微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)方法(PDF 43)

1 A Brief Lecture Notes on Optimization for Microeconomic Analysis1 馮 曲 復(fù)旦大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 中國(guó)經(jīng)濟(jì)研究中心 第一稿 2003 年 1 月 一切匠心都?xì)w功于 Dixit, Chiang, Takayama 等杰出的前輩；所有的錯(cuò)誤、遺漏為編者所有。 他是個(gè)頑皮的孩子，不肯就安分的待在身旁；我們要做的是，不能讓他的玩耍脫離我 們的視線。 1 歡迎指出錯(cuò)誤及評(píng)論。qufeng 2 目目 錄錄 A.最優(yōu)規(guī)劃問題.3 B.梯度向量3 B.1.無約束極值問題.3 B.1.1 向量的內(nèi)積4 B.2.約束極值問題.6 B.2.1 雅克比矩陣8 B.2.2 隱函數(shù)定理8 B.2.3 超平面9 C.等式約束極值的拉格朗日求解法.10 D.非線性規(guī)劃問題的求解：庫(kù)恩塔克條件.11 E.二階條件.14 E.1 無約束極值問題14 E.1.1 泰勒展開.14 E.1.2 二次型.16 E.2 等式約束極值問題.17 E.3 不等式約束問題.21 F.凹規(guī)劃22 F.1.1 凸集22 F.1.2 凸函數(shù)22 F.1.3.凹函數(shù)23 F.2.凹規(guī)劃.24 F.3.擬凹函數(shù)、擬凸函數(shù).25 G.最優(yōu)化問題的解28 G.1.基本概念.28 G.1.1 緊集28 G.1.2.函數(shù)的連續(xù)28 G.1.3 韋氏定理28 G.2.解的存在性和唯一性.29 G.2.1.存在性定理29 G.2.2 唯一性定理30 G.3 分離.31 H.比較靜態(tài)分析33 H.1.基本思想 33 H.2.一般方法.34 I. 包絡(luò)定理.36 I.1.最大值函數(shù)36 I.2.包絡(luò)定理37 I.3.拉格朗日乘子的含義39 I.4.包絡(luò)定理的應(yīng)用40 3 A.最優(yōu)規(guī)劃問題：最優(yōu)規(guī)劃問題： cxg ts xf x =)( . . )(max 這樣一個(gè)規(guī)劃問題可以用來表達(dá)一個(gè)在一定資源約束情況下的經(jīng)濟(jì)決策問 題，其中)(xf稱為目標(biāo)函數(shù)，x為選擇變量，)(xg為約束函數(shù)。如果用集合S x|g(x)=c表示約束，則此規(guī)劃問題可以看作是在集合S（可以看作是歐氏空 間的一個(gè)子集，稱為可行集）上選擇一個(gè)點(diǎn)x（或向量） ，使得目標(biāo)函數(shù)f(x)的 值最大。如下圖，在二維情形下，S表示可行集，f(x)=k表示目標(biāo)函數(shù)的等值線， 則上述規(guī)劃問題就變成了在S中找一點(diǎn)，使得目標(biāo)函數(shù)的等值線達(dá)到一個(gè)最高 的位置。 從這樣的角度看規(guī)劃問題，我們可以將研究的重點(diǎn)放在目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)和 可行集的性質(zhì)兩個(gè)部分。 x2 S grad f f(x)=k x1 圖A.1 B.梯度向量梯度向量 梯度grad f的概念一般和目標(biāo)函數(shù)的等值線（面）的變化有關(guān)。我們分兩 種情況來從梯度的角度看最優(yōu)化問題。 B.1.無約束極值問題：無約束極值問題： 一維情況下： dxxfxdf=)()( 此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值的變化，是兩部分的乘積，第一部分是導(dǎo)數(shù)，第二部分是x 的微分，或者說是x的變化，可以取正也可以取負(fù)。 若 0)( xf，則可以取0dx，使得0)(xdf，即通過點(diǎn)x的移動(dòng)，可以 使目標(biāo)函數(shù)值增加；若0)( xf，則可以取0 xdf，目標(biāo)函數(shù) 4 值還可以繼續(xù)增加。因此，當(dāng)f(x)取得極值，即目標(biāo)函數(shù)值不再增加時(shí)，上述 情形不可能發(fā)生，即有0)( =xf。 含義：一維無約束極值問題中，目標(biāo)函數(shù)的梯度就是導(dǎo)數(shù)，表示目標(biāo)函數(shù) 值變化（增加）的方向。 多維情形下： dxfxdf x =)( 此時(shí)， x f即為)(xf在點(diǎn)x處的梯度向量，為橫向量（), 1n ffL，其中每一個(gè)分 量為偏導(dǎo)數(shù)；dx為縱向量，表示x的變化。上式表示目標(biāo)函數(shù))(xf的變化可以 用梯度向量和dx的內(nèi)積來衡量： nn n nx dxfdxf dx dx ffdxfxdf+= =LML 11 1 1 ),()( B.1.1 幾何意義：向量的內(nèi)積幾何意義：向量的內(nèi)積 x,y 是兩個(gè)向量，其內(nèi)積定義為： nn n n yxyx y y xxyx+= =LML 11 1 1 ),( 同時(shí)，也可以表示成：cosyxyx=，或 yx yx =cos，其中表示向 量x,y之間的夾角，yx,分別表示向量x,y的模（原點(diǎn)到點(diǎn)x、y的距離） 。 如果 2 0 yx； 2 =，則0=yx，即向量x,y正交（垂直） ； 3時(shí)，預(yù)算約束Ixp=在n維歐氏空間),( 1n xx L中表現(xiàn)為 超平面。 10 C.等式約束極值的拉格朗日求解法（等式約束極值的拉格朗日求解法（Lagranges Method） 前面我們從梯度的角度得出了約束等式極值問題 cxG ts xf x =)( . . )(max 在最優(yōu)解x處的一階條件，即 xx Gf=，其中為常數(shù)。 此處，我們給出一個(gè)一般的求解方法拉格朗日方法：通過引入一個(gè)參 數(shù)，將一個(gè)約束極值問題轉(zhuǎn)化成無約束極值問題。具體的，通過構(gòu)造拉格朗日 函數(shù)： )()(),(xGcxfxL+= 其中x是n維向量，參數(shù)，我們稱之為拉格朗日乘子。上述約束極值在最優(yōu) 解x處的一階條件可以用拉格朗日函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)表示： 0)( ),( , 1, 0 ),( = = xGc xL niGf x xL ii i L 第一個(gè)式子用向量表示，即為 xx Gf=，其中 xx Gf ,分別表示目標(biāo)函數(shù)和約 束函數(shù)在最優(yōu)解點(diǎn)x處梯度向量的取值；第二個(gè)式子是約束等式的重新表述。 共有n+1個(gè)變量),( 1 n xx L，和n+1個(gè)等式，一般能直接求出最優(yōu)解),(x， 拉格朗日乘子是作為最優(yōu)解的一部分求出來的。 當(dāng)約束cxG=)(表示m個(gè)等式時(shí)，求解過程與上面一樣，此時(shí)拉格朗日乘 子是一個(gè)m維的向量),( 1m L，一階條件由 xx Gf=和約束等式cxG=)( 組成，nm個(gè)變量),;,( 11mn xxLL，共n+m個(gè)等式，在一定的條件下（在 最優(yōu)解x處，雅克比矩陣 x G是非奇異的） ，可以求解出最優(yōu)解),(x。 11 D.非線性規(guī)劃問題的求解：庫(kù)恩塔克條件非線性規(guī)劃問題的求解：庫(kù)恩塔克條件 前面我們討論了等式約束的極值問題，但在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，很多經(jīng)濟(jì)問題的約 束都是以不等式形式出現(xiàn)的，如前面討論的消費(fèi)者選擇問題中，我們給出的預(yù) 算約束是所有的收入必須花完，但更為現(xiàn)實(shí)的是只要滿足支出不超過收入就可 以了。此外，我們還要加上選擇變量非負(fù)的約束，比如商品的消費(fèi)量不能小于 零。 不等式約束及選擇變量非負(fù)的最優(yōu)化問題稱之為非線性規(guī)劃問題。一般的， 可以用如下數(shù)學(xué)模型表示： 0 )( . . )(max x cxG ts xf x 對(duì)于這個(gè)問題的求解，我們只要在等式約束極值問題解法的基礎(chǔ)上作一點(diǎn) 修正： 第一步：作拉格朗日函數(shù) )()(),(xGcxfxL+= 這個(gè)函數(shù)與等式約束極值問題的拉格朗日函數(shù)是一樣的。 第二步：求一階條件。顯然，因?yàn)檫x擇變量加上了非負(fù)的約束，所以原來 在最優(yōu)解x處拉格朗日函數(shù)對(duì)選擇變量的一階偏導(dǎo)等于零的一階條件就要變 為： ni x L xxGf x L i iiii i , 1, 0, 0, 0L= = 在最優(yōu)解x處，選擇變量和相應(yīng)的一階偏導(dǎo)數(shù)乘積為零，表明當(dāng)選擇變量為 正時(shí)（我們稱之為內(nèi)點(diǎn)解） ，一階偏導(dǎo)為零，這是和等式約束一樣的；而當(dāng)選擇 變量取零時(shí)（我們稱之為角點(diǎn)解） ，一階偏導(dǎo)小于或等于零。這樣的關(guān)系，我們 稱之為互補(bǔ)松弛條件。 在等式約束極值問題的一階條件中拉格朗日函數(shù)對(duì)乘子的一階導(dǎo)數(shù)等于 零就是約束等式的重新表述；現(xiàn)在約束是以不等式形式出現(xiàn)的，對(duì)的一階條 件相應(yīng)的修正為： 0, 0, 0)(= = L xGc L 和選擇變量非負(fù)約束一樣，不等式約束時(shí)的一階條件需要添加一個(gè)互補(bǔ)松 弛條件，即當(dāng)為正時(shí)，約束取等號(hào)，此時(shí)我們稱之為約束是緊的（binding） ； 為零時(shí)，約束取不等號(hào)，則稱此時(shí)約束為松的（non-binding） 。這個(gè)互補(bǔ)松弛 條件告訴我們，拉格朗日乘子的符號(hào)與約束的松緊情況是相關(guān)的：正的拉格朗 日乘子對(duì)應(yīng)于緊的約束；拉格朗日乘子為零則對(duì)應(yīng)于松的約束。 把上面兩個(gè)式子結(jié)合起來，就是非線性規(guī)劃問題在最優(yōu)解x處的一階必要條 12 件，我們稱之為庫(kù)恩塔克條件（Kuhn-Tucker Condition） 。 當(dāng)約束個(gè)數(shù)是m (m1)個(gè)時(shí)，,),(cxG都表示m維的向量，相應(yīng)的乘積變 為內(nèi)積即可。 與等式約束極值問題的一階必要條件相比，庫(kù)恩塔克條件是用不等式形 式出現(xiàn)的，因此給求解帶來了很大的麻煩。具體的，在前面的兩種商品的消費(fèi) 者選擇例子中，等式約束極值問題的一階條件表現(xiàn)為),( 21 xx三個(gè)未知量，三 個(gè)方程；而當(dāng)預(yù)算約束以不等式形式出現(xiàn)，并且加上0, 0 21 xx條件后，庫(kù)恩 塔克條件表現(xiàn)為三個(gè)未知量，三個(gè)不等式（及互補(bǔ)松弛條件） ，具體的求解需 要討論選擇變量0, 0; 0, 0; 0, 0 21 =xx等各種情況后才能將不等式轉(zhuǎn)化 成等式，再進(jìn)一步求解。三個(gè)變量每一個(gè)都有為正、零兩種情況，所以組合起 來一般的求解過程需要討論8種情形，并在每一種情形下求出最優(yōu)解。下面我 們用一個(gè)具體的例子來看非線性規(guī)劃庫(kù)恩塔克條件的求解過程。 例子：擬線性偏好（Quasi-Linear Preference） 21, max xx 1221 ln),(xaxxxu+= . .ts 0, 21 2211 + xx Ixpxp 作拉格朗日函數(shù) )(ln),( 22111221 xpxpIxaxxxL+=，一階必要條 件（庫(kù)恩塔克條件） ： 0, 0, 0 1 111 11 = = x L xxp x a x L 0, 0, 01 2 222 2 = = x L xxp x L 0, 0, 0 2211 = = L xpxpI L 如何求解？一般情況下，我們要討論0, 0; 0, 0; 0, 0 21 =xx組合成 的8種情況，不過，在這一具體的問題中，我們可以通過分析題目中隱含的條 件（經(jīng)濟(jì)含義）初步確定未知量的范圍，以減少討論的可能情形。 比如，在此問題中，邊際效用 21,u u均為正，推得不會(huì)有收入剩余，否則可 以通過繼續(xù)增加消費(fèi)，使得效用增加，因此預(yù)算約束是緊的，即0；另外， 由效用函數(shù)的形式，0 1 x。因此，需要討論的情形只有兩種了： 第一種情形： 0, 0, 0 21 =xx。此時(shí)庫(kù)恩塔克條件變?yōu)椋?13 0 01 0 11 2 2 1 11 = = = xpI L p x L p x a x L 求得, 0, 2 1 1 I a x p I x=并且滿足參數(shù)條件 2 apI 。 第二種情形：0, 0, 0 21 xx 此時(shí)，庫(kù)恩塔克條件變?yōu)椋?0 01 0 2211 2 2 1 11 = = = xpxpI L p x L p x a x L 求得 22 2 2 1 2 1 1 , pp apI x p ap x= =，并且有 2 apI 。 從這個(gè)例子的討論中，我們知道，雖然非線性規(guī)化的庫(kù)恩塔克條件的求 解過程一般需要討論選擇變量和拉格朗日乘子為零和為正所組合成的每一種情 況，但可以通過對(duì)變量的范圍的初步分析，以減少求解情形的可能性并簡(jiǎn)化求 解的過程。 另外，從求解的具體過程看，雖然題目沒有直接告訴我們，但其實(shí)問題中 的參數(shù)是有條件的，參數(shù)空間可以劃分成各個(gè)不同的部分，每一部分對(duì)應(yīng)于求 解的一個(gè)具體情形。如本題中，當(dāng) 2 apI 時(shí)，0, 0, 0 21 =xx；而當(dāng) 2 apI 時(shí)，0, 0, 0 21 xx。 這個(gè)例子告訴我們：在擬線性偏好的效用函數(shù)中，收入較低時(shí)，只消費(fèi)商 品1；當(dāng)收入超過一定水平時(shí)，兩種商品都消費(fèi)，但是第一種商品消費(fèi)的量保 持不變，而所有增加的收入都用來消費(fèi)商品2。從這個(gè)角度看，我們可以將此 例中的商品1看作是生活中的必需品（如簡(jiǎn)單的衣食住行） ，而商品2可以看作 是高檔消費(fèi)品，低收入時(shí)只消費(fèi)必需品，而當(dāng)收入上升到一定水平時(shí)，必需品 的消費(fèi)不再增加，轉(zhuǎn)而消費(fèi)高檔品。 14 E.二階條件二階條件 前面我們討論了兩類最優(yōu)化問題：約束極值問題及非線性規(guī)化問題，并且 給出了求解兩類問題的拉格朗日方法和庫(kù)恩塔克條件。 不過，從求解的過程看，無論是前面梯度向量的角度，還是后面等式約束 問題的拉格朗日方法、非線性規(guī)劃的庫(kù)恩塔克條件，我們都只是分析了在最 優(yōu)解處應(yīng)滿足的性質(zhì)，而并沒有保證滿足此性質(zhì)的點(diǎn)一定是最優(yōu)解，比如最大 值問題和最小值問題的一階條件是相同的，或者說由拉格朗日方法推導(dǎo)出的一 階條件和庫(kù)恩塔克條件只是解的必要條件。為此，我們需要找到新的條件， 以保證由一階必要條件所求得的解就是此最優(yōu)規(guī)劃問題的最優(yōu)解，這就是二階 條件的討論。 E.1 無約束極值問題無約束極值問題 f(x) A B x 圖E.1 在選擇變量x是一維情況下，一階條件為0)( =xf，體現(xiàn)在平面)(xfx中， 曲線)(xf的斜率為零。從上圖看，點(diǎn)A和點(diǎn)B都滿足這樣的性質(zhì)。顯然，這 兩個(gè)點(diǎn)的性質(zhì)是不同的，函數(shù)在點(diǎn)A的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)取得了極大值，而在點(diǎn)B取 得了極小值。因此，從此例看，由一階必要條件求得的解不能保證就是最大化 極值問題的解。為此，我們需要尋找出新的條件，以保證滿足此條件的點(diǎn)就是 最優(yōu)解。 E.1.1 泰勒展開泰勒展開 在進(jìn)一步討論之前，我們先給出函數(shù))(xf在點(diǎn) 0 x附近的一個(gè)近似估計(jì)： L+= 2 00000 )( 2 1 )( )()(xxxfxxxfxfxf 或 )()( 2 1 )( )()( 2 0 2 00000 xxoxxxfxxxfxfxf+= 等式右邊的最后一項(xiàng)是一個(gè)與二階項(xiàng)相比非常小、可忽略的余項(xiàng)（無窮小量） 。 因此，我們可以寫出近似的形式： 2 00000 )( 2 1 )( )()(xxxfxxxfxfxf+ 上述三個(gè)式子都可稱為函數(shù))(xf在點(diǎn) 0 x附近的泰勒展開。 15 現(xiàn)在，將)(xf在最優(yōu)解x處泰勒展開： 2 )( 2 1 )( )()(xxxfxxxfxfxf+ 由)(xf在最優(yōu)解x處的一階導(dǎo)數(shù)為零，我們得： 2 )( 2 1 )()(xxxfxfxf 因此，等式左邊的正負(fù)取決于函數(shù))(xf在點(diǎn)x處二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)。顯然，當(dāng) 0)( xQ，則我們稱)(xQ正定（半正定） ； 如果除0=x以外，對(duì)任意的x，有)0(0)( n DDDL 矩陣A是負(fù)定的等價(jià)于其順序主子式符號(hào)負(fù)正依次相間，即： 0) 1( , 0, 0 21 nnn n ff ff ff ff f L M L L 當(dāng)n1時(shí)，我們可以檢驗(yàn)一下上述結(jié)論是否與前面相一致。 E.2 等式約束極值問題：等式約束極值問題： 以選擇變量是二個(gè)、等式約束為一個(gè)的情形為例，即： cxxg ts xxf xx =),( . . ),(max 21 21 , 21 拉格朗日方法的思想，就是通過引入拉格朗日乘子，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)： ),(),(),( 212121 xxgcxxfxxL+= 將上述等式約束問題變成一個(gè)無約束問題。只要滿足一定的約束規(guī)格，等式約 束的最優(yōu)解x就是無約束問題),( 21 xxL的最優(yōu)解。而只要滿足cxxg=),( 21 （也 就是拉格朗日函數(shù)),( 21 xxL對(duì)的一階條件） ，函數(shù)),( 21 xxf的值和 ),( 21 xxL是相等的。在最優(yōu)解x處滿足一階條件： 18 0),( 0 0 21 22 2 11 1 = = = xxgc L gf x L gf x L 我們對(duì)),( 21 xxf求全微分，并在點(diǎn)x處取值： 2211 dxfdxfdf+=，其中 21, f f為函數(shù)),( 21 xxf在點(diǎn)x處的偏導(dǎo)數(shù)。 在無約束問題中，微分 21,dx dx是可以自由變動(dòng)的；而在約束極值問題中， 始終滿足條件cxxg=),( 21 ，等式兩邊全微分，也即始終滿足條件： 0 2211 =+dxgdxg，即 1 2 1 2 dx g g dx=，其中 21,g g為約束函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。從這 個(gè)條件看，約束問題與無約束問題的區(qū)別在于，dx不再是任意的，dx1、dx2是 互相聯(lián)系的， 2 dx可以看作是變量 121 ,dxxx的函數(shù)（dx1可以看作是自由變動(dòng)的 變量） 。對(duì)函數(shù)),( 21 xxf求兩階全微分： )(2 )()( )()( )()( 22 2 2222112 2 111 2 2 2 2 2 22221121 1 2 21221 2 111 2 2 2 22221121 1 2 2221111 2 2 2211 1 1 2211 2211 2 dxdfdxfdxdxfdxf dx x dx fdxfdxdxfdx x dx fdxdxfdxf dx x dx fdxfdxfdx x dx fdxfdxf dx x dxfdxf dx x dxfdxf dxfdxfddfdfd += + += + += + + + =+= 其中最后一個(gè)等式利用了Young定理， 2112 ff=。 對(duì)約束等式cxxg=),( 21 求二階全微分，同樣的，有： 0)(2 22 2 2222112 2 111 =+dxdgdxgdxdxgdxg 代入上式，有： 2 222 2 2 222112 2 2 12 2 111 2 2 11 2 )()(2)(dxg g f fdxdxg g f fdxg g f ffd+= 將有一階條件0 22 = gf代入，得： 19 2 22222211212 2 11111 2 )()(2)(dxgfdxdxgfdxgffd+= 如果我們用拉格朗日函數(shù)),( 21 xxL的偏導(dǎo)數(shù) 222222 121212 111111 gfL gfL gfL = = = 表示，則 2 2222112 2 111 2 2dxLdxdxLdxLfd+=，偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)x取值。寫出矩陣的 形式： dxLdxfd xx T =)( 2 ，其中 = 2221 1211 21 ),( LL LL Ldxdxdx xx 由微積分的知識(shí)，我們知道，如果在點(diǎn)x處有0 2 fd，則函數(shù)),( 21 xxf取得極小值。 正如我們前面所討論的，與無約束問題的區(qū)別在于，此處， 2 dx是變量 121 ,dxxx的函數(shù)，不能自由變動(dòng)，因此上式不是一個(gè)二次型。將 1 2 1 2 dx g g dx= 代入上式，得： 2 1 2 2 2 1222112 2 211 2 1 )2(dx g gLggLgLfd+= 顯然，等式右邊括號(hào)外邊的部分為正，所以fd 2 的正負(fù)取決于括號(hào)部分的符號(hào)。 令： )2( 0 2 1222112 2 211 22212 12111 21 gLggLgL LLg LLg gg H+= H是可以這么看，第一行和第一列是由約束函數(shù)的一階偏導(dǎo)組成的，而余下的 部分可以看作是無約束問題的拉格朗日函數(shù)的海賽矩陣，因此我們就把H稱為 加邊的海賽行列式，就像是由無約束極值問題的海賽行列式再加了兩條邊。 當(dāng)0 2 fd，函數(shù)函數(shù))(xf在點(diǎn)x 20 處取得極小值，此為約束極小值問題的二階充分條件。 當(dāng)選擇變量是)2( nn維，一個(gè)約束等式時(shí)， nnnn n n LLg LLg gg H L MM L L 1 1111 1 0 = 函數(shù)),( 1n xxfL在x處取得極大值的二階充分條件也等價(jià)于： L, 0, 032HH 同樣，函數(shù)),( 1n xxfL在x處取得極小值的二階充分條件等價(jià)于： L, 0, 032HH 其中： 3332313 2322212 1312111 321 3 22212 12111 21 2 0 , 0 LLLg LLLg LLLg ggg H LLg LLg gg H=，依此類推。 當(dāng)選擇變量是n維，約束等式有m（mn）個(gè)時(shí)， = += m j n j jjnmn xxgcxxfxxL 1 1111 ),(),(),;,(LLLL nnnn m nn n m n m m n mm n LLLgg LLLgg LLLgg ggg ggg H LL MMMM LL LL LL MMMM LL 21 1 222212 1 2 112111 1 1 21 11 2 1 1 00 00 = 此時(shí)加邊的海賽行列式可以分成四塊： xx T LG G H 0 = 左上角是mm的零矩陣，右上角就是約束函數(shù)的雅克比矩陣G ),( ),( 1 1 n m xx gg G L L =， 左下角是雅克比矩陣G的轉(zhuǎn)置，右下角為拉格朗日函數(shù)L的海賽矩陣。 在這種情形下，當(dāng)0 2 fd，函數(shù)函數(shù))(xf在點(diǎn)x處取得極 小值。 同樣，此情形下的約束極值問題的二階條件也可以用相應(yīng)的加邊海賽行列 式的子式的符號(hào)表達(dá)： 極大值的二階充分條件為), 1() 1(mnkHkm m =+L 的符號(hào)為 k ) 1(，即 kmH+的符號(hào)為 km+ ) 1(；而極小值的二階充分條件為), 1() 1(mnkHkm m =+L 的符號(hào)為正，即kmH+的符號(hào)為 m ) 1(。 kmkmkmkm m kmkm km m km m m km mm km km LLLgg LLLgg LLLgg ggg ggg H + + + + + += ,2,1 , 1 , 222212 1 2 , 112111 1 1 21 11 2 1 1 00 00 LL MMMM LL LL LL MMMM LL 從前面的討論看，無約束極值問題的二階充分條件由海賽矩陣的正負(fù)定性 來表達(dá)；而約束極值問題的二階充分條件則與由相應(yīng)的拉格朗日函數(shù)的海賽矩 陣和約束函數(shù)的雅克比矩陣組成的加邊海賽行列式的正負(fù)號(hào)相關(guān)。為了理解上 的一致性，我們同樣可以定義加邊的海賽矩陣的正負(fù)定，以表達(dá)約束極值問題 的二階充分條件。我們稱當(dāng)加邊海賽矩陣H為負(fù)定時(shí)，函數(shù))(xf在點(diǎn)x處取得 極大值。不過，與無約束極值問題相比，從我們的推導(dǎo)看，在用主子式的符號(hào) 判斷正負(fù)定性時(shí)，前面還要乘以(-1)m（指數(shù)m是約束等式的個(gè)數(shù)） ，比如在選擇 變量為2個(gè)、約束等式為1個(gè)時(shí)，按海賽矩陣負(fù)定的含義，主子式的符號(hào)應(yīng)該 是負(fù)正交替，但由于在推導(dǎo)的過程中，二階微分的符號(hào)由H決定，前面有個(gè) 負(fù)號(hào)，所以最后以主子式的符號(hào)表達(dá)的二階充分條件是正負(fù)交替。極小值的二 階充分條件為加邊海賽矩陣為正定，不過在用主子式的符號(hào)表達(dá)二階充分條件 是，也要乘以(-1)m。 關(guān)于二階必要條件的問題，同無約束極值問題的討論一樣，只要將嚴(yán)格不 等號(hào)改為小于等于（或大于等于）即可。 E.3 不等式約束問題不等式約束問題 當(dāng)規(guī)劃問題的約束是以不等式形式出現(xiàn)的，則相應(yīng)的二階條件應(yīng)如何表達(dá)？ 正如非線性規(guī)劃問題的庫(kù)恩塔克條件的求解，我們利用參數(shù)條件（不同 參數(shù)空間的劃分）將問題分成幾種不同的情形，而在每一個(gè)情形下，規(guī)劃問題 是以等式約束形式出現(xiàn)的，相應(yīng)的二階條件就可以參照上面的分析進(jìn)行。 22 F.凹規(guī)劃凹規(guī)劃(Concave Programming) 前面的討論都是通過微分法，分析在最優(yōu)解在一個(gè)小的領(lǐng)域內(nèi)應(yīng)滿足的條 件，所以我們說這樣求得的解只是在這個(gè)小的領(lǐng)域內(nèi)成立的，是局部的，因此 我們稱之為局部解(Local Optima)。在整個(gè)定義域內(nèi)，可能存在很多個(gè)滿足這樣 性質(zhì)的點(diǎn)，因此我們需要比較各個(gè)局部解的目標(biāo)函數(shù)值的大小，才能確定哪個(gè) 是整個(gè)規(guī)劃問題的最優(yōu)解，我們稱此解為全局解(Global Optima)。 如果通過前面我們介紹的拉格朗日方法、庫(kù)恩塔克條件求解出的局部解 有很多個(gè)，通過相互比較確定全局解將是一個(gè)很繁瑣的過程。另外，正如我們 在上一小節(jié)所討論的，要確定由一階必要條件求出的解就是規(guī)劃問題的極值需 要通過二階充分條件的檢驗(yàn)，而這本身是很復(fù)雜的。通過我們對(duì)所求解經(jīng)濟(jì)問 題的現(xiàn)實(shí)含義，對(duì)目標(biāo)函數(shù)及約束函數(shù)進(jìn)行凹凸性的假設(shè)，我們可以避免上述 兩個(gè)問題，保證一階必要條件也是充分條件，同時(shí)所求的局部解就是規(guī)劃問題 的全局解。這是凹規(guī)劃所講的內(nèi)容。 在進(jìn)入凹規(guī)劃的討論之前，先來介紹幾個(gè)與之相關(guān)的概念： F.1.1 凸集（凸集（Convex Set） ：） ： 對(duì)集合S，其中的任意兩點(diǎn) 1 , 0, 21 Sxx，如果有Sxx+ 21 )1 (， 則稱集合S為凸集。 也就是說，凸集有這樣的性質(zhì)：集合中的任何兩點(diǎn)，其連線也在集合中。 S 圖F.1 F.1.2 凸函數(shù)凸函數(shù)(Convex Function)： 對(duì)函數(shù))(xf，如果定義域S（凸集）中的任何兩點(diǎn) 1 , 0, 21 Sxx，如果 有)()1 ()()1 ( 2121 xfxfxxf+，則稱函數(shù))(xf為凸函數(shù)。 f(x) B A x1 x2 x 圖F.2 X1 X2 23 從圖形上看，凸函數(shù)的定義指兩點(diǎn) 21,x x連線的函數(shù)值（在曲線上）要比兩 點(diǎn)函數(shù)值A(chǔ)、B的連線（弦）低，或者說曲線上任何兩點(diǎn)連成的弦AB在曲線 上面。如果這兩點(diǎn)非常近， （我們可以將點(diǎn)B逐步移向點(diǎn)A，看此時(shí)弦AB的變 化） ，則弦AB變成經(jīng)過點(diǎn)A的切線。顯然，此時(shí)經(jīng)過點(diǎn)A的切線在曲線的下 面。這個(gè)性質(zhì)可以用如下的式子來表達(dá)： )()()( 12121 xfxfxxxf 即在同一個(gè)點(diǎn)x用切線上的點(diǎn)估計(jì)的函數(shù)值小于曲線上的值。嚴(yán)格的證明利用 微分中值定理很容易得到。 如果在點(diǎn) 1 x處函數(shù)泰勒展開： 2 12112112 )( 2 1 )( )()(xxxfxxxfxfxf+ 則上述性質(zhì)也等價(jià)于在點(diǎn) 1 x的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為非負(fù)。由于點(diǎn) 1 x的一般性，我 們可以得到凸函數(shù)的微分性質(zhì)： 0)( xf 總結(jié)一下，關(guān)于凸函數(shù)的性質(zhì)如下： i) 凸函數(shù)的幾何性質(zhì)表現(xiàn)為曲線上的任何兩點(diǎn)連成的弦在曲線的上方。如果 函數(shù))(xf是可微的，則有)()()( 12121 xfxfxxxf。 ii) 如果函數(shù))(xf是凸的，并且是二階可微的，則有0)( xf。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中， 常見的凸函數(shù)有成本函數(shù)，體現(xiàn)為邊際成本遞增；當(dāng)選擇變量為n為時(shí)，二階 條件變?yōu)橄鄳?yīng)的海賽矩陣為正定。 iii) 凸 函 數(shù) 的 非 負(fù) 線 性 組 合 是 凸 的 ， 即 如 果), 1)(nixfiL=是 凸 的 ， niki, 1, 0L=，則 i ii xfk)(也是凸的。 iv) 如果前面的討論中，所有的不等式是嚴(yán)格的，則我們稱函數(shù)是嚴(yán)格凸的。 另外，在上述的討論中，凸函數(shù)本身的定義并不要求函數(shù)是可微的。而自 變量也不局限在一維的情形，多維的情形同樣成立。 F.1.3.凹函數(shù)（凹函數(shù)（Concave Function） ：） ： 對(duì)凹函數(shù)的一個(gè)簡(jiǎn)單定義是，如果函數(shù))(xf是凸函數(shù)，則)(xf是凹函數(shù)。 因此，凹函數(shù)的性質(zhì)只要將前面討論中的不等式改向即可。正式的定義如下： 函數(shù))(xf，對(duì)定義域S（凸集）上任意兩點(diǎn) 1 , 0, 21 Sxx，如果有 )()1 ()()1 ( 2121 xfxfxxf+，則我們稱函數(shù))(xf為凹函數(shù)。 24 25 f(x) B A x1 x2 x 圖F.3 同凸函數(shù)一樣，凹函數(shù)的性質(zhì)可以總結(jié)如下： i) 凹函數(shù)的幾何性質(zhì)表現(xiàn)為曲線上的任何兩點(diǎn)連成的弦在曲線的下方。如果 函數(shù))(xf是可微的，則有)()()( 12121 xfxfxxxf。 ii) 如果函數(shù))(xf是凹的，并且是二階可微的，則有0)( xf。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中， 常見的凹函數(shù)有效用函數(shù)，體現(xiàn)為邊際效用遞減；而當(dāng)選擇變量為n維時(shí)，相 應(yīng)的海賽矩陣為負(fù)定。 iii) 凹 函 數(shù) 的 非 負(fù) 線 性 組 合 是 凹 的 ， 即 如 果), 1)(nixfiL=是 凹 的 ， niki, 1, 0L=，則 i ii xfk)(也是凹的。 iv)如果前面的討論中，所有的不等式是嚴(yán)格的，則我們稱函數(shù)是嚴(yán)格凹的。 F.2.凹規(guī)劃凹規(guī)劃 前面我們說過，只要對(duì)目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)的凹凸性作適當(dāng)?shù)丶俣?，前?求解最優(yōu)化問題過程中的一階必要條件（庫(kù)恩塔克條件）所確定的解就是規(guī) 劃問題的解，即一階必要條件就是充分條件；同時(shí)所求得的局部解就是全局解。 我們用一個(gè)定理來總結(jié)上述性質(zhì)： 對(duì)于非線性規(guī)劃問題： 0 )( . . )(max x cxg ts xf x 如果目標(biāo)函數(shù))(xf為凹函數(shù)，約束函數(shù))(xg為凸函數(shù)，且都可微，點(diǎn)x為由庫(kù) 恩塔克條件所確定的解，則x就是規(guī)劃問題的整體最優(yōu)解。 這里，我們給出一個(gè)簡(jiǎn)單的證明： 首先，構(gòu)造拉格朗日函數(shù))()(),(xgcxfxL+=，因?yàn)?(xf為凹函數(shù)， )(xg為凸函數(shù)，由前面我們對(duì)凹函數(shù)、凸函數(shù)性質(zhì)的討論知道，當(dāng)把拉格朗日 26 乘子看作是常數(shù)時(shí)，拉格朗日函數(shù)),(xL也是變量x的凹函數(shù)。因此，在點(diǎn) x處),(xL泰勒展開： )()( 2 1 )(),(),(xxLxxxxLxLxL xx T x + 由凹函數(shù)的海賽矩陣負(fù)定的性質(zhì)，我們有： ),(),()(xLxLxxLx 即),(),(xLxLxLxL xx 進(jìn)一步，xLxLxLxL xx +),(),( 其中 x L表示拉格朗日函數(shù)),(xL在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)（或梯度） 。 由條件，點(diǎn)x滿足庫(kù)恩塔克條件，即 0, 0, 0=xLxL xx 另有，0x，得0, 0=xLxL xx 。因此，有： ),(),(xLxL 即 )()()()(xgcxfxgcxf+ 而點(diǎn)x滿足庫(kù)恩塔克條件，即 0)(, 0, 0)(=xgcLxgcL 另有，0)(xgc，代入上述不等式，有： )()(xfxf 即滿足一階必要條件的解就是規(guī)劃問題的最優(yōu)解，庫(kù)恩塔克條件同時(shí)也是充 分條件，不需要進(jìn)行二階條件的檢驗(yàn)。 另外，我們對(duì)目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)的凹凸性的假定是在整個(gè)定義域上的， 上述的證明在整個(gè)定義域上成立，因此由庫(kù)恩塔克條件確定的局部解同時(shí)也 是全局解。 F.3.擬凹函數(shù)（擬凹函數(shù)（Quasi-concave Function） 、擬凸函數(shù)（） 、擬凸函數(shù)（Quasi-convex Function） ：） ： 前面在凹函數(shù)的討論中，我們說經(jīng)濟(jì)學(xué)中，一種常見的凹函數(shù)如效用函數(shù)， 是用來描述通常所認(rèn)為的人們?cè)谙M(fèi)選擇中的一些行為特征，如邊際效用遞減 27 等。不過，在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中對(duì)典型消費(fèi)者的標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)是，效用函數(shù)為擬凹的。 在理論上，更弱的假設(shè)可以增加理論的一般性和解釋力。凹的效用函數(shù)已 經(jīng)能夠反映對(duì)人們消費(fèi)行為的很多直觀認(rèn)識(shí)，而擬凹函數(shù)的引入則可能放寬了 這個(gè)假設(shè)，而足以滿足理論上的要求。關(guān)于這一點(diǎn)，我們將在下一節(jié)關(guān)于最優(yōu) 化的解的理論中給出解釋。 我們給出擬凹函數(shù)的定義： 函數(shù))(xf，對(duì)定義域S（凸集）上任意兩點(diǎn) 1 , 0, 21 Sxx，如果有 )(),(min)1 ( 2121 xfxfxxf+，則我們稱函數(shù))(xf為擬凹函數(shù)。 f(x) C B A x1 x2 x 圖F.4 直觀的，從圖形上看，函數(shù))(xf為擬凹表示線段 21x x之間的點(diǎn)的函數(shù)值要 高于點(diǎn)A，或者說曲線ACB之間的點(diǎn)都高于點(diǎn)A。顯然，當(dāng)函數(shù)f(x)是凹函數(shù)， 曲線呈一個(gè)倒置的鍋，則上述性質(zhì)是滿足的。從這一點(diǎn)看，凹函數(shù)一定是擬凹 函數(shù)（代數(shù)的證明只要利用兩者的定義即得） 。但是，這不是必要的。如上圖， 在曲線AC段，函數(shù)是凹的；而在CB段，函數(shù)是凸的。這說明擬凹函數(shù)的概 念要比凹函數(shù)更弱。如下圖，凹函數(shù)、線性函數(shù)