數(shù)理統(tǒng)計答案(研究生).ppt

第一章抽樣和抽樣分布,1.子樣平均數(shù)和子樣方差的簡化計算如下：設(shè)子樣值x1,x2,xn的平均數(shù)為和方差為作變換，得到y(tǒng)1,y2,yn,它的平均數(shù)為和方差為。試證：。,解：由變換，即,12.在五塊條件基本相同的田地上種植某種農(nóng)作物，畝產(chǎn)量分別為92，94，103，105，106（單位：斤），求子樣平均數(shù)和子樣方差。解：作變換,3.設(shè)X1,X2,Xn是參數(shù)為的泊松分布的母體的一個子樣，是子樣平均數(shù)，試求E和D。解：,4.設(shè)X1,X2,Xn是區(qū)間（-1，1）上均勻分布的母體的一個子樣，試求子樣平均數(shù)的均值和方差。解：,5.設(shè)X1,X2,Xn是分布為的正態(tài)母體的一個子樣，求的概率分布。解：,由分布定義，Y服從自由度為n的分布。,16.設(shè)母體X具有正態(tài)分布N(0,1)，從此母體中取一容量為6的子樣（x1,x2,x3,x4,x5,x6）。又設(shè)。試決定常數(shù)C,使得隨機(jī)變量CY服從分布。解：,亦服從N(0,3)且與Z1相互獨立，,且與相互獨立。由分布可加性，,7.已知，求證證明：令,8設(shè)母體,從中抽取容量n的樣本求（1）n=36時，解：,（2）n=64時，求,解：,第二章參數(shù)估計1.設(shè)母體X具有負(fù)指數(shù)分布，它的分布密度為f(x)=,其中。試用矩法求的估計量。解：f(x)=（）,用樣本估計Ex，則有,12.設(shè)母體X具有幾何分布,它的分布列為PX=k=(1-p)k-1p,k=1,2,先用矩法求p的估計量,再求p的最大似然估計.解:(1)矩法估計,(2)極大似然估計,13.設(shè)母體X具有在區(qū)間a,b上的均勻分布,其分布密度為f(x)=,其中a,b是未知參數(shù),試用矩法求a與b的估計量.解:用和分別估計EX和DX得,14.設(shè)母體X的分布密度為f(x)=其中(1)求的最大似然估計量;(2)用矩法求的估計量.解:,(),1最大似然估計,2矩法估計用估計EX,5.設(shè)母體X的密度為試求的最大似然估計;并問所得估計量是否的無偏估計.解：,得,是的無偏估計.,6.設(shè)母體X具有分布密度f(x)=其中k是已知的正整數(shù),試求未知參數(shù)的最大似然估計量.解:似然函數(shù),7.設(shè)母體X具有均勻分布密度,從中抽得容量為6的子樣數(shù)值1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,試求母體平均數(shù)和方差的最大似然估計量的值.解:，的最大似然估計,8.設(shè)母體X的分布密度為f(x)=,試求的最大似然估計。解：,似然函數(shù),為了使L達(dá)到最大，盡可能小，盡可能大，而,12設(shè)母體X服從正態(tài)分布是從此母體中抽取的一個子樣。試驗證下面三個估計量（1）,（2）,（3）,都是的無偏估計，并求出每個估計量的方差。問哪一個方差最小？解：,同理：都是的無偏估計。,方差最小為有效,對形如,13.設(shè)X1,X2,Xn是具有泊松分布母體的一個子樣。試驗證：子樣方差是的無偏估計；并且對任一值也是的無偏估計，此處為子樣的平均數(shù),解：,14.設(shè)X1,X2,Xn為母體的一個子樣。試選擇適當(dāng)常數(shù)C,使為的無偏估計。解：,18.從一批電子管中抽取100只,若抽取的電子管的平均壽命為1000小時,標(biāo)準(zhǔn)差s為40小時,試求整批電子管的平均壽命的置信區(qū)間(給定置信概率為95%).解:n=100,小時,s=40小時用估計,構(gòu)造函數(shù),給定置信概率,有,即,整批電子管的平均壽命置信概率為95%的置信區(qū)間為(992.2,1007.8)小時.,19.隨機(jī)地從一批釘子中抽取16枚,測得其長度(單位:cm)為2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11。設(shè)釘長分布為正態(tài)的，試求母體平均數(shù)的置信概率為90%的置信區(qū)間：（1）若已知（2）若未知。解：n=16,(1)若已知，構(gòu)造函數(shù),給定置信概率90%，有,即,（2）若未知構(gòu)造函數(shù),給定置信概率90%，查得，有,母體平均數(shù)的置信概率為90%的置信區(qū)間為，即（2.1250.0075）,21.假定每次試驗時，出現(xiàn)事件A的概率p相同但未知。如果在60次獨立試驗中，事件A出現(xiàn)15次，試求概率p的置信區(qū)間（給定置信概率為0.95）。解：n=60,m=15,x“0-1”分布，,構(gòu)造函數(shù),給定置信概率95%，有,即,故p的置信概率為95%的置信區(qū)間為（0.250.11）,22.對于方差為已知的正態(tài)母體，問需抽取容量n為多大的子樣，才使母體平均數(shù)的置信概率為的置信區(qū)間的長度不大于L?解：,構(gòu)造函數(shù),給定置信概率，有，使,即,置信區(qū)間長度,23.從正態(tài)母體中抽取一個容量為n的子樣，算得子樣標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)值。設(shè)（1）n=10,=5.1(2)n=46,=14。試求母體標(biāo)準(zhǔn)差的置信概率為0.99的置信區(qū)間。解：（1）n=10,用估計,構(gòu)造函數(shù)給定置信概率=99%,查表得,使,母體的置信概率為0.99的置信區(qū)間是,即(3.150,11.62),(2)n=46,時,所求的置信區(qū)間是,即(10.979,19.047),25.設(shè)母體X服從正態(tài)分布,和是子樣X1,X2,Xn的平均數(shù)和方差;又設(shè),且與X1,X2,Xn獨立,試求統(tǒng)計量的抽樣分布.解:,又,服從正態(tài)分布,故,又,與,獨立,根據(jù)t分布定義,26.設(shè)X1,X2,Xm和Y1,Y2,Yn分別是從分布為兩個母體中抽取的獨立隨機(jī)子樣,分別表示X和Y的子樣平均數(shù),和分別表示X和Y的子樣方差.對任意兩個固定實數(shù)和,試求隨機(jī)變量,的概率分布.,解:是正態(tài)變量線性組合,仍服從正態(tài)分布.,又,且相互獨立,由分布可加性,且與,獨立,根據(jù)t分布定義,27.從正態(tài)母體中抽取一個n45的大子樣,利用第一章2.2中分布的性質(zhì)3,證明方差,的置信區(qū)間(給定置信概率為)是,證明:對正態(tài)母體的置信概率為的置信區(qū)間是,當(dāng)n45時,(1),代入(1)式,即,證畢.,29.隨機(jī)地從A批導(dǎo)線中抽取4根,從B批導(dǎo)線中抽取5根,測得其電阻(單位:歐姆)并計算得:,設(shè)測試數(shù)據(jù)分別具有分布,和,.試求的置信概率為95%的,置信區(qū)間.,解:,構(gòu)造函數(shù),給定置信概率95%,查得,使,所求置信下限為:,置信上限為:0.0033+0.00406=0.00736(-0.00076,0.00736)為的置信概率為95%的置信區(qū)間.,31.兩臺機(jī)床加工同一種零件,分別抽取6個和9個零件,測得其長度計算得,假定各臺機(jī)床零件長度服從正態(tài)分布.試求兩個母體方差之比的置信區(qū)間(給定置信概率為95%).,解:,構(gòu)造函數(shù),給定置信概率,有,查表,所求置信區(qū)間的置信下限為,置信上限為,34.從一批某種型號電子管中抽出容量為10的子樣,計算得標(biāo)準(zhǔn)差(小時).設(shè)整批電子管服從正態(tài)分布.試給出這批管子壽命標(biāo)準(zhǔn)差的單側(cè)置信上限(置信概率為95%).,解:n=10,(小時),構(gòu)造函數(shù),給定置信概率95%,查,使,即,故所求的置信概率為95%的置信上限為,第三章假設(shè)檢驗,1.從已知標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)母體中,抽取容量為n=16的子樣,由它算得子樣平均數(shù).試在顯著水平0.05下,檢驗假設(shè)H0:,解:1.建立原假設(shè)H0:2.在H0成立前提下,構(gòu)造統(tǒng)計量,3.給定顯著水平,有,使,即,4.由樣本n=16,代入,接受H0,2.從正態(tài)母體中取100個樣品,計算得,(1)試檢驗H0:(2)計算上述檢驗在時犯第二類錯誤的概率.,是否成立,解:(1)1.建立原假設(shè)H0:2.在H0成立前提下,構(gòu)造統(tǒng)計量,3.給定顯著水平,有,使,即,代入,拒絕H0,(2)真實時,3.某批砂礦的5個樣品中的鎳含量經(jīng)測定為x(%)3.253.273.243.263.24設(shè)測定值服從正態(tài)分布。問在下能否接受假設(shè)：這批礦砂的(平均)鎳含量為3.25。解：設(shè)，未知，計算.252，=0.013。（1）建立假設(shè)：（2）在假設(shè)成立的前提下，構(gòu)造統(tǒng)計量,（3）給定,查得=4.6041（4）由樣本計算，=0.34接受,4.某電器零件的平均電阻一直保持在2.64歐姆。改變加工工藝后，測得100個零件的平均電阻為2.62歐姆，電阻標(biāo)準(zhǔn)差（s）為0.06歐姆，問新工藝對此零件的電阻有無顯著影響？解：（1）建立假設(shè)：n=100,s=0.06（2）在成立前提下，構(gòu)造統(tǒng)計量,（3）給定，有，使（4）由樣本計算：拒絕，有顯著影響。,5。某紡織廠在正常的運轉(zhuǎn)條件下，各臺布機(jī)一小時內(nèi)經(jīng)紗平均斷頭數(shù)為0.973根，斷頭數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.162根。該廠進(jìn)行工藝改革，減少輕紗上槳率。在200臺布機(jī)上試驗，結(jié)果每臺一小時內(nèi)經(jīng)紗平均斷頭數(shù)為0.994根，標(biāo)準(zhǔn)差（s）為0.16根，問新工藝經(jīng)紗斷頭數(shù)與舊工藝有無顯著差異（）？解：（1）建立假設(shè)：n=100,s=0.06（2）在成立的前提下，構(gòu)造統(tǒng)計量,（3）給定，查得，使（4）由樣本計算，接受,6.某產(chǎn)品的次品率為0.17?，F(xiàn)對此產(chǎn)品進(jìn)行新工藝試驗，從中抽取400件檢驗，發(fā)現(xiàn)有次品56件。能否認(rèn)為這項新工藝顯著地影響產(chǎn)品的質(zhì)量（）？解：（1）建立假設(shè)：（2）在成立的前提下，構(gòu)造統(tǒng)計量,（3）給定，查的，使得（4）由樣本計算，接受,7.某切割機(jī)正常工作時，切割每段金屬棒的平均長度為10.5cm。今在某段時間內(nèi)隨機(jī)的抽取15段進(jìn)行測量，某結(jié)果如下（cm）：10.4，10.6，10.1，10.4，10.5，10.3，10.3，10.2，10.9，10.6，10.8，10.5，10.7，10.2，10.7。問此段時間內(nèi)該機(jī)工作是否正常（）？假定金屬棒長度服從正態(tài)分布。解：（1）建立假設(shè)：n=15,（2）在成立的前提下，構(gòu)造統(tǒng)計量（3）給定，查得，使（4）由樣本計算，接受，工作正常。,8.從某種實驗物中取出24個樣品，測量其發(fā)熱量，計算得，子樣標(biāo)準(zhǔn)差，問以5%的顯著水平是否可認(rèn)為發(fā)熱量的期望值是12100（假定發(fā)熱量服從正態(tài)分布）？解：（1）建立假設(shè)：n=24，（2）在成立的前提下，構(gòu)造統(tǒng)計量（3）給定，查得,（4）由樣本計算，拒絕8.有一種新安眠藥，據(jù)說在一定劑量下，能比某種安眠藥平均增加睡眠時間3小時。根據(jù)質(zhì)料用舊安眠藥睡眠時間平均為20.8小時，標(biāo)準(zhǔn)差為1.6小時。為了檢驗這個說法是否正確，收集到一組使用新安眠藥的睡眠時間為26.7，22.0，24.1，21.0，27.2，25.0，23.4,試問：從這組數(shù)據(jù)能否說明新安眠藥的睡眠時間已達(dá)到新的療效（假定睡眠時間服從正態(tài)分布，?。?？解：1、（1）建立假設(shè)：（2）在成立的前提下，構(gòu)造統(tǒng)計量（3）給定，查得,（4）由樣本計算，接受2、（1）建立假設(shè)：（2）在成立的前提下，構(gòu)造統(tǒng)計量（3）給定，查得（4）由樣本計算，接受，認(rèn)為達(dá)到效果,10.為了比較兩種槍彈的速度（單位：米/秒），在相同的條件下進(jìn)行速度測定。算得子樣平均數(shù)和子樣標(biāo)準(zhǔn)差槍彈甲槍彈乙在顯著水平下，這兩種槍彈(平均)速度有無顯著差異？解：（1）建立假設(shè)：（2）在成立的前提下，構(gòu)造統(tǒng)計量,（3）給定，查得（4）由樣本計算拒絕，有顯著差異。,11.在十塊田地上同時試種甲、乙兩種品種作物，根據(jù)產(chǎn)量計算得，。試問這兩種品種產(chǎn)量有無明顯差異（）？假定兩種品種作物產(chǎn)量分別服從正態(tài)分布，且方差相等。解：1、（1）建立假設(shè)：（2）在成立的前提下，構(gòu)造統(tǒng)計量,12.為確定肥料的效果,取1000株植物做試驗。在沒有施肥的100株植物中，有53株長勢良好；在已施肥的900株中，則有783株長勢良好。問施肥的效果是否顯著（）？解：（1）建立假設(shè)（2）在成立的前提下，構(gòu)造統(tǒng)計量,22.測得兩批電子器材的電阻的子樣值為A批x（歐姆）：0.140，0.138，0.143，0.142，0.144，0.137B批y（歐姆）：0.135，0.140，0.142，0.136，0.138，0.140設(shè)這兩批器材的電阻分別服從分布與,16.檢驗一顆篩子的六個面是否勻稱現(xiàn)在擲120，結(jié)果如下：點數(shù)1，2，3，4，5，6頻數(shù)21，28，19，24，16，12,26.有一正四面體，將此四面體分別途為紅、黃、藍(lán)、白四色?，F(xiàn)在任意的拋擲它直到它與地面相接觸為止。記錄其拋擲的次數(shù)，作為一盤試驗。做200盤這樣的試驗，結(jié)果如下：拋擲次數(shù)1，2，3，4，5頻數(shù)56，48，32，28，36問該四面體是否均勻？,解：母體X的分布律為：,建立假設(shè)：母體X的分布律為上述分布律在成立的前提下，構(gòu)造統(tǒng)計量給定顯著水平，查得,方差分析習(xí)題,1.為了對一元方差分析表作簡化計算，對測定值作變換，其中b、c是常數(shù)，且。試用表示組內(nèi)離差和組間離差，并用他們表示F的值。,解：由第一章習(xí)題3可知組內(nèi)離差組間離差,2.有四個廠生產(chǎn)1.5伏的3號電池?，F(xiàn)從每個工廠產(chǎn)品中各取一子樣，測量其壽命得到數(shù)值如下：,問四個廠干電池壽命有無顯著差異（）？,解：1.建立假設(shè)：四個水平下母體2.在成立前提下構(gòu)造統(tǒng)計量3.給定顯著水平，查，使4.有樣本計算列出方差分析表,F1,接受，四個廠的干電池壽命無顯著差異,3.抽查某地區(qū)三所小學(xué)五年級男學(xué)生的身高，得如下數(shù)據(jù)：,試問該地區(qū)三所小學(xué)五年級男學(xué)生的平均身高是否有顯著差異（）？,解：，I=1,2,31.建立假設(shè)：2.在成立前提下構(gòu)造統(tǒng)計量3.給定顯著水平，查，使4.有樣本計算列出方差分析表,，所以拒絕，認(rèn)為三所小學(xué)五年級男生平均身高有顯著差異,4.在一元方差分析中，而，試求的無偏估計量及其方差。,解：在第i水平下,估計量為而總的平均的估計量為的估計量為是無偏的,1.通過原點的一元回歸的線形模型為其中各相互獨立，并且都服從正態(tài)分布。試由n組觀察值，用最小二乘法估