數(shù)學(xué)建模——傳染病模型.doc

.傳染病模型摘要當(dāng)今社會(huì)，人們開(kāi)始意識(shí)到通過(guò)定量地研究傳染病的傳播規(guī)律，建立傳染病的傳播模型，可以為預(yù)測(cè)和控制傳染病提供可靠、足夠的信息。本文利用微分方程穩(wěn)定性理論對(duì)傳統(tǒng)傳染病動(dòng)力學(xué)建模方式進(jìn)行綜述，且針對(duì)甲流，SARS等新生傳染病模型進(jìn)行建模和分析。不同類型的傳染病的傳播過(guò)程有其各自不同的特點(diǎn)，我們不是從醫(yī)學(xué)的角度一一分析各種傳染病的傳播，而是從一般的傳播機(jī)理分析建立各種模型，如簡(jiǎn)單模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。本文中，我們應(yīng)用傳染病動(dòng)力學(xué)模型來(lái)描述疾病發(fā)展變化的過(guò)程和傳播規(guī)律，運(yùn)用聯(lián)立微分方程組體現(xiàn)疫情發(fā)展過(guò)程中各類人的內(nèi)在因果聯(lián)系，并在此基礎(chǔ)上建立方程求解算法。然后，通過(guò)借助Matlab程序擬合出與實(shí)際較為符合的曲線并進(jìn)行了疫情預(yù)測(cè)，評(píng)估各種控制措施的效果，從而不斷完善文中的模型。 本文由簡(jiǎn)到難、全面地評(píng)價(jià)了該模型的合理性與實(shí)用性，而后對(duì)模型和數(shù)據(jù)也做了較為扼要的分析，進(jìn)一步改進(jìn)了模型的不妥之處。同時(shí)，在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行較為全面評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)上又引入更為全面合理的假設(shè)，運(yùn)用雙線性函數(shù)模型對(duì)衛(wèi)生部的措施進(jìn)行了評(píng)價(jià)并給出建議，做好模型的完善與優(yōu)化工作。 關(guān)鍵詞：傳染病模型,簡(jiǎn)單模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。,.一、問(wèn)題重述 有一種傳染?。ㄈ鏢ARS、甲型H1N1）正在流行，現(xiàn)在希望建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，利用已經(jīng)掌握的一些數(shù)據(jù)資料對(duì)該傳染病進(jìn)行有效地研究，以期對(duì)其傳播蔓延進(jìn)行必要的控制，減少人民生命財(cái)產(chǎn)的損失?？紤]如下的幾個(gè)問(wèn)題，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，并進(jìn)行一定的比較分析和評(píng)價(jià)展望。1、不考慮環(huán)境的限制，設(shè)單位時(shí)間內(nèi)感染人數(shù)的增長(zhǎng)率是常數(shù)，建立模型求t時(shí)刻的感染人數(shù)。2、假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)感染人數(shù)的增長(zhǎng)率是感染人數(shù)的線性函數(shù)，最大感染時(shí)的增長(zhǎng)率為零。建立模型求t時(shí)刻的感染人數(shù)。3、假設(shè)總?cè)丝诳煞譃閭魅静』颊吆鸵赘腥菊?，易感染者因與患病者接觸而得病，而患病者會(huì)因治愈而減少且對(duì)該傳染病具有很強(qiáng)的免疫功能，建立模型分析t時(shí)刻患病者與易感染者的關(guān)系，并對(duì)傳染情況（如流行趨勢(shì)，是否最終消滅）進(jìn)行預(yù)測(cè)。二、問(wèn)題分析1、這是一個(gè)涉及傳染病傳播情況的實(shí)際問(wèn)題，其中涉及傳染病感染人數(shù)隨時(shí)間的變化情況及一些初始資料，可通過(guò)建立相應(yīng)的微分方程模型加以解決。2、問(wèn)題表述中已給出了各子問(wèn)題的一些相應(yīng)的假設(shè)。3、在實(shí)際中，感染人數(shù)是離散變量，不具有連續(xù)可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短時(shí)間內(nèi)改變的是少數(shù)人口，這種變化與整體人口相比是微小的。 因此，為了利用數(shù)學(xué)工具建立微分方程模型，我們還需要一個(gè)基本假設(shè)：感染人數(shù)是時(shí)間的連續(xù)可微函數(shù)。三、模型假設(shè)模型二和模型三的假設(shè)條件：假設(shè)一：在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N不變，即不考慮生死，也不考慮遷移。人群分為易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）兩類（取兩個(gè)詞的第一個(gè)字母，稱之為SI模型），以下簡(jiǎn)稱健康者和病人。時(shí)刻t這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占比例分別記作s(t)和i(t)。 假設(shè)二：每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)，稱為日接觸率。當(dāng)病人與健康者接觸時(shí)，使健康者受感染變?yōu)椴∪恕?假設(shè)三：模型三在假設(shè)一和假設(shè)二的基礎(chǔ)上進(jìn)行考慮，然后設(shè)病人每天治愈的比例為，稱為日治愈率。病人治愈后成為仍可被感染的健康者，顯然1/是這種傳染病的平均傳染期。 模型四的假設(shè)條件：假設(shè)四：總?cè)藬?shù)N不變。人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三類，稱SIR模型。三類人在總數(shù)N中占的比例分別記作s(t),i(t)和r(t)。 假設(shè)五：病人的日接觸率為l，日治愈率為m（與SI模型相同），傳染期接觸為 s=l/m。四、符號(hào)說(shuō)明t 某一具體時(shí)刻x(t)病人人數(shù)每天每個(gè)病人有效接觸的人數(shù)N總?cè)藬?shù)s(t)健康者總?cè)藬?shù)i(t)病人總?cè)藬?shù)i初始時(shí)刻病人的比例t病人的最大值日治愈率1/平均傳染率接觸率r(t)移出者s初始時(shí)刻健康者的比例五、模型的建立與求解模型1 在這個(gè)最簡(jiǎn)單的模型中，設(shè)時(shí)刻t的病人人數(shù)x(t)是連續(xù)、可微函數(shù)，并且每天每個(gè)病人有效接觸（足以使人致病的接觸）的人數(shù)為常數(shù)，考察t到病人人數(shù)的增加，就有方程（1）的解為 結(jié)果表明，隨著t的增加，病人人數(shù)x(t)無(wú)限增長(zhǎng)，這顯然是不符合實(shí)際的。 建模失敗的原因在于：在病人有效接觸的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被傳染為病人，所以在改進(jìn)的模型中必須區(qū)別這兩種人。 模型2（SI模型） 又因?yàn)榉匠蹋?）是Logistic模型。它的解為 這時(shí)病人增加的最快，可以認(rèn)為是醫(yī)院的門診量最大的一天，預(yù)示著傳染病高潮的到來(lái)，是醫(yī)療衛(wèi)生部門關(guān)注的時(shí)刻。 其原因是模型中沒(méi)有考慮到病人可以治愈，人群中的健康者只能變成病人，病人不會(huì)再變成健康者。 模型3（SIS模型） 有些傳染病如傷風(fēng)、痢疾等愈合后免疫力很低，可以假定無(wú)免疫性，于是病人被治愈后變成健康者，健康者還可以被感染再變成病人，所以這個(gè)模型成為SIS模型?？紤]到這一模型的假設(shè)條件，于是有 （8）可得微分方程 0 （9）定義 （10）其中是整個(gè)傳染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù)，稱為接觸數(shù)。得到 （11）模型4（SIR模型）大多數(shù)傳染者如天花 流感 肝炎 麻疹等治愈后均有很強(qiáng)的免疫力，所以病愈的人既非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），因此他們將被移除傳染系統(tǒng)，我們稱之為移除者，記為R類。SIR模型是指易感染者被傳染后變?yōu)楦腥咀?，感病者可以被治愈，并?huì)產(chǎn)生免疫力，變?yōu)橐瞥摺Ｈ藛T流動(dòng)圖為：S-I-R。1.模型構(gòu)成：在假設(shè)1中顯然有： s(t) + i(t) + r(t) = 1 （12）對(duì)于病愈免疫的移出者的數(shù)量應(yīng)為 （13）不妨設(shè)初始時(shí)刻的易感染者、染病者、恢復(fù)者的比例分別為（0），（0），=0，則SIR基礎(chǔ)模型用微分方程組表示如下： （14）s(t) ， i(t)的求解極度困難，在此我們先做數(shù)值計(jì)算來(lái)預(yù)估計(jì)s(t) ， i(t)的一般變化規(guī)律。 2.數(shù)值計(jì)算在方程（3）中設(shè)=1，=0.3，i（0）= 0.02，s（0）=0.98，用MATLAB軟件編程：function y=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2);ts=0:50;x0=0.20,0.98;t,x=ode45(ill,ts,x0);plot(t,x(:,1),t,x(:,2)pauseplot(x(:,2),x(:,1) 輸出的簡(jiǎn)明計(jì)算結(jié)果列入表1。i(t) , s(t)的圖形以下兩個(gè)圖形，is圖形稱為相軌線,初值i(0)=0.02,s(0)=0.98相當(dāng)于圖2中的P0點(diǎn),隨著t的增,(s,i)沿軌線自右向左運(yùn)動(dòng).由表1、圖1、圖2可以看出,i(t)由初值增長(zhǎng)至約t=7時(shí)達(dá)到最大值,然后減少,t,i0,s(t)則單調(diào)減少,t,s0.0398. 并分析i(t),s(t)的一般變化規(guī)律.表1 i(t),s(t)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果t 0 1 2 3 4 5 6 7 8i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027 t 9 10 15 20 25 30 35 40 45i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.039813.相軌線分析我們?cè)跀?shù)值計(jì)算和圖形觀察的基礎(chǔ)上，利用相軌線討論解i（t）,s（t）的性質(zhì)。 D = （s，i）| s0，i0 ， s + i 1 （15）在方程（14）中消去并注意到的定義，可得 （16）所以： 利用積分特性容易求出方程(5)的解為： （17）在定義域D內(nèi),(17)式表示的曲線即為相軌線,如圖3所示.其中箭頭表示了隨著時(shí)間t的增加s(t)和i(t)的變化趨向。圖3下面根據(jù)（14），（17）式和圖3分析s(t),i(t)和r(t)的變化情況(t時(shí)它們的極限值分別記作, 和).1. 不論初始條件s0,i0如何,病人將消失,即：2. 最終未被感染的健康者的比例是 ,在(7)式中令i=0得到, 是方在(0,1/)內(nèi)的根.在圖形上 是相軌線與s軸在(0,1/)內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)3.若1/,則開(kāi)始有，i(t)先增加, 令=0，可得當(dāng)s=1/時(shí),i(t)達(dá)到最大值：然后s1/(即1/s0)時(shí)傳染病就會(huì)蔓延.而減小傳染期接觸數(shù),即提高閾值1/使得1/(即 1/),傳染病就不會(huì)蔓延(健康者比例的初始值是一定的,通?？烧J(rèn)為接近1)。并且,即使1/, 減小時(shí), 增加(通過(guò)作圖分析), 降低,也控制了蔓延的程度.我們注意到在=中,人們的衛(wèi)生水平越高,日接觸率越小;醫(yī)療水平越高,日治愈率越大,于是越小,所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病的蔓延.從另一方面看, 是傳染期內(nèi)一個(gè)病人傳染的健康者的平均數(shù),稱為交換數(shù),其含義是一病人被個(gè)健康者交換.所以當(dāng) 即時(shí)必有 .既然交換數(shù)不超過(guò)1,病人比例i(t)絕不會(huì)增加,傳染病不會(huì)蔓延。5. 群體免疫和預(yù)防：根據(jù)對(duì)SIR模型的分析,當(dāng) 時(shí)傳染病不會(huì)蔓延.所以為制止蔓延,除了提高衛(wèi)生和醫(yī)療水平,使閾值1/變大以外,另一個(gè)途徑是降低 ,這可以通過(guò)比如預(yù)防接種使群體免疫的辦法做到。忽略病人比例的初始值有,于是傳染病不會(huì)蔓延的條件 可以表為這就是說(shuō)，只要通過(guò)群體免疫使初始時(shí)刻的移出者比例（即免疫比例）就可以制止傳染病的蔓延。這種辦法生效的前提條件是免疫者要均勻分布在全體人口中，實(shí)際上這是很難做到的。據(jù)估計(jì)當(dāng)時(shí)印度等國(guó)天花傳染病的接觸數(shù) =5，至少要有80%的人接受免疫才行。據(jù)世界衛(wèi)生組織報(bào)告，即使花費(fèi)大量資金提高，也因很難做到免疫者的均勻分布，使得天花直到1977年才在全世界根除。而有些傳染病的更高，根除就更加困難。6.模型驗(yàn)證:上世紀(jì)初在印度孟買發(fā)生的一次瘟疫中幾乎所有病人都死亡了。死亡相當(dāng)于移出傳染系統(tǒng)，有關(guān)部門記錄了每天移出者的人數(shù)，即有了的實(shí)際數(shù)據(jù)，Kermack等人用這組數(shù)據(jù)對(duì)SIR模型作了驗(yàn)證。首先，由方程（12），（14）可以得到 ，兩邊積分得所以： (8)再 (9)當(dāng) 時(shí)，?。?3）式右端Taylor展開(kāi)式的前3項(xiàng)得： (10)在初始值=0 下解高階常微分方程得: (11)其中， 從而容易由（10）式得出：然后取定參數(shù) s0, 等，畫出（11）式的圖形，如圖4中的曲線，實(shí)際數(shù)據(jù)在圖中用圓點(diǎn)表示，可以看出，理論曲線與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合得相當(dāng)不錯(cuò)。六、模型評(píng)價(jià)與推廣根據(jù)傳染病的模型建立研究進(jìn)而推廣產(chǎn)生了傳染病動(dòng)力學(xué)模型。傳染病動(dòng)力學(xué)1是對(duì)進(jìn)行理論性定量研究的一種重要方法,是根據(jù)種群生長(zhǎng)的特性,疾病的發(fā)生及在種群內(nèi)的傳播,發(fā)展規(guī)律,以及與之有關(guān)的社會(huì)等因素,建立能反映傳染病動(dòng)力學(xué)特性的數(shù)學(xué)模型,通過(guò)對(duì)模型動(dòng)力學(xué)性態(tài)的定性,定量分析和數(shù)值模擬,來(lái)分析疾病的發(fā)展過(guò)程,揭示流行規(guī)律,預(yù)測(cè)變化趨勢(shì),分析疾病流行的原因和關(guān)鍵。對(duì)于2003年發(fā)生的SARS疫情,國(guó)內(nèi)外學(xué)者建立了大量的動(dòng)力學(xué)模型研究其傳播規(guī)律和趨勢(shì),研究各種隔離預(yù)防措施的強(qiáng)度對(duì)控制流行的作用,為決策部門提供參考.有關(guān)SARS傳播動(dòng)力學(xué)研究多數(shù)采用的是SIR或SEIR模型.評(píng)價(jià)措施效果或擬合實(shí)