jìn)看是否能滿足第二個(gè)條件，最綜得到連續(xù)的線性區(qū)域無法滿足設(shè)計(jì)要求，結(jié)合貪婪算法的思想，考慮內(nèi)筒孔的線性區(qū)間不連續(xù)的情況重新設(shè)計(jì)內(nèi)筒孔的形狀，確定內(nèi)筒孔的大體形狀為： 最后，引入“接近度”的概念，用其作為反映設(shè)計(jì)圖形滿足設(shè)計(jì)規(guī)范的程度指標(biāo)，將主要工作區(qū)中所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間盡量長(zhǎng)及主要工作區(qū)的最大“過流面積”盡量大這兩個(gè)求解目標(biāo)轉(zhuǎn)化為求解總的接近度最大這一目標(biāo)，同時(shí)以線性區(qū)間長(zhǎng)度和過流面積大小的比例要求等作為約束條件構(gòu)建最優(yōu)化模型對(duì)內(nèi)筒孔形狀的橫縱向比例及段角度進(jìn)行求解，通過求解得出第一段線性區(qū)間弧對(duì)應(yīng)的角度為118.1度，第二段線性區(qū)間弧對(duì)應(yīng)的角度為64.2度，內(nèi)筒孔縱橫向的比例為0.847。關(guān)鍵詞：貪婪算法 最優(yōu)化模型 線性關(guān)系 接近度1問題重述1.1背景資料油田采油用的油井都是先用鉆機(jī)鉆幾千米深的孔后，再利用固井機(jī)向四周的孔壁噴射水泥砂漿得到水泥井管后形成的。固井機(jī)上用來控制砂漿流量的閥是影響水泥井管質(zhì)量的關(guān)鍵部件，但也會(huì)因磨損而損壞。目前我國還不能生產(chǎn)完整的閥體，固井機(jī)仍依賴進(jìn)口。由于損壞的內(nèi)筒已經(jīng)被磨損得面目全非，根本無法測(cè)繪出原來的形狀，因此維修時(shí)只能根據(jù)工作原理并結(jié)合閥的結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)。根據(jù)儀表刻度可知控制流量的閥是一個(gè)線性閥，即閥體的旋轉(zhuǎn)角度與砂漿流量成正比。在設(shè)計(jì)分析中假設(shè)砂漿的壓力恒定，進(jìn)而流量與過流面積成正比，因此閥體的旋轉(zhuǎn)角度應(yīng)該與過流面積成正比。一般來講，控制流量的閥體為兩個(gè)同心圓柱筒。外筒固定，它的側(cè)面上有一個(gè)孔，形狀為兩個(gè)直徑不等的圓柱體的交線。內(nèi)筒和外筒軸向之間沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，內(nèi)筒可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)。內(nèi)筒的側(cè)面上也有一個(gè)孔，它原來的形狀未知，砂漿可以從兩個(gè)孔的相交部分即“過流面積”流過。顯然“過流面積”不能超過外筒孔的面積?，F(xiàn)在數(shù)控機(jī)床比較普及，只要知道曲線的形狀就可以在維修所需要的內(nèi)筒上加工出合適的孔。當(dāng)然從實(shí)際加工角度考慮，內(nèi)筒孔的形狀也不宜太復(fù)雜。1.2 問題提出把兩個(gè)圓柱筒展開成平面，即為兩個(gè)長(zhǎng)方形，筒的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)長(zhǎng)方形的平動(dòng)來思考，此時(shí)可將外筒孔近似看作圓孔。1) 討論在上述閥體結(jié)構(gòu)下，在“過流面積”從為零直到外筒孔面積的范圍(簡(jiǎn)稱最大范圍)內(nèi)，能否通過選擇內(nèi)筒孔形狀實(shí)現(xiàn)大范圍內(nèi)，使過流面積與內(nèi)筒旋轉(zhuǎn)角近似成線性關(guān)系，同時(shí)在“最大范圍”內(nèi)，實(shí)際情況與嚴(yán)格線性關(guān)系的誤差在某種意義下最小。2) 實(shí)際上，固井機(jī)向孔壁噴射水泥砂漿時(shí)經(jīng)常采用的過流面積”是在一個(gè)稍小的范圍內(nèi)，被稱為主要工作區(qū)，它是最大范圍中的一段。因此，在維修固井機(jī)內(nèi)筒時(shí)，比較令人滿意的內(nèi)筒孔形狀應(yīng)該使主要工作區(qū)中所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間盡量長(zhǎng)（至少達(dá)最大范圍區(qū)間長(zhǎng)度的75%以上），而且主要工作區(qū)的最大“過流面積”盡量大（至少要達(dá)到外筒孔面積的85%以上），并且使過流面積和內(nèi)筒的旋轉(zhuǎn)角度之間的“線性關(guān)系”盡量地好。請(qǐng)按此要求設(shè)計(jì)內(nèi)筒孔的形狀。如果固井機(jī)的外筒孔也發(fā)生了程度較輕的磨損，怎么辦？ 2.問題分析本題主要研究線性流量閥的的設(shè)計(jì)問題，在滿足設(shè)計(jì)規(guī)范的情況下設(shè)計(jì)內(nèi)筒孔的形狀。題中已經(jīng)對(duì)固井機(jī)實(shí)際生活中的應(yīng)用背景及設(shè)計(jì)要求做了簡(jiǎn)單的描述，建立在對(duì)本文各要點(diǎn)和概念理解的基礎(chǔ)上，本著對(duì)自然科學(xué)的熱愛以及對(duì)國家建設(shè)事業(yè)積極負(fù)責(zé)的態(tài)度對(duì)以下各問題展開討論。 對(duì)于問題一，以實(shí)際應(yīng)用的規(guī)范性為原則，保證設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)單、易懂。在討論各個(gè)固井機(jī)內(nèi)、外筒之間各種函數(shù)關(guān)系時(shí)，可以把實(shí)際的部件看成是空間幾何體進(jìn)行討論。如果選擇一種內(nèi)筒孔形狀可以實(shí)現(xiàn)“過流面積”與內(nèi)筒旋轉(zhuǎn)角度成嚴(yán)格的線性關(guān)系，那么旋轉(zhuǎn)的角度跟過流面積的增加量成正比，（由于外筒孔是圓形）要想滿足這一點(diǎn)那么所選圖形必須有兩條邊是平行的這樣才能保證每旋轉(zhuǎn)一度與圓重合的面積的增加量是一定值，且如果是嚴(yán)格的線性關(guān)系那么在內(nèi)外筒孔相交的第一個(gè)點(diǎn)以后旋轉(zhuǎn)的角度的大小與過流面積大小成嚴(yán)格的比例關(guān)系，因此內(nèi)筒孔形狀上的還應(yīng)有其余兩條邊應(yīng)該是與外筒孔半徑相等的弧，把內(nèi)筒孔構(gòu)造成一個(gè)這樣的圖形就可以實(shí)現(xiàn)“過流面積”與內(nèi)筒旋轉(zhuǎn)角度成嚴(yán)格的線性關(guān)系，如果這個(gè)圖形不存在，我們就只能選擇一種有兩條邊平行的圖形，使其在一定范圍內(nèi)成線性關(guān)系。 對(duì)于問題二，要采用積極創(chuàng)新的思維，在問題一內(nèi)筒孔形狀研究的基礎(chǔ)上的，對(duì)內(nèi)筒孔的面積以及線性區(qū)間的長(zhǎng)度做進(jìn)一步的要求，首先我們可以使第一問的模型設(shè)計(jì)成滿足內(nèi)筒孔的面積以及線性區(qū)間的長(zhǎng)度兩個(gè)條件中的一個(gè)，在保證能滿足其中一個(gè)條件設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行改進(jìn)看是否能滿足第二個(gè)條件，如果能滿足就盡量使其內(nèi)筒孔的面積盡量大以及線性區(qū)間的長(zhǎng)度盡量大，如果無法滿足就對(duì)內(nèi)筒孔的形狀重新設(shè)計(jì)，使其線性區(qū)間離散化（不連續(xù)）成階梯狀，時(shí)期分段線性區(qū)間的長(zhǎng)度，和個(gè)分段的面積之和滿足題目給出的設(shè)計(jì)。3.模型的假設(shè)1 假設(shè)筒的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)長(zhǎng)方形的平動(dòng)來思考；2 假設(shè)內(nèi)筒和外筒在軸向間是相對(duì)運(yùn)動(dòng)的；3 假設(shè)水泥砂漿的流量與旋轉(zhuǎn)角度和過流面積近似成正比；4 假設(shè)固井機(jī)的外筒孔的磨損程度較輕。4.符號(hào)系統(tǒng)及說明符號(hào)含義已知閥體結(jié)構(gòu)下流量閥內(nèi)筒孔的縱向長(zhǎng)度線性流量閥外筒孔的半徑所設(shè)計(jì)的內(nèi)筒孔的面積主要工作區(qū)中所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間長(zhǎng)度已知閥體結(jié)構(gòu)下流量閥內(nèi)筒孔的橫向長(zhǎng)度外筒孔的面積5模型的建立與求解5.0名詞解釋1 過流面積：內(nèi)筒側(cè)面的小孔和外筒側(cè)面上小孔重合部分的面積。2 最大范圍：線性流量閥閥體的過流面積達(dá)到外筒孔的面積。3 線性關(guān)系：從數(shù)學(xué)的角度看，線性關(guān)系可理解為自變量改變單位大小時(shí)，因變量以固定大小發(fā)生變化。5.1 設(shè)計(jì)滿足一定規(guī)范的內(nèi)筒孔形狀一、明確設(shè)計(jì)要求 在油田開采的過程中，固井機(jī)上用來控制砂漿流量的閥是影響水泥井管質(zhì)量的關(guān)鍵部件，其內(nèi)筒因磨損而損壞后無法測(cè)繪出原來的形狀，因此維修時(shí)需要根據(jù)工作原理和閥的結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)內(nèi)筒，為此，我們需了解流量閥的特點(diǎn)和基本構(gòu)造、明確對(duì)內(nèi)筒的設(shè)計(jì)規(guī)范和要求。1 流量閥的特點(diǎn)及基本構(gòu)造控制流量的閥體為兩個(gè)直徑大致相同的同心圓柱筒，其中外筒固定，其側(cè)面有一個(gè)孔(形狀為兩個(gè)直徑不等的圓柱體的交線。與外筒直徑近似相同的內(nèi)筒上同樣有一個(gè)孔，流量閥的特點(diǎn)是內(nèi)筒孔與外筒孔相交部分的面積與旋轉(zhuǎn)角度滿足線性關(guān)系，這樣是為了便于控制內(nèi)筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角度和速度，如右圖所示：2內(nèi)筒孔的設(shè)計(jì)規(guī)范和要求 線性流量閥的內(nèi)筒和外筒軸向之間沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，內(nèi)筒可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)。內(nèi)筒的側(cè)面上也有一個(gè)孔，砂漿可以從兩個(gè)孔的相交部分即“過流面積”流過。內(nèi)筒孔的形狀應(yīng)滿足以下幾個(gè)要求： 滿足線性關(guān)系。即當(dāng)內(nèi)筒轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，移動(dòng)量改變單位大小時(shí)，過流面積以固定大小發(fā)生變化。 兩孔相交的部分的最大面積不能超過外筒孔的面積。 內(nèi)筒孔的形狀也不宜太復(fù)雜。目前的科技水平，只要知道曲線的形狀就可以利用數(shù)控機(jī)床在維修所需要的內(nèi)筒上加工出合適的孔。但從實(shí)際加工角度考慮，內(nèi)筒孔的形狀過于復(fù)雜將大大增加成本且加工的精確性受到影響。二、空間問題的平面化處理為了研究問題的方便，可將問題進(jìn)行平面化求解計(jì)算。主要考慮兩個(gè)方面的的轉(zhuǎn)化，一是對(duì)空間圖形的平面化處理，二是將外筒的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為平面化矩形的平動(dòng)。這樣既便于定量研究線性流量閥的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，又能從平面的角度考慮線性關(guān)系的檢驗(yàn)。1將閥體結(jié)構(gòu)進(jìn)行平面化處理把兩個(gè)圓柱筒展開成平面，即為兩個(gè)長(zhǎng)方形，筒的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)長(zhǎng)方形的平動(dòng)來思考，此時(shí)可將外筒孔近似看作在長(zhǎng)方形上的圓孔。示意圖如下： 2. 將轉(zhuǎn)動(dòng)近似看做平動(dòng)控制流量的閥體為兩個(gè)直徑大致相同的同心圓柱筒，其中外筒固定，內(nèi)筒旋轉(zhuǎn)，當(dāng)將閥體結(jié)構(gòu)進(jìn)行平面化處理時(shí)，內(nèi)筒的轉(zhuǎn)動(dòng)近似看做矩形的平動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)過程中與外筒轉(zhuǎn)化為的長(zhǎng)方形發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)。三、設(shè)計(jì)滿足規(guī)范的內(nèi)筒孔形狀設(shè)計(jì)內(nèi)筒孔的形狀最關(guān)鍵的是尋找滿足線性關(guān)系的圖形，根據(jù)線性關(guān)系的定義可在規(guī)定。即當(dāng)內(nèi)筒轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，移動(dòng)量改變單位大小時(shí)，過流面積以固定大小發(fā)生變化。兩孔相交的部分的最大面積不能超過外筒孔的面積。內(nèi)筒孔的形狀也不宜太復(fù)雜。1基本設(shè)計(jì)思路將問題平面化處理后，判斷其是否滿足線性關(guān)系主要考慮當(dāng)內(nèi)筒孔逐漸接近外筒孔外筒孔時(shí)，移動(dòng)單位距離，過流面積的改變量是否相同，設(shè)計(jì)過程可先從規(guī)則圖形為出發(fā)，研究規(guī)則圖形下是否能滿足設(shè)計(jì)規(guī)范，明確兩種極端的情況，即在內(nèi)筒轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，當(dāng)外筒孔剛剛到達(dá)內(nèi)筒孔的邊緣和外筒孔恰好偏離內(nèi)筒孔的邊緣這兩種情況。2設(shè)計(jì)的思維拓展設(shè)計(jì)圖形的關(guān)鍵是切合設(shè)計(jì)規(guī)范，較易滿足的是內(nèi)筒孔的面積不超過外筒孔，僅需滿足內(nèi)筒孔徑向和縱向的范圍不超過外筒孔的直徑即可。線性關(guān)系的滿足與否是解決問題的關(guān)鍵，應(yīng)先從規(guī)則圖形出發(fā)，探討圖形的設(shè)計(jì)方案。 考慮基本多邊形能否滿足設(shè)計(jì)規(guī)范線性關(guān)系的滿足與否主要取決于內(nèi)筒孔在移動(dòng)的過程移動(dòng)單位距離時(shí)和外筒孔重合部分面積的改變量是否相同?？紤]圖形的對(duì)稱性和圓的特點(diǎn)。對(duì)基本多邊形進(jìn)行檢驗(yàn)，如圖所示【圖形說明】：由上圖可看出，基本圖形中，三角形、四邊形、圓形等都不能滿足較好的線性關(guān)系，因此，考慮不規(guī)則圖形是否滿足設(shè)計(jì)需求。 在規(guī)范下設(shè)計(jì)符合需求的圖形根據(jù)以上分析，可得出兩個(gè)結(jié)論，一是若滿足線性關(guān)系，則圖形的上下底邊應(yīng)近似平行；二是圖形的邊界盡量與外筒孔有可重合的區(qū)域。因此，在基本多邊形無法滿足要求的前提下，設(shè)計(jì)內(nèi)筒孔的形狀為：將外筒和內(nèi)筒平面化處理后，結(jié)合內(nèi)筒孔的形狀及位置(內(nèi)筒孔的面積不超過外筒孔的面積)，最終得到以下圖形：3明確內(nèi)筒孔的最佳位置根據(jù)題意，原則上內(nèi)筒孔可利用的面積越大越好，即過流面積的最大時(shí)恰好達(dá)到內(nèi)筒孔的面積。因此，內(nèi)筒孔的位置在外筒孔中心軸線所在的平面時(shí)可利用率較好。將內(nèi)筒和外筒平面化處理后，內(nèi)筒孔的水平中垂線與外筒孔中垂線近似重合時(shí)內(nèi)筒孔的可利用程度最大。下圖可直觀得表示出內(nèi)筒孔位置在中心軸線的科學(xué)性(陰影部分為重合的區(qū)域)，示意圖如下： 四、對(duì)設(shè)計(jì)形狀是否滿足設(shè)計(jì)要求的定量檢驗(yàn)1、考慮是否滿足線性關(guān)系設(shè)內(nèi)筒孔的徑向長(zhǎng)度為，縱向長(zhǎng)度為，外筒孔的半徑為，則內(nèi)筒孔的面積可表示為：設(shè)內(nèi)筒的水平移動(dòng)量為，則面積的改變量為： 由上式可看出當(dāng)平移量一定時(shí)，面積的該變量是定值，因此，能通過選擇內(nèi)筒孔形狀實(shí)現(xiàn)大范圍內(nèi)，使過流面積與內(nèi)筒旋轉(zhuǎn)角近似成線性關(guān)系，同時(shí)在最大范圍 內(nèi)，實(shí)際情況與嚴(yán)格線性關(guān)系的誤差在某種意義下最小。反映在圖示中如下：2、內(nèi)筒孔縱向和橫向的距離滿足的約束假設(shè)內(nèi)筒孔恰好內(nèi)接于外筒孔，設(shè)內(nèi)筒孔的橫向長(zhǎng)度為，縱向長(zhǎng)度為，外筒孔的半徑為，則根據(jù)圓的性質(zhì)可知其滿足的等式關(guān)系為： (1)由上式得縱向長(zhǎng)度關(guān)于橫向長(zhǎng)度的表達(dá)式為： (2)3、確定過流面積的最大值根據(jù)設(shè)計(jì)的內(nèi)筒孔的形狀可求得當(dāng)內(nèi)筒孔的橫縱向長(zhǎng)度滿足何比例時(shí)過流面積能達(dá)到最大，由不等式的性質(zhì)得：可見，當(dāng)時(shí)的值最大，即此時(shí)的過流面積達(dá)到最大。此時(shí)內(nèi)筒孔的橫向距離與縱向距離是相等的。5.2 設(shè)計(jì)滿足實(shí)際要求的內(nèi)筒孔形狀5.2.1 模型的準(zhǔn)備 一、明確實(shí)際情況中的設(shè)計(jì)要求實(shí)際上，固井機(jī)向孔壁噴射水泥砂漿時(shí)經(jīng)常采用的過流面積”是在一個(gè)稍小的范圍內(nèi)，被稱為主要工作區(qū)，它是最大范圍中的一段。為此，我們需了解實(shí)際情況中流量閥的特點(diǎn)和基本構(gòu)造并明確對(duì)內(nèi)筒的設(shè)計(jì)規(guī)范和要求。二確定內(nèi)筒孔的設(shè)計(jì)規(guī)范和要求 線性流量閥的內(nèi)筒和外筒軸向之間沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，內(nèi)筒可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)。內(nèi)筒的側(cè)面上也有一個(gè)孔，砂漿可以從兩個(gè)孔的相交部分即“過流面積”流過。內(nèi)筒孔的形狀應(yīng)滿足以下幾個(gè)要求： 使主要工作區(qū)中所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間盡量長(zhǎng)（至少達(dá)最大范圍區(qū)間長(zhǎng)度的75%以上） 主要工作區(qū)的最大“過流面積”盡量大(至少要達(dá)到外筒孔面積的85%以上)，其中，固井機(jī)向孔壁噴射水泥砂漿時(shí)經(jīng)常采用的過流面積”是在一個(gè)稍小的范圍內(nèi)，被稱為主要工作區(qū)，它是最大范圍中的一段。 內(nèi)筒孔的面積不得超過外筒孔，且內(nèi)筒孔形狀也不宜太復(fù)雜，且其面積不得超過外筒孔面積。三、判斷連續(xù)的線性區(qū)域是否滿足設(shè)計(jì)需求1、判斷第一問設(shè)計(jì)的內(nèi)筒孔形狀是否滿足設(shè)計(jì)要求根據(jù)以上思路，在問題一內(nèi)的基礎(chǔ)上的，首先判斷第一問的圖形是否滿足內(nèi)筒孔的面積的要求和線性區(qū)間的長(zhǎng)度要求中的一個(gè)，在保證能滿足其中一個(gè)條件設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行改進(jìn)看是否能滿足第二個(gè)條件，如果能同時(shí)滿足兩個(gè)條件就盡量使其內(nèi)筒孔的面積及線性區(qū)間的長(zhǎng)度盡量大，如果無法滿足則對(duì)內(nèi)筒孔的形狀重新設(shè)計(jì)，經(jīng)計(jì)算得：可見第一問設(shè)計(jì)的內(nèi)筒孔形狀不能同時(shí)滿足對(duì)主要工作區(qū)中所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間至少達(dá)“最大范圍”區(qū)間長(zhǎng)度的75%以上，而且主要工作區(qū)的最大“過流面積”至少要達(dá)到外筒孔面積的85%以上兩個(gè)方面的要求，應(yīng)對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)或重新設(shè)計(jì)。2、分析改進(jìn)后的內(nèi)筒孔形狀是否滿足設(shè)計(jì)規(guī)范在第一問的基礎(chǔ)上，對(duì)設(shè)計(jì)形狀進(jìn)行改進(jìn)，為了滿足線性區(qū)間的長(zhǎng)度盡量長(zhǎng)，將圖形設(shè)計(jì)為內(nèi)筒孔邊緣恰好與外筒孔有重合部分的形式，如圖所示：經(jīng)量化分析可得此種情況下不能同時(shí)滿足使主要工作區(qū)中所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間至少達(dá)最大范圍區(qū)間長(zhǎng)度的75%以上，而且主要工作區(qū)的最大“過流面積”至少要達(dá)到外筒孔面積的85%以上。對(duì)其他的可行圖形進(jìn)行分析得知連續(xù)的線性區(qū)域無法同時(shí)滿足對(duì)線性區(qū)間長(zhǎng)度和過流面積的要求。四、確定內(nèi)筒孔的形狀經(jīng)以上分析得知連續(xù)的線性區(qū)域無法同時(shí)滿足對(duì)線性區(qū)間長(zhǎng)度和過流面積的要求。結(jié)合貪婪算法的思想，考慮將設(shè)計(jì)為階梯狀的結(jié)構(gòu)，根據(jù)設(shè)計(jì)規(guī)范，得到內(nèi)筒孔的形狀如右圖所示。 將外筒和內(nèi)筒平面化處理后，結(jié)合內(nèi)筒孔的形狀及位置(內(nèi)筒孔的面積不超過外筒孔的面積)，最終結(jié)合貪婪算法的思想得到以下圖形： 五、定量分析并優(yōu)化內(nèi)筒孔的具體形狀過流面積是在一個(gè)稍小的范圍內(nèi)，被稱為主要工作區(qū)，它是最大范圍中的一段。因此，在維修固井機(jī)內(nèi)筒時(shí)，比較令人滿意的內(nèi)筒孔形狀應(yīng)該使主要工作區(qū)中所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間盡量長(zhǎng)（至少達(dá)最大范圍區(qū)間長(zhǎng)度的75%以上），而且主要工作區(qū)的最大“過流面積”盡量大（至少要達(dá)到外筒孔面積的85%以上），并且使過流面積和內(nèi)筒的旋轉(zhuǎn)角度之間的“線性關(guān)系”盡量地好。1、確定內(nèi)筒孔面積的表達(dá)式根據(jù)上文中得到的內(nèi)筒孔形狀，分析當(dāng)其內(nèi)切于外筒空時(shí)(即過流面積最大時(shí))，內(nèi)筒孔面積的表達(dá)式。將問題平面化處理后，由圓的特殊性質(zhì)可求得內(nèi)筒孔的面積表達(dá)式，結(jié)合右圖，設(shè)為短弦長(zhǎng)度，為長(zhǎng)弦長(zhǎng)度，為短弦中點(diǎn)到圓心距離，為長(zhǎng)弦中點(diǎn)到圓心距離，為長(zhǎng)弦對(duì)應(yīng)角度，為短弦對(duì)應(yīng)角度。則由右圖可知： 設(shè)為內(nèi)筒孔沿軸線分為兩部分時(shí)，外筒孔與內(nèi)筒孔的間隙所占的面積為： （1）設(shè)長(zhǎng)弦對(duì)應(yīng)弓形部分的面積為，所對(duì)應(yīng)扇形部分的面積為，長(zhǎng)弦與圓心構(gòu)成的三角形的面積為，則根據(jù)三則的位置關(guān)系和圓形的有關(guān)性質(zhì)可得： （2）將(1)代入(2)整理得：設(shè)外筒孔的面積為，則內(nèi)筒孔的面積可表示為：此時(shí)線性區(qū)間長(zhǎng)度為：2、分析目標(biāo)函數(shù)根據(jù)題意得知，內(nèi)筒孔形狀應(yīng)該盡量使主要工作區(qū)中所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間盡量長(zhǎng)而且主要工作區(qū)的最大“過流面積”盡量大，并且使過流面積和內(nèi)筒的旋轉(zhuǎn)角度之間的“線性關(guān)系”盡量地好。因此根據(jù)以下步驟確定求解目標(biāo)： 引入“接近度”的概念根據(jù)題意應(yīng)將主要工作區(qū)中所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間盡量長(zhǎng)（至少達(dá)最大范圍區(qū)間長(zhǎng)度的75%以上），而且主要工作區(qū)的最大“過流面積”盡量大（至少要達(dá)到外筒孔面積的85%以上）作為優(yōu)化模型的主要目標(biāo)，為了將兩個(gè)目標(biāo)統(tǒng)一起來，引入“接近度”的概念，分別得到線性區(qū)間長(zhǎng)度和過流面積的接近度分別為：線性區(qū)間長(zhǎng)度的接近度=過流面積的接近度=設(shè)圓的面積為，內(nèi)筒孔的面積為，主要工作區(qū)中所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間線性區(qū)間長(zhǎng)度的接近度為可表示為：，同理可設(shè)主要工作區(qū)中所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間為，外筒孔的半徑為，過流面積的接近度可表示為：=。 確定總接近度最大為目標(biāo)根據(jù)上文中得到的內(nèi)筒孔形狀，分析當(dāng)其內(nèi)切于外筒空時(shí)(即過流面積最大時(shí))，內(nèi)筒孔面積的表達(dá)式。將問題平面化處理后，由圓的特殊性質(zhì)可求得內(nèi)筒孔的面積表達(dá)式，結(jié)合右圖，設(shè)為短弦長(zhǎng)度，為長(zhǎng)弦長(zhǎng)度，為短弦中點(diǎn)到圓心距離，為長(zhǎng)弦中點(diǎn)到圓心距離，為長(zhǎng)弦對(duì)應(yīng)角度，為短弦對(duì)應(yīng)角度，則由右圖可知： (1)設(shè)長(zhǎng)弦對(duì)應(yīng)弓形部分的面積為，所對(duì)應(yīng)扇形部分的面積為，長(zhǎng)弦與圓心構(gòu)成的三角形的面積為，則根據(jù)三則的位置關(guān)系和圓形的有關(guān)性質(zhì)可得： (2)結(jié)合題意，將主要工作區(qū)中所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間至少達(dá)最大范圍區(qū)間長(zhǎng)度的75%以上，且主要工作區(qū)的最大“過流面積”至少要達(dá)到外筒孔面積的85%以上這兩個(gè)求解目標(biāo)轉(zhuǎn)化為求解總的接近度最大為目標(biāo)： (3)將(1)式和(2)式代入(3)式中將目標(biāo)表示為： 注：圓的面積為，內(nèi)筒孔的面積為，主要工作區(qū)中所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間為，外筒孔的半徑為，為長(zhǎng)弦長(zhǎng)度，為短弦中點(diǎn)到圓心距離。 3、明確約束條件 對(duì)主要工作區(qū)最大“過流面積”的約束根據(jù)上文中得到的內(nèi)筒孔形狀，分析當(dāng)其內(nèi)切于外筒空時(shí)(即過流面積最大時(shí))，內(nèi)筒孔面積的表達(dá)式。將問題平面化處理后，由圓的特殊性質(zhì)可求得內(nèi)筒孔的面積表達(dá)式，結(jié)合右圖，設(shè)為短弦長(zhǎng)度，為長(zhǎng)弦長(zhǎng)度，為短弦中點(diǎn)到圓心距離，為長(zhǎng)弦中點(diǎn)到圓心距離，為長(zhǎng)弦對(duì)應(yīng)角度，為短弦對(duì)應(yīng)角度，則由右圖可知，設(shè)長(zhǎng)弦對(duì)應(yīng)弓形部分的面積為，所對(duì)應(yīng)扇形部分的面積為，長(zhǎng)弦與圓心構(gòu)成的三角形的面積為，則根據(jù)三者的位置關(guān)系和圓形的有關(guān)性質(zhì)可得： 此時(shí)線性區(qū)間長(zhǎng)度d為：因此，將主要工作區(qū)的最大“過流面積”至少要達(dá)到外筒孔面積的85%以上這一約束表示為： 對(duì)主要工作區(qū)中所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間的約束結(jié)合上圖，可知內(nèi)筒孔主要工作區(qū)所對(duì)應(yīng)的線性區(qū)間。因此，將主要工作區(qū)中所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間至少達(dá)最大范圍區(qū)間長(zhǎng)度的75%以上這一約束表示為： 對(duì)角度的約束如圖所示，內(nèi)筒孔的邊界線恰好與外筒孔有相交的點(diǎn)，設(shè)為長(zhǎng)弦對(duì)應(yīng)角度，為短弦對(duì)應(yīng)角度，將內(nèi)筒孔設(shè)計(jì)為包含有分段線性區(qū)間的形式后，將問題平面化處理后內(nèi)筒孔可近似看做內(nèi)接于外筒孔。故將這一約束表示為：5.2.2模型的建立結(jié)合題意，及對(duì)內(nèi)筒孔形狀的要求，將主要工作區(qū)中所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間主要工作區(qū)的最大“過流面積”盡量大這兩個(gè)求解目標(biāo)轉(zhuǎn)化為求解總的接近度最大這一目標(biāo)，同時(shí)將對(duì)線性區(qū)間長(zhǎng)度和過流面積大小的數(shù)量要求等作為約束條件構(gòu)建最優(yōu)化模型： 其中：【模型說明】：目標(biāo)函數(shù)總的接近度最大約束條件1對(duì)線性區(qū)間長(zhǎng)度的約束約束條件2對(duì)過流面積大小的約束約束條件3對(duì)圖形邊界對(duì)應(yīng)圓心角的約束【符號(hào)說明】：表示長(zhǎng)弦中點(diǎn)到圓心距離； 表示短弦長(zhǎng)度；表示短弦中點(diǎn)到圓心距離； 表示長(zhǎng)弦長(zhǎng)度；表示長(zhǎng)弦對(duì)應(yīng)角度； 表示短弦對(duì)應(yīng)角度；表示過流面積的接近度和線性區(qū)間長(zhǎng)度的和，即總接近度。5.2.3模型的求解一、模型求解通過lingo求解得出第一段線性區(qū)間弧對(duì)應(yīng)的角度為118.1度，第二段線性區(qū)間弧對(duì)應(yīng)的角度為64.2度，內(nèi)筒孔縱橫向的比例為0.847，主要工作區(qū)中所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間的長(zhǎng)度達(dá)“最大范圍”區(qū)間長(zhǎng)度的85.74%，主要工作區(qū)的最大“過流面積”可達(dá)到外筒孔面積的85%。二、結(jié)