（應用數(shù)學專業(yè)論文）左定sturmliouville算子的特征函數(shù)的振蕩問題.pdf

摘要 本文研究了定義在有限區(qū)間( 0 ，c ) 上的具有一般分離型邊條件的左定s t u r m l i o u v i l l e 算子的特征函數(shù)的振蕩問題利用p r f i f e r 變換，給出了上述s t u r m l i - o u v i l l e 算子特征值的符號指標的具體形式；得到了特征值的符號指標與w e y l 函數(shù)以及 p r i i f e r 角在該特征值處的羅朗展式( 泰勒展式) 的首項系數(shù)的符號之間的關系；這 兩個結果在形式上比p b i n d i n g 研究的具有一種特殊分離型邊條件的左定s t u r m l i o u v i u e 算子得到的結果要復雜，p b i n d i n g 得到的結果是本文的一種特例最后， 在上述兩個結果的基礎上給出了上述s t u r m - l i o u v i l l e 算子的第禮個正( 負) 特征值 所對應的特征函數(shù)在f o ，f 1 內的零點個數(shù)的計算公式。這是對p b i n d i n g 研究的具 有一種特殊分離型邊條件的左定s t u r m - l i o u v i l l e 問題得到的計算特征函數(shù)零點個 數(shù)的公式的推廣 關鍵詞ts t u r m - l i o u v i l l e 算子，左定，振蕩問題，w c y i 函數(shù)，p r f i f e r 角，特征值的 符號指標 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h eo s c i l l a t i o n so ft h ec i g e n f u n c t i o no fs t u r m - l i o u v i l l c p r o b l e mw i t hi n d e f i n i t ec o e f f i c i e n t sa n dg e n e r a ls c p a r a t e db o u n d a r yc o n d i t i o n s0 n ( 0 ，f ) u s i n gp r f i f e rt r a n s f o r m ，w eg i v ead e s c r i p t i o no ft h es i g n a t u r eo fa ne i g e n v a l u e ，a n dg i v et h er e l a t i o nb e t w e e nt h es i g n a t u r eo fa ne i g e n v a l u ea n dt h es i g n s o ft h ec o r r e s p o n d i n gl e a d i n gc o e f f i c i e n t so fw e y lf u n c t i o na n dt h ep r f i f e ra n g l ea t t h i se i g e n v a l u e f i n a l l yw eo b t a i naf o r m u l aw h i c hc a nb eu s e dt oc a l c u l a t et h e n u m b e r so fo s c i l l a t i o np o i n t si n 【o ，l 】o ft h ee i g e n f u n c t i o nc o r r e s p o n d i n gt ot h en t h e i g e n v a l u e t h er e s u l t si nt h i sp a p e ra r et h ee x t e n d a b i l i t yo ft h er e s u l t so b t a i n e d b yp b i n d i n ga b o u ts t u r m l i o u v i l l ep r o b l e mw i t hi n d e f i n i t ec o e f f i c i e n t sa n ds o m e s p e c i a ls e p a r a t e db o u n d a r yc o n d i t i o n k e yw o r d s ：s t u r m l i o u v i l l eo p e r a t o r ，i n d e f i n i t e ，o s c i l l a t i o np r o b l e m s ，w c y lf u n c t i o n ，p r i i f e ra n g l e ，s i g n a t u r eo fa l le i g e n v a l u e 2 聲明 本學位論文是我在導師的指導下取得的研究成果，盡我所知，在 本學位論文中，除了加以標注和致謝的部分外，不包含其他人已經發(fā) 表或公布過的研究成果，也不包含我為獲得任何教育機構的學位或學 歷而使用過的材料。與我一同工作的同事對本學位論文做出的貢獻均 已在論文中作了明確的說明。 研究生簽名： 多年月幻日 學位論文使用授權聲明 南京理丁大學有權保存本學位論文的電子和紙質文檔，可以借閱 或上網公布本學位論文的全部或部分內容，可以向有關部門或機構送 交并授權其保存、借閱或上網公布本學位論文的全部或部分內容。對 于保密論文，按保密的有關規(guī)定和程序處理。 研究生簽名：蘊拖霞加。歲年f ；月勱日 碩士論文 壟塞墜! ! 堡：生翌! ! ! ! ! ! 篁至塑壁堡墅塑墮堡蔓塑望 一引言 數(shù)學物理方程所遇到的波動方程，熱傳導方程，及拉普拉斯方程，采用分離變量 法求解定解問題時，總要遇到一個二階常微分方程在某種齊次邊界條件下的特征值問 題，這就是所謂的s t u r m l i o u v i l l e 問題 1 1s t u r m - l i o u v i l l e 問題的物理背景及研究意義 我們以一維波動方程為例，介紹一下s t u r m - l i o u v i l l e 問題的物理背景一均勻的 細弦( 密度為常數(shù)) ，我們研究兩端固定的弦的自由振動，在一定的初始條件和邊條件 下，弦上具有橫坐標z 的點，在時刻t 的位移u ( z ，t ) 滿足方程1 8 l f 貉= 0 2 殍0 2 u 0 0 ( 1 1 2 ) 【訓k o = z 2 2 l x ，象1 b o = 00 。s f ( 1 13 ) 對方程( 1 ，1 1 ) 利用變量分離法，令 q ( t ) = x 扛) ? ( ) 則得到兩個常微分方程 t ”( ) + a n 2 t ( t ) = 0( 1 14 ) x ”( 。) + x ( ) = 0( 11 5 ) 由邊條件( 1 1 2 ) 得 x ( o ) = x 。( 0 = 0( 1 16 ) 解( 1 1 4 ) ( 1 ，1 5 ) ( 1 1 6 ) 得 心，歸一等薹南c o s 避產硒n 學z 若令 u 。( 州) = ( gc o s 竿h d 捌n 罕t ) s i n 罕z 其中d 。= 0 ，c k = 一面雨3 2 1 2 ，則u n ( z ，) 表示這樣一個振動波： ( 1 ) 在考察的弦上各點以同樣的角頻率作簡諧振動，各點處的初位相也相同，而 各點的振幅隨點的位置變化而變化且此振動波在任一時刻的外形是一正弦曲線 ( 2 ) 在【0 f 范圍內這一振動沒有n + 1 個點( 包括兩個端點) 永遠保持不動，這 些點物理上稱為節(jié)點( 振蕩點) ，這種包含節(jié)點的波稱之為駐波 1 碩士論文左定s t u r m l i o u v i l l e 算子的特征函數(shù)的振蕩問題 而u ( z ，) 是由“，( x ，) ，“。( z ，t ) ，這樣一列駐波疊加而成的，因而要研究 u ( x ，) 的波形首先要研究u 。( ，t ) ，u 。( z ，t ) ，的波形，而每個駐波的波形由特征 函數(shù)確定，頻率由特征值確定，因而就要研究( 115 ) ( 1 16 ) 的特征值及特征函數(shù)，以 及特征函數(shù)零點( 振蕩點) ，這就是s t u r m 1 i o u v i l l e 問題所研究的內容 撇開物理背景，由上述求解過程可知，用分離變量法得到的定解問題的解，其實 就是將所求的解按特征函數(shù)進行f o u r i e r 展開由于上述的特征函數(shù)系恰好是三角函 數(shù)系，因而f o u r i e r 展開是合理的但是當特征函數(shù)系不是三角函數(shù)系時，這種展開是 否合理呢? 這也是s t u r m - l i o u v i l l e 問題所研究的內容 = 階常微分方程在常微分算子譜論中稱之為微分算式，給定定義域稱之為微分算 子，而微分算子加上一定的邊條件在某個空間上就可以生成某個自伴算子，因而s t u r m l i o u v i l l e 問題也就成為常微分算子理論研究的對象 練上所述，在常微分算子譜論中研究s t u r m 1 i o u v i l l e 問題就是要研究由 熬箍三? ( a ，b ) 0 q 7 r o 口 7 r 生成的自伴算子的譜的特點，譜分解，特征函數(shù)零點問題及按特征展開問題，這里p ，q ，r 滿足的條件是隨著s t u r m - l i o u v i u e 問題的發(fā)展而變化的，下面會具體交待 對s t u r m - l i o u v i l l e 問題研究到現(xiàn)在已經有了很多結果。由于本文要研究特征函數(shù) 零點問題，下面我們只介紹有關特征值和特征函數(shù)零點方面的結果 1 2s t u r m l i o u v i l l e 問題的發(fā)展史及研究現(xiàn)狀 1 2 1 最早的s t u r m - l i o u v i l l e 問題 為 最早在1 8 3 6 年s t u r m 。1 8 3 7 年l i o u v i l l e 所研究的s t u r m l i o u v i l l e 問題2 2 腳) ；- 曷y 三+ q ；y 二= 籮a y 搿塞孑二x ? e ? a , 妻b ；耋? ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) ( 12 3 ) 令m y = 一y ”+ q y ，z f a ，6 】，由常微分算子理論知識知m 是l 2 ( ( n ，b ) ，d x ) 空 間中的對稱微分算式且若令 t y = m y 口m ( m ) ) = f f l ，f a c a ，b 】，m f l 2 2 碩士論文 左定s t u r m l i o u v i l l e 算子的特征函數(shù)的振蕩問題 v ( t ) = f d ( n ( 彳) ) | ，( n ) c o s o r 一a ) s i n d = 0f ( b ) c o s ，一，( 6 ) s i n 盧= 0 其中0 d ”，0s 盧 7 r ，則t 是l 2 ( ( n ，6 ) ，如) 空間中由m 生成的自伴算子 s t u r m 的主要貢獻 2 】 2 8 1 是得到如下結果： ( 1 ) 自伴算子丁的特征值是實的，且為可數(shù)多個，形如 a 1 a 2 - - - n 0 像上述這樣的s t u r m l i o u v i l l e 問題可歸結為如下形式； f 一( p y ) + q y = a r z 【，6 1( 1 2 4 ) y ( a ) c o s c r y ( o ) s i n n = 00 莖q 0n a ，t p ，q 是【a , b 1 上的連續(xù)函數(shù)這時稱上述問題為右定 情形的s t u r m - l i o u v i l l e 問題卿f 2 b j f 冽1 3 2 】 4 0 ) 令 m = 二( 一y ”+ q y ) 3 碩士論文左定s t u r m l i o u v i l l e 算于的特征函數(shù)的振蕩問題 由于r 不是常數(shù)，此時在l 2 ( ( n ，6 ) ，d x ) 空間中m 不能生成對稱算子，因而我們要在 加權空間l 2 ( ( o ，6 ) ，r d x ) 中考慮該問題在l 2 ( ( o ，6 ) ，r d x ) 中由分部積分得 ( ，9 ) = z 6 1 ( 一，”+ 口) 蠆r d z = z 6 ，；( 一i i 十q 可) r d 。= ( ， f 9 ) 即m 在工2 ( ( o ，6 ) ，r d x ) 中是對稱算子令 t y = m yd ( 噩( f ) ) = ，l 2 i ，f e a c a ，6 】，m f l 2 d ( t ) = ，口( 正( ，) ) l ，( 口) c o s o t 一，4 ( o ) s i n n = 0f ( b ) c o s f l f ( b ) s i n 盧= 0 ) 其中0 o 7 r ，0s 盧 7 r ，則丁是驢( ( o ，6 ) ，r d x ) 空間中由m 生成的自伴算子關 于右定情形的s t u r m - l i o u v i l l e 問題在文獻 9 1 3 1 1 3 4 】中得到如下結論 ( 1 ) t 有可數(shù)個特征值，形如 l 2 a n 0a e 。即r ( z ) 在【a b 】上變號，且r 1q l i 【n ，6 | 是實函數(shù)的情況， 我們稱之為左定情形的s t u r m - l i o u v i l l e 問題后來h w e y l 將有限區(qū)間上的s t u r m - l i o u v i l l e 問題推廣到了無窮區(qū)間上，我們現(xiàn)在研究的左定情形的s t u r m - l i o u v i l l e 問題 1 8 1 1 0 m 1 1 2 0 i t 4 1 j 如下 赫三弛三? ze ( a ，b ) o d 丌 0 0a , e ，r ，p ，qel 1 ( n ，b ) 是實值函數(shù)， 一o 。a b o 。在 文獻【1 0 1 5 2 0 】中得到如下結論t ( 1 ) ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) ( 1 2 9 ) 的實特征值形如 k 坷 a i 對 磅 0a e ，r ，q l 1 ( o ，1 ) 是實值函數(shù) 令 1 a y = 三( 一壙+ q y ) ，r ，q l 1 ( o ，f ) ，川 0 。e f l k = l 2 ( ( o ，f ) ，i r l ) ，【，g 】= f y r d x j 0 v ( a ) = y k l y ，y a , c 在【0 ，吼a y k n ( 1 3 2 1 ( 1 3 3 ) 成立) 則a 是k r e i n 空間( k ，【：】) 中的自伴算子，文中有詳細介紹我們就是要討論自伴算 子a 的對應于第n 個特征值a 。的特征函數(shù)妒( 聾，a 。) 在【0 ，日內的零點個數(shù)問題這 里所用的方法與文獻l 1 0 1 1 1 5 1 類似 本文得到的主要結論： ( 1 ) 給出自伴算予a 的特征值的符號指標的具體形式 設a o 是a 的實特征值，代數(shù)重數(shù)為p ( a o ) ，a o 對應的特征函數(shù)為t j ( z ，a o ) ， 騶= 女型鐵掣，0 = 0 ，l ，蘆( ) 一1 ) ，巴( 糊一= ，軋 一- 1 ，s ( b ) 表示a 。 的符號指標，則珈，p ( 0 ) 一1 構成a 在 o 處的j o r d a n 鏈，且 s ( a o ) = s i g nq l ( o ) = s i g n ( c o t軋( 。) ( f ) 一吐( 蛔) ( j ) ) 蜘( f ) ，( o 盧 ”) 5 妯 “ 鏗唧。囂油“一叫墨唧。叫蝌姍 碩士論文 左定s t u r m - l i o u v i l l e 算子的特征函數(shù)的振蕩問題 ( 2 ) 給出特征值的符號指標與w e y l 函數(shù)以及p r f i f e r 角在該特征值處的羅朗展式 ( 泰勒展式) 的首項系數(shù)的符號之間的關系 設e ( m ， o ) ，g ( 釓( a ) ，a o ) 表示w e y l 函數(shù)和p r f i f e r 角在a o 處的羅朗展式( 泰 勒展式) 的首項系數(shù)，則 c ( m ，a o ) = 一q ( o ) 一1 ( a o ) 。 g ( 乩( u = 而丙f 麗。) - l ( s i g nc ( m ，a o ) = 一s i g nq ( 如) 一l ( a o ) _ 。= 一s ( a o ) s i g ne ( 屯( 柚，如) = s i g n 糊一l ( o ) = s ( a o ) 這兩個結果在形式上比p b i n d i n g 在文獻【1 5 】中研究的左定s t u r m - l i o u v i l l e 問題 ( 1 2 1 0 ) ( 1 2 1 1 ) 時用到的結果要復雜，文獻【1 5 】用到的結果是上述兩個結果的一種特 例，相當于o = 盧= ；的情形，而且文獻【1 5 】中沒有給出嚴格證明這兩個結果是為 下面第三個結論作準備的，在此基礎上得到t ( 3 ) 設a 。是a 的正特征值，k 對應的特征函數(shù)為妒。( z ，a ) s j = s ( ) 是 的符號指標，腳是知0 = 0 ，l ，) 的代數(shù)重數(shù) 定義 引爐協(xié)襄撼萋c ，z ， 表示 ，”在【0 ，日內零點的個數(shù)， 限) ，則 t t - - 1 k 表示r = 1 時a 的負特征值的個數(shù)( 有 u 。= 一+ 島一 特別地，當所育正特征值a l a 2 是簡單的，0 不是a 的特征值，且= 。= s ( h ) = + 1 時，有 t u n = 一+ s ， j = 1 對負特征值a 一。m = 1 ，2 ) ，一。表示妒一。( ，a ) 在【0 ，目內零點的個數(shù)，則 n 一1 u 一。= ，c 一一，一；( 1 + s - n ) 這是本文的最終結果給出了自伴算子a 的第n 個特征值a 。對應的特征函數(shù) 妒( 。，h ) 在f 0 ，目上零點的個數(shù)的計算公式，是對文獻 1 5 】中結論的推廣文獻【1 5 】中 6 碩士論文左定s t u r m l i o u v i l l e 算子的特征函數(shù)的振蕩問題 的結果是對具一種特殊邊條件( 0 ) = ( f ) = 0 的左定s t u r m - l i o u v i l l e 算子成立，我 們這里是對具一般分離型邊條件的左定s t u r m - l i o u v i l l e 算子都成立，這對研究特征函 數(shù)的振蕩性質有重要意義 二基本知識 2 1h i l b e r t 空間算子理論有關知識 定義2 1 1 i 1 1 3 1 1 4 1 1 2 3 3 0 t 為稠定算子 注t 稠定算子不一定有界 定義2 1 2 1 1 i 3 1 1 4 2 3 馴 稱定義在h i l b e r t 空間h 的稠子空間v ( t ) 上的線性算子 設t 為稠定線性算子，令 d ( t + ) = h i3 z h ，使得( t y ，x ) = ( 9 ，z ) ，v y 口( t ) t z = z ，v 。v ( t + ) 稱t + 為丁的共軛算子 定義2 13 3 1 【4 】【2 q 稠定算子t 稱為對稱的，若 t ct + ，h p z ) ( t ) cd ( r + ) 且t + i v ( t ) = t 或 而_ _ h 且( t x ，y ) = ( z ，t y ) ，y 2 9 ( t ) 定義2 1 4 1 1 l a 4 】【2 3 】稠定算子t 稱為自伴的，若丁是對稱算子，且 t = t + ( 口( r ) = v ( t ) ) 定義2 1 5 1 1 1 a 1 1 4 2 4 1 ”l 設t 是閉稠定線性算予， v a c ( 1 ) 若( f t ) 一1 存在，且v ( ( a 1 一丁) 一1 ) = h ，則稱a 為t 的正則點，所有這 樣的a 的集合記為p ( t ) ，稱為t 的豫解集 ( 2 ) 若( ，一了1 ) 一1 不存在，即j $ 0 ，s t ( 1 i t ) x = 0 ，則稱 為t 的特征 值，所有這樣的a 的集合記為a p ( t ) ，稱為丁的點譜 ( 3 ) 若( a 一t ) 。存在，且d ( ( a ，一r ) “) h ，但口( ( a ，一t ) - 1 ) = h 這樣的a 的集合記為一。( t ) ，稱為t 的連續(xù)譜 所有 ( 4 ) 若( a ，一t ) 一1 存在，但萬雨了二了可= 巧h ，所有這樣的a 的集合記為o r ( t ) 稱為r 的剩余譜 所以 c = p ( t ) t 3 a v ( t ) t j 吼( t ) u ( y r 口) 7 碩士論文左定s t u r m l i o u v i l l e 算子的特征函數(shù)的振蕩問題 稱a ( t ) = c p ( t ) = a p ( t ) u o 。( r ) u ( t r ( 丁) 為t 的譜集 定義2 1 6 3 1 1 4 】1 2 3 1 設t 為h 上線性算子，hxh 的予空間 g ( t ) = l xe 口( t ) 稱為t 的圖若g ( t ) 為hxh 上閉子空間，則稱丁為閉算子 定理2 1 1 1 1 l i a l 4 1 t 為日上閉算子的充分必要條件為v x 。) cd ( ? ) ，若l i m o 。= z 且l i m 。t x 。= y ，貝0o 口( t ) 且j k = y 定義2 1 7 1 t l i a ) 4 】設p 是h 上線性算予，若p 2 = p 且p 4 = p ，則稱p 是正交 投影算子 定義2 1 8 【2 5 j i 冽設t 是b a n a c h 空間x 上閉算子，a o 是r 的孤立譜點，r 知 是包含 o 的簡單閉曲線，r h 不包含t 的其它譜點。稱 恥熹小刪- 為t 和a o 的r i e s z 積分 性質t 設尸 。是t 和 o 的r i e s z 積分，則有 ( 1 ) r 。是投影算子，即咣= 尸 。； ( 2 ) k e r ( t a o ) cr a n 氏； ( 3 ) 若x 是一個h i l b e r t 空間，t 是自伴算子，則r 。是k e r ( t a o ) 上的正交 投影算子 定義2 1 9 嘲設7 是閉算子rcp ( a ) 是簡單閉曲線a 是? 的特征值，r 是丁和a 的r i e s z 積分，則稱d i m ( p a z n r ) 為a 的代數(shù)重數(shù)稱d i m ( k e r ( t a ) ) 為a 的幾何重數(shù)。 注； ( 1 ) 一般情況下幾何重數(shù)代數(shù)重數(shù)( 因為k e r ( t a ) r a n 尸 ) ； ( 2 ) 令n = d i m ( r a n p ) ，v r a n p z 有( a 一 ) “咖= 0 ，曲稱為r 的廣義特征向 量； ( 3 ) 若t 是自伴算子。則凡何重數(shù)= 代數(shù)重數(shù)，即k e r ( t 一 ) = r a n r 22 二階常微分算子理論有關知識 定義2 2 1 1 ：1 1 3 1 i 設，是r 上的區(qū)間，設p c 2 ( 鞏q c ( i ) 是實函數(shù)，稱二階 對稱微分算式m = 一d p d + g 為s t u r m l i o u v i l l e 算式，且是正則的特剮地，我們 考慮p = 1 的情況 定義2 2 ，2 【2 1 1 3 1 】設m = 一d 2 + q 是，上的微分算式，稱 ，9 i ( z ) = w ( f ，可) ( z ) = ，( 。) 歹兩一，7 ( z ) 歹兩 8 碩士論文 左定s t u r m - l i o u v i l l e 算子的特征函數(shù)的振蕩問題 為m 的l a g r a n g e 雙線性型 定義2 2 3 3 1 1 區(qū)間，上的二階正則微分算式m = 一d 2 + q 在l 2 ( ，) 上生成的 最大算子定義如下 d ( 丑( 。 f ) ) = f l 2 ( ，) if ，f a g 。( ，) ，m l 2 ( ，) ) 噩( m ) ，= u f ，f 口m ( m ) ) 定義2 2 4 n 3 1 l區(qū)間j 上的二階正則微分算式m = 一d 2 + q 在l 2 ( ，) 上生成的 最小算子t o ( m ) 定義如下 t o ( m ) = a ( m ) i 卵( ) 即 口( ( m ) ) = ，l 2 ( 馴j ，nce g o ( j ) ，s t 1 i r a = f ，l i r am a = g 死( m ) ，= g ，口( t o ( m ) ) 定理2 2 1 1 7 | 設m = 一d 2 + 口，z 【a ，6 】，提h6 】上實函數(shù)，口( ( m ) ) 的自 伴延拓定義域為 2 2 口( t ) = ，口( 孔( m ) ) l a j k f “1 ( o ) + & k f “1 ( b ) = 0 ，j = l ，2 ) = 1k = 1 其中a 一( a j k ) ，b = ( 島k ) 滿足 ( 1 ) r a n k ( a b ) = 2 ( 2 ) a 腳) - 1 a * = b f ( b ) 咖+ ，其中腳) = f ： 則系數(shù)矩陣( ab ) 可以和下面兩種標準形式之一等價 。- = c o s “。s i n 。羔。盧：。p ) 恥( 髫拶b e i o 。1 ；) 其中a ，b ，c ，d ，o l ，盧均為實數(shù)，且a d b c = 1 若( ab ) 與d ，等價，則邊條件可化為 稱為分離型邊條件 9 o 0 = | | n 口 洫 n s 吼 ， 一 一 n p 黜 叻“ ，j、l、 碩士論文左定s t u r m - l i o u v i l l c 箅子的特征函數(shù)的拯蔓塑墅 若( ab ) 與d 2 等價，則邊條件可化為 。a。：。8，y。(。a，)一-。be。i。y，。(a。，)4一-y，(。b。)，二00 - y + q = y = a y , x 引0 州 妒( z ，a ) = s i n o e z c o s o + ( g ( 丁) 一a ) ( z r ) 妒( r ，a ) d r j o 且對每個固定的z 【0 ，7 r 】，妒( 。，a ) 是a 的整函數(shù) 2 3w e y l 函數(shù)與p r i i f e r 變換 由于w e y l 函數(shù)與p r i i f e r 變換對本文結論的證明起重要作用，因而要詳細介紹一 下，為了后面證明的需要，我們這里定義的w e y l 函數(shù)與文獻【2 中定義的有所區(qū)別， 兩者相差一個符號 設t f ，( z ，a ) ，妒( z ，a ) 是( 1 3 1 ) ( 1 ，3 2 ) ( 1 3 3 ) 的滿足如下初始條件 涮一= s i n c r l 妒( 0 ，a ) = 一c o s i( o ，a ) = s i n o 的解，由于 i 礦( 妒，妒) ( z ) = h 7 ( 妒，妒) ( o ) = 1 所以妒( 。，a ) ，妒( z ， ) 是( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) 的兩個線性無關解 顯然妒( 。，a ) 滿足y ( o ) c o s a g ( 0 ) s i n a = 0 ，所以a o 是( 1 3 1 ) ( 13 2 ) ( 1 - 3 ，3 ) 的 特征值的充分必要條件是 妒( f ，a o ) c o s f l 一妒( f ，a o ) s i n 啟一0 ( o 盧 0 ，則口( z ， ) 關于入是單 調增的 ( 該結論在文獻【2 1 中有，但沒有證明。下面給出證明) 證明：設 l 0 ，所以 q l ( x ) = a i r q a 2 r q = 口2 ( z ) 由定理2 3 1 得0 1 ( x ) 8 ( x o ，a ) ：k n ( z o 茁 x 0 + 占) ( 2 ) 當z 。o 時，令妒= k n 一目，則咖( z o ) = 0 ，仍有 i 廬( 。) 一“g l h e 。h g ( 。) ：( 。sx o )i 廬( z ) 一l 2 “g ( 。) 2 ( 。s) j 所以 ( 。) ，“一h e 2 ”g ( z ) z ：( 。一一he2hg z o ) 1 1 h e ( z z 。) 】 ( 茁) 一 日g ( z ) 2 = ( z 一 一 ( z z o ) 】 j 取6 = 百1 甘，則當$ ( 。o 一占，z o ) 時，有 h e 2 ”( z o z ) 0 即 p ( z ，a ) 8 ( x o ，a ) = 磚7 r ( x o d z z o ) 由( 1 ) ( 2 ) 知o ( x ，a ) 關于x 單調埯穿過k r 口 引理2 3 3 n 1 0 1 1 15 1 1 1 q 2 0 1 1 2 1 】 o 是( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) 的特征值鋅o ( 1 ，k o ) 一 p + u ”其中u 為非負整數(shù) 定理2 3 ，3 1 1 q 若a o 是( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 33 ) 的特征值，妒( 。，a o ) 是k o 對應的特 征函數(shù)設妒( z ，a o ) 在【0 ，口內的零點個數(shù)為w ( a o ) ，則 口( f ，a o ) = 盧+ u ( a o ) ( 該結論在文獻 1o 中有，但沒有證明，下面給出證明) 證明：由p r f i f e r 變換知，當o ( z ，a o ) = k n 時， 妒( z ， o ) = p ( 。，a o ) s i n 0 ( z ，a o ) = 0 1 3 碩士論文 左定s t u r m - l i o u v i l l e 算子的特征函數(shù)的振蕩問題 即使得p ( 。，a o ) = ”的z 一定是特征函數(shù)妒( z ，a o ) 的零點由引理3 2 3 ，若a o 是 ( 1 31 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) 的特征使，則有 o ( 1 ，a ) = 盧+ u ”這里u 是非負整數(shù) 又有定理2 3 2 知，o ( x ，a o ) 關于單調增穿過k t r ( = 1 ，2 ，) ，即p ( z ，a o ) 只能一 次穿過7 r ( = 1 ，2 ，) 所以在【0 ，q 上0 ( x ， o ) 單調增且只能一次穿過”，2 ”，u ，r 所以 u ( a o ) = u 即日( f ，a o ) = 盧4 - u ( a o ) 7 r 口 由定理2 3 3 知，若k 是( 1 3 1 ) ( 1 ，3 2 ) ( 1 3 3 ) 的特征值，妒( ，k ) 是k 對應的 特征函數(shù)，則9 ( z ，k ) 可以用來計算c f x ，k ) 在 0 ，目內的零點個數(shù)，這一結論對本文 結果的證明起重要作用 三左定s t u r m 。l i o u v i l l e 算子的特征函數(shù)的振蕩問題 3 1 k r e i n 空間中的自伴算子 由于左定情形的s t u r m - l i o u v i l l e 問題( 1 3 1 ) ( 1 32 ) ( 1 3 3 ) 在h i l b e r t 空間( ( o ，f ) ，) 中不能生成自伴算子，于是我們就要引進一個新的空間使得左定情形的s t u r m l i o u v i l l e 問題( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) 在其上能生成自伴算子在此基礎上我們才可以研究該自伴 算子的譜及特征函數(shù)零點問題我們引進的這個新空間是k r e i n 空間，下面其體介紹 一下相關內容 定義3 1 1 | 1 l l l l 2 】設是一個線性空間，賦內積h ，稱( k ，卜】) 是一個k r e i n 空間，若存在分懈k = 虬o k 一使得( k ，土b 1 ) 是h i l b e r t 空間，且【a ，一1 = 0 ，v ，士k 定理3 ，1 1 | 1 1 j 設( ，卜】) 是一個k r e i n 空間，v ，k ，有，= ，+ + 1 - ，士 k ，定義算子- p t ：k _ k p t | = i t q k 、 令，= 只一n ，定義內積( ，g ) = 【j i ，g 】( f ，g k ) ，則( k ，( ) ) 是h i l b e r t 空 間其中算子j 稱為是k r e i n 空間( ，土【】) 的一個基本對稱算子，并且k r e i n 空間 ( 耳，士【，1 ) 中的拓撲結構與h i t b e r t 空間( k ，( - ，- ) ) 中的拓撲結構相同 k r e i n 空間中對稱算子。共軛算子，自伴算子的定義與h i l b e r t 空間中的類似，這 里就不再重復下面給出k r e i n 空間中的自伴算子與h i l b e r t 空間中的自伴算子之間 的關系 定理3 12 1 1 1 1 “3 0 l 稠定線性算子月是k r e i n 空間( k ，卜 ) 中的自伴算子錚j a 是h i l b e r t 空間( k ，( ，) ) 中的自伴算子 1 4 碩士論文左定s t u r m l i o u v i l l e 算子的特征函數(shù)的振蕩問題 下面說明s t u r m l i o u v i l l e 問題( 1 31 ) ( 1 32 ) ( 1 3 3 ) 在某個k r e i n 空間能生成自伴 算子，并進一步介紹該自伴算子的譜的特點。及特征函數(shù)零點問題 定理3 1 3 定義【f ，g 】= j ；：f - g r d x ，令 州 k = l 2 ( ( o ，2 ) ，) = f l f 是 0 ，f ) 上可測函數(shù)，且i f ( x ) 1 2 i r ( x ) l d z o ) a 一= z ( 0 ，f )