（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）三類boussinesq方程解的物理結(jié)構(gòu).pdf

三類非線性b o u s s i n e s q 方程解的物理結(jié)構(gòu) 應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 研究生周淵指導(dǎo)教師賴紹永 論文摘要：本文運(yùn)用正余弦擬設(shè)方法和微分方程降階法，研究了三類b o u s s i n e s q 方程，得到了它們的確切解 在第二章和第三章中，運(yùn)用正余弦擬設(shè)方法分別討論了如下兩類b o u s s i n e s q 方程 u t t - - i t x a ：- - 一u z 一牡 坩一a ( i t 2 “) 船一6 阻“( t 如) 。= 0 ， 竹 1 ，d r 禮 1 o r 禮 l ， 和具有負(fù)指數(shù)的b o u s s i n e s q 方程 u “一“。一“ _ 一口( - 2 n ) 。一6 皿一“( “一“) ?！亏? 0 ，n 1 ， 第i y i ，共2 4 頁(yè) 中文摘要 的。組確切解和w a z w a z 7 】中得到的結(jié)果比較我們的結(jié)果包含了w a z w a z 7 1 中的結(jié)果，即w a z w a z 7 】中得到的解是該組解的特例與w a z w a z 7 的結(jié)果類 似的是，解的物理結(jié)構(gòu)變化依賴于比率0 和指數(shù)n 關(guān)鍵詞：b o u s s i n e s q 方程；c o m p a c t o n s 解；周期解；s o l i t a r yp a t t e r n s 解；正 余弦擬設(shè)；孤立子；( 2 + 1 ) 維空間；解的物理結(jié)構(gòu) z h o u y u a n l 9 8 3 0 6 0 6 1 2 6 c o r n第i i 頁(yè)，共2 4 頁(yè)畢業(yè)論文 p h y s i c a ls t r u c t u r e sf o rt h r e et y p e so fn o n l i n e a r b o u s s i n e s qe q u a t i o n s m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s w r i t e r ：y u a n z h o u s u p e r v i s o r ：s h a o y o n g l a i a b s t r a c t ：t h r e et y p e so fn o n l i n e a rb o u s s i n e s qe q u a t i o n sa r ei n v e s t i g e t e di n t h i sp a p e r t h ee x a c tt r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n sa r eo b t a i n e db y u s i n gt h es i n e c o s i n ea n s a t za n dat e c h n i q u ew h i c hi sb a s e do nt h er e d u c t i o no f o r d e rf o rs o l v i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n m o r es p e c i f i c a l l y ，i nc h a p t e r s2a n d3 ，w eu s et h es i n e c o s i n ea n s a t zt os t u d y t h ef o l l o w i n gt w ok i n d so fb o u s s i n e s qe q u a t i o n s 1 t t t - - u 。一y y - - “t n u t y y - - o ( “2 “) z # 一b u “( ? 2 。n 。) 1 。：= 0 n 1 o r禮 1 ， o r冗 1 ( o - 5 ) a n dt h eb o u s s i n e s q - t y p eo fe q u a t i o n sw i t hn e g a t i v ee x p o n e n t s t 一t 。一u w o ( u 一2 “) 。一6 【u 一”( u 一“) ：。 。= 0 ，n 1 ， ( 0 - 6 ) w h e r ea ，b 0a r ec o n s t a n t s t h ec o m p a c t o n s ，s o l i t a r yp a t t e r n s ，s o l i t o n sa n dp e r i o d i cs o l u t i o n sf o re q u a - t i o n s ( 0 - 5 ) a n d ( 0 - 6 ) a r eo b t a i n e d i ti sp o i n t e do u tt h a to u rr e s u l t si n c l u d e w a z w a z sr e s u l t sp r e s e n t e di n 7 1a ss p e c i a lc a s e s ，s i m i l a rt ow a z w a z sr e s u l t s i n 7 ，i ti ss h o w nt h a tt h ed i f f e r e n tp h y s i c a ls t r u c t u r e so ft h es o l u t i o n ss u c ha s e n g l i s ha b s t r a c t c o m p a c t o n s ，s o l i t o n s ，s o l i t a r yp a t t e r n sa n dp e r i o d i cs o l u t i o n s ，d e p e n do nt h e r a t i o0a n de x p o n e n tn k e yw o r d s ：n o n l i n e a rb o u s s i n e s qe q u a t i o n ；c o m p a c t o n s ；s o l i t a r yp a t t e r n s ； t h es i n e c o s i n ea n s a t z ；s o l i t o n sa n dp e r i o d i cs o l u t i o n s ；( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a ls p a c e ； r e d u c t i o n o r d e r ；p h y s i c a ls t r u c t u r e s z h o u y u a n l 9 8 3 0 6 0 6 1 2 6 c o r n第i v 頁(yè)，共2 4 頁(yè)畢業(yè)論文 四川師范大學(xué)學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性及 使用授權(quán)聲明 本人聲明：所呈交學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師題紹丞麴援指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn) 蒎銘瘟 行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其 他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過(guò)的作品或成果。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的 個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。 本人承諾：已提交的學(xué)位論文電子版與論文紙本的內(nèi)容一致。如因不符而目 起的學(xué)術(shù)聲譽(yù)上的損失由本人自負(fù)。 本人同意所撰寫學(xué)位論文的使用授權(quán)遵照學(xué)校的管理規(guī)定： 學(xué)校作為申請(qǐng)學(xué)位的條件之一，學(xué)位論文著作權(quán)擁有者須授權(quán)所在大學(xué)擁有 學(xué)位論文的部分使用權(quán)，即：1 ) 已獲學(xué)位的研究生必須按學(xué)校規(guī)定提交印刷版 和電子版學(xué)位論文，可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢 索；2 ) 為教學(xué)和科研目的，學(xué)?？梢詫⒐_的學(xué)位論文或解密后的學(xué)位論文作 為資料在圖書館、資料室等場(chǎng)所或在校園網(wǎng)上供校內(nèi)師生閱讀、瀏覽。 論文作者繇r 習(xí)叫 如訂年r 月f 日 第一章引言 1 1 研究背景 對(duì)于描述波浪運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型來(lái)說(shuō)，b o u s s i n e s q 方程一直是人們研究的熱 點(diǎn)1 8 7 2 年b o u s s i n e s q 【1 】1 考慮垂向流速及壓強(qiáng)分布的影響，假定垂向流速?gòu)?底面零線性增加到自由表面的最大值，得到了b o u s s i n e s q 方程考慮波浪傳播 的非線性變化，1 9 6 7 年p e r e g r i n e 【2 】推導(dǎo)了變水深條件下淺水區(qū)波浪傳播的 b o u s s i n e s q 方程， 經(jīng)典的b o u s s i n e s q 方程之一可寫成如下形式( 見【1 】) 饑+ 口釷站+ 6 ( t 產(chǎn)) 口+ 七t 站勰= 0 ， 這里( 。，t ) 代表流體自由表面的運(yùn)動(dòng)，正常數(shù)口，b 依賴于流體的深度和長(zhǎng)波 的特征速度 1 9 7 8 年，丹麥的a b b o t t 【3 】利用相似的方法推導(dǎo)了另外形式的b o u s s i n e s q 方程，a b b o t t 和mc - c o w a n 【4 】對(duì)b o u s s i n e s q 方程的理論和求解方法進(jìn)行了 研究，并將該模型應(yīng)用于實(shí)際工程我國(guó)學(xué)者張永剛，鄒志利【5 】研究了高階 的b o u s s i n e s q 方程鄒志利推導(dǎo)了適用于海底坡度較大或海底曲率較大的 b o u s s i n e s q 方程m a d s e ne ta l 【6 l 提出了一個(gè)新的高階b o u s s i n e s q 波浪模型方 程，該模型具有線性和非線性特性 g m a a l l e n 在文 1 9 1 系統(tǒng)地研究了如下( 2 + 1 ) 維b o u s s i n e s q 方程 t 啦一t 一t w 一( t 產(chǎn)) # 一 h w = 0 2 0 0 5 年，a m w a z w a zm 運(yùn)用正余弦方法研究了如下b o u s s i n e s q 方程即 u u 一一鋤一口( 護(hù)k - 6 妒( 心) 】囂= 0 ， n 1 ， 和 t t t 一讓口一w a ( u 一“) 。一6 陋一”( 仳= ) 】。= 0 ， n 1 b o u s s i n e s q 方程作為一類非線性偏微分方程引起了越來(lái)越多的學(xué)者的關(guān)注，見 1 5 ，7 】可以說(shuō)尋找非線性方程的確切解對(duì)于理解方程的性質(zhì)有很大的器助， 第1 頁(yè)，共2 4 頁(yè) 第章引占 近年來(lái)，如何求解非線性偏微分方程及其相應(yīng)的求解方法的研究引起了廣大科 學(xué)工作者的極大興趣 一般來(lái)說(shuō)，求出方程的所有解是不可能的，這是由于在求解的過(guò)程中附有 一些約束條件因此，我們所說(shuō)的求解是求方程滿足一定的初( 邊) 值條件或約 束條件的特解而孤立波解和相似解是最具代表性的特解能否求出非線性發(fā) 展方程的解，在很大程度上取決于是否有切實(shí)可行的求解方法，所以求解和求 解方法的發(fā)展構(gòu)成了確切解研究中的一個(gè)有機(jī)整體( 見 1 0 - 1 9 ) 1 2 本文的主要工作 本文主要運(yùn)用現(xiàn)有的正余弦方法和微分方程降階法，研究了三種非線形 b o u 鴿i n e s q 方程得到了它們的孤立子解及其確切解 主要研究?jī)?nèi)容： 1 利用正余弦擬設(shè)方法計(jì)算出了帶散射項(xiàng)的( 2 + 1 ) 維b o u s s i n e s q 方程具 有不同物理性質(zhì)的確切復(fù)值解 2 運(yùn)用正余弦擬設(shè)的方法得到了( 3 + 1 ) 維b o u s s i n e s q 方程具有不同物理 性質(zhì)的確切解如：c 伽叩a c t o 璐解，周期解，s o l i t a r yp a t t e r n s 解，s o l i t o n s 解 指出了影響解物理結(jié)構(gòu)變化的主要參數(shù) 3 通過(guò)運(yùn)用一種不同于文 t - 9 的數(shù)學(xué)方法，得到方程降1 ) 和( 4 - 2 ) 的一 組確切解這組解包含了w a z w a z 吲中的解，既w a z w a z 【7 】中得到的解是該 組解的特例與w a z w a z 【7 1 解的結(jié)果類似的是，解的物理結(jié)構(gòu)如c o m p a c t o i l 8 ，s o l i t o n s ，s o l i t a r yp a t t e r n s 和周期解依賴于比率2 和指數(shù)n z h o u y u a n l 9 8 3 0 6 0 6 1 2 6 c o m 第2 頁(yè)，共2 4 頁(yè) 畢業(yè)論文 第二章 二維b o u s s i n e s q 水波系統(tǒng)的孤立子波解 本章中研究了帶正負(fù)指數(shù)的( 2 + 1 ) 維b o u s s i n e s q 水波系統(tǒng)運(yùn)用正余弦擬 設(shè)方法計(jì)算出了具有不同物理性質(zhì)的確切解，并指出了影響解物理結(jié)構(gòu)變化的 主要參數(shù) 古典的b o u s s i n e s q 方程可寫成如下形式( 見【1 】) 毗+ 伽站+ 6 ( , i 2 ) 齠+ 七札，口= 0 ，( 2 - 1 ) 這里u ( x ，t ) 代表流體自由表面的運(yùn)動(dòng)，正常數(shù)o ，b 依賴于流體的深度和長(zhǎng)波 的特征速度 a m w a z w a z 7 】運(yùn)用正余弦方法求出了以下方程 t t t 一一鋤一口( p k 一6 妒( 吃) 】囂= 0 ， t l 1 ， ( 2 - 2 ) 和 t “一t 一t w 一口( u - i n ) 一b u 一“( t = ) 】。= 0 ， ，l 1 ， ( 2 - 3 ) 的行波解 本章研究如下帶散射項(xiàng)的( 2 + 1 ) 維b o u s s i n e s q 方程 1 ：帶正指數(shù)的( 2 + 1 ) 維b o u s s i n e s q 方程 一u 。一“ 一一t 鋤一口( “2 4 ) 。一6 阻”( t ：) 】。= 0 ， 2 ：帶負(fù)指數(shù)的( 2 + 1 ) 維b o u s s i n e s q 方程 一弛。一一t 一鉚一口( t - 2 ) 口一6 阻一“( 亂“- - w , ) 】= 0 2 1 正余弦擬設(shè)方法 設(shè)函數(shù) u ( x ，f ，t ) = “， 這里= ( 肛+ i y y d ) ，脅仉c 為常數(shù) 公式( 2 - 6 ) 可把如下的非線性偏微分方程 尸( t ，毗，吻，讓囂，1 鋤，地群，t 咖，口材省) = 0 ， 第3 頁(yè)，共2 4 頁(yè) n 1 ( 2 - 4 ) n 1 ( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) ( 2 - z ) 第二章二維b o u s s i n e s q 水波系統(tǒng)的孤立千波解 變?yōu)橐粋€(gè)非線性常微分方程 q ( u ，嗽，豫，嗽氍) = 0 且 ad0 da ，d 蕊2 一。瓦，瓦5 p 蘸面2 卿面 0。d a 2 。d 2 0 2 ，d 2 一o t 22 一刃，面2 刃，硒2 一礦孬 進(jìn)_ 步假設(shè) u ( x ，y ，f ) = a c o 擴(kuò) ) ， 蕓， 或 ( z ，可，t ) ：= a s i n 口( f ) ，i f l 7 r ， 這里a ，盧是常數(shù)a ，p 將在以后的計(jì)算中決定由( 2 1 0 ) 得 lu ( ) = x c o s a ( ) ， 礦( f ) = c 0 礦4 ( ) ， ( 2 - 1 2 ) i ( 礦) g = 一艫儼”c o s n 4 ( f ) + n p ( n p 一1 ) c o s “a “( ) ， 由( 2 - 1 1 ) 得 i 釷( f ) = a 8 i i ，( f ) ， 鏟( f ) = ”s i n 叩( ) ， ( 2 - 1 3 ) l ( t ，) 籃= 一n 2 # 2 。8 i l ) + n v # ( n 1 3 1 ) s i n “a - 2 ( ) 把( 2 - 1 2 ) 或( 2 - 1 3 ) 帶入常微分方程( 2 - 8 ) 得到一個(gè)含余弦或正弦的三角方程， 再根據(jù)如下等量法則確定未知常數(shù)值 ( 1 ) 使余弦或正弦函數(shù)的指數(shù)相等 ( 2 ) 函數(shù)c 0 礦( ) 或者8 i n ( f ) 的系數(shù)等于零，然后得到關(guān)于p ，a 及p 的 代數(shù)方程 ( 3 ) 求解得到的代數(shù)方程以求出相應(yīng)的未知函數(shù)， 關(guān)于等量法則的使用原理可參見【i 0 一 1 6 1 z h o u y u a n l 9 8 3 0 6 0 6 1 2 6 c o m 第4 頁(yè)，共2 4 頁(yè) 畢業(yè)論文 u 厶 各 l d d 0 第二章二維b o u s s i n e s q 水波系統(tǒng)的孤立子波解 2 2 帶正指數(shù)的b o u s s i n e s q 方程 一：首先將( 2 - 6 ) 帶入( 2 - 4 ) 得到如下常微分方程 ( c 2 一p 2 + 田2 ) 啦e + 仁礦2 嵋駐一c ，7 2 2 皤聯(lián)一a # 2 托2 n ) g 一6 ，妒( t ，) 聰】艇= 0 ( 2 - 1 4 ) 將( 2 - 1 4 ) 積分兩次，可設(shè)積分中的初始積分常數(shù)為零，于是有 ( c 2 一p 2 + t f ) u + 礦心一c 口2 心一a z 2u 2 “) 一如4 t “嗦= 0 ( 2 - 1 5 ) 將( 2 - 1 0 ) 帶入( 2 - 1 5 ) 得到 ( c 2 一礦+ 礦) a 礦( f ) 一a h c o s 魯妒任) + b n 2 礦礦肛c 0 穢任) 一掣2 祁c _ 1 ( ) 咖( f ) + c ，7 2 鄭c 一1 s i n ( f ) 一h 礦艫p ( n p 一1 ) c o s 酈- 2 ( f ) = 0 ，( 2 - 1 6 ) 根據(jù)確定未知常數(shù)的等量法則得到 f 袈0 ， 卯礦儼= 叩2 ， ( 2 - 1 7 ) i ，7 2 一曠= 0 ， ib n 礦芹4 p c 邛一1 ) = ( c 2 一礦+ ) 2 ) a 解方程組( 2 - 1 7 ) 得 f = 南， 悱黎妥孵， c 娜， lq = 士p = 士2 茅 ；， 【a = ( 端舞) 南 將( 2 - 1 8 ) 代入方程( 2 - 4 ) ，求得t ( z ，璣t ) 的表達(dá)式如下 u ( 叫，牡鐙赫扣0 8 2 學(xué)伽“學(xué)伽卅洳掣0 同理使用( 2 - 1 3 ) 式，我們可以得到如下解 廿( 刎，牡倦端塒簪佰州等伽刊南絮診0 ， 這里c 為任意常數(shù)，l 為虛數(shù)單位 z h o u y u a a l 9 8 3 0 6 0 6 1 2 6 c o m 第5 頁(yè)，共2 4 頁(yè)畢業(yè)論文 第二章二維b o u s s i n e s q 水波系統(tǒng)的孤立子波解 二：當(dāng)2 0 時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)c = 口時(shí)，且c o s i = c o s h f ，s i n i f = i s i n h 存在另一種形式的解為 “( 毛f ，硼) = i 2 n c o s n 【2 可2 n - - 1 v i 。士百2 n - t v i 一叫) 南，( 2 - 1 9 ) 和 出m 印h 了- 2 n 鼬2 【百2 n - 1 恬士 籌屆叫府( 2 - 2 0 ) 2 3 帶負(fù)指數(shù)的b o u s s i n e s q 方程 一：把變量= ( p z + t ，7 1 ，一c ) 帶入( 2 - 5 ) 得到一個(gè)常微分方程 ( c 2 - t y 2 + q 2 ) 心e + 蘋2 囅一研2 “緣一a d ( u 一2 扛) 聰一礦陋“0 “) d 艇= 0 ( 2 - 2 t ) 將( 2 - 2 1 ) 積分兩次，可設(shè)積分中的初始積分常數(shù)為零，于是有 ( c 2 一礦+ 礦) t + c # 2 u 一c 町2 心一鐘2 ( u 一2 “) 一雄一“一“蛭= 0 ， ( 2 - 2 2 ) 將( 2 - 1 2 ) 帶入( 2 - 2 2 ) 得到 ( c 2 一礦+ q 2 ) ac o 擴(kuò)“) 一d p 2 a 一“c o i l 一2 蜩g ) + b n 2 盧2 a 一2 nc 0 8 一孫4 ) 一c j 戶a p c 口一1 償) s i i l 代) + 0 7 2 a 口護(hù)一1 ( f ) s i n ( f ) b n 礦a 一2 “p ( n 盧+ 1 ) c o s - 2 - 8 - 2 傳) = 0 ，( 2 2 3 ) 由等量法則知 f 竺描! 反 6 ，f 儼= a p 2 ， ( 2 - 2 4 ) i ，7 2 一曠= 0 。 i6 n 上4 a 一鼽p ( ，徊+ 1 ) = ( c 2 一p 2 + 田2 ) a 解( 2 - 2 4 ) 得 f p = 一囊與， 協(xié)4 強(qiáng)- # 4 - 孵， s ， l 叩= 2 警 ：， 【a = ( 一- 盍a 22 磊n + 產(chǎn)l2 ) 謝b 將( 2 - 2 5 ) 代入方程( 2 - 5 ) 可得t ( 。，弘t ) 的表達(dá)式如下 z h o u y u a n l 9 8 3 0 6 0 6 1 2 6 c o m第6 頁(yè)共2 4 頁(yè)畢業(yè)論文 第二章二維b o u s s i n e s q 水波系統(tǒng)的孤立于波解 當(dāng) ；時(shí)t 岫，t ) = _ 毪竽群【掣居士t 等居叫，南，( 2 - 2 6 ) 同理使用( 2 - 1 3 ) 式，我們可以得到如下解 當(dāng)0 f 1 ( 3 - 3 ) 當(dāng)n = ”0 ”時(shí)。兩個(gè)方程都是標(biāo)準(zhǔn)的三維線性波方程 3 1 正余弦擬設(shè)方法 設(shè)函數(shù) ( z ，y ，z ，t ) = t 任) ，( 3 - 4 ) 這里= ( 肛+ 町+ p z d ) ，p ，q ，p ，c 為常數(shù)公式( 3 4 ) 可把如下的 非線性偏微分方程 p ( t 上，m ，f f , z ， l l , u ，t 正$ 。，“硼，t 工；：，“鞠咎) = 0 ， ( 3 - 5 ) 變?yōu)橐粋€(gè)非線性常微分方程 且 q ( 讓，叱，讓托，毪錯(cuò)) = 0 ad a dadad 夏2 _ c 面瓦2 p 孬巧2 ”瓦瓦2 p 露 第8 頁(yè)共2 4 頁(yè) ( 3 - 6 ) 苧蘭蘭：莖里! ! 竺! ! 竺! 查莖墨絲塑堡蘭鎏 麗0 = c 2 未，品= p 2 籌，導(dǎo)= 礦丟，品= 礦丟c 跏 麗5 c 蠆，麗2 蠆，萬(wàn)2 礦蠆，砑2 孬。 ( 3 - ” 進(jìn)一步假設(shè) “( 刪而t ) = a c ( f ) ， 乏， 或 u ( 刎，z ，) = a s i n 4 ( f ) ，蚓 云， 這里a ，盧是常數(shù)a ，口將在以后的計(jì)算中得到由( 3 - 8 ) 得 ( 3 - 8 ) ( 3 - 9 ) lu ) = a o 艫恁) ， 礦= c 0 8 叩( f ) ， ( 3 - 1 0 ) i ( 礦) 艇= 一艫儼”c o ( f ) - i - n 艫p ( n 盧一1 ) c 胡) ， it ( ) = as i 擴(kuò)( f ) ， 礦( f ) = s i n 柙( f ) ， ( 3 - 1 1 ) l ( u n ) 6 = 一n 2 儼a “s i n n # ( f ) + n a “口( 7 l 一1 ) s i i l 胡句償) 把( 3 - 1 0 ) 或( 3 - 1 1 ) 帶入常微分方程( 3 - 6 ) 得到一個(gè)含余弦或正弦的三角方程， 再根據(jù)如下等量法則確定未知常數(shù)值 ( 1 ) 使余弦或正弦函數(shù)的指數(shù)相等 ( 2 ) 函數(shù)o ( f ) 或者s i n ( ) 的系數(shù)等于零，然后得到關(guān)于反a 及p 的 代數(shù)方程 ( 3 ) 求解得到的代數(shù)方程以求出相應(yīng)的未知函數(shù) 3 2 帶正指數(shù)的b o u s s i n e s q 方程 一：c o m p a c t o n 解 首先將( 3 _ 4 ) 帶入( 3 _ 2 ) 得到如下常微分方程 ( c 2 一礦一， 2 一礦) t 雛一鮮產(chǎn)( t ) 氍一c u ? ( 妒) 氍1 疆= 0 ( 3 - 1 2 ) z h o u y u a n l 9 8 3 0 6 0 6 1 2 6 t o m第9 頁(yè)，共2 4 頁(yè)畢業(yè)論文 第三章類b o u s s l n e s q 水波系統(tǒng)的孤立子波 將( 3 - 1 2 ) 積分兩次，可設(shè)積分中的初始積分常數(shù)為零，于是有 ( c 2 一礦一礦一礦) u 一叩2u 2 “) 一6 礦( 礦) “= 0 ( 3 - 1 3 ) 將( 3 - 8 ) 帶入( 3 - 1 3 ) 得到 ( c 2 一礦一，7 2 一礦) a c o 擴(kuò)嬉) 一a # 2 a 2 “c o s 2 “4 悠) + 軌2 # 4 3 2 a 2 “c o s 2 4 4 ) 一b n , u 4 a 知3 ( h a 一1 ) c o s 2 n i l 一2 ( ) = 0 ，( 3 - 1 4 ) 即 ( c 2 一礦一叩2 一p 2 ) a c o 一代) 一b n # 4 艫“p ( 祁一1 ) c o s 鈿0 2 ) + ( 6 n 2 p 4 伊a 知一a u 2 a 加) c o s 2 a ( ) = 0 ( 3 - 1 5 ) 根據(jù)確定未知常數(shù)的等量法則得到 f 邶一1 0 ， 2 邶= _ ! 卸，。( 3 - 1 6 ) 1b n 2 p 4 盧2 = n p 2 ， 【鋤p 4 a 2 - p ( 禮盧一1 ) = ( c 2 一礦一r 1 2 一y ) a i 盧= 南， p = 紫儋， ( 3 - 1 7 ) 【a = ( 型啦疑驀尸) 由 將( 3 - 1 7 ) 代入方程( 3 - 2 ) ，求得u ( x ，：，t ) 的表達(dá)式如下 f ( 坐業(yè)訇篙尸) 耐【等伽+ 硼+ 肜一硼南， u ( z ，璣z ，t ) = ，0 ， 【0 ，其它 同理使用( 3 - 1 1 ) 式，我們可以得到如下的c o m p a c t o n 解 f ，k 坐皿型a z ( 2 竺n - 1 幽) 2 、s m 2 【籌孵z + 叼可+ 膽一叫) 南， u ( x ，璣z ，t ) = 吲丌，p 0 ， 10 ，其它 z h o u y u a n l 9 8 3 0 6 0 6 1 2 6 e o m 第1 0 頁(yè)，共2 4 頁(yè) 畢業(yè)論文 第三章 類b o u s s i n e s q 水玻系統(tǒng)的孤立于渡 這里仉p ，c 為任意常數(shù) 二：s o l i t a r yp a t t e r n s 解 當(dāng)； 0 時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)7 2 + 礦= c 2 時(shí)，且c o s q = c o s h f ，咖= i s i n h 存在 s o l i t a r yp a t t e r n s 解為 和 心幽印) - 警嫻等序+ 釤+ 彤叫) 一1 ，( 3 - 1 s ) t 扛，璣；，t ) = - _ 2 nc h 2 【2 n f - 1 、一云z + ，掰+ p z 一卅南( 3 - 1 9 ) 3 3 帶負(fù)指數(shù)的b o u s s i n e s q 方程 一：周期解 把變量= ( 坶+ 野爹+ p z 一矗) 帶入( 3 - 3 ) 得到一個(gè)常微分方程 ( c 2 一p 2 一目2 一礦) 2 詠一a z 2 ( t 2 n ) g 一6 p 4 阻“( t “) 薛k = 0 ( 3 - 2 0 ) 將( 3 - 2 0 ) 積分兩次，可設(shè)積分中的初始積分常數(shù)為零，于是有 ( c 2 一p 2 一，7 2 一p 2 ) 1 王一。盧2 ( u ?！? 一舡4 讓一“( t 一“) g = 0 ，( 3 - 2 i ) 將( 3 - 1 0 ) 帶入( 3 - 2 1 ) 得到 ( c 2 一p 2 一礦一p 2 ) ac o s c t ) 一a z 2 a 嘲c o s 一卿幢) + 軌礦a 嘲淄一娜籃) 一6 a 一知p ( n 盧一1 ) 嘲一2 啦一2 ( f ) = 0 ，( 3 - 2 2 ) 即 ( c 2 一礦一，7 2 一礦) a c o s 4 ) 一6 叩4 a 一2 侈( r 徊一1 ) c o s 一備妒一2 ) + ( 聹礦礦a 嘲一叩2 a 也) c 0 8 一螂( f ) = 0 ( 3 - 2 3 ) 由等量法則知 z h o u y u a n l 9 8 3 0 6 0 6 1 2 6 c o m 第1 l 頁(yè)。共2 4 頁(yè)畢業(yè)論文 第三章一類b o u s s i n e s q 水渡系統(tǒng)的孤立f 波 解( 3 - 2 4 ) 得 f 筇一1 0 ， 一鬻三2 2 0()b ln 2 儼= 叩2 ， 【b n # 4 x 一2 “盧( n p 一1 ) = ( c 2 一p 2 一，7 2 一礦) a i 盧= 一南， p = 等訴，( 3 - 2 5 ) ia = ( 一琢誦舞驀毪兩羽) 南 當(dāng)蚓 i 時(shí)， “( z ，扔毛t ) = 一葡磊幫i a 2 f ( 2 n + f 1 ) 2 幣而 髓c 2 【, 2 n f + 1v i i z + ，掰+ p z d 】 南，( 3 - 2 6 ) 同理使用( 3 - 1 1 ) 式，我們可以得到如下的周期解 當(dāng)0 f 1 ，( 4 2 ) 這里常數(shù)a ，b 0 通過(guò)運(yùn)用正余弦擬設(shè)方法，w a z w a z 陰得到了方程似1 ) 和( 4 - 2 ) 的一些不同物理性質(zhì)的確切解，如c o m p a c t o n s ，s o l i t o n s ，s o l i t a r y p a t t e r n s 和周期解 本章通過(guò)運(yùn)用一種不同于文【卜9 】的數(shù)學(xué)方法，即利用微分方程降階法， 得到方程洚1 ) 和降2 ) 的一組確切解這組解包含了w a z w a z 【7 】中的解，即 w a z w a z 【7 1 中得到的解是該組解的特例與w a z w a z 【7 】解的結(jié)果類似的是， 解的物理結(jié)構(gòu)依賴于比率2 和指數(shù)n 4 1 帶正指數(shù)的b o u s s i n e s q 方程 假設(shè)方程( 4 - 1 ) 的行波解為 t ( z ，y ，t ) = 口( f ) 第1 4 頁(yè)。共2 4 頁(yè) 魚l ! ! ! 堂堊壘塑墼塑f ! 1 2 堡望! 竺蘭! 竺g 查絲墨竺墮：些塑些笙塑 返里變量f = p x + v y c t 常數(shù)p 0 ，7 0 和c 0 代入f = 艫+ 刪一d ， 使方程降1 ) 變?yōu)橐韵碌某Ｎ⒎址匠?( c 2 一p 2 一町2 ) t 艇一叩2 ( t 軌) 聯(lián)一妒( t “) 艇】艇= 0 ，n 1 ，( 4 - 3 ) 對(duì)方程( 4 - 3 ) 積分兩次，并且令積分常數(shù)為0 ，我們有 ( c 2 一p 2 一7 2 ) 讓一礦p - - b 1 1 , 4 u n ( u n ) 艇= o ( 4 - 4 ) 下面我們將討論方程( 4 - 4 ) 分別在兩種情況下c 2 一曠一7 2 = o 和c 2 一p 2 一町2 0 的解 c a s e1 ：c 2 一礦一町2 = 0 引入公式 s i n h z = i 18 i n t z ，8 i n z = - 1 1 s i n l 1 i z ，c o s h z ：c 0 8 l z ，c 0 8 ：伽h 缸 這里i = = t 當(dāng)c 2 一礦一，7 2 = 0 時(shí)，非線性常微分方程( 4 - 4 ) 變?yōu)?口礦p + 如4 礦( 札“) g = 0 ( 4 - 5 ) 如果2 0 ，解方程( 4 - 5 ) ，得到 。 礦= b 嘲c 三居m 咖c ；居， z h o u y u a n l 9 8 3 0 6 0 6 1 2 6 t o m 第1 5 頁(yè)，共2 4 頁(yè) 畢業(yè)論文 第四章帶正負(fù)指數(shù)的( 2 + 1 ) 維b o u s s i n e s q 水波系統(tǒng)的一些物理結(jié)構(gòu) = 孵喲( ：居刪，( 4 - s ) 這里島和k 4 為任意常數(shù)，滿足 因此 s i n 咖= k 3 ( k ；+ 瑤) 一，c o s 咖= 乜( 瑤+ 磚) 一 ( 訓(xùn)，歸瞞+ 鰣s i n ( ；店恤+ 曠d ) 刊湃。( 4 - 9 ) 注意1 ：當(dāng)c 2 一p 2 一叩2 = 0 時(shí)方程( 4 - 1 ) 和( 4 - 2 ) 的解在w a z w a z 7 1 中沒 有得到 c a s e2 ：c 2 一礦一礦0 考慮以下方程的解 ( 警) 2 _ 0 0 一彬，( 4 - 1 0 ) 這里常數(shù)a o 0 和6 0 0 當(dāng)b o 0 時(shí)，方程( 4 - 1 0 ) 得到兩組解 w = 士v - 蕁s i n 【、麗拓+ a ) l 其中a 為任意常數(shù) = 士居c o s 諏州) 】( 4 - 1 1 ) 當(dāng)b o 0 ，根據(jù)方程( 4 - 1 1 ) 和( 4 - 1 7 ) 得到 u ( ) = 塾垡二i j 乒塑咖2 【1 2 n 元- 礦1 、f i a 【肛+ 硼一d ) 】) 由， 降1 8 ) 和 心幽t ) _ 型塑姍2 【面2 n - 1v 儼a + 聊卅】) 南( 4 - 1 9 ) 如果； 0 時(shí)，根據(jù)方程( 4 - 1 8 ) 和洚1 9 ) ，我們得到如下的c o m p a c t o n s z h o u y u a n l 9 8 3 0 6 0 6 1 2 6 0 0 m第玎頁(yè)。共2 4 頁(yè) 畢業(yè)論文 第四章帶正負(fù)指數(shù)的( 2 + 1 ) 維b o u s s i n e s q 水波系統(tǒng)的些物理結(jié)構(gòu) f “扛，f ，t ) = 塾壁囂晏= 丑c 0 8 2 【甍吾、丐( 肛+ q 一d ) 】) 南， i 水韶糲，i a ， 【u ( z ，y ，) = 0 ，其它， 和 f “o ，y ，t ) = 2 n j i - 萬(wàn)：一- , 產(chǎn)。- - z - 2 【穹吾r 手( 肛+ 田可一d ) 】) 矗， i 沐殺，p o t 【t ( 。m ) = 0 ，其它 對(duì)于2 0 ，得到的解為 u ( 刪，= 碌麗- a z 2 礎(chǔ)等屈肛+ w 卅】，南，( 們2 ) 和 u ( 刎= 麗誦- a t 2s 川等佰肛+ w 刮】) 南( 4 3 3 ) c a s e 4 ：如果c 2 一礦一，7 2 0 且2 0 時(shí)，根據(jù)解( 4 - 3 2 ) 和( 4 3 3 ) 得到以下的周期解 u ( 川) _ 殺南礎(chǔ)籌店( 時(shí)儼刮 六，( 4 - 3 6 ) 其中o 糾2 n + l 以， 出刖= 麗南s e c 2 等據(jù)( 艫+ 璐卅】 南，( 4 - 3 7 ) 其中i l 劃2 n + i 以 當(dāng) 0 時(shí)，且如果叼= c 我們得到如下的孤立子解 缸( z m t ) = 一蠡c s 【, 面2 n + l v i ( 肛+ 刪一d ) 】) 南，( 4 - 3 8 ) 和 ( z m t ) = 蠡s e 礬2 瓦2 n + 1 v f 一- - - 【i p z + w d ) 】) 南( 4 - 3 9 ) 注意4 ：在解( 4 - 3 2 ) ，( 4 - 3 3 ) ，( 4 - 3 4 ) 和( 4 - 3 5 ) 中令p = 學(xué)訴，我們可 得方程( 4 - 2 ) 在文【7 | 中的主要結(jié)果 z h o u y u a n l 9 8 3 0 6 0 6 1 2 6 c o m 第2 0 頁(yè)共2 4 頁(yè) 畢業(yè)論文 參考文獻(xiàn) 【1 】j b o u s s i n e s q t h e o r i ed e so n 幽e t d er e ：i i l o u sq u i 畿p r o p a s e n td el o n gd 鋤 c a n a lr e c a n g u l a i e re te o m m u n i q u n ；q u a n ta mh g u i d ec o n t e n ed a n sc ec a n n a l d e sv i t e s s e ss e n s i b l e m e n tp a r e i l l e sd el as u r f a c ea nf o n d j m a t h p u r e sa p p l ， 1 8 7 2 ，1 7 ( 2 ) ：5 5 1 0 8 2 】d h p e r e g r i n e l o n gw a v eo nab e a c h j f l u i d m e c h ，1 9 6 7 ，2 7 ( 4 ) ：8 1 5 8 2 7 【3 】m b a b b o t t ，h m p e t e r s e n ，s k o v g o a r d o o nt h en u m e r i c a lm o d e l i n go f s h o r tw a v e si ns h a l l o ww a t e r j h y d r a u l i cr e s e 她，1 9 7 8 ，1 6 ( 3 ) ：1 7 3 2 0 3 【4 】mb a b b o t t ，a d m c c o w a n ，i r w a r r e n a c c u r a c yo fs h o r tw a v en u m e r i c a l m o d e l s j ，h y d r a u le n g ，1 9 8 4 ，1 1 0 ( 1 0 ) ：1 2 8 7 , , , 1 3 0 1 【5 】鄒志利適合復(fù)雜地形的高階b o n s s i n e s q 水波方程j 海洋學(xué)報(bào)，2 0 0 1 ， 2 3 ( 1 ) 【6 】p a m a d s e n ，h b b i n g h a m ，h l i u an e wb o u s s i n e s qm e t h o df o rf u l l yn o n - l i n e a rw a v e sf r o ms h a l l o wt od e e pw a t e r j f l u i dm e c h ，2 0 0 2 ，4 6 2 ：1 3 0 【7 】a m w a z w a z v a r i a n t so ft h et w o - d i m e n s i o n a lb o u s s i n e s qe q u a t i o nw i t h c o m p a c t o n s ，s o l i