高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.5橢圓課件 理 蘇教版.pptVIP

9 5橢圓 數(shù)學(xué)蘇 理 第九章平面解析幾何 基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí) 題型分類 深度剖析 思想方法 感悟提高 練出高分 1 橢圓的概念平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)f1 f2的距離的和等于常數(shù) 大于f1f2 的點(diǎn)的軌跡叫做 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的 兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的 橢圓 焦點(diǎn) 焦距 集合p m mf1 mf2 2a f1f2 2c 其中a 0 c 0 且a c為常數(shù) 1 若 則集合p為橢圓 2 若 則集合p為線段 3 若 則集合p為空集 a c a c a c 2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 2a 2b 2c c2 a2 b2 知識(shí)拓展 點(diǎn)p x0 y0 和橢圓的關(guān)系 思考辨析 判斷下面結(jié)論是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 或 1 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)f1 f2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓 2 橢圓上一點(diǎn)p與兩焦點(diǎn)f1 f2構(gòu)成 pf1f2的周長(zhǎng)為2a 2c 其中a為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng) c為橢圓的半焦距 3 橢圓的離心率e越大 橢圓就越圓 4 方程mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 表示的曲線是橢圓 4或8 16 解析 所以a 2 b2 a2 c2 3 例1 1 已知圓 x 2 2 y2 36的圓心為m 設(shè)a為圓上任一點(diǎn) 且點(diǎn)n 2 0 線段an的垂直平分線交ma于點(diǎn)p 則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡是 題型一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 思維點(diǎn)撥 解析 答案 例1 1 已知圓 x 2 2 y2 36的圓心為m 設(shè)a為圓上任一點(diǎn) 且點(diǎn)n 2 0 線段an的垂直平分線交ma于點(diǎn)p 則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡是 題型一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 主要考慮橢圓的定義 思維點(diǎn)撥 解析 答案 例1 1 已知圓 x 2 2 y2 36的圓心為m 設(shè)a為圓上任一點(diǎn) 且點(diǎn)n 2 0 線段an的垂直平分線交ma于點(diǎn)p 則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡是 題型一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 點(diǎn)p在線段an的垂直平分線上 故pa pn 又am是圓的半徑 pm pn pm pa am 6 mn 由橢圓定義知 p的軌跡是橢圓 思維點(diǎn)撥 解析 答案 例1 1 已知圓 x 2 2 y2 36的圓心為m 設(shè)a為圓上任一點(diǎn) 且點(diǎn)n 2 0 線段an的垂直平分線交ma于點(diǎn)p 則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡是 題型一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 思維點(diǎn)撥 解析 答案 點(diǎn)p在線段an的垂直平分線上 故pa pn 又am是圓的半徑 pm pn pm pa am 6 mn 由橢圓定義知 p的軌跡是橢圓 橢圓 例1 2 已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸 且長(zhǎng)軸是短軸的3倍 并且過點(diǎn)p 3 0 則橢圓的方程為 思維點(diǎn)撥 解析 答案 例1 2 已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸 且長(zhǎng)軸是短軸的3倍 并且過點(diǎn)p 3 0 則橢圓的方程為 要分焦點(diǎn)在x軸和y軸上兩種情況 思維點(diǎn)撥 解析 答案 例1 2 已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸 且長(zhǎng)軸是短軸的3倍 并且過點(diǎn)p 3 0 則橢圓的方程為 思維點(diǎn)撥 解析 答案 例1 2 已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸 且長(zhǎng)軸是短軸的3倍 并且過點(diǎn)p 3 0 則橢圓的方程為 思維點(diǎn)撥 解析 答案 例1 2 已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸 且長(zhǎng)軸是短軸的3倍 并且過點(diǎn)p 3 0 則橢圓的方程為 思維點(diǎn)撥 解析 答案 思維點(diǎn)撥 解析 答案 思維升華 可以用待定系數(shù)法求解 思維點(diǎn)撥 解析 答案 思維升華 設(shè)橢圓方程為mx2 ny2 1 m 0 n 0且m n 橢圓經(jīng)過點(diǎn)p1 p2 點(diǎn)p1 p2的坐標(biāo)適合橢圓方程 思維點(diǎn)撥 解析 答案 思維升華 思維點(diǎn)撥 解析 答案 思維升華 1 求橢圓的方程多采用定義法和待定系數(shù)法 利用橢圓的定義定形狀時(shí) 一定要注意常數(shù)2a f1f2這一條件 2 求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法 具體過程是先定形 再定量 即首先確定焦點(diǎn)所在位置 然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a b的方程組 如果焦點(diǎn)位置不確定 要考慮是否有兩解 有時(shí)為了解題方便 也可把橢圓方程設(shè)為mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 的形式 思維點(diǎn)撥 解析 答案 思維升華 由c2 a2 b2可得b2 4 其焦點(diǎn)在y軸上 且c2 25 9 16 c2 16 且c2 a2 b2 故a2 b2 16 由 得b2 4 a2 20 2 2014 安徽 設(shè)f1 f2分別是橢圓e x2 1 0 b 1 的左 右焦點(diǎn) 過點(diǎn)f1的直線交橢圓e于a b兩點(diǎn) 若af1 3f1b af2 x軸 則橢圓e的方程為 解析設(shè)點(diǎn)b的坐標(biāo)為 x0 y0 例2 2014 江蘇 如圖 在平面直角坐標(biāo)系xoy中 f1 f2分別是橢圓 1 a b 0 的左 右焦點(diǎn) 頂點(diǎn)b的坐標(biāo)為 0 b 連結(jié)bf2并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)a 過點(diǎn)a作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)c 連結(jié)f1c 題型二橢圓的幾何性質(zhì) 思維點(diǎn)撥 解析 根據(jù)橢圓的定義 建立方程關(guān)系即可求出a b的值 思維點(diǎn)撥 解析 解設(shè)橢圓的焦距為2c 則f1 c 0 f2 c 0 思維點(diǎn)撥 解析 例2 2 若f1c ab 求橢圓離心率e的值 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 例2 2 若f1c ab 求橢圓離心率e的值 求出c的坐標(biāo) 利用f1c ab建立斜率之間的關(guān)系 解方程即可求出e的值 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 例2 2 若f1c ab 求橢圓離心率e的值 解因?yàn)閎 0 b f2 c 0 在直線ab上 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 例2 2 若f1c ab 求橢圓離心率e的值 又ac垂直于x軸 由橢圓的對(duì)稱性 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 例2 2 若f1c ab 求橢圓離心率e的值 又b2 a2 c2 整理得a2 5c2 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 例2 2 若f1c ab 求橢圓離心率e的值 求橢圓的離心率的方法 1 直接求出a c來求解e 通過已知條件列方程組 解出a c的值 2 構(gòu)造a c的齊次式 解出e 由已知條件得出a c的二元齊次方程 然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解 3 通過特殊值或特殊位置 求出離心率 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 2 解析如圖 在 abf中 ab 10 af 6 設(shè)bf m m2 16m 64 0 m 8 設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為f 連結(jié)bf af 由對(duì)稱性 得bf af 6 2a bf bf 14 1 若直線l的方程為y x 4 求弦mn的長(zhǎng) 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 題型三直線與橢圓位置關(guān)系的相關(guān)問題 1 若直線l的方程為y x 4 求弦mn的長(zhǎng) 題型三直線與橢圓位置關(guān)系的相關(guān)問題 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題 一般可以直接聯(lián)立方程 設(shè)而不求 把方程組轉(zhuǎn)化成關(guān)于x或y的一元二次方程 利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式求解 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 1 若直線l的方程為y x 4 求弦mn的長(zhǎng) 題型三直線與橢圓位置關(guān)系的相關(guān)問題 則4x2 5y2 80與y x 4聯(lián)立 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 1 若直線l的方程為y x 4 求弦mn的長(zhǎng) 題型三直線與橢圓位置關(guān)系的相關(guān)問題 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 1 若直線l的方程為y x 4 求弦mn的長(zhǎng) 題型三直線與橢圓位置關(guān)系的相關(guān)問題 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 1 解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題 其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立 消元 化簡(jiǎn) 然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程 解決相關(guān)問題 涉及弦中點(diǎn)的問題常常用 點(diǎn)差法 解決 往往會(huì)更簡(jiǎn)單 1 若直線l的方程為y x 4 求弦mn的長(zhǎng) 題型三直線與橢圓位置關(guān)系的相關(guān)問題 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 2 設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為a x1 y1 b x2 y2 提醒 利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行的 不要忽略判別式 例3 2 如果 bmn的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)f 求直線l方程的一般式 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 例3 2 如果 bmn的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)f 求直線l方程的一般式 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題 一般可以直接聯(lián)立方程 設(shè)而不求 把方程組轉(zhuǎn)化成關(guān)于x或y的一元二次方程 利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式求解 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 例3 2 如果 bmn的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)f 求直線l方程的一般式 解橢圓右焦點(diǎn)f的坐標(biāo)為 2 0 設(shè)線段mn的中點(diǎn)為q x0 y0 又b 0 4 2 4 2 x0 2 y0 故得x0 3 y0 2 即得q的坐標(biāo)為 3 2 設(shè)m x1 y1 n x2 y2 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 例3 2 如果 bmn的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)f 求直線l方程的一般式 則x1 x2 6 y1 y2 4 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 例3 2 如果 bmn的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)f 求直線l方程的一般式 即6x 5y 28 0 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 例3 2 如果 bmn的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)f 求直線l方程的一般式 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 1 解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題 其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立 消元 化簡(jiǎn) 然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程 解決相關(guān)問題 涉及弦中點(diǎn)的問題常常用 點(diǎn)差法 解決 往往會(huì)更簡(jiǎn)單 例3 2 如果 bmn的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)f 求直線l方程的一般式 設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為a x1 y1 b x2 y2 提醒 利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行的 不要忽略判別式 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 將b2 a2 c2代入2b2 3ac 2 若直線mn在y軸上的截距為2 且mn 5f1n 求a b 解由題意 得原點(diǎn)o為f1f2的中點(diǎn) mf2 y軸 所以直線mf1與y軸的交點(diǎn)d 0 2 是線段mf1的中點(diǎn) 由mn 5f1n得df1 2f1n 設(shè)n x1 y1 由題意知y1 0 高頻小考點(diǎn)9高考中求橢圓的離心率問題 思維點(diǎn)撥 解析 溫馨提醒 利用點(diǎn)差法得出關(guān)于a b的方程 思維點(diǎn)撥 解析 溫馨提醒 思維點(diǎn)撥 解析 溫馨提醒 x1 x2 2 y1 y2 2 a2 2b2 又 b2 a2 c2 思維點(diǎn)撥 解析 溫馨提醒 離心率是橢圓的重要幾何性質(zhì) 是高考重點(diǎn)考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn) 這類問題一般有兩類 一類是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率 另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍 無論是哪類問題 其難點(diǎn)都是建立關(guān)于a b c的關(guān)系式 等式或不等式 并且最后要把其中的b用a c表達(dá) 轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式 這是化解有關(guān)橢圓的離心率問題難點(diǎn)的根本方法 思維點(diǎn)撥 解析 溫馨提醒 思維點(diǎn)撥 解析 溫馨提醒 由正弦定理將已知等式轉(zhuǎn)化為pf1 pf2的等量關(guān)系 思維點(diǎn)撥 解析 溫馨提醒 思維點(diǎn)撥 解析 溫馨提醒 離心率是橢圓的重要幾何性質(zhì) 是高考重點(diǎn)考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn) 這類問題一般有兩類 一類是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率 另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍 無論是哪類問題 其難點(diǎn)都是建立關(guān)于a b c的關(guān)系式 等式或不等式 并且最后要把其中的b用a c表達(dá) 轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式 這是化解有關(guān)橢圓的離心率問題難點(diǎn)的根本方法 思維點(diǎn)撥 解析 溫馨提醒 方法與技巧 1 橢圓的定義揭示了橢圓的本質(zhì)屬性 正確理解 掌握定義是關(guān)鍵 應(yīng)注意定義中的常數(shù)大于f1f2 避免了動(dòng)點(diǎn)軌跡是線段或不存在的情況 2 求橢圓方程的方法 除了直接根據(jù)定義外 常用待定系數(shù)法 當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確而無法確定其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí) 設(shè)方程為 1 m 0 n 0 且m n 可以避免討論和煩瑣的計(jì)算 也可以設(shè)為ax2 by2 1 a 0 b 0 且a b 這種形式在解題中更簡(jiǎn)便 方法與技巧 3 討論橢圓的幾何性質(zhì)時(shí) 離心率問題是重點(diǎn) 求離心率的常用方法有以下兩種 1 求得a c的值 直接代入公式e 求得 2 列出關(guān)于a b c的齊次方程 或不等式 然后根據(jù)b2 a2 c2 消去b 轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程 或不等式 求解 失誤與防范 1 判斷兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的方法為比較標(biāo)準(zhǔn)形式中x2與y2的分母大小 2 注意橢圓的范圍 在設(shè)橢圓 1 a b 0 上點(diǎn)的坐標(biāo)為p x y 時(shí) 則 x a 這往往在求與點(diǎn)p有關(guān)的最值問題中用到 也是容易被忽略而導(dǎo)致求最值錯(cuò)誤的原因 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 pf2 6 pf1 2 5 6 4 4 2 若橢圓x2 my2 1的焦點(diǎn)在y軸上 且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍 則m的值為 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 2 4 5 6 7 8 9 1 10 3 解析如圖所示 設(shè)以 0 6 為圓心 以r為半徑的圓的方程為x2 y 6 2 r2 r 0 2 4 5 6 7 8 9 1 10 3 令 122 4 9 r2 46 0 2 3 5 6 7 8 9 1 10 4 解析由題意知af1 a c f1f2 2c f1b a c 且三者成等比數(shù)列 則 af1 f1b 即4c2 a2 c2 a2 5c2 2 3 5 6 7 8 9 1 10 4 2 3 4 6 7 8 9 1 10 5 解析圓m的方程可化為 x m 2 y2 3 m2 則由題意得m2 3 4 即m2 1 m 0 m 1 則圓心m的坐標(biāo)為 1 0 由題意知直線l的方程為x c 又 直線l與圓m相切 c 1 a2 3 1 a 2 答案2 2 3 4 6 7 8 9 1 10 5 2 3 4 5 7 8 9 1 10 6 2 3 4 5 7 8 9 1 10 6 知 mf1f2 60 又 mf1f2 2 mf2f1 所以 mf2f1 30 mf1 mf2 7 2014 遼寧 已知橢圓c 1 點(diǎn)m與c的焦點(diǎn)不重合 若m關(guān)于c的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為a b 線段mn的中點(diǎn)在c上 則an bn 2 3 4 5 6 8 9 1 10 7 如圖 設(shè)mn的中點(diǎn)為d 則df1 df2 2a 6 d f1 f2分別為mn am bm的中點(diǎn) bn 2df2 an 2df1 an bn 2 df1 df2 12 答案12 2 3 4 5 6 8 9 1 10 7 8 橢圓 y2 1的左 右焦點(diǎn)分別為f1 f2 點(diǎn)p為橢圓上一動(dòng)點(diǎn) 若 f1pf2為鈍角 則點(diǎn)p的橫坐標(biāo)的取值范圍是 2 3 4 5 6 7 9 1 10 8 解析設(shè)橢圓上一點(diǎn)p的坐標(biāo)為 x y 即x2 3 y2 0 2 3 4 5 6 7 9 1 10 8 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 1 求橢圓c的方程 2 若直線y x m與橢圓c交于不同的兩點(diǎn)a b 且線段ab的中點(diǎn)m在圓x2 y2 1上 求m的值 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 解設(shè)點(diǎn)a b的坐標(biāo)分別為 x1 y1 x2 y2 線段ab的中點(diǎn)為m x0 y0 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 點(diǎn)m x0 y0 在圓x2 y2 1上 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 1 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解設(shè)f1 c 0 f2 c 0 其中c2 a2 b2 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 設(shè)圓心在y軸上的圓與橢圓在x軸的上方有兩個(gè)交點(diǎn) 且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn) 求圓的半徑 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 p1 x1 y1 p2 x2 y2 是兩個(gè)交點(diǎn) 解如圖 設(shè)圓心在y軸上的圓c與橢圓 y2 1相交 y1 0 y2 0 f1p1 f2p2是圓c的切線 且f1p1 f2p2 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 由圓和橢圓的對(duì)稱性 易知x