（基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)論文）特殊子群與群的結(jié)構(gòu)研究.pdf

s p e c i a ls u b g r o u p sa n dt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s b y w a n gx i a n g f e n b s ( h e z eu n i v e r s i t y ) 2 0 0 s at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e f u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s c h a n g s h au n i v e r s i t yo fs c i e n c e t e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o ry o ux i n g z h o n g 長沙理工大學(xué) 學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨立進行研究所 取得的研究成果除了文中特別加以標注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何 其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品對本文的研究做出重要貢獻 的個人和集體，均已在文中以明確方式標明本人完全意識到本聲明的法律 后果由本人承擔(dān) 作者簽名：三詹務(wù) 日期：加f f 年r 月“日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué) 校保留并向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被 查閱和借閱本人授權(quán)長沙理工大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容 編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯 編本學(xué)位論文 本學(xué)位論文屬于 1 、保密口，在年解密后試用本授權(quán)書2 、不保密囪 ( 請在以上相應(yīng)方框內(nèi)打“ ”) 作者簽名：珞 導(dǎo)師簽名：瘍?nèi)~ 日期：冽年f 月“日 日期：糾，年歲月“日 摘要 極大子群是有限群的一類非常重要的子群，在有群論的結(jié)構(gòu)研究中有重要的作用， 許多群論學(xué)者都做過這方面的研究，得到了若干關(guān)于有限群結(jié)構(gòu)的經(jīng)典結(jié)果，如：著名 的h u p p e r t 定理，有限群g 為超可解群當(dāng)且僅當(dāng)g 的任意極大子群的指數(shù)為素數(shù)； 有限群為冪零群當(dāng)且僅當(dāng)它的每個極大子群都正規(guī)很多學(xué)者利用極大子群的正規(guī)性 質(zhì)和數(shù)量性質(zhì)研究有限群的結(jié)構(gòu)，獲得了豐富的研究成果 1 9 5 9 年，d e s k i n s 提出了極大子群的完各和正規(guī)指數(shù)的概念，為利用極大子群研究 有限群提供了一種新的方法，1 9 9 0 年，d e s k i n s ，m u k h e r j e e 和b l m t t c h a r y a 同時開辟 了以完備和良偶的商群的群論性質(zhì)為主的研究領(lǐng)域1 9 9 8 年，趙耀慶提出了乒完備 的概念，揭示了完備和乒子群偶之間的內(nèi)在聯(lián)系對于極大子群的完備和乒偶，李世 榮、趙耀慶和郭秀云等人作了大量的研究，給出了有限群可解、超可解、冪零性等性質(zhì) 的一些充分( 充要) 條件 p h a l l ，h u p p e r t ，g u r a l n i c k ，郭秀云和黎先華研究了極大子群的指數(shù)對有限群結(jié) 構(gòu)的影響；s a d a n ，徐明耀及a v b e l o g o v 研究了極大子群的共軛類類數(shù)對有限群 結(jié)構(gòu)的影響；施武杰、李世榮和黎先華研究了極大子群的同階類類數(shù)對有限群結(jié)構(gòu)的 影響；王立中研究了極大子群個數(shù)小于5 的有限群的結(jié)構(gòu) 本文繼續(xù)王立中的工作，研究極大子群的個數(shù)對有限群結(jié)構(gòu)的影響本文共分三 章，主要內(nèi)容如下： 第一章主要介紹和本文工作相關(guān)的文獻背景，研究內(nèi)容及思路 第二章主要給出本文需要的預(yù)備知識，包括基本概念，若干引理及證明 第三章主要研究極大子群的個數(shù)為5 ，6 ，7 ，8 的有限群的結(jié)構(gòu)：設(shè)g 是有限可解 群，是g 的正規(guī)子群，并給出了這類群的結(jié)構(gòu)的刻畫 關(guān)鍵詞：有限群；可解群；極大子群；f r a t t i n i 子群；共軛 a b s t r a c t m a x i m a ls u b g r o u pi sac l a s so fv e r yi m p o r t a n ts u b g r o u p ，w h i c hp l a y e da ni m p o r - t a n tp a r ti nt h es t u d yo ft h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s m a n ys c h o l a r ss t u d i e da n d o b t a i n e ds o m en e wr e s u l t so ft h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s f o re x a m p l e ，af i n i t eg r o u p gi ss u p e r s o l v a b l ei fa n do n l yi ft h ei n d e xo fe a c hm a x i m a ls u b g r o u po fgi sap r i m e ， w h i c hw a sg i v e ni nt h ef a m o u sh u p p e rt h e o r e m af i n i t eg r o u pgi sn i l p o t e n ti fa n d o n l yi fe a c hm a x i m a ls u b g r o u po fg i sn o r m a ls u b g r o u p al o to fs c h o l a r ss t u d yt h e s t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p st h r o u g hc o n s i d e r i n gt h eq u a n t i t a t i v ep r o p e r t i e sa n dn o r m a l p r o p e r t i e so fm a x i m a ls u b g r o u p s ，t h er i c hr e s e a r c hr e s u l t sa r eo b t a i n e d t h ec o n c e p t i o no fc o m p l e t i o na n dn o r m a li n d e xw e r ei n t r o d u c e db yd e s k i n si n 1 9 5 9 ，w h i c hp r o v i d e da n e ws t u d ym e t h o do ft h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p sb yu s i n g m a x i m a ls u b g r o u p i n1 9 9 0 ，d e s k i n s ，m u k h e r j e ea n db h a t t c h a r y as i m u l t a n e o u s l yi 吐 t i a t e dr e s e a r c ha r e ao ft h ep r o p e r t i e so fq u o t i e n tg r o u pb yc o n s i d e r i n gc o m p l e t i o na n d t h e t a - p a i r s i n1 9 9 8 ，z h a oy q p r o p o s e dt h ec o n c e p to ft h e t a - p a i r sa n dp r o m u l g a t e d i n n e rl i n kb e t w e e nc o m p l e t i o na n dt h e t a - p a i r s l is r ，z h a oy q ，g u ox y e t c d i dal o to fr e s e a r c hb yu s i gt h ec o m p l e t i o na n dt h e t ap a i r so ft h em a x i m a ls u b g r o u p ， w h i c ho b t a i n e ds o m ec o n d i t i o no fe i t h e rs u f f i c i e n to r ( n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t ) o ft h e p r o p e r t i e sf o ra f i n i t eg r o u pt ob es o l v a b l e ，s u p e r s o l v a b l en i l p o t e n te t c p h a u ，h u p p e r t ，g u r a l n i c k ，g u ox y a n dl ix h s t u d yt h es t r u c t u r eo ff i n i t e g r o u p st h r o u g hc o n s i d e r i n gi n d e xp r o p e r t i e so fm a x i m a ls u b g r o u p s s a d a n ，x um y a n da v b e l o g o vs t u d i e dt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p st h r o u g hc o n s i d e r i n gt h e n u m b e ro fc o n j u g a c yc l a s s e so fm a x i m a ls u b g r o u p s ；s h iw j ，l is r a n dl ix h s t u d i e dt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p st h r o u g hc o n s i d e r i n gt h en u m b e ro ft h es a m e o r d e rc l a s s e so fm a x i m a ls u b g r o u p s ；w a n gl z s t u d i e dt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s t h r o u g hc o n s i d e r i n gt h en u m b e ri ss m a l l e rt h a nf i v eo fm a x i m a ls u b g r o u p s 腑c o n t i n u et ow o r ko fw a n gl z ，a n ds t u d yt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p st h r o u g h c o n s i d e r i n gt h en u m b e ro fm a x i m a ls u b g r o u pi nt h i sp a p e r i tc o n s i s t sf o rt h r e ec h a p - t e r s i nc h a p t e ro n e ，w em a i n l yp r o v i d e sa ni n t r o d u c t i o na b o u tt h el i t e r a t u r eb a c k - g r o u n d ，t h er e s e a r c hc o n t e n ta n dt h em e n t a l i t y i nc h a p t e rt w o ，w em a i 山g i v et h ep r e p a r a t i o nk n o w l e d g ew h i c ha r eu s e di nt h e i i t h e s i s ，i n c l u d i n gb a s i cc o n c e p t s ，s o m el e m m a sa n dp r o o f s i nc h a p t e rt h r e e ，w em a j i l l ys t u d yt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p sc o n t a i n i n gj u s tf i v e ， s i x ，s e v e n ，e i g h tm a x i m a ls u b g r o u p s ，w ed e s c r i b et h i sk i n ds t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s k e yw o r d s ：f i n i t eg r o u p ；s o l v a b l eg r o u p ；m a x i m a ls u b g r o u p ；f r a t t i n is u b - g r o u p ；c o n j u g a t e 目錄 摘要i a b s t r a c t i i 符號表 第一章緒論 1 1 課題背景與發(fā)展概況1 1 2 本文的主要內(nèi)容2 第二章預(yù)備知識 2 1 基本概念：3 2 2 若干引理3 第三章主要結(jié)果 3 1 恰有5 個極大子群的有限群j 1 1 3 2 恰有6 個極大子群的有限群1 3 3 3 恰有7 個極大子群的有限群1 7 3 4 恰有8 個極大子群的有限群2 2 參考文獻2 7 致謝3 1 附錄( 攻讀學(xué)位n f q 所發(fā)表的學(xué)術(shù)論文目錄) 3 3 n g s y l p ( g ) 司g g n l g ：h i n h 【n k h 蘭k a u t ( g ) 磊，風(fēng) 島，厶 g ( ) c g ( a ) h a 圣( g ) f ( g ) z ( c ) i g i 7 r ( g ) s ( a ) q m ( g ) f ( g ) sg 符號表 是群g 的子群 群g 的s y l o w n 一子群全體 是群g 的正規(guī)子群 g 關(guān)于的商群 子群日在群g 中的指數(shù) 群與群日的直積 群與群k 的半直積 群日與群k 同構(gòu) g 的自同構(gòu)群 億階循環(huán)群，釓階二面體群 幾次對稱群，n 次交錯群 子群在群g 中的正規(guī)化子 子群a 在群g 中的中心化子 子群日在群g 中的核 群g 的所有極大子群的交稱f r a t t i n i 子群 群g 的所有冪零正規(guī)子群的乘積稱f i t t i n g 子群 群g 的中心 群g 的階 群g 的階的所有素數(shù)因子的集合 群g 的最大可解正規(guī)子群 群g 的所有極大子群的集合 群g 的所有極大子群的個數(shù) 群g 在q 下的極大子群的所有軌道的個數(shù) 與群g 的子群同構(gòu) i v 第一章緒論 全文共分三章，第一章主要介紹和本文工作相關(guān)的文獻背景，研究內(nèi)容；第二章主 要給出預(yù)備知識，包括基本概念，若干引理及證明；第三章主要研究恰有5 ，6 ，7 和8 個 極大子群的有限可解群的結(jié)構(gòu) 1 1 課題背景與發(fā)展概況 極大子群是有限群的一類非常重要的子群，在有群論的結(jié)構(gòu)研究巾有重要的作用， 許多群論學(xué)者都做過這方面的研究，得到了若干關(guān)于有限群結(jié)構(gòu)的經(jīng)典結(jié)果，如：著名 的h u p p e r t 定理，有限群g 為超可解群當(dāng)且僅當(dāng)g 的任意極大子群的指數(shù)為素數(shù)； 有限群為冪零群當(dāng)且僅當(dāng)它的每個極大子群都正規(guī)：有限群為可解群當(dāng)且僅當(dāng)它的每 個極大子群都c 正規(guī)( 見f 3 0 】) 很多學(xué)者利用極大子群的正規(guī)性質(zhì)和數(shù)量性質(zhì)研究有 限群的結(jié)構(gòu)，獲得了豐富的研究成果 設(shè)m 是有限群g 的極大子群，稱g 的子群c 為m 在g 巾的一個完備，如果 g 垡m ，而c 的每個g 不變真子群都在m 中用k ( c ) 表示g 的所有g(shù) 不變 真子群之積，則k ( c ) c 且k ( c ) qg m 在g 中的所有完備做成一個集合，記為 j ( m ) ，叫做m 在g 巾的指數(shù)復(fù)合i ( m ) 按集合包含關(guān)系做成一個偏序集，其極大元 稱為m 的極大完備；令k 是g 的一個主因子，滿足g = m 并且有盡可能 小的階稱k 的階為m 在g 中的正規(guī)指數(shù)，記為叩( g ：m ) 設(shè)m 是有限群g 的極大子群，稱子群偶( gd ) 為m 的良偶，若( c ，d ) 滿足： ( 1 ) d c ，c 司g ；( 2 ) g = ( gm ) ，d m ；( 3 ) c d 不真包含g d 的正規(guī)子群 設(shè)m 是有限群g 的極大子群，稱g 的子群c 為一個關(guān)于m 的乒完備，若c 滿足：( 1 ) cgm ；( 2 ) m g q ( 3 ) c m c 不真包含g m o 的異于1 的正規(guī)子群 極大子群的完備和正規(guī)指數(shù)的概念由d e s k i n s 于1 9 5 9 年在【4 】和【5 】中提出，為利 用極大子群研究有限群提供了一種新的方法，良偶的概念由m u k h e r j e e 和b h a t t c h a r y a 于1 9 9 0 年在f 2 3 】巾提出，d e s k i n s ，m u k h e r j e e 和b h a t t c h a r y a 同時開辟了以完備和 良偶的商群的群論性質(zhì)為主的研究領(lǐng)域( 見【5 】和【2 3 】) 為了進一步研究極大子群的 完備和乒子群偶之間的關(guān)系，趙耀慶于1 9 9 8 年在【3 8 】中提出了乒完備的概念，揭示 了完備和乒子群偶之問的內(nèi)在聯(lián)系對于極大子群的完備和良偶，李世榮、趙耀慶和 郭秀云等人作了大量的研究，給出了有限群可解、超可解、冪零性等性質(zhì)的一些充分 ( 充要) 條件( 見【9 】，【6 】，【1 2 ，【2 1 】，【3 5 h 4 5 】) 還有許多群論學(xué)家利用指數(shù)復(fù)合和正規(guī)指 數(shù)對有限群的可解性進行了一系列的刻畫，得到了若干深刻的結(jié)果( 見【7 】，【1 4 】，【3 4 】， 【3 8 】) 研究有限群的極大子群的指數(shù)，共軛類類數(shù)，同階類類數(shù)及個數(shù)等算術(shù)性質(zhì)對有 限群結(jié)構(gòu)的影響，也是長期以來令人感興趣的課題 設(shè)g 是有限群，q 為g 的所有極大子群的集合若m q ，稱i g ：m i 為m 在 g 中的指數(shù)；對任意的g g 及m q ，則m _ m 9 是g 在q 上的一個作用，稱 m g l g g ) 為g 在q 下的一個含m 的一個軌道，也稱為含m 的一個共軛類其軌 道長為i g ：n c ( m ) i q 在g 作用下的所有軌道的個數(shù)( 簡稱軌道數(shù)) 稱為g 的極大 子群的共軛類個數(shù) p h a l l 證明了：若有限群g 的任意極大子群的指數(shù)為素數(shù)或素數(shù)的平方，則g 可解；h u p p e r t 證明了：有限群g 為超可解群當(dāng)且僅當(dāng)g 的任意極大子群的指數(shù)為 素數(shù)( 見【2 2 1 ) g u r a l n i c k 應(yīng)用單群分類定理證明了：若有限群g 的每一極大子群 的指數(shù)為素數(shù)冪，則g s ( g ) 竺1 或p s l ( 2 ，7 ) ，其中s ( g ) 為g 的最大可解正規(guī) 子群( 見【1 0 d ，郭秀云在【8 j 中推廣了g u r a l n i c k 的結(jié)果，證明了將堡二塹丕登改 為每一非冪零極大子群時結(jié)論仍然成立黎先華分別在文獻( 【1 5 】， 1 7 1 一【2 0 】) 中利用極 大子群的指數(shù)集合對有限單群進行了一系列的刻畫 s a d a n 在【1 】和【2 】中證明了：極大子群的共軛類類數(shù)2 的有限群為可解群 這是第一篇從極大子群的共軛類類數(shù)的角度研究有限群的論文，它的發(fā)表引起了一些 學(xué)者的興趣徐明耀在f 3 2 1 中給出了上述結(jié)果的一個簡短的初等證明a v b e l o g o v 在【3 】中利用單群分類定理證明了：非正規(guī)極大子群的共軛類類數(shù)2 的有限群為可 解群在【2 6 】中，施武杰將極大子群的共軛類放寬到極大子群的同階類，刻畫了恰有2 個極大子群的同階類的有限非可解群的結(jié)構(gòu)，從另一方面推廣了s a d a n 的結(jié)果李 世榮在【1 1 】中統(tǒng)一并推廣了他們的結(jié)果，刻畫了恰有2 個非正規(guī)極大子群的同階類的 有限非可解群的結(jié)構(gòu)黎先華在【1 5 】中推廣了李世榮的工作，并在【1 6 】中刻畫了極大 子群同階類類數(shù)= 3 的有限群的結(jié)構(gòu)文獻】從極大子群共軛類型的角度給出了交 錯群和對稱群的一個新的刻畫王立中在 2 7 1 中研究了極大子群個數(shù)小于5 的有限群 的結(jié)構(gòu) 1 2 本文的主要內(nèi)容 本文繼續(xù)王立中的工作，研究極大子群的個數(shù)對有限群結(jié)構(gòu)的影響，刻畫了極大 子群個數(shù)為5 ，6 ，7 和8 的有限群的結(jié)構(gòu)( 見定理3 1 1 ，定理3 1 2 ，定理3 2 1 ，定理 3 2 2 ，定理3 3 1 ，定理3 3 2 ，定理3 4 1 及定理3 4 2 ) 2 2 1 基本概念 第二章預(yù)備知識 設(shè)g 是有限群，q 為g 的所有極大子群的集合對任意的9 g 及m q ，則 m _ m g 是g 在q 上的一個作用稱 m g l g g 為g 在q 下的一個含m 的 一個軌道，也稱為含m 的一個共軛類其軌道長為i g ：n g ( m ) | - 令m ( g ) 表示g 的所有極大子群的個數(shù)，( g ) 表示g 在q 下的極大子群的所有軌道的個數(shù)( 簡稱軌 道數(shù)或共軛類數(shù)) 對自然數(shù)禮，霄m ) 表示n 的所有素數(shù)因子的集合對有限群g ，記 - c g ) = - ( i g i ) 定義2 1 1 ( 參見文獻【3 1 ) 稱群g 的子群m 為g 的極大子群，如果m g 且 m k g ，可推出m = k 或k = g 定義2 1 2 ( 參見文獻【3 1 】) 稱群g 的子群m 為正規(guī)極大子群，如果m 既是g 的 極大子群又是g 的正規(guī)子群 定義2 1 3 ( 參見文獻【3 1 】) 設(shè)g 是有限群，若g l ，令v ( g ) 為g 的所有極大子 群的交；若g = 1 ，令v ( g ) = 1 稱圣( g ) 為g 的f r a t t i n i 子群 定義2 1 4 ( 參見文獻【3 1 】) 設(shè)g 是有限群，g 的所有冪零正規(guī)子群的乘積f ( g ) 仍為g 之冪零群正規(guī)子群叫做f i t t i n g 子群 西( g ) 和f ( g ) 都是g 的特征子群f r a t t i n i 子群和f i t t i n g 子群是有限群的非常 重要的子群，有很好的群論性質(zhì)，在有限群的研究中起著重要的作用 本文中其它未加說明的術(shù)語和記號都是標準的( 可參見文獻【3 1 】) ；所涉及的群都 是有限群 本文中我們將用到下面的若干引理 2 2 若干引理 引理2 2 1 設(shè)g 是有限群且q g ，西( g ) 為g 的f r a t t i n i 子群，召= g n q 為 g 的所有極大子群的集合豆為召的所有極大子群的集合則 ( 1 ) m 是g 的極大子群當(dāng)且僅當(dāng)m 圣( g ) 為g i 西( g ) 的極大子群； 3 ( 2 ) 艦和是g 的不同的極大子群當(dāng)且僅當(dāng)m i 西( g ) 和m 4 西( g ) 為c 西( g ) 的不同的極大子群特別地，g 與g 圣( g ) 的極大子群的個數(shù)相等； ( 3 ) 豆= m nj m q 且n m ) 特別地，g 與召的極大子群的個數(shù)相等當(dāng)且 僅當(dāng)n 圣( g ) ； ( 4 ) 若m g 且砑= m n ，則砑是召的正規(guī)極大子群當(dāng)且僅當(dāng)m 是g 的 正規(guī)極大子群 證明：f f l 極大子群和f r a t t i n i 子群的定義可得( 1 ) ，( 2 ) 成立 若l n 為g n 的極大子群，則l 顯然為g 的極大子群，岡此l q 若m q 且n 基m ，則g = m 因此當(dāng)m q 且n m 時m = m ，于是m n 為 g n 的極大子群，得到( 3 ) 成立由同態(tài)基本定理可得( 4 ) 成立 引理2 2 2 設(shè)g 是有限群，西( g ) 為g 的f r a t t i n i 子群則西( g 圣( g ) ) = 西( g ) 垂( g ) 證明：令q 為g 的所有極大子群的集合因為m 為g 的極大子群當(dāng)且僅當(dāng) m 西c g ) 為g 圣( g ) 的極大子群，所以圣( g 垂( g ) ) = n m 印m 西c g ) = ( n j l f nm ) 西( g ) = 圣( g ) 圣( g ) 引理2 2 3 設(shè)g 是有限群，m 是g 的極大子群則或者m 司g 或者g ( m ) = m 且l g ：m l 3 證明：若m 是g 的非正規(guī)的極大子群，則m ( m ) 1 由n g ( p ) 5m 得p 也是m 的s y l o wp - 子群且( p ) = m 1 3n c ( p ) = n g ( p ) 于是由s y l o w 定理，l g ：n g ( p ) l 蘭l ( 仇d d 力且i m ：n g ( p ) l 三1 ( m o dp ) 因為 4 l g ：n d e ) i = f g ：m i i m ：n c c p ) i ，所以i g ：m i 三l ( m o dp ) ，從而i g ：m i = 切+ 1 對某個正整數(shù)七 引理2 2 6 設(shè)g 為有限群，p 勛知( g ) ，其中p 7 r ( g ) 若對g 的任意非正規(guī)極 大子群m 都有p l i g ：m i ，則p 司g 證明：因為p l i g ：m l 對g 的任意非正規(guī)極大子群m ，所以p 不是m 的極大子 群，從而g c p ) 名m 假定l 是g 的正規(guī)極大子群，由引理2 2 4 知：n c ( p ) 菇l 兇此n g ( p ) 不包含于g 的任一極大子群于是必有g(shù) ( 尸) = g ，即p 司g 引理2 2 7 ( 參見文獻【3 1 】) 設(shè)g 是有限群h g 且i g ：h i = 7 , ，則g h o 同構(gòu) 于晶的一個子群 引理2 2 8 設(shè)g 是有限群，若g 的每個極大子群在g 中不正規(guī)，則i g ：m i 5 對g 的任意極大子群m 證明：由引理2 2 3 知：i g ：m i 3 由引理2 2 7 知：若l g ：m i = 3 ，g m g 同 構(gòu)于島的一個子群；若i g ：m i = 4 ，g i m g 同構(gòu)于& 的一個子群因為島，& 為可 解群，所以當(dāng)l g ：m 5 時g m g 為可解群于是g m o ，亦即g 有正規(guī)極大子群， 矛盾故l g ：m i 5 引理2 2 9 ( 參見文獻【2 2 】) 設(shè)g 是有限群，為g 的正規(guī)交換子群，若n n 西c c ) = 1 ，則在g 中有補，即存在a g 使得g = a n 且an n = 1 引理2 2 1 0 設(shè)g 是有限群，為g 的交換的極小正規(guī)子群若西( g ) = 1 ，則 在g 中有補，即g = m 且mnn = 1 對某個m g 進一步，若n 差z c g ) ，得 m 是g 的非正規(guī)的極大子群 證明：由引理2 2 9 知：n 在g 中有補是顯然的假定n 葚z ( g ) 且m 是在 g 中的補首先，若m 在g 中正規(guī)，則g = n m ，從而n z ( g ) ，矛盾，所以m 在g 中不正規(guī)；其次，若m 不是g 的極大子群，令k 是g 的包含m 的極大子群， 則k = gnk = n mnk = ( nnk ) m ，兇此1 2 時，g 的 極大子群的個數(shù)4 證明：由引理2 2 1 知：g 的極大子群的個數(shù)等于g i 西c g ) 的極大子群的個數(shù)因 為g i 西( g ) 為階初等交換群，所以g # ( g ) 的極大子群的階為礦由引理2 2 1 3 知道g i 圣c g ) 的礦1 階子群的個數(shù)為魯，若g 非循環(huán)，由引理2 2 1 2 得d 2 ，因 此引理2 2 1 4 成立 引理2 2 1 5 設(shè)g 是冪零群且g = p 1 懇只為其s y l o w 子群的直積令 1 只垂( 只) i = 毋則g 恰有釜。等尋個極大子群 證明：我們斷言，m 是g 的極大子群當(dāng)且僅當(dāng)對某個i ，m = b 只一l 艦冠+ 1 只，其中必是只的極大子群 首先，若必是只的極大子群，則1 只尬l = a ，于是l g m i = p ，即m 是g 的 極大子群；其次，若m 是g 的極大子群，則i a i m i = a 對某個i 于是當(dāng)歹i 時， b m 因為m 是冪零群，所以m = 只只一1 必最+ 1 只，其中 尬是只的子群，因此1 只眥l = 軌，于是尬是只的極大子群 假定m = r 只一1 壇只+ 1 只及n = b 弓一1 颶 b + 1 只是g 的極大子群則由上面的斷言m = n 當(dāng)且僅當(dāng)i = j 且壇= ， 因此g 的極大子群的個數(shù)等于它的所有s y l o w 子群的極大子群的個數(shù)之和因為只 是g 的唯一的s y l o wp 一子群，由引理2 2 1 4 知：只恰有譬尋個極大子群，于是引理 2 2 1 5 成立 引理2 2 1 6 ( 參見文獻【3 l 】，第五章，定理3 3 ，3 4 ，3 7 ) 設(shè)g 是有限群，西( g ) 是g 的n a t t i n i 子群，司g ，日g 則 ( 1 ) 西( g ) 恰r t lg 的所有非生成元組成； ( 2 ) 若n 西( 日) ，則n 圣( g ) 特別地，西( ) 西( g ) ； ( 3 ) 圣( g ) 為冪零群； ( 4 ) a # ( a ) 為冪零群，則g 為冪零群； ( 5 ) 若p l i 唾 c g ) i ，貝0p l l a l 西c a ) 1 特別地，7 r ( g ) = 7 r ( g 西( g ) ) ； 6 引理2 2 1 7 設(shè)g 是有限可解群，則g 必有一正規(guī)極大子群 證明：因為g 是有限可解群，對每個素數(shù)p 而言，g 都是尹可解群，設(shè)m 為g 的極大子群，岡為m g ，m 不是s 可j p 子群所以m n a ( m ) ，又由m 的極大性得 g a ( m ) = g ，即m 塑g 引理2 2 1 8 ( 參見文獻【3 1 】，第四章，定理2 7 ) 設(shè)g 是有限群，則下述事項等價： ( 1 ) g 是冪零群； ( 2 ) 若h g ，則h d 咕( 日) ； ( 3 ) g 的每個極大子群m 笪g ( 這時i g ：m i 為素數(shù)) ； ( 4 ) g 的每個s y l o w 子群都是正規(guī)的，因而是它的諸s y l o w 子群的直積； 引理2 2 1 9 ( 參見文獻【2 7 】) 設(shè)g 是有限群，則 ( 1 ) 若g 的所有極大子群共軛，則g 為素數(shù)冪階循環(huán)群特別地，g 有唯一極大 子群，o ( 2 ) g 恰有2 個極大子群當(dāng)且僅當(dāng)g 為兩個不同的素數(shù)冪階循環(huán)群的直積； ( 3 ) g 恰有3 個極大予群當(dāng)且僅當(dāng)g 為2 元生成的禾群或者為3 個階為不同 素數(shù)冪的循環(huán)群的直積： ( 4 ) g 恰有4 個極大子群當(dāng)且僅當(dāng)g 為下列情形之一的群： ( i ) g 為2 元生成的3 - 群； ( i i ) g 為4 個階為不同素數(shù)冪的循環(huán)群的直積； ( i i i ) g = 缸，y ) ，z 礦= 礦”= 1 ，曠= 礦，k 2 三1 ( r o o d3 m ) ，k = 3 s + 2 ，s ，n ，m ，k 為 正整數(shù)： ( i v ) g = p q ，其巾p 為2 元生成的筘群，q 為奇素數(shù)冪階循環(huán)群； 引理2 2 2 0 令p s y z 2 ( a ) ，q s y f 3 ( a ) ，則也恰有5 個極大子群，a = p q ， 其中j p 為正規(guī)極大子群，q 為非正規(guī)極大子群 證明：由參考文獻【4 6 】知：a 恰有5 個極大子群，又兇為7 r ( 山) = 2 ，3 ，所以a 為_ 【2 ，3 ) 一群，因為p s 掣z 2 ( 山) ，q s 可f 3 ( 也) ，( z 2 易) 磊垡a ，所以p = z 2 z 2 ， 一q = z a ，分別為( 易易) 磊的正規(guī)極大子群和非正規(guī)極大子群，由同態(tài)基本定理知： h = p 圣( a 4 ) 為a 的正規(guī)極大子群且i a ：h l = 3 ，k = q v ( a 4 ) 為山的非正規(guī)極 大子群且j a ：k i = 4 ，因為p = 2 l i 山：k j = 4 ，南引理2 2 6 知：p 里山，南山為非 冪零群知q 為非正規(guī)極大子群 引理2 2 2 1 設(shè)有限群g = ( z ，y ，z l 一= 曠= z 2 = 1 ，x y = y x ，礦= z 2 ，曠= 護) ， p = ( z ，爹) ，m 1 = ( 2 ，z ) ，尬= y ，z ) ，m 3 = ( x y ，z ) ，則p 為g 的唯一的正規(guī)極大子群， 7 g l ，m 2 ，m 3 為g 的互不共軛的非正規(guī)極大子群特別地，g 至少有1 0 個極大子群 證明：令1 g g ，則9 = x r y s z ，其中0 r ，8 2 ，t = 0 ，1 因為z 3 = y 3 = z 2 = 1 ，x y = y ：r ，礦= z 2 ，曠= 暑2 ，所以嚴= z z ，z t j = y z ，l ，- = 礦u z 對0 ，- ，s 2 由g 的生成元和定義關(guān)系，易見p 司g 且i g ：p im - - _ 2 ，所以p 為g 的正 規(guī)極大子群對任意礦礦p ，( 礦曠) 。= ( 護) 7 ( 曠) 。= z 2 r y 知，所以( 礦礦) 司g 若m 是g 的不同于p 的極大正規(guī)子群，則i g ：m i = 3 ，因此p 中至少有一個 3 階元a 不屬于m ，于是( 口) nm = 1 又( o ) qg ，所以g = ( 口) m ，矛盾 故p 為g 的唯一的正規(guī)極大子群因為尬= ( z ，z ) = 1 ，z ，z 2 ，z ，z z ，z 2 z ) ，所以 矸= ( z 可，z l ) = ( z ，y z ) = 1 ，z ，z 2 ，y z ，：r ! z ，z 2 y z ，j m 。= ( x y 2 ，2 礦) = ( z ，y 2 z ) = 1 ，z ，鏟，! ，2 z ，= u 2 z ，z 2 護z ) ，因此尬，聊和坷互不相同，易見i g ：艦i = 3 ，于是 尬在g 中不正規(guī)且 m i ，聊，聊) 是含尬的軌道同理，地在g 中也不正 規(guī)，所以蠅，m 2 ，m 3 為g 的非正規(guī)極大子群 因為 磊r i m - - y ，z ) = 1 ，y ，獷，z ，z ，滬z ) ， 笤= 1 ，可，y g z z ，暑，z z ，u 2 x z ， 鱷2 = 1 ，y ，曠，z 2 z ，y x ，y 2 x 2 名 ，= l ，：r y ，z 2 1 ，2 ，z ，z 妒，咖2 z ) ，所以m 2 ，蝎m ，聊， 聊，蟛，坷，因此尬，蝸互不共軛 引理2 2 2 2 不存在具有平凡n a t 試子群的有限可解群g 使得g 恰有1 個正規(guī) 極大子群和兩個軌道長均為3 的非正規(guī)極大子群的共軛類 證明：假設(shè)結(jié)論不成立，即g 恰有7 個極大子群，其中有一個正規(guī)，另有兩個軌道 長均為3 的非正規(guī)極大子群的共軛類，我們將導(dǎo)出矛盾 令f ( a ) 為g 的f i t t i n g 子群因為g 可解且西( g ) = 1 ，所以g 的極小正規(guī)子群 為初等交換群，且f ( a ) 是g 的極小正規(guī)子群的積，從而f ( a ) 是交換群由引理2 2 9 知：g = f ( a ) a ，其巾f ( a ) na = 1 令f ( a ) = u xz ( g ) ，其巾unz ( a ) = 1 - 顯然 u 是g 的極小正規(guī)子群的直積，于是令u = 仉以，其中阢( 1 i s ) 是 g 的交換的極小正規(guī)子群注意到若是g 的2 階的正規(guī)子群，則必有k z 昭) ， 因此i 阢l 3 0 i s ) 由引理2 2 9 知：阢在g 巾有補，令尬是阢在g 巾的補 子群由引理2 2 1 0 知：壇為g 的非正規(guī)的極大子群因此與尬共軛的極大子群 的個數(shù)為i g ：g ( 尬) i = i g ：艦i = i 阢l 3 岡此由條件推出s = 2 ，i 仉i = i 踢i = 3 ， g = f ( a ) a = ( 仉x 玩z ( g ) ) a 令尸s u t 3 ( a ) ，m 為g 的任一極大子群若m 不在g 中正規(guī)，由上面的推理 得l g ：m i = 3 ，岡此p 名m ，從而g ( p ) gm ；若m 在g 中正規(guī)且( p ) m ， 則g ( m ) = m ，與m 在g 巾正規(guī)矛盾這樣必有g(shù) ( 尸) = g ，即p 司g ，于是p 含 于g 的唯一的極大子群由引理2 2 1 知：a p 恰有1 個極大子群，因而a p 為素 數(shù)冪階循環(huán)群令i a p i = q n ，q s y l q ( g ) ，則g = 【尸】q ，其中q 為礦階循環(huán)群， 8 且由pq g 得p r ( a ) = u lx 鞏xz ( g ) ，a q 令u 1 = ( z ) ，鞏= ( 可) ，q = ( z ) ，其中d ) = o ( y ) = 3 ，o ( z ) = g n 因為鞏，u 2 司g ， 所以阢，鞏z ( p ) ，且礦= z 或z 2 ，曠= 暑，或可2 若= z ，則z 名= 貓， 因此z z ( g ) ，即鞏z ( g ) ，矛盾，因此只能有礦= z 2 同理可得曠= 壙 于是( z ) = c q ( u 1 ) q 因為c c q ( u 1 ) 焉a u t ( u 1 ) 且a u t ( u 1 ) 竺易，所以 q ( 研) 竺易，這樣q 為釜群 因為i q l = 2 n ，著n 2 ，則由礦= z 2 ，曠= 秒2 得礦2 = z ，曠2 = 暑，因此 1 z 2 z ( g ) 注意到g = f ( c ) a = ( u 1 u 2 z ( g ) ) a 且p 仉鞏z ( g ) ，所 以q 可以表示成a 與z ( g ) 的s y l o wq - 子群的直積，這顯然與q 為循環(huán)群矛盾因 此n = 1 ，a = q 為2 階循環(huán)群于是p = 0 1x 現(xiàn)z ( g ) ，g = ( 阢xu 2 z ( g ) ) q 因為a z ( a ) 壘( u 1 u 2 ) q ，且( u 1x 觀) q 與引理2 2 2 1 中的群同構(gòu)，所以由引理 2 2 2 1 知：( 仉x 鞏) q 至少有1 0 個極大子群，由引理2 2 1 知a z ( a ) 至少有1 0 個 極大子群，從而g 至少有1 0 個極大子群，矛盾這樣我們就證明了引理2 2 2 2 成立 引理2 2 2 3 ( 參見文獻【3 3 】) 設(shè)g = g xxg 2 g n 是有限群的直積分解， 令啦a u t ( a , ) ( 1 i 死) ，作對應(yīng)( o t l ，o t 2 ，) 一o t ，其巾q 是g 的變換 口p 1 ，x 2 ，) = ( q 仁1 ) ，a ( z n ) ) 則口a 位( g ) ，r f l 此得到映射妒為：a u t ( g 1 ) x a u t ( g 2 ) xa u t ( c , , ) 一a u t ( g ) 是單同態(tài)岡而可以視a u t ( c h ) a 位( g 2 ) x xa u t ( g , ) 為a u t ( a ) 的子群 引理2 2 2 4 ( 參見文獻【3 3 】) 設(shè)g = g 1 g 2x g n ，若i