（信號與信息處理專業(yè)論文）基于有限脊波變換的圖像去噪方法研究.pdf

摘要 摘要 本文主要研究基于有限脊波變換的圖像去噪方法。文章首先介紹了傳統(tǒng)的小 波閾值去噪和它的主要缺點，在此基礎(chǔ)上介紹了有限脊波變換應(yīng)用予圖像去噪的 優(yōu)越性。針對傳統(tǒng)的有限脊波變換只能應(yīng)用于素數(shù)大小的圖像的缺陷和在處理后 的圖像中引入較多的“纏繞”效應(yīng)的缺陷，本文分別從這兩個方面對傳統(tǒng)的有限 脊波變換做了改進，在保證脊波變換用于圖像去噪的優(yōu)越性的同時，極大地拓寬 了有限脊波變換的應(yīng)用范圍，使得處理圖像變得更加靈活。另外，結(jié)合不同的圖 像，文章給出了不同的去噪效果。結(jié)果顯示，脊波變換在處理具有線性結(jié)構(gòu)體的 圖像時，較小波閾值去噪效果好。最后更進一步介紹了脊波變換的應(yīng)用前景，總 結(jié)了整個過程遇到的主要問題。 關(guān)鍵詞：有限脊波變換有限r(nóng) a d o n 變換圖像去噪小波閩值 a b s t r a c t i m a g ed e n o i s i n gi sw i d e l yu s e di ns o m ea r e a s ，s u c ha si m a g ec o m p r e s s i o n ，t a r g e t r e c o g n i t i o n ，e t c t h ew a v e l e tt h r e s h o l di sa l le f f e c t i v ed e n o i s i n gm e t h o d ，s u i t a b l ef o r i m a g e sw i t hs m o o t ha r e a s b m ，w h e ni ti sa p p l i e dt oi m a g e sw i t hl i n e t y p es t r u c t u r e s ， w a v e l e tt h r e s h o l dm e t h o di n t r o d u c e st o om u c h “r i n g e f f e c ti n t ot h ed e n o i s e di m a g e a r o u n dt h ee d g eo ft h es t r u c t u r e ，a n dt h u sm a k e st h ev i s u a le f f e c te v e nw o r s et h a nt h e n o i s yi m a g e s t h ef i n i t er i d g e l e tt r a n s f o r m ( f r e t ) b a s e dd e n o i s i n gm e t h o d sc a n k e e pt h ed e t a i l so ft h ei m a g ew h i l ed e n o i s i n g ，b u ta tt h es a m et i m e ，i n t r o d u c et h es o c a l l e d “w r a pa r o u n d ”e f f e c t a n o t h e rd r a w b a c ko ff r i ti st h a ti ti so n l ys u i t a b l ef o r p r i m es i z ei m a g e s i nr e s p e c tt ot h e s et w od r a w b a c k s ，t h i sp a p e rd e m o n s t r a t e st w o m e t h o d st oi m p r o v et h ef r n k e y w o r d s ：f i n i t er i d g e l e tt r a n s f o r m ，f i n i t e r a d o nt r a n s f o r m ，i m a g ed e n o i s i n g ， w a v e l e tt h r e s h o l d 西安電子科技大學(xué) 創(chuàng)新性聲明 秉承學(xué)校嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)風(fēng)和優(yōu)良的科學(xué)道德，本人聲明所呈交的論文是我個人在 導(dǎo)師指導(dǎo)下進行的研究工作及取得的研究成果。盡我所知，除了文中特別加以標(biāo) 注和致謝中所羅列的內(nèi)容以外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成 果：也不包含為獲得西安電子科技大學(xué)或其它教育機構(gòu)的學(xué)位或證書而使用過的 材料。與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻均已在論文中做了明確的曉 明并表示了謝意。 申請學(xué)位論文與資料若有不實之處，本人承擔(dān)一切的法律責(zé)任。 本人簽名：1 叁鰻f f 期伽口1 西安電子科技大學(xué) 關(guān)于論文使用授權(quán)的說明 本人完全了解西安電子科技大學(xué)有關(guān)保留和使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：研究生 在校攻讀學(xué)位期間論文工作的知識產(chǎn)權(quán)單位屬西安電子科技大學(xué)。學(xué)校有權(quán)保留 送交論文的復(fù)印件，允許查閱和借閱論文；學(xué)?？梢怨颊撐牡娜炕虿糠謨?nèi)容， 可以允許采用影印、縮印或其它復(fù)制手段保存論文。同時本人保證，畢業(yè)后結(jié)合 學(xué)位論文研究課題再撰寫的文章一律署名單位為西安電子科技大學(xué)。( 保密的論文 在解密后遵守此規(guī)定) 本人簽名 導(dǎo)師簽名 千凼夔傳 學(xué)啦l 同期 同期 第一章緒論 第一章緒論 1 1 研究背景和意義 圖像信息以其信息量大、傳輸速度快、作用距離遠等優(yōu)點成為人類獲取信息 的重要來源及利用信息的重要手段，然而獲取的原始圖像中一般都帶有某種噪聲。 圖像噪聲對圖像分析、圖像壓縮影響極大。由于噪聲信號的存在，不僅使得圖像 壓縮的效率減低，而且會導(dǎo)致后續(xù)圖像處理的效果不理想，因此圖像去噪是圖像 處理領(lǐng)域的一個重要內(nèi)容。傳統(tǒng)的去噪方法是將被噪聲干擾的圖像通過一個低通 濾波器，濾掉噪聲頻率。例如滑動平均窗濾波法、w i e n e r 線性濾波法等。圖像經(jīng) 低通濾波后雖然能達到降低噪聲的效果，但同時也會破壞圖像的細節(jié)，因此如何在 降低噪聲的同時盡可能地保留圖像細節(jié)成為圖像去噪研究的一個重要問題。小波 變換具有良好的時頻局部性，能進行空間與頻率的綜合處理。1 9 9 5 年，d o n o h o ”1 首次提出了小波閾值這個概念，由于此方法在b e s o v 空間上可以得到最佳的估計 值，而其他的線性估計都達不到與此相同的結(jié)果，因此引起了國內(nèi)外學(xué)者的注意。 d o n o h o 等人分析了小波變換的多尺度特性及其對信號能量的集中能力，發(fā)現(xiàn) 比較大的小波系數(shù)一般以實際信號為主，而比較小的系數(shù)則在很大程度上是噪聲， 由此提出了小波系數(shù)閾值化去噪方法。小波閾值是一種非線性的方法，它是在小 波域內(nèi)通過對小波系數(shù)進行處理來達到去噪的目的，其理論前提是，認(rèn)為圖像的 小波系數(shù)是服從廣義高斯分布，且絕對幅值較大的小波系數(shù)主要是由信號變換后 得到的，而絕對幅值較小的小波系數(shù)則主要是由噪聲變換后得到的。這樣就可以 通過設(shè)定閾值將較小的噪聲系數(shù)清除來達到去噪的目的3 4 7 - 5 1 a 但是，由于經(jīng)小波變換后圖像細節(jié)信息也主要表現(xiàn)在高頻區(qū)，對高頻區(qū)按照 閾值去噪后，圖像的細節(jié)信息變得模糊，表現(xiàn)在圖像域就是在圖像的邊緣會產(chǎn)生 “振鈴”效應(yīng)，當(dāng)噪聲強度增大時，經(jīng)小波閾值去噪后的圖像效果甚至不如含噪 聲的圖像。如何去除高頻區(qū)的噪聲信息而保留圖像的原始高頻信息就成了一個值 得研究的問題。 針對具有直線型結(jié)構(gòu)的圖像，基于脊波變換的去噪方法在去除噪聲的同時很 好的保留了圖像的線性細節(jié)，因此具有很好的應(yīng)用前景。 1 2 脊波變換的歷史研究和現(xiàn)狀 信號處理的經(jīng)典方法是傅罩葉變換。傅旱葉變換將信號分解為一組幣交三角 基丁二有限脊波變換的圖像去噪方法研究 函數(shù)的加權(quán)組合，是以三角級數(shù)為正交基。三角級數(shù)對刻畫信號的奇異性特征效 果不佳，故傅里葉分析只適用于處理確定性的平穩(wěn)信號。 小波變換是以“小波基”函數(shù)作為正交函數(shù)基。這種函數(shù)基既克服了傅里葉 分析中三角族發(fā)散的問題，又具有多分辨率分析的特點。小波分析能有效地從信 號中提取所需信息，適合于處理非平穩(wěn)信號。 小波對于具有點狀奇異性的目標(biāo)函數(shù)表示是最優(yōu)的，而自然圖像一般并不是 簡單的一維的相互分離點的組合，不連續(xù)的點( 如邊緣) 是目標(biāo)物體的一個顯著 特點。邊緣是圖像具有奇異性的地方，通過邊緣，可以找到目標(biāo)圖像的廣度，進 而提取目標(biāo)的位置、形狀、朝向等信息。 二維小波可以有效處理分離的、不連續(xù)的邊緣點，而不能處理光滑的邊緣輪 廓線，且小波變換只能獲得有限的方向信息。因此，在表示圖像的邊緣輪廓線時， 小波變換存在不足。 小波變換由于其良好的時頻特性，在實際中得到廣泛地應(yīng)用。而在去噪領(lǐng)域 中，小波變換也得到了許多研究者的重視，利用小波進行去噪，獲得了非常好的 去噪效果。小波去噪方法大體上可以分為三類：小波收縮法、投影方法、相關(guān)方 法。小波收縮去噪法又可以分為閩值收縮法和比例收縮法兩種。閡值收縮法主要 是基于如下的事實：即圖像經(jīng)過小波變換后，比較大的系數(shù)一般都是以實際信號 為主，而比較小的系數(shù)則很大程度是噪聲。因此可以通過設(shè)定合適的閾值來保留 大于閥值的小波系數(shù)，同時將小于閾值的小波系數(shù)置零，再經(jīng)過小波逆變換來實 現(xiàn)圖像去噪。由此可見，如果一種變換方法可以使得圖像變換后信息主要集中在 少數(shù)較大的變換系數(shù)上，而其它的變換系數(shù)都較小( 即獲得一種稀疏的圖像表示 方法) ，則利用保留圖像較大變換系數(shù)的收縮去噪方法可以獲得理想的去噪效果。 圖像是由最基本的點、線、面構(gòu)成的。小波在表示具有點奇異性的目標(biāo)函數(shù) 時是最優(yōu)的基，而在表示線和超平面的奇異性時，并不是最優(yōu)的。因此，小波變 換并不是圖像稀疏表示的最佳方法。 為了克服小波變換在處理高維信號時的不足，s t a n f o r d 大學(xué)e j c a n d e s ” 和d l d o n o h o ”1 研究了一種新的多尺度變換脊波變換( r i d g e l e tt r a n s f o r m ) ， 它能有效地處理二維空間中具有直線奇性的信號。 r i d g e l e t 的理論框架彌補了小波的不足，在線和超平面的奇異性表示上獲得了 良好的特性。對于紋理( 線奇異性) 豐富的圖像，r i d g e l e t 可以獲得比小波更加稀 疏的表示。利用這一點對圖像進行收縮去噪，r i d g e l e t 變換可以獲得更好的去噪效 果“”1 ，同時可以很好地保留圖像的細節(jié)信息。 隨后，m n d o 和m v e t t e r l i “”提出了一種可逆的、正交化的有限脊波變換一 f i n i t er i d g e l e tt r a n s f o r m ( f r i t ) “”。該文將f r i t 應(yīng)用于圖像去噪過程，將閱 值去噪方法擴展應(yīng)用到脊波領(lǐng)域。實驗證明，當(dāng)處理具有直線特征的圖像時，基 第一章緒論 于脊波變換的圖像去噪算法取得了較傳統(tǒng)小波方法更好的效果。 1 3 本文主要內(nèi)容 近年來，基于脊波去噪的各種算法中，有限脊波變換的方法計算簡單、復(fù)雜 度低并且有較好的去噪效果。雖然有限脊波變換在處理具有線性結(jié)構(gòu)特征的圖像 時取得了較好的效果，但它只能應(yīng)用于素數(shù)大小的圖像，并且用有限脊波變換處 理后的圖像中引入了大量的“纏繞”效應(yīng)“”，在一定程度上抵消了有限脊波變換 所帶來的好處。本文在理論上可以使得f r i t 適用于任意大小的圖像，并在減小“纏 繞”效應(yīng)方面對傳統(tǒng)的有限脊波變換做了改進。 本文的具體安排如下： 第一章為緒論部分。主要介紹了脊波變換的發(fā)展歷史、現(xiàn)狀，以及本文的主 要工作。 第二章是本文的預(yù)備知識。前半部分主要介紹小波的發(fā)展，后半部分介紹小 波去噪的原理、方法及步驟和閾值選取準(zhǔn)則。 第三章研究了脊波變換與小波變換的關(guān)系，以及脊波變換的應(yīng)用。 第四章給出了有限脊波變換的定義，最后研究了基于有限脊波變換的去噪方 法及其優(yōu)缺點。 第五章針對傳統(tǒng)有限脊波變換只能應(yīng)用于素數(shù)大小的圖像的缺點，提出了一 種適合于任意大小的有限脊波變換，并將這種新方法應(yīng)用到圖像去噪中，取得了 一定的改進。 第六章針對傳統(tǒng)有限脊波變換會對去噪圖像引入大量的“纏繞”效應(yīng)的缺點， 提出了一種適合于不同行列比的新變換，從而很大程度上減少了新的有限脊波變 換對去噪圖像的影響。 最后是總結(jié)與展望。 第二章小波變換與閾值去噪 第二章小波變換與閾值去噪 小波分析是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個有趣的研究課題。從數(shù)學(xué)角度看，它屬于調(diào)和分 析的范疇，是泛函分析、調(diào)和分析、數(shù)值分析的完美結(jié)晶，是正在發(fā)展的新的數(shù) 學(xué)分支；由于它又具有廣泛的工程內(nèi)涵，從工程角度來看，小波分析是一種信號 與信息處理的工具，它被認(rèn)為是近幾十年來信號處理方法和工具上的重大突破， 是繼傅立葉( f o u r i e r ) 分析的一個劃時代進展。與傅立葉變換相比，小波變換是 時間和頻率的局域變換，是一種線性時頻分析：與短時傅立葉變換相比，小波變 換在時頻平面不同位置具有不同的分辨率，是一種多分辨分析方法，由于小波分 析這種可聚焦到對象的任何細節(jié)的優(yōu)點，使得它“既看到森林( 信號全局) ，又看 到樹木( 信號細節(jié)) ”，因此，它被譽為數(shù)學(xué)顯微鏡?？梢哉f：除了周期性很好的 信號和平穩(wěn)信號外，在信號處理方面幾乎沒有其他的處理工具可以和小波分析媲 美。 近年來，小波理論廣泛運用于多種學(xué)科研究領(lǐng)域，并取得卓越成效。例如： 在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，小波分析可以用來求微分方程解、與分形數(shù)學(xué)相結(jié)合做函數(shù)數(shù)值 逼近；在信號檢測和模式識別中，小波分析可以進行非平穩(wěn)信號檢測、地質(zhì)勘探、 醫(yī)療成像分析、地震檢測分析；在圖像處理領(lǐng)域，小波被用來進行圖像壓縮、邊 緣提取、圖形去噪等。由于小波分析既包含豐富的數(shù)學(xué)理論，又是工程應(yīng)用中強 有力的方法和工具，所以其發(fā)展推動著其它許多學(xué)科和領(lǐng)域的發(fā)展，同時也使得 其本身具有了多學(xué)科相互結(jié)合、相互滲透的特點。討論小波的新理論、新方法和 新應(yīng)用成為當(dāng)前數(shù)學(xué)界和工程界的一個非?；钴S和富有挑戰(zhàn)性的研究領(lǐng)域。 本章首先介紹小波分析和小波去噪的發(fā)展歷史以及現(xiàn)狀，然后介紹本文的篇 章結(jié)構(gòu)和主要內(nèi)容。 2 1 小波發(fā)展的現(xiàn)狀 小波的起源可以追溯到2 0 世紀(jì)初。1 9 1 0 年，h a a r 提出了規(guī)范丁f 交小波基的 思想，他在描述抽象h i l b e r t 空間特性的論文中，首次構(gòu)造了l 2 ( 【o ，l 】) 上緊支撐的 正交函數(shù)系- - h a a r 函數(shù)系。1 9 2 3 年，w a l s h 構(gòu)造了區(qū)間【o ，1 ) 上完備標(biāo)準(zhǔn)證交系， 并被廣泛應(yīng)用于信息論、通訊、計算機、遙感等諸多領(lǐng)域，它是迄今為止人們發(fā) 現(xiàn)的最早的小波包原型。1 9 4 6 年，d g a b o r t ”】提出了加窗f o u r i e r 變換( g a b o r 變換) 進行信號表示的方法，它用平移的g a u s s 函數(shù)對信號進行展丌，這是一種無限支 撐的非幣交小波展丌。 基丁二有限脊波變換的圖像去噪方法研究 真正的小波成形與發(fā)展還是8 0 年代后期才開始的。1 9 8 1 年，法國的地球物 理學(xué)家m o r l e t 仔細研究了g a b o r 變換方法，對f o u r i e r 變換和加窗f o u r i e r 交換的 異同、特點及函數(shù)構(gòu)造作了創(chuàng)造性的研究，提出了用一個函數(shù)的時移和尺度的組 合表示信號的新思想，并于1 9 8 4 年和e g o u p i l l a r d 、a g r a s s m a n i s 首先提出了“小 波分析”的概念，并建立了以他的名字命名的m o r l e t 小波。隨后的1 9 8 6 年， m s m i t h l 1 9 1 提出了共軛鏡像濾波器( c q f ) 這一重要概念，為二進緊支撐小波的構(gòu) 造提供了契機。同年，m e y e r 第一次構(gòu)造出具有衰減性的小波，該小波的二進伸 縮、平移可構(gòu)成l 2 ( r ) 上的規(guī)范正交基，打破了人們認(rèn)為不可實現(xiàn)的設(shè)想，從而 掀起小波研究的熱潮。1 9 8 8 年，數(shù)學(xué)家d a u b e c h i e s 給出了具有緊支撐和任意有限 j 下則階的小波函數(shù)的一般構(gòu)造方法【2 0 j 。1 9 8 9 年，m a l l a t 創(chuàng)造性的把計算機視覺領(lǐng) 域中的多尺度分析方法引入到小波基的構(gòu)造中，統(tǒng)一了s t r o m b e r g 、m e r y e r 、 l e r m a r i e 等人提出的各種小波的構(gòu)造方法，并研究了小波變換的離散形式，提出 了m a l l a t 塔式分解和重構(gòu)算法，為小波應(yīng)用鋪平了道路 4 1 。同年，m e y e r 、c o f m a n 等人提出了小波包的概念。1 9 9 4 年。g o o d m a n 等人建立了多重小波的基本理論 框架【2 1 1 ，進一步豐富了小波理論。如今的小波理論正日趨完善，并被越來越廣泛 的運用于各個領(lǐng)域之中。 2 2 小波去噪 小波變換由于其良好的時頻特性，在實際中得到廣泛地應(yīng)用。而在去噪領(lǐng)域 中，小波變換也得到了許多研究者的重視，利用小波進行去噪，獲得了非常好的 去噪效果。 在信號采集、處理、傳輸過程中，信號不可避免的受到各種外來噪聲的干擾。 傳統(tǒng)的基于傅立葉變換的去噪法和相干平均去噪法在消除噪聲的同時，會造成數(shù) 據(jù)信息的大量丟失。8 0 年代中后期發(fā)展并成熟起來的小波理論與傳統(tǒng)的去噪方法 比較，有著不可比擬的優(yōu)點。 小波去噪的方法主要有模極大值檢測法、屏蔽去噪法和閾值收縮法，其中最 常用的是閡值收縮法( t h r e s h o l dd e n o i s i n g ) 。該方法是1 9 9 2 年，首先由d o n o h o 和 j o l l l l s t o n e 口1 提出，并給出了形如兄= 盯2 螄) 的通用閾值。在1 9 9 2 - - 1 9 9 5 年中 他們做出了一系列卓有成效的工作1 8 1 1 9 1 1 2 2 1 2 3 1 ：從漸進意義上證明了閾值收縮法的 最優(yōu)性；并為小波閾值處理方法先后提出了硬閾值、軟閾值和幾乎硬閾值這類簡 單有效的非線性處理函數(shù)。此后小波閾值收縮法被廣泛運用于去噪領(lǐng)域中，并取 得了很大成功，尤其是高斯噪聲。但是這種通用閾值有著較嚴(yán)重的“過扼殺”傾 向，因此人們紛紛對閩值的選擇進行了研究。 1 9 9 4 年，n a s o n 提出了用來優(yōu)化軟閾值去噪的交叉驗證法【2 ”，之后n w j 塒c h 第二章小波變換與閾值去噪 7 和g - t w a r h o l a 2 - q 又提出了廣義交叉驗證法。1 9 9 6 年，c o i f m a n 在閾值法基礎(chǔ)上提 出了平移不變量小波去噪算法 2 6 i 2 7 1 。1 9 9 8 年，d e s a im d 等提出了s t e i n 無偏風(fēng) 險估計( s u r e ) 閾值團j 。同年，e a b r a m o v i c h 等提出了基于貝葉斯數(shù)學(xué)模型的 貝葉斯( b a y e s ) 閾值 2 9 1 。1 9 9 9 年，b v i d a k o v i c l 3 0 1 提出基于最小化錯誤概率的極 大極小閾值準(zhǔn)則。2 0 0 0 年s g r a c ec h a n g 3 1 】等又提出基于內(nèi)容的空間自適應(yīng)閾值， 使閾值收縮法更加優(yōu)化。同年，s gc h a n g 3 2 l 等還針對多含均勻高斯白噪聲的幅 圖像拷貝，提出了聯(lián)合小波去噪方法，將圖像平均和閾值去噪結(jié)合，解決了多幅 不同渠道樣本的融合和去噪問題。隨著閾值種類的不同，閾值函數(shù)也不斷發(fā)展， 先后出現(xiàn)g a r r o t e 閾值、半軟閾值等i 硎。近年來，基于閾值收縮法仍然不斷有新 的研究成果出現(xiàn)，極大的豐富了小波去噪的內(nèi)容。 圖像去噪是小波變換的重要應(yīng)用領(lǐng)域之一，也是小波應(yīng)用最為成功的領(lǐng)域之 一。其核心技術(shù)是圖像在小波域的統(tǒng)計建模和小波域圖像小波系數(shù)的估計規(guī)則( 也 稱閾值規(guī)則) 。 2 3 閡值去噪的基本原理 閾值o ”去噪的理論前提是，認(rèn)為圖像的小波系數(shù)是服從廣義高斯分布，且絕 對幅值較大的小波系數(shù)主要是由信號變換后得到的，而絕對幅值較小的小波系數(shù) 則主要是由噪聲變換后得到的。這樣就可以通過設(shè)定閾值將較小的噪聲系數(shù)清除 來達到去噪的目的。 設(shè)含噪聲的圖像模型： g 【f ，j 】；f i ，力+ f 【f ，】，i ，一1 ，p ( 2 1 ) 其中g(shù) 【f ，力是觀測圖像的灰度值，廠【f ，力是真實圖像的灰度值，s 【f ，】是觀測 噪聲大多數(shù)圖像去噪中假定噪聲獨立于信號，并且是空間平穩(wěn)的高斯白噪聲 ( a w g n ) 。 那么小波變換圖像去噪的一般實現(xiàn)流程如下： ii l l i ，、。i 一 叫圖像噪聲的小波域建模i i。一 圖2 1 小波去噪流程圖 由一維小波采用張量積構(gòu)成的可分離二維小波變換可將圖像分解成一個低頻 信號l l 和三個方向的高頻分量信號( 水平方向h l 、垂直方向及4 5 度方向 i h ) ，即每 基于有限脊波變換的圖像去噪方法研究 一層分解為4 個子帶信號，低頻子帶又可進一步分解成4 個子帶，如果分解層次數(shù) 為肪則總的子帶數(shù)為3 坍+ 1 在實際處理時，可根據(jù)圖像的復(fù)雜程度和處理要求確 定分解層次。一般而言，信號中有用信息主要集中在低頻區(qū)。同時在同一層中， 硼子帶中的信噪比較 l l 和l h 子帶小。由于噪聲信息主要集中在h l ，l h ， l l 這三 個子帶中，因此在用小波閾值對圖像進行處理時，我們通常只處理這三個子帶， 而保留l l 子帶的信息。 l l 2 l h 2 u l l h l 2衄2 h l i刪l 圖2 2 最大下采樣張量小波分解 圖2 3 小波變換頻率分割 2 4 噪聲統(tǒng)計特性的估計 為了選擇合適的閾值，我們應(yīng)首先對噪聲的特性進行估計，噪聲背景的統(tǒng)計 特性是進行小波域處理的重要依據(jù)。雖然觀測圖像的背景噪聲是多種多樣的，但 為了簡單起見，一般圖像去噪中假定背景噪聲是空間平穩(wěn)的加性高斯白噪聲 ( a w g n ) 。在這種假定下，噪聲的統(tǒng)計特性完全由該隨機過程的均值和方差決定。 并且一般假定噪聲是零均值的，方差成了唯一需要確定的噪聲參數(shù)。 第二章小波變換與聞值去噪 9 通過對圖像數(shù)據(jù)進行二維多層的小波分解，圖像的小波域數(shù)據(jù)模型表示如 下： 以，_ ，) 2 嚶( ，) + k ( i ，川) - ，j - ) ， ( 2 2 ) + l l ，日，h l ，h h ，= 1 ，2 ，工 圖像的小波系數(shù)具有下面特點： ( 1 ) 圖像的小波系數(shù)是幾乎線性不相關(guān)的，這由小波變換的去相關(guān)特性所確 定： ( 2 ) 圖像的能量主要包含在l l 子帶，h l ，l h ，腿子帶分別包含了圖像的水平， 垂直和對角邊緣和紋理信息； ( 3 ) 噪聲的小波系數(shù)服從獨立同分布( i i d ) 的高斯分布，具有零均值和方 差。 由于h h 子帶含有圖像信號能量最少，可以用m a d o ( m e d i a na b s o l u t ed e v i a t i o n ) 估計子估計噪聲標(biāo)準(zhǔn)差： m a d 估計子： 子：竺到些塑：巫蘭! ：絲墮! 三! ：型! 型 ( 2 - 3 ) 0 6 7 4 5 m a d 估計予等于對數(shù)據(jù)從大到小排序，并取最中間的值作為輸出。由于h h 子帶 中由信號引起的大的小波系數(shù)是稀疏的，并且h h 子帶中樣本數(shù)目很大，估計子是 非常精確的。在很多文獻中，可以直接假定噪聲方差是精確知道的。 2 5 各種閾值函數(shù) 噪聲的統(tǒng)計特性估計后，在小波域圖像小波系數(shù)的估計可以通過小波閾值實 現(xiàn)。 閩值函數(shù)是一種簡單的非線性函數(shù)，函數(shù)的輸入是含噪聲的小波系數(shù)和一個 門限，輸出是估計的小波系數(shù)。低通l l 子帶包含了大部分信號能量，一般不做任 何處理。為了簡單起見，我們忽略小波系數(shù)的下標(biāo)： 諦( 所，n ) = 廠( w ( m ，珂) ，旯( 肌，h ) ) ( 2 - 4 ) 其中門限2 ( m ，胛) 由圖像小波系數(shù)的統(tǒng)計模型確定，后面再介紹。由于大多數(shù)的閾 值函數(shù)是在一維信號情況下推導(dǎo)的，對一維信號的處理非常有效，而圖像比一維 信號復(fù)雜得多，因此往往不是十分有效。 常用的閾值函數(shù)包括：硬閾值法( h a r ds h r i n k a g e ) 、軟閾值法( s o f t s h r i n k a g e ) 、幾乎硬閾值法( a l m o s th a r ds h r i n k a g e ) 、g a r r o t e 閾值、半軟閾值 基于有限脊波變換的圖像去噪方法研究 ( s e m i s o f ts h r i n k a g e ) 等。下面我們只介紹前兩種閡值函數(shù)。 2 5 1 軟閾值法( s o f ts h r i n k a g e ) m ” 在軟閾值處理中，小于門限的小波系數(shù)被認(rèn)為主要由噪聲引起。因此被置為零 大于門限的小波系數(shù)主要由圖像引起，在幅度上收縮后被保留，非線性映射函數(shù) 定義為： 諦= 5 0 了w 刈叫一a x 掣高i 二二 c z s ， l ，當(dāng)1 w l a 其中，s i g n ( x ) 為符號函數(shù)。軟閾值處理如下圖所示： 圖2 4 軟閾值處理 軟閾值處理中，大系數(shù)的收縮可以保證恢復(fù)信號的光滑性，但對一維信號， 恢復(fù)的信號的均方誤差( m s e ) 一般稍大。 2 5 2 硬閾值法( h a r dt h r e s h o l d i n g ) m ” 在硬閾值法處理中，幅度小于門限的小波系數(shù)被置為零， 系數(shù)被完全保留下來。具體表達式如下： 訪= 憤耆譬 闕值函數(shù)如圖2 5 所示： 而大于門限的小波 ( 2 - 6 ) 第二章小波變換與溷值去噪 圖2 5 硬閾值處理 同軟閾值函數(shù)相比，硬閾值函數(shù)可以得到小的m s e ，估計信號是原信號的無偏 估計，但估計方差大，估計信號光滑性差。 2 6 確定閾值的方法 2 6 1 統(tǒng)一閾值( u n i v e r s a lt h r e s h o l d ) 哪 通用閾值一般適用于，假設(shè)噪聲為標(biāo)準(zhǔn)均勻高斯白噪聲的一維信號。該假設(shè) 下，認(rèn)為噪聲之間是獨立同分布。 通用閾值的原理是依據(jù)：n 個具有獨立同分布的標(biāo)準(zhǔn)高斯變量中的最大值小于 通用閩值( 3 2 1 式) 的概率隨著n 的增大趨于1 。 該閾值定義為： 旯= 盯五麗 ( 2 7 ) 其中盯為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差，該標(biāo)準(zhǔn)差可以由先驗概率得知，也可以由小波的高頻子帶 系數(shù)估計得到。n 為小波系數(shù)的總和。 2 6 2 自適應(yīng)閾值( a d a p t i v et h r e s h o l d ) 文獻 9 和 1 0 分別提出了s u r e s h r i n k 和b a y e s s h r i n k 的圖像自適應(yīng)軟閡值降 噪算法，該文考慮1 哿b a y e s s h r i n k 降噪算法的思想應(yīng)用到f r i t 上來，即對各尺度下 的f r i t 系數(shù)子矩陣( 子帶) ，分別確定相應(yīng)的閾值： ：( 聽) ：竺 ( 2 8 ) o x 其中盯為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差，盯，為某尺度下的f r i t 系數(shù)子矩陣的標(biāo)準(zhǔn)偏差。 2 基于有限脊波變換的圖像去噪方法研究 2 7 去噪效果的衡量標(biāo)準(zhǔn) 衡量去噪效果的標(biāo)準(zhǔn)可分為兩大類，一類是客觀評判準(zhǔn)則，包括信噪比( s n r ) 、 峰值信噪比( p s n r ) 、最小均方誤差( m s e ) 等；另一類是主觀評判準(zhǔn)則。 2 7 1 客觀評判準(zhǔn)則 當(dāng)圖像的質(zhì)量司用原圖像與恢復(fù)圖像的函數(shù)表示時，我們說它是基于客觀準(zhǔn) 則的。令f i ，刀代表原圖像，g i ，月代表觀測的噪聲圖像，夕【f ，門代表對噪聲圖像 去噪后得到的恢復(fù)圖像，刀f ，刀代表原圖像像素的均值，念是f i ，刀的最大值。 那么各種評判準(zhǔn)則的公式分別如下： 峰值信噪比( p s n r ) ： 一= l o l o g l o c i n 赫l 防 一材v l 。jj，jj 7 信噪比： 舢= l o l o g l o c 群蒜器， 最小均方誤差： m s e 2 面1 刪( 廠【f ，卅a f ( 2 一1 1 ) 2 7 2 主觀評判準(zhǔn)則 表2 1 電視圖像質(zhì)量評價尺度 評分評價說明 1 優(yōu)秀 圖像質(zhì)量1 f 常好，如同人能想象山的最好質(zhì)草。 2良空f 圖像質(zhì)鼙高，觀看舒服，有干擾但不影響觀石。 ：j 可_ 【l j j圖像質(zhì)量可接受，有干擾但不太影響觀看。 4 剛可看圖像質(zhì)量差，干擾有些妨礙觀看，觀察者希望改進。 5籌 圖像質(zhì)量很差，妨礙觀看的干擾始終存在。幾乎無法觀磊。 6不能剛 圖像質(zhì)量極差，不能使用。 盡管客觀準(zhǔn)則提供了一種簡單和方便的評估圖像去噪效果的方法，但很多去 噪圖像是供人看的。在這種情況下，用主觀的方法來測量圖像的質(zhì)量常更為合適。 種常用的方法是對一組( 常超過2 0 個) 精心挑選的觀察者展示一幅去噪后的圖 第二章小波變換與闕值去噪 像，并將他們對該圖的評價綜合平均起來以得到一個統(tǒng)計的質(zhì)量評價結(jié)果。 評價可對照某種絕對的尺度進行。表2 1 給出了一種對電視圖像質(zhì)量進行絕對 評價的尺度，這里根據(jù)圖像的絕對質(zhì)量進行判斷打分。 評價也可通過將f i ，力和f i 】比較并按照某種相對的尺度進行。如果觀察者 將f i ，j 】和f i ，j 】逐個進行對照，則可以得到相對的質(zhì)量分。例如可用 一3 ，一2 ， 一1 ，0 ，1 ，2 ，3 來代表主管評價 很差，較差，稍差，相同，稍好，較好，很好) 。 2 8 計算機仿真實驗 我們采用大小為2 5 6 x 2 5 6 的h o u s e 圖像( 如圖2 6 所示) 進行去噪實驗，所加 的高斯白噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為3 0 。另外，本文所有的去噪方法都采用統(tǒng)一閾值的方法確 定門限，并且都采用硬閾值進行去噪處理。實驗結(jié)果如圖2 7 所示。 圖2 6h o u s e 圖像 ( a ) 噪聲圖像( b ) 小波閾值去噪圖像( “振鈴”效應(yīng)) 圖2 7 小波閾值去噪效果 從圖2 7 ( b ) 可以看出，圖像的邊緣有很多波紋，這一現(xiàn)象就是所謂的“振 鈴”效應(yīng)。在以后幾章中，我們將介紹一種增強邊緣的去噪方法一基于有限脊波 變換的去噪方法。 第三章連續(xù)脊波變換 第三章連續(xù)脊波變換 小波對于具有點狀奇異性的目標(biāo)函數(shù)表示是最優(yōu)的，而自然圖像一般并不是 簡單的一維的相互分離點的組合，不連續(xù)的點( 如邊緣) 是目標(biāo)物體的一個顯著 特點。邊緣是圖像具有奇異性的地方，通過邊緣，可以找到目標(biāo)圖像的廣度，進 而提取目標(biāo)的位置、形狀、朝向等信息。 二維小波可以有效處理分離的、不連續(xù)的邊緣點，而不能處理光滑的邊緣輪 廓線，且小波變換只能獲得有限的方向信息。因此，在表示圖像的邊緣輪廓線時， 小波變換存在不足。 為了克服小波變換在處理高維信號時的不足，s t a n f o r d 大學(xué)e j c a n d e s “” 和d l d o n o h o ”1 研究了一種新的多尺度變換一一連續(xù)脊波變換( c o n t i n u e r i d g e l e tt r a n s f o r m c r t ) ，它能有效地處理二維空間中具有直線奇性的信 號。 脊波變換的核心主要是經(jīng)過r a d o n 變換把線狀奇異性變換成點狀奇異性，小 波變換能有效地處理在r a d o n 域的點狀奇異性。 3 1 連續(xù)脊波變換的定義 定義1 ：設(shè)光滑函數(shù)：r 寸r ，滿足條件：眵( f ) 出= o ，及容許條件： 巧= 孵冰o o c s 一， 則對于參數(shù)集，定義r 2 寸r 函數(shù)： y ，( x ) = 口“”妒( ( z 一b ) a ) ( 3 2 ) 則稱緲，為由容許條件生成的脊波函數(shù)。其中徘為脊波的尺度參數(shù)，滾示方向，b 為位置參數(shù)。 定義2 m ：令“= ( c o s 8 ，s i n s ) ，x = ( 五，屯) 時，脊波函數(shù)為： = 忑l 礦( 翌學(xué) 凈s ， 其中緲( 石) 為一維小波函數(shù)，稱變換 c r t ( a ，b ，口) = j ，口( z ) 廠( z ) 呶 ( 3 4 ) ! 基于有限脊波變換的圖像去噪方法研究 為f ( x ) 在r 2 上的連續(xù)脊波變換。 定義3 “”：設(shè)廠( x ) l 2 ( r 2 ) ，稱變換： 瑪( 口，f ) 2jf ( x ) 8 ( x je o s o + x 2e o s o t ) a x 薩 為f ( x ) 在r 2 上的連續(xù)r a d o n 變換。 由定義2 和3 知，在二維空間中，點與線通過r a d o n 變換相聯(lián)系， 小波變換通過r a d o n 變換相聯(lián)系，即有： ( 3 - 5 ) 而脊波變換與 i ：r 乃( d ，b ，口) = i 乞 ( z ) r r ( 口，o a t ( 3 - 6 ) 聾 其中，( z ) = a - 1 1 2 ( 一b ) a ) 。 因此可以說，脊波變換是r a d o n 變換域上的一維小波變換。 在二維情況下，點和線可通過r a d o n 變換相聯(lián)系，所以脊波變換和小波變換 也可通過r a d o n 變換聯(lián)系起來。脊波分析是以在r a d o n 域的小波分析為基礎(chǔ)形成 的，即線狀奇異性的脊波分析可用點狀奇異性的小波分析來完成，而小波能很好 地處理點狀的奇異性，因此脊波在處理線性( 特別是直線型) 奇異性時表現(xiàn)出了良 好的性能。脊波分析從小波分析中借鑒局部化的思想，它在超平面附近對所有可 能的位置和方向都具有良好的脊波尺度的集中性。 3 2 脊波變換的應(yīng)用 在脊波理論發(fā)展的同時，脊波應(yīng)用的研究工作也在不斷地丌展，主要有以下 幾個方面： 1 ) 脊波在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用( 如函數(shù)逼近) ，用脊波的有限線性組合逼近函數(shù)， 脊波的表示是最優(yōu)的】。 2 ) 脊波在信號處理中的應(yīng)用，包括信號檢測、目標(biāo)識別以及去噪等，如雷達 信號、醫(yī)學(xué)信號、天文信號m 1 、地震信號等。 在脊波分析的框架下，結(jié)合二進小波變換的局部脊波變換，用于檢測直線的 方法，應(yīng)用于方向性較強的圖像獲得了良好的檢測效果。 3 ) 脊波在圖像處理中的應(yīng)用，如圖像融合、圖像去噪m ”?！? 、圖像恢復(fù)、圖 像譯碼等。 3 3 脊波變換的優(yōu)缺點及其存在的問題 第三章連續(xù)脊波變換 1 7 小波變換在描述孤立的點狀奇異性時有效，而脊波變換在描述相互連接在一 起的線狀奇異性時有效，脊波以基元素的形式表示出了非常好的方向敏感性和各 向異性。因此，在圖像處理中使用脊波來檢測圖像的邊緣或輪廓是一種有效的方 法，其效果優(yōu)于小波變換。 脊波作為基函數(shù)用來逼近具備直線型奇異性的函數(shù)具有優(yōu)越性。脊波以穩(wěn)定 的和固定的方式用一系列脊波函數(shù)( 基元素) 的疊加來表示一個具有多變量的函數(shù) 類。在這些新的廣泛的函數(shù)類上，采用各種特殊的高維空間的不均勻性來模擬現(xiàn) 實的信號。因此，用脊波來檢測直線特征，可以有效地捕獲各個尺度、各個位置 和各個方向上的信息。 多尺度脊邊緣往往反映了其骨架信息，而對許多目標(biāo)而言，其骨架往往反映 了其最重要的信息，它將對進一步的分割或識別工作帶來很大的幫助。 脊波只對具有線狀奇異性的圖像邊緣檢測效果明顯，即對于規(guī)則圖像檢測效 果好，然而自然圖像的邊緣通常不一定是直線型的，具有曲線奇異性，這樣脊波 變換就滿足不了要求。 在實際應(yīng)用中，由于c r t 要求具有連續(xù)的參數(shù)空間，因此它不能直接應(yīng)用于離 散圖像。隨后，m n d o 和m v e t t e r l i 提出了一種可逆的、正交化的離散的脊波變 換- - f i n i t er i d g e l e tt r a n s f o r m ( f r i t ) 。我們將在下一章中討論f r i t 在圖像處 理中的應(yīng)用。 第四章有限脊波變換及其在圖像去噪中的應(yīng)用竺 第四章有限脊波變換及其在圖像去噪中的應(yīng)用 在實際應(yīng)用中，由于a 玎要求具有連續(xù)的參數(shù)空間，因此它不能直接應(yīng)用于離 散圖像。m n d o 和m v e t t e r l i “4 提出了一種可逆的、正交化的離散的脊波變換一 f i n i t er i d g e l e tt r a n s f o r m ( f r i t “”) 。這種離散的脊波變換是可逆的、無冗余 的，并且可由快速的算法計算得來，對一個具有線性奇異性的圖像有效。 4 1 有限脊波變換 f r i t 可以通過如下兩步實現(xiàn)： 第一步：對圖像進行有限r(nóng) a d o n 變換“”( f i n i t er a d o nt r a n s f o r m f i 沁) ， 得至u r a d o n 變換域系數(shù)矩陣： 第二步：對r a d o n 變換域系數(shù)矩陣的每一列進行一維小波變換就得到f r i t 變換 域系數(shù)矩陣。 我們首先了解一下有限r(nóng) a d o n 變換。 4 1 1 有限r(nóng) a d o n 變換( f r a t ) 及其反變換的實現(xiàn) 定義集合z ，一 o ，k ，p 一1 ，其中，p 是一個素數(shù)。z ；是通過模p 生成的一個有 限區(qū)域。那么，定義離散圖像，在有限網(wǎng)格z ：上的有限r(nóng) a d o n 變換( f r a t ) 如下： p 】= f r a t ( k ，1 ) 一p 4 膽羅，( f ，d ( 4 - 1 ) i i ，魁 其中，k 表示網(wǎng)格z ：上組成以七為斜率，f 為截距的直線( 當(dāng)七一p 時，代表斜率 無限大或垂直的直線) 的點的集合，或者更確切地定義如下： 厶，； ( f d 。：；等翟k 曼p , l l e 七z 釔p j 呼 c t 5 1 o ，j ) ：，z p ) ； ”“ 注意到，由于直線定義中的模運算，這些直線將表現(xiàn)出“纏繞”現(xiàn)象( 如圖4 1 所 示) ，后文將介紹減小這種影響的方法。引入因子p ，：是為了規(guī)范化為，2 范數(shù)。 冬譽警黧黧姜黧蕓篡端巍麓髫囂 含p 個點，對手任意給定的方向，存在p 條互相半仃陽且線匕“2 8 4 “1 格z ，2 二誰墟炷信形婁攤，有限反射投影算子( f b p ) 定義為對經(jīng)過給定一點的所有 根據(jù)連續(xù)情形類推，有限反射投影算子 ) 定義為c 哼經(jīng)忍強疋一恩列日 f b p , ( 朋萬1 。毳。刪 4 。3 其中，置，記錄了所有經(jīng)過點( i ，j ) 的直線的斜率和截距，利用( 4 2 ) 式可以表示 為： p ，。 他。f ) l f ；j d p ) , k zu ( p , i c ( m o d ) l ( 4 4 ) 霉，；似，唧= 卜 j 。 那么有限r(nóng) a d o n 變換的逆變換可表示為5 i f r a z 螄) 一職階i 1 。毳孵j 3 汁5 陸千絮譬鬈翟慧簍蘭篙雹篆慧囂囂裟盆姜 位于直線集合卑，的p + 1 條直線上，而其他z ；上的點儀儀伍卞且殘采。( ，” 直線上，將( 4 1 ) 式帶入( 4 5 ) 式，得到 劂礁護 。薹門，薹，卅芻。毳；雉。) 書磊：，( f 們d 一嵩鄺j 啊 第四章有限脊波變換及其在圖像去噪中的應(yīng)用塑 4 1 2 有限脊波變換的實現(xiàn) 對特定大小( 素數(shù)大小) 的離散圖像進行有限r(nóng) a d o n 變換，每個方向七上將產(chǎn) 生一個f r a t 序列，對應(yīng)于輸出矩陣 f r a r , k ，f 】， ，z ) 層， 的一列。因此，有限r(nóng) a d o n 變換的結(jié)果是產(chǎn)生一個p ( p + 1 ) 的r a d o n 系數(shù)矩陣。對r a d o n 系數(shù)矩陣的每列分別 進行一維離散多尺度小波變換，最終得到脊波系數(shù)矩陣 m r r , k ，吐 ，f ) p ，l ， 整個過程稱為有限脊波變換的正交換；對f r i t 系數(shù)每一列做一維離散多尺度小波 變換的逆變換，產(chǎn)生有限r(nóng) a d o n 變換系數(shù)矩陣，然后對這個矩陣做f b p 就得到原圖 像，整個f r i t 正反變換的過程如圖4 2 所示。 原圖像 i 口 f r a t 系數(shù)域 f r i t 系數(shù)域 胛 圖4 2f r i t 與f r a t 的關(guān)系 4 2 基于f r i t 的圖像去噪方法 運用基于f r i t 的去噪方法的動機是：在脊波域，圖像的線性奇異性可以由一 些大的系數(shù)表示出來，而隨機的噪聲奇異性不太可能產(chǎn)生較大的系數(shù)。相反，在 小波域，圖像邊緣和噪聲象素都會產(chǎn)生具有相似大小幅度的系數(shù)。因此，對于遠 離直線奇異點的分段光滑的圖像來說，對f r i t 系數(shù)做一個簡單的門限去噪是比較 有效的。 注意到，由于高斯白噪聲的獨立同分布性，那么對圖像做正交f r i t ，在變換 域的噪聲仍然是具有相同方差的高斯白噪聲。因此對脊波變換系數(shù)做閾值處理是 合適的“”。 4 2 1 利用閾值的原理 閾值去噪的基本原理：把經(jīng)過正交有限脊波變換后得到的脊波系數(shù)分成兩類： 第一類僅僅由噪聲變換后得到，這類系數(shù)幅值小，數(shù)目較多；第二類主要由信號， 特別是圖像的直線奇性特征變換而來，并包含噪聲的變換，這類系數(shù)幅值大，數(shù) 目較小?？紤]設(shè)置一個閾值( 由先驗或自適應(yīng)方法得到) ，大于這個閾值的認(rèn)為 是第二類系數(shù)，可以保留( 簡單保留或進行一定的修正處理) ，小于這個閾值的 基于有限脊波變換的圖像去噪方法研究 認(rèn)為是第一類系數(shù)，應(yīng)該去掉它們，從而達到降低噪聲的目的。同時由于保留了 包含大部分信號能量的脊波系數(shù)，又可以較好的保持圖像的細節(jié)。 與小波閾值去噪方法相同，我們這里也采用統(tǒng)一閾值確定門限，并采用硬閾 值進行處理。 4 2 2 基于f r i t 的圖像去噪方法 有了上述理論知識后，那么要建立的基于f r i t 的圖像去噪算法如下： ( 1 ) 預(yù)處理：將圖像擴展到素數(shù)大?。?( 2 ) 估計圖像噪聲韻標(biāo)準(zhǔn)偏差盯( 本文中用到的噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差都為已知) ； ( 3 ) 對噪聲圖像應(yīng)用正交有限脊波變換，得至t j f r i t 系數(shù)矩陣； ( 4 ) 對各尺度下的脊波系數(shù)用統(tǒng)一閾值進行閾值處理； ( 5 ) 對處理后的脊波系數(shù)矩陣應(yīng)用正交有限脊波反變換重構(gòu)圖像； ( 6 ) 對去噪后的圖像采用自適應(yīng)的w i g n e r 濾波器來減少“環(huán)繞”效應(yīng)。 4 。2 3 計算機仿真實驗 為了對比傳統(tǒng)f r i t 去噪方法與小波