（控制理論與控制工程專業(yè)論文）基于LMI的切換系統(tǒng)Hlt2gtHlt∞gt控制研究.pdf

摘要( a b s 臼佻t ) 中文摘要 混雜系統(tǒng)是由離散事件動態(tài)系統(tǒng)與連續(xù)時間( 或離散時間) 動態(tài)系統(tǒng)相互混 合、相互作用而形成的統(tǒng)一動態(tài)系統(tǒng)。切換系統(tǒng)是混雜系統(tǒng)中重要的分支之一。 切換系統(tǒng)可看成是將非線性系統(tǒng)分成若干個線性子系統(tǒng)，通過切換控制規(guī)律將邏 輯動態(tài)和連續(xù)動態(tài)結(jié)合起來。由于切換系統(tǒng)具有的特殊性質(zhì)，對它的研究具有一 定的困難。切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅跟子系統(tǒng)有關(guān)系，而且跟切換策略有重要關(guān)系。 切換系統(tǒng)具有廣泛的實(shí)際背景。如機(jī)器人系統(tǒng)、電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)切換以及多頻采樣 數(shù)字系統(tǒng)控制等。本論文課題是一個非常具有重要理論意義和應(yīng)用價值的研究方 向。 本碩士論文以李亞普諾夫穩(wěn)定性理論為基礎(chǔ)，基于l m i 方法，對一類切換系 統(tǒng)的皿控制、心玩混合控制、魯棒控制進(jìn)行研究。主要研究工作如下： 第一，針對一類線性切換系統(tǒng)，研究了線性切換系統(tǒng)的鼠狀態(tài)反饋控制問題。 給出了由線性矩陣不等式表示的一個使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且滿足以性能指標(biāo)的控 制器存在的充分條件，并設(shè)計了相應(yīng)的控制器和切換策略。 第二，對于連續(xù)時間的切換系統(tǒng)的凰玩狀態(tài)反饋控制問題，利用l m i 式， 通過建立和求解一個凸優(yōu)化問題，給出不確定系統(tǒng)魯棒必玩控制的一種具有更 小保守性的求解方法，并滿足風(fēng)性能指標(biāo)的控制器存在的充分條件，同時設(shè) 計了相應(yīng)的控制器和切換策略。 最后，對同時具有模型參數(shù)不確定性和外部擾動的一類離散切換系統(tǒng)，研究 其風(fēng)和風(fēng)控制問題。首先基于多l(xiāng) y 印u i l o v 函數(shù)法分析含有狀態(tài)反饋控制器 的離散切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性和風(fēng)控制問題；其次基于線性矩陣不等式，研究了h 2 h ?？刂茊栴}，給出不確定魯棒衛(wèi)風(fēng)控制的一種具有更小保守性的求解方法。 i i 摘要( a b s 仃a c t ) 關(guān)鍵詞：切換系統(tǒng)線性矩陣不等式魯棒控制必以控制 摘要( a b s n t ) i i i a b s t r a c t h y b r i ds y s t e m sa r eac l a s so fs y s t e m s 、_ h j c hc o n t a i l lb o t l ld i s c r e t ee v e n td y 徹m i c a 1 1 dc o n t i n u o u s - t 證l eo rd i s c r e t e - t i m ed y n a m i cs y s t e m s ，a r l d 鋤o n gt h e mm e r ee x i s t s i n t e m c t i o n s 謝t c h e ds y s t e m sa r ea l l i m p o r t a n tk i n do fh y b r i ds y s t e m s ，w i l i c ha r e c o m p o s e do faf 鋤i l yo fs u b s y s t e m sa n das 謝t c l l i n gl a w b e c a u s es w i t c h e ds y s t e m s h a v es p e c i a lp r o p e n i e s ，t h er e s e a r c hi sm o r ed i 瓶c u l t t h es t a b i l i t ) ro fas 謝t c h e ds y s t e m n o to n l yd e p e n d so ni t s s u b s y s t e m s ，b u ta l s o r e l i e s u p o nt l l es w i t c l l i n gs t r a t e g y s 麗t c h e ds y s t e m sa r ei 1 1m a n yp r a c t i c a l 印p l i c a t i o n s ，s u c ha u sr o b o t i cs y s t e m s ，e l e c t r i c p o 、v e r 嘶d sa i l ds 鋤p l e d d a t ac o n t r o ls y s t e m s t h e r e f o r e ，t h er e s e a r c ho ns t a b i l i 哆a i l d r o b u s t n e s so f o f s w i t c h e ds y s t e m si sv e 巧i l i l p o r t a l l ta i l dn e c e s s a 夠 i i lt h i sd i s s e 似i o i l ，碼c o n 仃o l ，鼠c o l l 仃o l 觚dr o b u s tc o n t r o lf o ra c l a s so f l i n e a rs w i t c h e ds y g t e m sa r e i i l v e s t i g a t e d ，r e s p e c t i v e l y ，w h i c hi si n v o l v e da sf o l l o w s f i r s t l y ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fc o n t r o l l e r sa i l ds 謝t c h i n gl a wf o r ac l a s so fl i n e a rs 諏t c h e ds y s t e m si sp r o p o s e d ，w m c he n a b l e st h ec l o s e d - l o o ps w i t c h e d s y s t e m sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea n ds a t i s f i e st h e 皿p e o m a n c e s e c o n d l y ，吼風(fēng) s t a t ef e e d b a c kc o n 們lf o rac l a s so fc o m i n u o u s t i m es 嘶t c h e d s y s t e m si sd e v e l o p e db a s e do nl m im e t l l o d t h ec o n v e xo p t i m i z a t i o np r o b l e mi s e s t a b l i s h e df o r 必日二r o b u s tc o i l t r o la 1 1 di t so p t i m i z a t i o ns o l u t i o ni sg i v e nw m c hh a s s m a l l e rc o n s e r v a t i v ep r o p e r 夠 f i l l a l l y ，日二a i l d 皿日二r o b u s tc o i l 仃o l f o rac l a s so fs 、v i t c h e dd i s c r e t e t i m e s y s t e m sw i mp a r a m e t e ru n c e r t a i n 哆齜1 de x t e 功md i s t u r b a n c ea r ep r e s e n t e d ，r e s p e c t i v e l y ， b a s e do nm u l t i p l e l y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d b e s i d e s ， 1 ec o n v e xo p t i m i z a t i o n p m b l e m 觚di t s o p t i i i l i z a t i o n s o l u t i o ni s g i v e nw m c hh 嬲 s m a l l e rc o n s e r v a t i v e i v 摘要( a b s 仃a c t ) p r o p e r t y k e y w o r d s ：s w 禮c h e ds y s t e m s ；l m i ；r o b u s tc o n t r 0 1 ；日2 乒乙c o n t r o l 張金華基于l m i 切換系統(tǒng)h 2 h ?？刂蒲芯?5 9 揚(yáng)州大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明和版權(quán)使用授權(quán)書 學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人聲明：所呈交的學(xué)位論文是在導(dǎo)師指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的研 究成果。除文中已經(jīng)標(biāo)明引用的內(nèi)容外，本論文不包含其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表 的研究成果。對本文的研究做出貢獻(xiàn)的個人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。 本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 學(xué)位論文作者簽名：奢迨華 簽字日期：彳年6 月s 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 ， 本人完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán)保留并向 國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交學(xué)位論文的復(fù)印件和電子文檔，允許論文被查閱和借閱。 本人授權(quán)揚(yáng)州大學(xué)可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索， 可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存、匯編學(xué)位論文。同時授權(quán)中國科學(xué) 技術(shù)信息研究所將本學(xué)位論文收錄到中國學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫，并通過網(wǎng)絡(luò)向 社會公眾提供信息服務(wù)。 學(xué)位論文作者簽名：雅幸 簽字日期：伽卵年 o 使得對所有的切換模態(tài)y ( x ) ：型；盟 ( x ) o ( 。r o ) ，v 力人，那么系 a x 統(tǒng)是穩(wěn)定( 漸近穩(wěn)定) 的；如果y ( x ) 是徑向無界的，則結(jié)果是全局的【5 1 1 。這樣一 個l y a p u i l o v 函數(shù)稱為公共l y a p u i l o v 函數(shù)。 “b e r z o na n ds t e p h e n l l 5 1 對任意切換序列的穩(wěn)定進(jìn)行了討論與研究。l i b e r z o n 【叫 運(yùn)用l i e 代數(shù)理論和方法對公共l y a p u n o v 函數(shù)方法進(jìn)行了研究，將公共l y a p u i l o v 函 數(shù)的存在性轉(zhuǎn)化為切換系統(tǒng)l i e 代數(shù)的可解性問題。而對于一般的切換系統(tǒng)( 1 ) ， 公共l y 印u i l o v 函數(shù)的確定和選取仍然是一個難題。 2 2 線性矩陣不等式基礎(chǔ) 近年來，線性矩陣不等式被廣泛應(yīng)用于解決系統(tǒng)控制中的系列問題。尤其在 m a t l a b 仿真工具中l(wèi) m i 工具箱的推出，進(jìn)一步推動了線性矩陣不等式在系統(tǒng)和控 制領(lǐng)域當(dāng)中的應(yīng)用。許多控制問題都可以轉(zhuǎn)化為一個線性矩陣不等式的可行性問 題，或者是一個具有線性矩陣不等式約束的凸優(yōu)化問題。 張金華基于l m i 切換系統(tǒng)h 2 h ?？刂蒲芯?1 7 線性矩陣不等式定義【7 l 】：一個線性矩陣不等式具有以下形式 f ( 石) = 磊+ 五曩+ + 吒 o ( 2 6 ) 的表達(dá)式。其中五，是朋個實(shí)數(shù)變量，為線性矩陣不等式( 2 6 ) 的決策變 量，x = ( 五，) r r ”是由決策變量構(gòu)成的向量，稱為決策向量， f ( 江0 ，1 ，研) 是一組給定的實(shí)對稱矩陣，式中小于號“ 指的是矩陣，( z ) 是 負(fù)定的，即對所有的非零向量1 ，r ”，v r f ( z ) v o ，或者f ( x ) 的最大特征值小于 零。 在將一些非線性矩陣不等式轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式的問題中，常常用到矩陣 的s c h u r 補(bǔ)引理?？紤]一個矩陣s 尺“”，并將s 進(jìn)行分塊： s = 匱乏【是-最：j 其中s 。是，維的。假定s 。是非奇異的，則是：一是。r 甄1 s ：稱為s 。在s 中的 s c h u r 補(bǔ)。以下給出矩陣的s c h u r 補(bǔ)引理。 引理2 1 【7 對給定的對稱矩陣s = 陵甜其帆是維的。以下三個條件 是等價的： f 脈o s l o ，是2 一s 2 丁墨l - 1 s 2 o ( 2 7 ) i - 是2 o z 0 ) = 口q 萬( f ) 扣o 【o f 0 ，設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制律 甜= k z ( 3 4 ) 使閉環(huán)系統(tǒng)( 3 1 ) 是漸近穩(wěn)定的，且閉環(huán)傳遞函數(shù)乙( s ) 的范數(shù)滿足 乙( s ) 1 1 2 o ，o ( v f m ) ，且= 1 ，系統(tǒng)( 3 1 ) 存在 f - l 狀態(tài)反饋皿控制律，當(dāng)且僅當(dāng)存在對稱正定矩陣x 、z 和矩陣形，使得 初+ 夏形+ ( 勱+ 磊) r + 豆蜃7 o ( 3 5 ) 張金華基于l m i 切換系統(tǒng)h 2 h 。控制研究 2 l k 函+ 歷 i o x i j 脅c p ( z ) 7 2 其中， 萬：蘭q 4 ，蜃： = 疆l ，廚m 】，磊： q 忍l ，一，墾吖】， ( 3 6 ) ( 3 7 ) e = i 口，麻r ，歷= 講昭 = 袖，覷) ，矽= 彬7 ，嘭】r 若矩陣不等式( 3 5 ) 、( 3 6 ) 、( 3 7 ) 存在一個可行解x 、形、z ，則存在相 應(yīng)的切換控制器和切換策略使系統(tǒng)( 3 1 ) 滿足哎性能。對應(yīng)的控制器為 “= 形( x ) - 1 x ，k = 形x ( 3 8 ) 同時，切換策略可取為 仃( r ) = 嘩曾 ，( ( 4 + 島，k ) 7 】廠+ 】廠( 4 + 島，k ) + y - 2 瑪，蜀，r 】，) x ) ( 3 9 ) 其中】，= 。 證明：i ) 先證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性 取閉環(huán)系統(tǒng)的l y a p u n o v 函數(shù)礦( x ) = z r 溉，則y ( x ) 沿著系統(tǒng)( 3 2 ) 的導(dǎo)數(shù)為 礦( x ) = 戈r 溉+ x r 強(qiáng) = ( 4 ( f ) x + 置，( f ) w + 島f ( f ) 甜) r 溉+ ，】廠( 以( f ) x + 罵仃( f ) w + 島，( ，) 甜) = ，( 】，( 以( r ) + 島盯( ，) k ( f ) ) + ( 以( f ) + 島口( r ) 巧( f ) ) r 聊x + ，曬) w + w r 罵口( f ) r 琢 由引理2 2 有 x z l 墨。( f ) w + w 了1 罵，( f ) r l x y - 2 ，墨，( f ) 且，( f ) 7 ，x + y 2 w r w 代入( 3 1 0 ) 式得 ( 3 1 0 ) 礦( x ) x r ( 】，( 4 ( f ) + 島。( r ) j 匕( f ) ) + ( 4 ( r ) + 島，( f ) 五0 ( f ) ) r 】，) x + 7 _ 2 x r 】墨，( f ) 罵仃( f ) r 】勺+ 7 2 w r w 2 2 揚(yáng)州大學(xué)碩士學(xué)位論文 據(jù)引理2 1 ，( 3 5 ) 式可化為 勱幔形蓋幔聊r 三 。 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 假設(shè)x ( 0 ) = 0 ，x ，z ，和y 滿足定理3 1 的條件，將( 3 1 2 ) 式分別 左乘和右乘旃昭 尸， ，令x = 尸。由式( 3 8 ) = 麟( k = 砰，磚r ) 得到 | - 尸( 勱+ 豆k 璺初+ 磊k ) r 】，矚 o 【-蜃r p一7 刈 將式m 分別左乘和右乘咖忙y ；小并記h p ，有 即 ih 一恥拶鳩目v 易i 枷【- 豆r 】， 一，2 叫一 根據(jù)引理2 1 ，由式( 3 1 4 ) 易得 】廠( 五衛(wèi)+ 豆k ) + ( 彳x + 豆k ) r 】，+ 7 - 2 y 囂蜃r 】， o 由式( 3 1 6 ) 和切換策略( 3 9 ) 可知，對于v f o ，即有 ，( 】廠( 4 x + 島，k ) + ( 4 x + 島i k ) r 】，+ 7 _ 2 馮，蜀，r y ) x o ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 由于外部干擾w 三o ，由條件( 3 5 ) ，( 3 8 ) ，切換策略( 3 9 ) 和式( 3 1 7 ) ，有 礦( x ) 石r ( 】，( 4 ( ，) + 島，( ，) 尺0 ( ，) ) + ( 以( ，) + 島，( ，) k ( ，) ) r 即x + ，- 2 x 7 】墨，( ，) 盡，( f ) 7 】勺 0 由l y 印u 1 1 0 v 穩(wěn)定性定理知閉環(huán)系統(tǒng)在零點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。 i i ) 由文獻(xiàn) 7 1 中的定理知式( 3 6 ) ，( 3 7 ) 等價于 m c p 【( e + 歙) x ( e + 黜) r 】 ，2 ( 3 1 8 ) 即有 o 、， y r b珊 +y 尸 蟹吃 +x 4l + 、jk 吃 +x 4 l 夠 口 m 斟 張金華基于l m i 切換系統(tǒng)h 2 h ?？刂蒲芯?2 3 脅c p q ( c ：+ 口k ) x ( c f + 口k ) r 】 7 2 ( 3 1 9 ) 由于= 1 ( o ) ，故 脅叫( e ( f ) + 見( ，) 心( ，) ) x ( g ( f ) + 見( ，) 巧( ，) ) r 】 廠2 ( 3 2 0 ) 對系統(tǒng)( 3 1 ) ，定義矩陣 x = f e x p ( 以( f ) + 島叩) 蜂( f ) ) 明罵群e x p ( 4 + 島印) k ( f ) ) r r 協(xié) ( 3 2 1 ) 即系統(tǒng)( 3 1 ) 的能控格拉姆矩陣，將式( 3 2 1 ) 代入( 3 2 0 ) 式得 乃徽f ) + ，) ) ) 唧，) + 忍刪，) 搠 罵礙唧【( ) + 墾，) ) r 明( ) + ，) k ，) ) r 廣 由p a r s e v a l 引理知上式等于 去e 砌p 砭( 弘) 乇( 緲) d 緲 y 2 ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 由式( 3 3 ) ，( 3 2 3 ) 得 i i 乙( 圳1 2 = 怯e 撇p 砭( 緲) 乇( 力) 如) j 0 ，設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制律 ( 4 2 ) 甜= k f x ( 4 3 ) 使得閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，且從q 到z l 的閉環(huán)傳遞函數(shù)句的玩范數(shù)不超過一 個給定的上界所；同時使得從哆到z 2 的閉環(huán)傳遞函數(shù)乃的必范數(shù)盡可能小，以 保證用皿范數(shù)度量的系統(tǒng)性能處于一個好的水平。使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足 m mj j 乃i i ( 4 4 ) s u b j e c t t 0i i 丑i i 0 ，若d 2 ，= o ，且以下的優(yōu)化問題 m i i l 托 張金華基于l m i 切換系統(tǒng)h 2 h 。控制研究 2 9 其中 i 研渤嘶弭聊胃 ，+ q 矽1 叫 耳叫 o l o i q “形 。 叫 i 勱+ 否形+ ( 砑+ 否叨r + 磊豆7 o i 一- z，g x + 島形i o l 匾x + 島咿描j m c p ( z ) ，形= r ，略r 。 存在最優(yōu)解x 、z ，則系統(tǒng)的狀態(tài)反饋吼玩控制問題是可解的，且 甜= 形( x ) 。1 x ，k = 彬x ( 4 1 1 ) 是系統(tǒng)的一個狀態(tài)反饋控制律。 同時，切換策略可取為 舯鶘卿髏三茲糍，嚳的) 其中】，= 所x 一。 證明：i ) 先證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性 當(dāng)系統(tǒng)為玩控制時，取閉環(huán)系統(tǒng)的l y 印w l o v 函數(shù) k ( x ) = ，琢， ( 4 1 3 ) 3 0 揚(yáng)州大學(xué)碩士學(xué)位論文 則，k ( x ) 沿著系統(tǒng)( 4 2 ) 的導(dǎo)數(shù)為 由引理2 2 有 y ( 功= ，( h 勺) + 吃巧三+ r ) + 吃( f ) 巧) 2 功x ( 4 1 4 ) + 一竭盯( ，) q + q 。罵盯( f ) 。既 ，l 墨仃( ，) q + q r 置盯( ，) r h 乃- 2 ，l 墨盯( ，) 罵叮( ，) r 溉+ 乃2 q r q 將( 4 1 5 ) 式代入式( 4 1 4 ) 得 瑤，( 坎生，) + & ，忍o ) + ，) + ，) 盔f ) ) r 啦 + 乃_ 2 ，場i 一，) 墨一，) 7 1 溉+ 托2 q r q ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) 假設(shè)x ( o ) = o ，x ，形，z ，和所滿足定理4 1 的條件，將( 4 7 ) 式分別左乘和 右乘硪口g p ，) ，令x = p 。由式( 4 1 1 ) 形= 覷( k = 群，磁】r ) 得到 陬破嘲艄肌酗】，璃鷗均矽 l耳戶 州 o l o ( 4 1 7 ) l q 嘩 。川i 將式m 分別左乘和右乘她扭乃h ；寸并記y = 仍有 r 踴n 的+ 衙五矽】，璃孺+ 自科 l 吞r y叫一 o l o ( 4 1 8 l q + 舉 。 一j 根據(jù)引理2 1 ，由式( 4 1 8 ) 易得 】廠( 放+ 歃) + ( 勱+ 歃) r 】廠+ 乃- 2 墑蜃r 】， + ( 蟊+ 巨k ) r ( e + 瓦k ) o 即 材 q ( 4 x + e k ) + ( 4 x + j 5 i ) r 】， f 掌l + 乃- 2 m 寫，置，r y + ( c l ，+ 日，回r ( g ，+ q ，目r ) o ( 4 1 9 ) ( 4 2 0 ) 張金華基于l m i 切換系統(tǒng)h 2 h ?？刂蒲芯?3 1 當(dāng)系統(tǒng)為馬控制時，取閉環(huán)系統(tǒng)的l y a p 咖v 函數(shù) 圪( x ) = x r h ， 則圪( x ) 沿著系統(tǒng)( 4 2 ) 的導(dǎo)數(shù)為 ( 4 2 1 ) 嘲= f + ) ) + ) 十) y 跏 + 妞錫+ q 魄 4 忽 與玩控制時的證明相同，可得 肼 婀h 翰代弘咱黟h 礦懿 o ( 4 2 3 ) 嗣 由式( 4 2 0 ) 、( 4 2 3 ) 可知 呸g ( 4 x + 罵墨) + ( 4 x + 罵k ) r 】，+ 行之墑，墨，r l ，+ ( q ，+ q ，固r ( c l ，+ q ，固r ) 扭1 ( 4 2 4 ) m + q 似4 x + 置k ) + ( 4 z + e k ) r 】廠+ 兄- 2 避，墾，7 y ) o 式( 4 2 4 ) 可化為 m q “4 x + 忍k ) + ( 4 x + 量k 尸沙 ，- l ( 4 2 5 ) + 乃。2 域色7 + + 日，科( g + 日，矽+ 礦退，島， o 由式( 4 2 5 ) 和切換策略( 4 1 2 ) 司知，對于0 ，即有 ，夠2 i 心弘+ 罵鬈) + ( 4 x + 辱) r ) 】廠+ 乃之竭，罵，r 】廠 粥，+ 砬科( g + q ，矽+ 爐溉色7 1 啦 o 令整個系統(tǒng)的l y a p u n o v 函數(shù)為y ( x ) ，則 y ( x ) = k ( x ) + 圪( x ) 即 ( 4 2 6 ) ( 4 2 7 ) 3 2 揚(yáng)州大學(xué)碩士學(xué)位論文 礦( 功= k + k ，( y 2 “4 x + e k ) + ( 4 x + e k ) r ) 】廠+ 乃- 2 馮，盡，r 】廠 + ( g ，+ q ，固r ( g ，+ 日，幻丁十彪- 2 避，墾，r 聊 o 由l y a p u i l o v 穩(wěn)定性定理知閉環(huán)系統(tǒng)在零點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。 i i ) 由文獻(xiàn)【7 1 】中的定理知式( 4 9 ) ，( 4 1 0 ) 等價于 乃餾c p 【( 弓+ 臣k ) x ( 己+ 巨k ) r 】 圪2 即有 ( 4 2 8 ) ( 4 2 9 ) m m 餾q ( e ，+ d 2 ，墨) x ( c 2 ，+ 砬，k ) r 】 恐2 ( 4 3 0 ) m 由于= l ( q o ) 故 f = l 乃觀水g 即) + 砬職) ) ) 抓g 酏) + q ) 疋o ) ) r 攜2 ( 4 3 1 ) 對系統(tǒng)( 4 1 ) ，定義矩陣 x = f 毗+ ) k ，) y 慢霹喇) + ，) 壇o ) r 舭 ( 4 3 2 ) 將式( 4 3 2 ) 代入( 4 3 1 ) 式得 撇j c o ) + 氛) ) 毗r ) + ) 。蹦 ( 4 3 3 ) 。神，) + & ，) 玉) y 幻鴟一，) + 上) 壇f ) yp 療 由p a r s e v a l 引理，上式等價于 去e m c p 砭( 弘) 乙( 弘) d 國 圪2 ( 4 3 4 ) 由式( 4 3 4 ) 得 i i 乇( 圳| z = 去e 艦p 砭( 弘) 乇( j 國) d 國) j 圪 ( 4 3 5 ) 故系統(tǒng)滿足墾性能，同時由文獻(xiàn)f 2 6 1 知系統(tǒng)在風(fēng)控制時也滿足月性能，因此閉環(huán)系統(tǒng)滿 張金華基于l 切換系統(tǒng)h 2 h 。控制研究 3 3 足馬玩性能，證畢。 4 4 仿真算例 這里給出兩個不穩(wěn)定子系統(tǒng)組成的切換系統(tǒng)( 4 3 6 ) 如下： l 文= a 。( t ) x + b 。( t ) u + b l 刪l + b 2 。( t ) 2 z 1 = c l 啪x + d l a ( t ) u 【z 22 c 2 0 ( t ) x + d 2 t ) u 其中，仃( f ) = 1 ，2 ，乃= 1 ， ( 4 3 6 ) 4 = 三丟一 6 ，4 = 蘭草享 ，墨，= t o 3 一一0 - 一q r ，旦：= c 一一2 rl - o 2 1 1 6 jl o 1oj 墾。= 【l o 1 r ，墾：= 【o l o r ， 島= 【l o o 1 】2 ，砬= 【o o 8 l 】2 c l 。= 一1 2 o 】，q ：= 2 1 o 】， c 2 。= 1 5 o 】，q = 【一1 1 0 】 d l l = o ，d 1 2 = 1 ，d 2 l = 1 ，d 2 2 = 1 0 0 0 ，x ( o ) = 【1 - 23 】2 ，q = o 8 9 1 3 ， y l 三黑嬲：篇i 形一p 6 3 6 8 5 8 6 x2 l 一? 三三了竺：三：三二：霎三三三i 形2l - o o o o o o 0 0 7 一o 0 0 1 9 j f 一1 2 9 1 9 o 6 5 5 08 8 5 2 4i lj z ：卜3 6 40 0 0 0 3 同時，得到最小的圪= o 8 4 。 3 4 揚(yáng)州大學(xué)碩士學(xué)位論文 當(dāng)干擾信號= o ，= 0 時，采用上述方法仿真得到的系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線 如圖4 2 和圖4 3 所示。 時聞憎 圖4 2 狀態(tài)響應(yīng)曲線 圖4 3 系統(tǒng)輸出曲線 當(dāng)干擾信號w 1 = o 2 5 s i n 2 ) ，= o 2 5 c o s ( f 3 ) 時，采用上述方法得到的仿真 結(jié)果見圖4 4 和圖4 5 。 n 習(xí) 累 圖4 4 狀態(tài)響應(yīng)曲線 圖4 5 系統(tǒng)輸出曲線 x 婚籌 3 6 揚(yáng)州大學(xué)碩士學(xué)位論文 4 5 結(jié)語 本章利用l y a p u l l o v 函數(shù)、線性矩陣不等式方法，研究了連續(xù)時間的切換系統(tǒng) 的馬風(fēng)狀態(tài)反饋控制問題。通過設(shè)計切換策略和控制器得到了皿風(fēng)控制問 題可解的充分條件。通過仿真示例證明了該方法的有效性。 張金華基于l m i 切換系統(tǒng)h 2 小。控制研究 3 7 第五章不確定離散切換系統(tǒng)的狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定 5 1 引言 魯棒控制理論所要研究的問題也包括系統(tǒng)分析和綜合兩個方面，在分析方面 所要研究的是：當(dāng)系統(tǒng)存在各種不確定性及外界干擾時，系統(tǒng)性能的變化，其中 系統(tǒng)的穩(wěn)定性是其重要指標(biāo)之一。綜合問題是指設(shè)計控制器保證閉環(huán)系統(tǒng)具有期 望的性能指標(biāo)。魯棒控制理論主要研究的對象是不確定系統(tǒng)。由于不確定切換系 統(tǒng)同時包含了切換系統(tǒng)和不確定系統(tǒng)兩方面的特點(diǎn)和難點(diǎn)，因此對其魯棒性的分 析和魯棒控制器的設(shè)計增加了不少困難。 為了進(jìn)行有效的控制系統(tǒng)設(shè)計，一個復(fù)雜的動態(tài)系統(tǒng)必須用一個相對簡單的 模型來描述。而這樣一個簡化模型和實(shí)際對象之間的差距稱為模型不確定性。除 了在模型簡化中可能帶來模型的不確定性外，對系統(tǒng)某些特性或環(huán)節(jié)缺乏足夠的 了解，由于系統(tǒng)環(huán)境的變化、元器件的老化、某些物理參數(shù)的漂移或隨時間的未 知變化等因素所帶來的系統(tǒng)行為的變化也可能導(dǎo)致模型不確定性的產(chǎn)生。 且控制的控制系統(tǒng)具有較好的系統(tǒng)性能和其他的一些優(yōu)良特性，但它對被控 對象的模型攝動產(chǎn)生的不確定性不具有魯棒性。而玩控制理論雖然能較好地解決 系統(tǒng)的魯棒性問題但這是以犧牲系統(tǒng)的其他性能為代價的。因此自然地考慮二者 結(jié)合的設(shè)計框架。2 0 世紀(jì)8 0 年代末期混合風(fēng)也控制問題和多目標(biāo)問題得以發(fā) 展。 目前玩控制已經(jīng)被廣泛用于切換系統(tǒng)的研究當(dāng)中，并取得了不錯的研究成果 阮3 4 3 引，而對于皿控制、混合馬也控制問題的研究仍處于對一般系統(tǒng)的研究 【8 0 氓2 1 。本章對同時具有模型參數(shù)不確定性和外部擾動的一類離散切換系統(tǒng)，研究 其風(fēng)和馬玩控制問題。 3 8 揚(yáng)州大學(xué)碩士學(xué)位論文 5 2 問題的描述 考慮有以下狀態(tài)方程描述的不確定離散系統(tǒng)： x ( | | + 1 ) = ( 4 ( ) + 以( ) ) z ( 尼) + ( 蜀仃( t ) + 吃( 七) ) “( 后) + 墾盯( ) w ( 尼) 互( 尼) = c l 口( t ) x ( 尼) + q 仃( 女) ( 后) z 2 ( 尼) = c 2 盯( 七) x ( 尼) + 砬仃( ) “( 后) ( 5 1 ) 其中，x ( 后) r ”是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，“( 后) 尺”是控制輸入，w ( 后) r p 是外部擾動 輸入，毛( 后) r g 、乞( 七) r 7 是被調(diào)輸出；仃( 尼) 是在m = 1 ，2 ，m ) 中取值的待設(shè) 計的切換信號，盯( 后) = f 表示第f 個子系統(tǒng)被激活；以( 礦蜀，( 礦島。( 礦c 1 。( 曠 c 2 口( 膏) 、d l 盯( 和砬仃( 的是描述系統(tǒng)模型的已知實(shí)常數(shù)矩陣。鮑( ) 和蛾( ) ( 蛆( i ) ， 蛾( 范數(shù)有界) 是系統(tǒng)模型中參數(shù)不確定性的未知實(shí)矩陣，假設(shè)蛆( 七) ，幄( t ) 滿足如下匹配條件： 假設(shè)5 1 攝動陣必( t ) ，峨( t ) 滿足 以( i ) 髟( t ) 】_ 以( t ) 乃( 女) 置，( 七)易，( ) 】 ( 5 2 ) 上式中的( 的r 扭7 是一個滿足 一 只( t ) r 乃( t ) ， ( 5 3 ) 的不確定矩陣，也( 礦巨，( ”和易。( t ) 是已知的常數(shù)矩陣，是不確定參數(shù)的結(jié)構(gòu)信 息。 5 3 穩(wěn)定性分析 引理5 1 i 矧設(shè)】，m ，是給定的適當(dāng)為數(shù)的矩陣，則】，+ 刪+ r f r 塢 0 ，使得 張金華基于l m i 切換系統(tǒng)h 2 h 。控制研究 3 9 】，+ 比m r + 吉7 。 ( 5 4 ) 定理5 1 對于不確定離散切換系統(tǒng) x ( 后+ 1 ) = ( 4 + 4 ) x ( 尼) + ( 且+ e ) “( 后) ( 5 5 ) 若存在正定矩陣，對于任意的f 肘均滿足 一只+ 一磁+ 鬈( 只一一e 研) 以 o ( 5 6 ) 則存在狀態(tài)反饋控制器和切換策略可是使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，相應(yīng)的子控制器和 切換策略為 z ，= k 石( 后) ( 5 7 ) 仃( 尼) = a r g 卿 x r ( 一只+ 一霹e + ( 只一e 研) 以) x ) ( 5 8 ) 證明：系統(tǒng)( 5 5 ) 的l y 印u 1 1 0 v 函數(shù)取為y ( z ( 尼) ) = x ( 后) 7 只x ( 后) ，定義 y ( 后) ) = y o ( 后+ 1 ) ) 一礦( x ( 后) ) 。由李亞普諾夫穩(wěn)定性定理知，如果y ( 后) ) o ， 則切換系統(tǒng)( 5 5 ) 是漸近穩(wěn)定的。由于 y ( x ( 七) ) = y ( x ( 七+ 1 ) ) 一y ( z ( 尼) ) = x ( 尼+ 1 ) r 霉x ( j i + 1 ) 一x r ( 后) 只x ( j | ) = ，( 后) + m + ( 蜀，+ 蠅) k 】r 尉4 + m + ( 晝，+ 皚) k 卜只) 工( 七) = ， 4 + 蜀，鬈+ 月：巧( 局，+ 島，k 礦暑 4 + 墨，k + 月：巧( 毛+ 乓k ) 】一只 缸p 令4 ，= 4 + 置，k ，e = 互，+ 島。k ，則上式變?yōu)?礦( x ( 尼) ) = ，( 尼) 以+ e 巧易】r 科以+ e e e 卜 x ( 后) ( 5 9 ) 由y o ( 尼) ) o ，據(jù)s c h l l r 補(bǔ)定理可知，( 5 9 ) 式等價于： k 意以攀翻7 i 0 使得( 5 1 0 ) 式等價于： 一p i + p _ 砭i e d + 避i 、耳l p h i h j 、) 屯i o 因此對于任意的x 有 ，( 一# + 。1 霹疋，+ ( # 一一e 砰) 以) x o ( 5 1 4 ) ， z l 石r 只石一只+ 石丁只墾肜2 ，一嘭鼻島，) 一1 磁p 石+ 吒q 。， o ( 5 1 5 其中，石= 以+ 縣只l ，如= 4 + 蜀，k ，匕= 置，+ 易，k ，c l d = c l ，+ d l ，k ；則存在 狀態(tài)反饋控制“= k x ( 七) 和切換律仃( 露) = a r g 卿 ( x ( 競) ) ) 使得系統(tǒng)( 5 1 3 ) 魯棒 穩(wěn)定且從w ( 七) 到z 1 ( 忌) 的閉環(huán)傳遞函數(shù)r ( z ) 滿足i i 酬l 。 o 和系統(tǒng)( 5 1 3 ) ，以下條件是等價的。 ( i ) 系統(tǒng)( 5 1 3 ) 是漸近穩(wěn)定的，且從w ( j i ) 到毛( 后) 的閉環(huán)傳遞函數(shù)丁( z ) 滿 足矧l o ，使得 張金華基于l m i 切換系統(tǒng)h 2 h ?？刂蒲芯?4 l 言馴乏鈿乏 證明：選取l y a p m l o v 函數(shù)為 ( 5 1 6 ) 形( x ( 七) ) = x ( 后) 7 只x ( 七) ( 5 1 7 ) 并定義 形( x ( j i ) ) = 杉( x ( 后+ 1 ) ) 一杉( x ( 后) ) ( 5 1 8 ) 引入 形( | i ) = 一z l r ( 后) z l ( 尼) + 7 2 c d ( 霓) r d ( 露) 則 ( x ( j j ) ) 一礦( 尼) = x ( 后+ 1 ) r 只x ( 后+ 1 ) 一x r ( 后) 只z ( 后) + 毛r ( 后) 毛( 后) 一y 2 c p ( 后) rc 驢( 后) = 【( 以+ 耳礬瑚渤+ 吃奴糾r 球4 + 耳隅坂妨+ 色d 糾一顫矽杈妨+ x ：r | 吒c ：一廣國 令以= 毛+ 縣z 易，q d = g ，+ 日，足，以= 4 + 墨，k ，疋，= 互，+ 墾，k ；上式可轉(zhuǎn) 化為 ：騷( 七) + 墾。國( 后) r p ：騷( 后) + 墾，國( 七) 卜x ( 后) f x ( 后) + x r c 二c j “x 一7 2 緲r 彩 ( 5 1 9 ) 整理可得 以= 黧n 吼0 】一瞄瑚+ 一吃 rp 醫(yī)氣 ) 黧 2 。， 根據(jù)定理5 3 和切換律仃( 后) = a r g 唧 形o ( 七) ) 知 k ( x ( 露) ) 一矽( 女) o 當(dāng)彩( 尼) = 0 時，( x ( 尼) ) 形( 后) 一z l r ( 忌) z l ( 七) o ，所以形( x ( 七+ 1 ) ) o ， 0 以及對稱正定矩陣x 和矩陣y ，使得 爿o “x + 玩哆( 磊x + 忍峨x + b 咿翰x + 島玎 。砷堿ooo a x + b a 民一x + $ h 口： qqq 毛z + 毛礦 o o_ 0o g x + 晚y oo0甜o e x + 見y 0oo0 進(jìn)而，如果( 5 2 3 ) 式有個可行解口，x ，y ，則狀態(tài)反饋控制律 甜( 尼) = 礦x - 1 x ( 后) ( 5 2 4 ) 是系統(tǒng)( 5 2 2 ) 的一個保性能控制律，且閉環(huán)系統(tǒng)的一個碼保性能上界是 ，( k ) = 脅c p ( 磁x _ 1 墾，) 。 證明：( 5 2 1 ) 式等價于存在常數(shù)口 0 ，使得 萬z 石一只+ 萬只島脅2 ，一磁鼻島，) 一1 砭石+ c l d + 口吃c 2 d o ( 5 2 5 ) 在上式的兩邊分別乘以口，令蠆= 口一1 只，則上式變?yōu)?石r 瓦一萬+ 石7 取，口一1 ，一磁私，) 一磁麗+ 口一1 + 乞 o ( 5 2 6 ) 張金華基于l m i 切換系統(tǒng)h 2 h ?？刂蒲芯?根據(jù)s c h l i r 補(bǔ)引理，( 5 2 6 ) 式等價于 令 r + 口_ 1 吒c l d + 吃c 2 c j o 4 3 o 矛l 一廠2 口q ，磁l 0 ，使得 ( 5 2 8 ) 吖巧塒 。 剮 y + 蘭 c 。研 + q 零 c 邑。， 。 再由s c h u r 補(bǔ)引 一只 0 a c t 既 c l d c 2 d 理，并將( 5 2 8 ) o 萬 一位礦i璉i b z ix + p h i oo 0o 0o 式帶入式( 5 3 0 ) ，( 5 3 0 ) 可等價于 h j 將( 5 3 1 ) 式的兩邊分別左乘右乘矩陣破昭 c l c j o 0 o 一儀i o ( 5 3 0 ) 0( 5 3 1 ) ，口，) ，令x = 蠆一，并將 以= 4 + 墾，k ，匕= 罵，+ 島，k ，c l d = g ，+ q ，k ，c 2 “= c 2 ，+ d 2 。k ，礦= 膨帶入 ( 5 3 1 ) 式，可得( 5 2 3 ) ，定理得證。 1j 鬈磁彳 o o o o r ， 甜o o 書o o 揚(yáng)州大學(xué)碩士學(xué)位論文 5 6 仿真例子 考慮小確足離敢糸統(tǒng)( 5 2 2 ) ，冥中 4 = 匕習(xí)4 = 常珊恥m ：= 0 墾，= 三 ，島：= 1 1 ，c ；。= 【，】，c 如= 【?！浚琧 1 。= 【一，】 c l ：= 【11 】，d o 。= 1 ，d 0 2 = o 5 ，q 。= o 5 ，q ：= l q = oo 1 】r ，馬= 【oo 璣巨。= 【1o 】，巨：=