（光學(xué)專業(yè)論文）反射式衍射光柵的研究.pdf

坐整墊盔堂墮墮塞竺絲苧 一 一 摘要 反射式衍射光柵是一種具有極高衍射效率的計(jì)算機(jī)光學(xué)元件，能將入射光 束以需要的強(qiáng)度分布聚焦到指定的區(qū)域。基于計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)和微細(xì)加工技術(shù) 制成的平面浮雕形計(jì)算機(jī)光學(xué)元件，具有造價(jià)低、易復(fù)制、重量輕等優(yōu)點(diǎn)，并 能實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)光學(xué)難以完成的微小、陣列、集成等新功能，被廣泛的應(yīng)用在激光 工藝、醫(yī)學(xué)、光學(xué)信息處理、傳輸控制和光通信等領(lǐng)域。 本論文基于幾何光學(xué)理論和標(biāo)量衍射理論提出了設(shè)計(jì)反射式衍射光柵的逆 變換算法和理論模型，推出了計(jì)算反射式衍射光柵表面浮雕高度的差分方程。 通過(guò)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)，計(jì)算得到了反射式衍射光柵表面的浮雕高度，設(shè)計(jì)了反 射式衍射光柵。計(jì)算機(jī)模擬得到的結(jié)果與所需的衍射圖樣相符合。文中還討論 了光柵參數(shù)對(duì)成像質(zhì)量的影響，提出改進(jìn)反射式衍射光柵特性的建議。 關(guān)鍵詞：計(jì)算機(jī)考蘿、衍掣步柵、抽琶多理、學(xué)琴攜 乙 。 i i i 反射式衍射光柵的研究 a b s t r a c t d i f f r a c t i o ng r a t i n g ，w h i c hc a nc o n v e r ti n c i d e n tf i e l do fl i g h tb e a mt ot h e r e q u i r e d f i e l di nc e r t a i np o s i t i o n ，i sac o m p u t e ro p t i c a ld e v i c ew i t hv e r y h i g h d i f f r a c t i o n e f f i c i e n c y c o m p u t e ro p t i c s ，ar a p i d l yd e v e l o p i n gn e w a p p r o a c h o f o p t i c s ，o r i g i n a t e s f r o mc o m p u t e rs c i e n c e ，o p t i c sa n d m i c r o e l e c t r o n i c s t h eo p t i cd e v i c e sd e s i g n e dw i t hc o m p u t e rw i t hp h a s e r e l i e fo np l a n ew h i c ha r ec h e a p ，l i g h ta n de a s yt ob em a d ea n dc a nb e i n t e g r a t e d ，m i n i a t u r i z e da n dm a d ei na r r a y ，a r eu s e di nm a n yf i e l d ss u c ha s l a s e rp r o c e s s i n gt e c h n i q u e s ，o p t i cc o m m u n i c a t i o n s ，b i o m e d i c i n e ，w a v e b e a mc o n t r 0 1 t h i sp a p e rp r o v i d e sa na l g o r i t h mo fr e v e r s et r a n s f o r m a t i o na n dam o d e l t h e o r yt od e s i g nd i f f r a c t i o ng r a t i n g sb a s e d o ng e o m e t r i c a lt h e o r ya n ds c a l e r q u a n t i t yd i f f r a c t i v et h e o r y t h eh e i g h to fp h a s er e l i e fi sa c h i e v e db yf i n d i n gt h e s o l u t i o no ft h ed i f f e r e n c ee q u a t i o nw i t hc o m p u t e rc a l c u l a t i o n u s i n gt h em o d e l t h e o r ya n dt h ea l g o r i t h m ，ad i f f r a c t i o ng r a t i n g ，w h i c hc o n v e r t st h ef i e l d o f g a u s s i a nb e a mt ot h eu n i f o r mf i e l di nas q u a r e ，i sd e s i g n e d w i t hc o m p u t e r s i m u l a t i o na n dd r a w i n gp r o g r a m ，t h ed i f f r a c t i o np a f f e r ni sg o ti nt h i sp a p e r b y c h a n g i n gt h ep a r a m e t e r su s i n gt od e s i g nt h eg r a t i n g ，d i f f e r e n td i f f r a c t i o n p a t t e r n sa r eg a i n e d t h r o u g ha n a l y z i n gt h ed i f f e r e n td i f f r a c t i o np a t i e r n s ，t h e b e s tp a r a m e t e r sa r eg i v e n ， k e yw o r d s ：c o m p u t e ro p t i c s d i f f r a c t i o ng r a t i n g s a m p l i n gt h e o r y r e v e r s et r a n s f o r m a t i o n i v 獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)卜進(jìn)行的彤l ：究，j 。 作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地 方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果，也4 i 包含 為獲得電子科技大學(xué)或其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書(shū)而使剛過(guò)的材料。 與我一同工作的同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明 確的說(shuō)明并表示謝意。 簽名： 淖巒塞 日期：山。拜月侈日 關(guān)于論文使用授權(quán)的說(shuō)明 本學(xué)位論文作者完全了解電子科技大學(xué)有關(guān)保留、使j j 學(xué)位論文 的規(guī)定，有權(quán)保留并向國(guó)家有關(guān)部門(mén)或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁 盤(pán)，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)電子科技大學(xué)可以將學(xué)位論文 的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或 掃描等復(fù)制手段保存、匯編學(xué)位論文。 ( 保密的學(xué)位論文在解密后應(yīng)遵守此規(guī)定) 簽名：受壅導(dǎo)師簽名 日期：多涉繆年月礦日 電子科技大學(xué)碩士研究生論文 第一章緒論 隨著微電子科學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，計(jì)算機(jī)光學(xué)作為一門(mén)新的科學(xué)迅速 發(fā)展起來(lái)。計(jì)算機(jī)光學(xué)是基于光波衍射理論發(fā)展起來(lái)的一門(mén)新興光學(xué)分支，是 光學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)與微電子學(xué)相互滲透、交叉形成的前沿學(xué)科。反射式衍射光 柵是一種計(jì)算機(jī)光學(xué)元件，相應(yīng)的衍射光學(xué)元件也向集成、小型、高效、陣列、 光機(jī)電集成等方向發(fā)展，展現(xiàn)出廣闊的應(yīng)用前景。 第一節(jié)計(jì)算機(jī)光學(xué)的研究與發(fā)展 1 1 1 計(jì)算機(jī)光學(xué)概述 計(jì)算機(jī)光學(xué)又稱為二元光學(xué)“ 】【，它一方面是指借助于計(jì)算機(jī)來(lái)設(shè)計(jì)光學(xué) 元件、完成需要的光波場(chǎng)的轉(zhuǎn)換；另一方面它又是為計(jì)算機(jī)服務(wù)的一門(mén)科學(xué)， 即研制光學(xué)處理器和光學(xué)存儲(chǔ)器。計(jì)算機(jī)光學(xué)元件是一類基于光波的衍射理論、 用計(jì)算機(jī)合成、在片基( 或傳統(tǒng)光學(xué)器件表面) 上刻蝕產(chǎn)生兩個(gè)或多個(gè)臺(tái)階深 度的相位浮雕結(jié)構(gòu)，形成純相位、同軸再現(xiàn)、具有極高衍射效率的衍射光學(xué)元 件。計(jì)算機(jī)光學(xué)元件起相位調(diào)制作用，能將入射光束以需要的強(qiáng)度分布聚焦到 指定的空間區(qū)域。計(jì)算機(jī)光學(xué)元件的設(shè)計(jì)問(wèn)題十分類似于光學(xué)變換系統(tǒng)中的相 位恢復(fù)問(wèn)題，即已知成像系統(tǒng)中入射光束的場(chǎng)分布和輸出平面上需要得到的場(chǎng) 分布，如何設(shè)計(jì)起相位調(diào)制作用的計(jì)算機(jī)光學(xué)元件，使其能正確調(diào)制入射光束 的場(chǎng)分布，高精度地給出預(yù)期希望得到的衍射圖樣。 計(jì)算機(jī)光學(xué)元件源于全息光學(xué)元件( h o e ) ，特別是計(jì)算全息元件 ( c g h ) 1 2 j l ”】，可以認(rèn)為相息圖( k i n o f o r m ) 就是早期的計(jì)算機(jī)光學(xué)元件，但是 計(jì)算機(jī)光學(xué)元件以多階相位結(jié)構(gòu)替代相息圖的連續(xù)浮雕結(jié)構(gòu)，解決了衍射元件 的效率和加工問(wèn)題。 1 1 2 計(jì)算機(jī)光學(xué)的歷史與現(xiàn)狀 8 0 年代中期，前蘇聯(lián)和美國(guó)分別提出了計(jì)算機(jī)光學(xué)和二元光學(xué)川的概 反射式衍射光柵的研究 念。1 9 8 6 年前蘇聯(lián)科學(xué)院組織召開(kāi)了全蘇第一屆計(jì)算機(jī)光學(xué)研討會(huì)，討論了計(jì) 算機(jī)光學(xué)元件的性質(zhì)，提出了計(jì)算機(jī)光學(xué)的數(shù)字化算法以及計(jì)算機(jī)光學(xué)元件的 自動(dòng)設(shè)計(jì)系統(tǒng)，給出了計(jì)算機(jī)光學(xué)的概念1 1 1 。全蘇第一屆計(jì)算機(jī)光學(xué)研討會(huì)的 順利召開(kāi)標(biāo)志著計(jì)算機(jī)光學(xué)的形成。在此其問(wèn)，美國(guó)也展開(kāi)了這方面的研究， 并提出了一種新的光學(xué)分支二元光學(xué)i z l ( 3 1 。美國(guó)m i t 林肯實(shí)驗(yàn)室威爾得坎 譜( v e l d k a m p ) 領(lǐng)導(dǎo)的研究小組提出了“二元光學(xué)”的概念。 計(jì)算機(jī)光學(xué)的出現(xiàn)在國(guó)際上引起了廣泛的研究熱潮，得到了學(xué)術(shù)界和工業(yè) 界的廣泛關(guān)注，從而使計(jì)算機(jī)光學(xué)的設(shè)計(jì)理論和計(jì)算機(jī)光學(xué)元件的應(yīng)用得到了 迅速發(fā)展。 設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)光學(xué)元件時(shí)，根據(jù)元件衍射特征尺寸的大小與需要得到的精度， 我們可以采用幾何光學(xué)理論、標(biāo)量衍射理論和矢量衍射理論。 通常情況下，當(dāng)元件的衍射特征尺寸遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)時(shí)，采用的方法為幾何光 學(xué)理論。a b f o 聃a p c i c l f 矗和b a 皿a h h a o b 等人在8 0 年代就給出了反射式線聚 焦器和面聚焦器的算法i l o l n ，研究了在正入射和任意角度入射的情況下的反射 式線聚焦器的算法，并且制作出了c 0 ：激光的反射式線聚焦器。這種線聚焦器 能將光束聚焦為按指定強(qiáng)度分布的任意曲線。當(dāng)元件的衍射特征尺寸大于光波 波長(zhǎng)時(shí)，光束的偏振屬性對(duì)衍射結(jié)果的影響很小，也可以采用標(biāo)量衍射理論設(shè) 計(jì)計(jì)算機(jī)光學(xué)元件。9 0 年代初，基于這一思想的標(biāo)量理論得到了快速發(fā)展，出 現(xiàn)的優(yōu)化設(shè)計(jì)算法有益師貝格一撒克斯通( g e r c h b e r g s a x t o n ) 算法( g s ) 、誤差減 法( e r ) 及其修正算法、直接二元搜索法( d b s 也稱爬山法( h c ) ) 、模擬退火算法 ( s a ) 和遺傳算法( g a ) 1 3 1 - 1 7 。遺傳算法是一種借助自然界自然選擇和自然遺傳 機(jī)制的高度并行、隨機(jī)、自適應(yīng)搜索算法，將適者生存原理同基因交換機(jī)制結(jié) 合起來(lái)形成具有獨(dú)特優(yōu)化機(jī)制的搜索算法，而且其特別適用于并行運(yùn)算，已被 應(yīng)用于許多領(lǐng)域。在國(guó)內(nèi)，也有研究人員對(duì)計(jì)算機(jī)光學(xué)元件的設(shè)計(jì)理論進(jìn)行研 究，提出自己的算法，中國(guó)科學(xué)院物理研究所楊國(guó)楨和顧本源于9 0 年代中期提 出了任意線性變換系統(tǒng)中振幅一相位恢復(fù)的一般理論和楊一顧( y - g ) 算法“，并 且成功的應(yīng)用于變換系統(tǒng)中。在許多實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合中，元件的特征尺寸為波長(zhǎng) 量級(jí)或亞波長(zhǎng)量級(jí)，刻蝕深度也較大( 達(dá)到幾個(gè)波長(zhǎng)量級(jí)) ，此時(shí)光波的偏振性 質(zhì)和不同偏振光之間的相互作用對(duì)衍射結(jié)果起著重要作用，標(biāo)量衍射理論中的 假設(shè)和近似便不再成立“”，必須使用嚴(yán)格的矢量衍射理論。目前已經(jīng)發(fā)展出了 電子科技大學(xué)碩十研究生論文 幾種有關(guān)的設(shè)計(jì)理論，如積分法、微分法、模態(tài)法和藕合波法等心o 】_ 【2 “，但是 由于矢量理論和計(jì)算方法都很復(fù)雜、運(yùn)算量大等原因，目前還沒(méi)被廣泛應(yīng)用。 現(xiàn)在使用的主要是標(biāo)量理論，但由于幾何光學(xué)理論具有易于設(shè)計(jì)、計(jì)算簡(jiǎn)單等 特點(diǎn)，許多情況下也采用幾何光學(xué)理論設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)光學(xué)元件。 和傳統(tǒng)的光學(xué)元件相比，計(jì)算機(jī)光學(xué)元件的體積小、重量輕、容易復(fù)制和 集成。除此之外，計(jì)算機(jī)光學(xué)元件具有很高的衍射效率，計(jì)算機(jī)光學(xué)元件的能 量衍射效率在理論上接近1 0 0 ；計(jì)算機(jī)光學(xué)的色散性能很好，可在折射光學(xué) 系統(tǒng)中同時(shí)校正球差和色差：制作計(jì)算機(jī)光學(xué)元件時(shí)，可用材料的范圍也很廣， 計(jì)算機(jī)光學(xué)元件的浮雕可刻蝕在玻璃、電介質(zhì)或金屬等的基底上；計(jì)算機(jī)光學(xué) 元件可產(chǎn)生一般傳統(tǒng)光學(xué)元件所不能實(shí)現(xiàn)的光波面，如非球面、環(huán)狀面、錐面 和柱面等，并可集成得到多功能元件；使用亞波長(zhǎng)結(jié)構(gòu)還可以得到寬帶、大視 場(chǎng)、消反射和偏振等特性。正是因?yàn)橛?jì)算機(jī)光學(xué)元件具有這么多的優(yōu)點(diǎn)，所以 短短十幾年，計(jì)算機(jī)光學(xué)得到了令人矚目的發(fā)展，今天多種計(jì)算機(jī)光學(xué)元件已 廣泛的使用在激光工藝、生物醫(yī)學(xué)、光學(xué)信息處理和傳輸控制等領(lǐng)域，取得了 很好的效益。計(jì)算機(jī)光學(xué)主要應(yīng)用在三個(gè)方面 ”。 第一方面，人們采用計(jì)算機(jī)光學(xué)技術(shù)來(lái)改進(jìn)傳統(tǒng)的折射光學(xué)元件，以提高 v 2 4 f 的常規(guī)性能，并實(shí)現(xiàn)普通光學(xué)元件無(wú)法實(shí)現(xiàn)的特殊功能。這類元件主要用 于像差校正和消色差。通常是在球面折射透鏡的一個(gè)面上刻蝕衍射圖案，實(shí)現(xiàn) 折射、衍射復(fù)合消像差和較寬波段上的消色差。此外，計(jì)算機(jī)光學(xué)元件能產(chǎn)生 任意波面、實(shí)現(xiàn)許多特殊功能，具有重要的應(yīng)用價(jià)值。如材料加工和表面熱處 理中的光束整形元件、醫(yī)療儀器中的h e n e 激光聚焦校正器、光學(xué)并行系統(tǒng)中 的光互連元件以及輻射轉(zhuǎn)換器等i z 4 1 - 1 2 7 1 。國(guó)內(nèi)對(duì)這一代計(jì)算機(jī)光學(xué)元件也進(jìn)行 了大量的研究。有研究人員將計(jì)算機(jī)光學(xué)元件應(yīng)用在信號(hào)分析和處理中，他們 利用計(jì)算機(jī)光學(xué)技術(shù)制作子波匹配濾波器【2 ，純位相濾波器和振幅調(diào)制濾波器 ”。還有研究人員為了實(shí)現(xiàn)光互連而根據(jù)光交換網(wǎng)絡(luò)中光邏輯f e t s e e d 靈巧 像元陣列器件的光柵分布，制作出1 6 1 6 非等間距的位相計(jì)算全息光柵，與光 邏輯f e t s e e d 靈巧像元列陣器件光柵分布完全匹配。 第二方面，計(jì)算機(jī)光學(xué)主要應(yīng)用于微光學(xué)元件和微光學(xué)陣列。8 0 年代末， 計(jì)算機(jī)光學(xué)進(jìn)入微光學(xué)領(lǐng)域，向微型化、陣列化發(fā)展，元件大小從十幾個(gè)微米 至h m 。用計(jì)算機(jī)光學(xué)方法制作的高密度微透鏡陣列的衍射效率很高，而且可 反射式衍射光柵的研究 實(shí)現(xiàn)衍射受限成像。這類高質(zhì)量的衍射或折射微透鏡陣列，在光通信、光學(xué)信 息處理、光存儲(chǔ)和激光束掃描等許多領(lǐng)域中有重要的應(yīng)用。 第三方面，計(jì)算機(jī)光學(xué)瞄準(zhǔn)了多層或三維集成微光學(xué)，在成像和復(fù)雜的光 互連中進(jìn)行光束變換和控制。多層微光學(xué)能夠?qū)⒐獾淖儞Q、探測(cè)和處理集成為 體，構(gòu)成一種多功能集成化光電處理器，這一進(jìn)展將使一種能按照不同光強(qiáng) 進(jìn)行適應(yīng)性調(diào)整、探測(cè)出目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)并自動(dòng)確定目標(biāo)在背景中的位置的圖像傳 感器成為可能。 由于計(jì)算機(jī)光學(xué)器件有自身獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)，計(jì)算機(jī)光學(xué)器件也被廣泛應(yīng)用在 準(zhǔn)光學(xué)系統(tǒng)中，特別在大功率回旋管中，具有特殊浮雕結(jié)構(gòu)的鏡面可以大大提 高大功率回旋管的性能，得到比較理想的結(jié)果。 俄羅斯科學(xué)院應(yīng)用物理所的契爾科夫( a v c h i r k o v ) 將計(jì)算機(jī)光學(xué)器件應(yīng) 用于大功率回旋管中，并提出了最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法m l 。根據(jù)提出的最優(yōu)化設(shè)計(jì)方 法，他們?cè)O(shè)計(jì)制造了5 3 g h z ( t e 8 3 ) 、1 0 6 g h z ( t e l 5 4 ) 和8 3 g h z ( t e l 3 4 ) 等幾 種大功率回旋管，測(cè)出了主要參數(shù)，得到了很好的結(jié)果。在美國(guó)、德國(guó)等國(guó)家， 他們也開(kāi)展了這方面的研究工作m l ”1 。美國(guó)馬薩諸塞科技院等離子體科學(xué)研究 中心的d e s i o n 等人提出了一種用于大功率回旋管模式轉(zhuǎn)換器的反射鏡的設(shè)計(jì) 方法，這種方法使用了一種數(shù)字相位恢復(fù)算法，能夠根據(jù)測(cè)得的場(chǎng)的強(qiáng)度分布， 重新構(gòu)建模式轉(zhuǎn)換器中的場(chǎng)。他們也提出了一種設(shè)計(jì)具有四個(gè)反射鏡的模式轉(zhuǎn) 換器的方法，并把這種方法推廣，應(yīng)用到反射天線中。這種相位恢復(fù)算法和設(shè) 計(jì)反射鏡的算法，在沒(méi)有特殊的模式轉(zhuǎn)換器的幾何形狀作參考的情況下也可以 使用。這些設(shè)計(jì)算法已經(jīng)應(yīng)用到11 0 g h z 的模式轉(zhuǎn)換器中，這種轉(zhuǎn)換器可以將回 旋管中模式為弼。的波束在窗口處轉(zhuǎn)化為高斯波束a 用冷測(cè)法測(cè)得的結(jié)果表 明在窗口處可以得到需要的振幅和相位。這些方法的發(fā)展和其在準(zhǔn)光學(xué)空間模 式轉(zhuǎn)換器中的有效性預(yù)示著計(jì)算機(jī)光學(xué)器件可以很好的使用在其它準(zhǔn)光學(xué)系統(tǒng) 和微波領(lǐng)域中。 1 1 3 計(jì)算機(jī)光學(xué)的發(fā)展趨勢(shì) 計(jì)算機(jī)光學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵技術(shù)是超精細(xì)結(jié)構(gòu)衍射元件的設(shè)計(jì)與加工，計(jì)算機(jī) 光學(xué)的研究今后將主要向以下幾個(gè)方面發(fā)展。 4 電子科技大學(xué)碩士研究生論文 一具有亞波長(zhǎng)結(jié)構(gòu)的計(jì)算機(jī)光學(xué)元件的研究” 亞波長(zhǎng)結(jié)構(gòu)元件的特征尺寸比波長(zhǎng)小，其反射率、透射率、偏振特性和光 譜特性等都顯示出與常規(guī)計(jì)算機(jī)光學(xué)元件截然不同的特征，因而具有許多獨(dú)特 的應(yīng)用潛力，可以作為抗反射元件、偏振元件、窄帶濾波器和相位板等。今后 研究的重點(diǎn)主要放在建立j 下確有效的理論模型、特殊波面變換的算法，發(fā)展波 前工程學(xué)，以制作逼近臨界尺寸的微小元件，以及亞波長(zhǎng)結(jié)構(gòu)衍射元件的應(yīng)用， 推動(dòng)微光學(xué)的發(fā)展。 二開(kāi)發(fā)計(jì)算機(jī)光學(xué)的c a d 軟件包 到現(xiàn)在我們還沒(méi)有找到適合不同浮雕衍射結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)單而有效的理論模型， 計(jì)算機(jī)光學(xué)元件的設(shè)計(jì)仍缺乏像普通光設(shè)計(jì)程序那樣，可以求出任意面形、傳 遞函數(shù)及系統(tǒng)像差、具有友好界面的通用軟件包。但隨著通用設(shè)計(jì)工具的發(fā)展， 二元光學(xué)元件有可能成為通用的標(biāo)準(zhǔn)光學(xué)元件，得到廣泛的應(yīng)用，并與常規(guī)光 學(xué)元件結(jié)合，形成一代新的光學(xué)系統(tǒng)。 三微型光機(jī)電集成系統(tǒng)是計(jì)算機(jī)光學(xué)發(fā)展的總趨勢(shì)0 1 計(jì)算機(jī)光學(xué)元件有可能直接刻蝕在集成電路的芯片上，并在一塊芯片上布 置微光學(xué)陣列，甚至完全集成化的光電處理單元，這將導(dǎo)致包括各種全新的超 密集傳感系統(tǒng)的產(chǎn)生。 第二節(jié)本論文的工作 本論文以幾何光學(xué)理論為基礎(chǔ)，研究了計(jì)計(jì)算機(jī)光學(xué)元件的逆變換算法和 理論模型，得出了相應(yīng)的算法和計(jì)算程序，設(shè)計(jì)出了種反射式衍射光柵。這 種反射式衍射光柵能將不均勻分布的高斯場(chǎng)轉(zhuǎn)化成均勻分布的矩形場(chǎng)。對(duì)該光 柵進(jìn)行了計(jì)算機(jī)模擬，得到了與預(yù)期結(jié)果相符的衍射圖樣。研究了參數(shù)的變化 對(duì)衍射圖樣的影響，提出了改進(jìn)反射式衍射光柵的性能的可行性建議。 本論文主要分為五章，各章的主要內(nèi)容如下： 第一章概述了8 0 年代中期在光學(xué)領(lǐng)域出現(xiàn)的兩個(gè)相近的新興學(xué)科計(jì) 算機(jī)光學(xué)和二元光學(xué)，介紹了計(jì)算機(jī)光學(xué)的研究和發(fā)展。 第二章介紹了計(jì)算機(jī)光學(xué)的理論基礎(chǔ)。因?yàn)樵O(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)光學(xué)元件時(shí)，根據(jù) 計(jì)算機(jī)光學(xué)元件的特征尺寸的大小，可以分別采用幾何光學(xué)理論、標(biāo)量衍射理 一一墾墅莖塹塾鲞塑塑嬰窒 一 論和矢量衍射理論，這一章重點(diǎn)敘述了幾何光學(xué)理論和標(biāo)量衍射理論，同時(shí)還 介紹了與計(jì)算機(jī)光學(xué)有密切關(guān)系的光學(xué)全息原理a 第三章根據(jù)具體的任務(wù)要求和參考文獻(xiàn)，研究了計(jì)算機(jī)光學(xué)元件的逆變換 算法和理論模型，得出了相應(yīng)的算法和理論模型。 第四章按照第三章給出的理論模型和算法編寫(xiě)反射式衍射光柵表面浮雕 高度的計(jì)算程序，并用f o r t r a n 語(yǔ)言繪圖程序繪制出反射式衍射光柵的表面 浮雕圖樣。 第五章對(duì)反射式衍射光柵成像結(jié)果進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬，得到了與預(yù)期結(jié)果相 符的衍射圖樣。研究了參數(shù)的變化對(duì)衍射圖樣的影響，得到不同的衍射圖樣， 提出了改進(jìn)反射式衍射光柵的性能的可行性建議。 6 電子科技人學(xué)碩士研究生論文 第二章理論基礎(chǔ) 反射式衍射光柵是一種計(jì)算機(jī)光學(xué)元件，它與全息光學(xué)、衍射光學(xué)、幾何 光學(xué)都有密切的關(guān)系。本章主要介紹全息、計(jì)算機(jī)光學(xué)的標(biāo)量衍射理論、幾何 光學(xué)理論三方面的相關(guān)知識(shí)。 第一節(jié)全息原理 用普通攝影技術(shù)拍攝三維景物時(shí)，拍成的普通照片完全失去了立體效應(yīng)， 與真實(shí)物體有很大的差別。1 9 4 8 年，英國(guó)科學(xué)家d e n n i s g a b o r 提出了一種新的 成像原理，稱為全息術(shù)。用這種原理可以實(shí)現(xiàn)物的再現(xiàn)。 2 1 1 光學(xué)全息 全息術(shù)是利用干涉原理來(lái)記錄和再現(xiàn)波前的一門(mén)科學(xué)。在標(biāo)量理論中單色 光的光波可寫(xiě)為 u ( e ) = 4 ( 力e x p i 叫尹) 】 ( 2 - 1 ) 其中，a ( e ) 表示波的振幅，州產(chǎn)) 表示波的位相。這也就是說(shuō)，波由其振幅和 位相完全確定。 光學(xué)全息術(shù)就是利用光的干涉和衍射原理，將攜帶物體信息( 振幅和位相) 的光波以干涉圖樣的形式記錄下來(lái)，并在一定的條件下使其再現(xiàn)，形成原物體 逼真的立體像。由于記錄了物體的全部信息，故稱為全息術(shù)。而所記錄下來(lái)的 于涉條紋圖樣，稱為全息圖。 全息術(shù)的整個(gè)過(guò)程分為兩步：第一步是記錄波前，即記錄干涉光波場(chǎng)；第 二步是波前再現(xiàn)，即復(fù)雜光柵的衍射成像。 波前的記錄過(guò)程如圖( 2 1 ) 所示。設(shè)傳播到記錄介質(zhì)上的物光波波前為 口& ，j ，) = 口0 ，) e x p 卜f 0 ，y ) j ( 2 2 ) 傳播到記錄介質(zhì)上的參考波波前為 4 k ，) = 4 0 ，j ，) e x p 【_ f 礦0 ，y w ( 2 3 ) 則被記錄的總光強(qiáng)為 反射式衍射光柵的研究 ，g ，y ) = i a g ，- + 口q ，1 2 = i b ，y 1 2 + k b ，y 1 2 + 2 a ( x ，y ) a b ，j ，) c o s 【妒b ，j ，) 一妒g ，y i ( 2 4 ) 上式中的前兩項(xiàng)是物光和參考光的強(qiáng)度分布，第三項(xiàng)是干涉項(xiàng)，包含有物 波波前的振幅和位相信息，它們受到參考光振幅和位相的調(diào)制。參考光波的作 用在于使物波波前的位相分布轉(zhuǎn)換成千涉條紋的強(qiáng)度分布。 下面討論波前的再現(xiàn)過(guò)程。假定全息圖的振幅透過(guò)率為 f g ，j ，) = 氣+ ，( b 1 2 + 4 + a + a a + ) 其中，t b 和口是和記錄介質(zhì)及曝光量有關(guān)的常數(shù)。用一束相干光波照射全 息圖，假定它在全息圖平面上的復(fù)振幅分布為b ( x ，y ) ，則透過(guò)全息圖的光場(chǎng)為 u 0 ，j ，) = 占g ，j ，- k ，力= 氣占+ , 8 a a 4 b + a + b a + f l a b a = u 1 + u 2 + u 3 + u 4 ( 2 5 ) 如果b ( x ，y ) = a ( x ，y ) ，則透射光的第三項(xiàng)為： u ，0 ，y ) = ，i a l 2 口& ，y ) 因?yàn)閖 a i 。是均勻的參考光強(qiáng)度，p ) p a t - - 個(gè)常數(shù)因子以外，u ，是原來(lái)物 光波波前的重現(xiàn)。而透射光的第四項(xiàng)u 。& ，) = a2 口+ g ，y ) 是正比于物光波波 前的共軛波。 2 i 2 計(jì)算全息 利用普通的光學(xué)全息技術(shù)雖然能記錄物體真正的三維影像，但是它的抗干 電子科技大學(xué)碩十研究生論文 擾能力弱，而且能量效率很低( 一般不超過(guò)4 ) 3 1j 難以做出高質(zhì)量高亮度 的全息圖。 1 9 6 5 年，k o z m a 和k e l l y 提出了計(jì)算全息的概念。計(jì)算全息是利用計(jì)算機(jī)， 并通過(guò)計(jì)算機(jī)控制繪圖儀或其他記錄裝置來(lái)合成全息圖的方法。與一般的光學(xué) 全息圖比較，計(jì)算全息圖有以下的優(yōu)點(diǎn)： 1 計(jì)算全息圖功能靈活，使用范圍廣。制作光學(xué)全息圖時(shí)，必須要有實(shí)際 的物體存在；而計(jì)算全息圖的制作則不這樣，只要給出物波的具體數(shù)學(xué)描述， 就能利用計(jì)算機(jī)和現(xiàn)實(shí)裝置綜合出計(jì)算全息圖。因此計(jì)算全息能綜合出世陽(yáng)j 不存在的物體的全息圖，靈活性很高。適用于信息處理中空間濾波器的綜合， 或生成特殊的參考光波面來(lái)檢測(cè)光學(xué)元件，或作為特殊的波面變換元件以實(shí) 現(xiàn)光學(xué)中的廣義變換。 2 計(jì)算全息圖大部分都是二元的，全息圖的透過(guò)率函數(shù)取值為0 或1 。光學(xué) 全息圖在制作時(shí)對(duì)環(huán)境條件要求較高且對(duì)紀(jì)錄介質(zhì)的非線性效應(yīng)和底片顆粒 噪聲很敏感，因此很難得到完全相同的復(fù)制品。而二元計(jì)算全息圖只需記錄 和識(shí)別兩種信號(hào)狀態(tài)，所以抗外界干擾的能力強(qiáng)、噪聲小、易于復(fù)制。 3 二元計(jì)算全息圖經(jīng)漂白處理后，變成位相型全息圖，可得到很高的衍射 效率。 4 聲波、微波或其他電磁波的全息圖，可應(yīng)用計(jì)算機(jī)技術(shù)來(lái)制作和再現(xiàn)， 從而進(jìn)一步擴(kuò)大了全息照相術(shù)在這些領(lǐng)域中的應(yīng)用。 如果按照記錄全息圖的方法來(lái)分類，計(jì)算機(jī)全息圖與光學(xué)全息圖一樣，基 本上可以分為三類：傅里葉變換全息圖、像全息圖和菲涅爾全息圖。 1 傅里葉變換全息圖 傅里葉變換全息圖記錄物體光分布的傅里葉變換與參考光波的干涉圖，因 而傅里葉變換全息圖就需要計(jì)算出物體光波的傅里葉變換，利用快速傅罩葉變 換和計(jì)算機(jī)可以很快的算出來(lái)。 2 像全息圖 像全息圖記錄的是物體的成像光波與參考光波的干涉圖，計(jì)算機(jī)像全息圖 必須給定復(fù)振幅分布。 3 菲涅爾全息圖 菲涅爾全息圖記錄物體的菲涅爾光波與參考光波的干涉圖，所以計(jì)算機(jī)菲 9 反射式衍射光柵的研究 涅爾全息圖必須算出物體的菲涅爾衍射場(chǎng)。 如果按照制作全息圖時(shí)所采用的編碼技術(shù)來(lái)分類，也就是根據(jù)記錄光波的 復(fù)振幅分布與全息圖透過(guò)率的函數(shù)關(guān)系來(lái)對(duì)計(jì)算機(jī)全息圖進(jìn)行分類，計(jì)算機(jī)全 息可分為迂回位相計(jì)算全息圖、修正型離軸參考光計(jì)算全息圖、相息圖和計(jì)算 全息干涉圖。 1 迂回位相計(jì)算全息圖 1 9 6 0 年，b r o w n 和羅曼應(yīng)用迂回位相技術(shù)制成二元計(jì)算全息圖，現(xiàn)在習(xí)慣 稱之為迂回位相型全息圖。這種全息圖有三個(gè)特點(diǎn)： 全息圖的透過(guò)率是二元的，只取0 或1 ；應(yīng)用迂回位相編碼物光波的位相， 全息圖可同時(shí)記錄復(fù)值函數(shù)的振幅和位相；全息記錄時(shí)沒(méi)有用到參考光波或加 偏置分量。這種迂回位相編碼制作的二元計(jì)算全息圖是計(jì)算全息技術(shù)的真正開(kāi) 端。 2 修正型離軸參考光計(jì)算全息圖 除了用迂回位相技術(shù)直接編碼光波的復(fù)振幅，得n - 元計(jì)算全息圖外，還 有模仿光學(xué)離軸全息圖的形成方法，加參考光波及偏置分量，使得全息圖平面 上要記錄的復(fù)數(shù)振幅轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shí)數(shù)的非負(fù)函數(shù)。這時(shí)可直接應(yīng)用c r t 或其它繪圖 儀記錄這個(gè)實(shí)的非負(fù)函數(shù)，就沒(méi)有位相編碼問(wèn)題了。 3 相息圖 是將光波信息轉(zhuǎn)化為全息圖的透過(guò)率變化或干涉條紋圖形而記錄在膠片 上，相息圖卻只以浮雕形式將光波的位相信息記錄在膠片上。光學(xué)全息和一般 的計(jì)算全息再現(xiàn)復(fù)數(shù)波場(chǎng)都是建立在光的衍射理論的基礎(chǔ)上的，而相息圖卻似 菲涅爾透鏡那樣，只是通過(guò)改變光學(xué)厚度去變化照射光波的位相分布，從而再 現(xiàn)出原始的物光波。 而且再現(xiàn)時(shí)只有單一的衍射級(jí)，因此，在理想情況下，衍射效率可達(dá)到 1 0 0 。由于同樣的原因，相息圖包含的全部空間頻率成分都用于單個(gè)像，因而， 成像無(wú)需很大的帶寬。 4 計(jì)算全息干涉圖 如果用計(jì)算機(jī)把干涉條紋( 亮紋或暗紋) 的位置計(jì)算出來(lái)，再用繪圖儀繪 制，經(jīng)過(guò)精縮以后就是一幅干涉型計(jì)算機(jī)全息圖。干涉型全息圖計(jì)算簡(jiǎn)單，比 相息圖容易加工，可用于制作純位相型的全息圖，條紋可以制成二值型的形狀， 電子科技大學(xué)碩士研究生論文 也可以制成多階灰度的形狀。因此，干涉型全息圖的衍射效率也可以達(dá)到很高， 對(duì)于純位相二值型的干涉全息圖，其衍射效率理論上最高可達(dá)到4 0 5 。計(jì)算 機(jī)全息圖的制作過(guò)程可分為五步，如圖( 2 2 ) 所示。 ( 1 ) 抽樣 由于數(shù)字計(jì)算機(jī)不能對(duì)連續(xù)函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，所以必須對(duì)物體波前的函數(shù)進(jìn) 行抽樣。即用有限的離散點(diǎn)來(lái)描述連續(xù)函數(shù)。為了保證抽樣點(diǎn)能正確的描述物 體波前，抽樣必須遵循抽樣定理。 ( 2 ) 計(jì)算 在確定了抽樣數(shù)和抽樣間距后，將各抽樣點(diǎn)的物光波場(chǎng)的復(fù)振幅計(jì)算出來(lái)。 ( 3 ) 編碼 編碼是將全息圖上各抽樣點(diǎn)計(jì)算所得的復(fù)振幅( 振幅和位相) ，按照給定的 再現(xiàn)照明光波，用人為的方法實(shí)現(xiàn)出來(lái)。即是將全息圖平面上的光波場(chǎng)分布轉(zhuǎn) 化為全息圖的透射律變化的過(guò)程。 h ) 繪制全息圖 在計(jì)算機(jī)的控制下，將全息圖的透過(guò)率變化在繪圖設(shè)備上繪出，再經(jīng)過(guò)光 學(xué)縮板得到實(shí)用的全息圖。 數(shù) 圖2 - 2 計(jì)算全息圖制作流程圖 ( 5 ) 全息圖的再現(xiàn) 這一步驟在本質(zhì)上與光學(xué)全息圖的再現(xiàn)沒(méi)有區(qū)別，可以在一定的光路中， 用激光照射全息圖，得到原來(lái)的像。 墾壁莖笪墅堂塑塑嬰壅 第二節(jié)標(biāo)量衍射理論i ” 光在傳播過(guò)程中，偏離直線傳播的現(xiàn)象稱為光的衍射。衍射問(wèn)題是光學(xué)中 遇到的最困難的問(wèn)題之一，衍射的中心問(wèn)題是計(jì)算衍射的光強(qiáng)分布，要精確解 決這個(gè)問(wèn)題，必須把光波場(chǎng)考慮成矢量場(chǎng)。但由于用矢量方法求解衍射問(wèn)題時(shí)， 其數(shù)學(xué)運(yùn)算相當(dāng)復(fù)雜，至今用這種方法嚴(yán)格求解的例子并不多，大多數(shù)有實(shí)際 意義的情況都采用近似方法求解。而標(biāo)量衍射理論是把光波場(chǎng)當(dāng)作標(biāo)量場(chǎng)來(lái)處 理，即只考慮電磁場(chǎng)的一個(gè)橫向分量的標(biāo)量振幅，而假定任何別的有關(guān)分量都 可以用同樣的方式獨(dú)立處理，從而忽略電矢量和磁矢量的各個(gè)分量按麥克斯韋 方程的耦合關(guān)系。 2 2 1 基爾曩夫衍射理論 基爾霍夫標(biāo)量衍射理論就是一種常用的近似理論。實(shí)驗(yàn)證明，這種近似處 理方法，當(dāng)衍射孔徑比照明光波長(zhǎng)大得多，而且觀察點(diǎn)離衍射孔徑不太近時(shí)， 得到的結(jié)果是很精確的。因此，在大多數(shù)有實(shí)際意義的情況中都采用近似方法 求解。以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的惠更斯一菲涅耳原理與標(biāo)量衍射近似方法得到的結(jié)果相 一致，基爾霍夫標(biāo)量衍射理論的許多結(jié)果都統(tǒng)一在惠更斯一菲涅耳原理之下。 惠更斯一菲涅耳原理表達(dá)為：波前上的每個(gè)面元都可以看成一個(gè)新的振動(dòng)中心， 他們發(fā)出的波在空間每一點(diǎn)的震動(dòng)，是所有這些次波在該點(diǎn)的相干迭加?；鶢?霍夫給出了惠更斯一菲涅耳原理比較完善的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。他指出，惠更斯一 菲涅爾原理可以看作是某種積分定理的近似形式，這種積分定理將齊次波動(dòng)方 程在場(chǎng)中任一點(diǎn)p 的解，用p 點(diǎn)周?chē)我婚]合面上所有各點(diǎn)的解及其一階微商 的值來(lái)表示，并在此基礎(chǔ)上建立了基爾霍衍射理論。 在無(wú)限大不透明屏d 上，考慮一個(gè)開(kāi)孔引起的衍射。如果一個(gè)波動(dòng)投射 到孔和不透明的屏上，開(kāi)孔的線度遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)，光源和觀察點(diǎn)到衍射屏的距 離足夠遠(yuǎn)( 遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)和開(kāi)孔的線度) 。在滿足條件： 鼻， a 在開(kāi)孔上各點(diǎn)處的場(chǎng)分布u 及其導(dǎo)數(shù)蘭與屏不存在時(shí)一樣； 咖 , q t ， b 除開(kāi)孔外，在屏上各點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)u 及其導(dǎo)數(shù)恒為0 。 電子科技大學(xué)碩士研究生論文 和索末菲輻射條件牌足f 型o n 一次u 1 = 。的前提下，屏后任一點(diǎn)r 的場(chǎng)分確r ”ij ” 。 u ( p ) 可以近似表示為 c ，= 去g ( g i o u u 署炳 ( z 6 ) 這就是基爾霍夫衍射公式，其中g(shù) 為格林函數(shù)。 2 2 2 菲涅爾- 基爾霍夫衍射理論 如果用位于芝點(diǎn)的單色點(diǎn)光源照射衍射屏上的開(kāi)孔，如圖( 2 3 ) 所示。 只為開(kāi)：f l z 上的任意點(diǎn)，r 2 。是點(diǎn)和只點(diǎn)之間的距離，只點(diǎn)在曷點(diǎn)產(chǎn)生的光 振動(dòng)為 ；毽p， “f “一 圖2 - 3 單色點(diǎn)光源照明衍射孔 設(shè)格林函數(shù)為 u ( p 。) ：旦e x p ( 峨，) r 2 1 g ( p 。) ：e x p ( i c r o , ) r o l ( 2 7 ) ( 2 8 ) 反射式衍射光柵的研究 將式( 2 - 7 ) 、( 2 - 8 ) 代入基爾霍夫衍射公式( 2 - 6 ) ，可以得到 u ( p o ) - 脅川型型i 型墮宰! 型怯( 2 - 9 ) to, l j 式( 2 9 ) 稱為菲涅爾基爾霍夫衍射公式。雖然菲涅爾一基爾霍夫衍射公式 是在用點(diǎn)光源照射的情況下得到的，但在一般情況下，此式也是成立的，這時(shí) u ( p ，) 泛指上的復(fù)振幅。 2 2 3 夫朗和菲衍射和菲涅爾衍射 2 2 2 節(jié)推出了普遍形式的菲涅爾一基爾霍夫衍射公式，然而用該公式來(lái)解 決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，數(shù)學(xué)上往往又是很困難的，在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常常需要采取 某些近似，以便用比較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)得到衍射圖樣。根據(jù)近似處理的條件， 可分為菲涅爾近似和夫朗和菲近似，與之相對(duì)應(yīng)的衍射分別稱為菲涅爾衍射和 夫朗和菲衍射。通常光的衍射分為三種類型：瑞利一索末菲衍射、菲涅爾衍射 和夫瑯和費(fèi)衍射。三個(gè)衍射區(qū)的劃分如圖( 2 4 ) 所示。 x 酗2 4 衍射區(qū)的劃分不意圖 下面討論菲涅爾衍射和夫瑯和費(fèi)衍射。如圖( 2 - 5 ) 所示，一無(wú)限大不透明 屏置于z 平面，其上開(kāi)一有限大的孔，觀察屏置于x0 0 y 。平面。用單色光 照明開(kāi)孔。由瑞利一索末菲公式可得觀察屏上的復(fù)振幅為 u 0 ( 兒) ：丟f m ( x t , y 1 ) e x p ( i k r o 一) c o s 觸。砂。 ( 2 1 0 ) 電子科技大學(xué)碩士研究生論文 式( 2 - 1 0 ) 中，是點(diǎn)只和點(diǎn)只之間的距離。通常情況下計(jì)算這個(gè)積分比較 困難，實(shí)際應(yīng)用中滿足下列條件時(shí)： 觀察點(diǎn)p 。( x 。，y 。) 離衍射屏的距離遠(yuǎn)大于衍射孔徑的線度； 衍射屏與觀察屏之間的距離z 遠(yuǎn)大于觀察區(qū)域的線度 可以在( 2 - 1 0 ) 式中取如下近似： r o z z c o s 0 = 1 ( 2 - 1 1 ) 根據(jù)近似條件( 2 - 1 1 ) ，式( 2 1 0 ) 可改寫(xiě)為 圖2 - 5 近似計(jì)算示意圖 ( x o , y o ) = 去盯u ( 兒) 竺譬絲屯奶 ( 2 1 2 ) 這樣對(duì)積分式中的分母r 0 作了近似處理，只有再對(duì)積分式指數(shù)中的。作 近似處理，才能進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算。根據(jù)近似條件的不同，得到菲涅耳近似和夫 朗和菲近似，在這兩種近似條件下得到的衍射分別稱為菲涅耳衍射和夫朗和菲 衍射。 根據(jù)幾何理論，可近似表示為 。= 【z z + g 。一) 2 + 。一夕。) 2 】( 2 - 1 3 ) 將( 2 1 3 ) 式用二項(xiàng)式定理展開(kāi) 工。) 2 + ，一少。) 2 弘= z 1 + ! 皇一= 二蘭z 掣 墾塾壟塹壁堂塑塑嬰窒一 ：。+ ! 生- = 二蘭；z ；, z 盟一i ( 苧二蘭生掣+ ( z 一- 4 ) o 當(dāng)x 。，y 。的值為極限值、物體大小一定時(shí)，隨著z 的增大，含1 z 3 的項(xiàng)變 小，如果 睦! 二墨z 壘l 二叢出 2( 2 - 1 5 ) 那么含1 z 3 的項(xiàng)和更高次項(xiàng)都可以省略，這樣就得到了菲涅爾近似，式 ( 2 1 5 ) 稱為菲涅耳近似條件。滿足這個(gè)條件的衍射區(qū)稱為菲涅爾衍射區(qū)。在 這個(gè)衍射區(qū)的衍射稱為菲涅耳衍射，在菲涅爾衍射區(qū)中： 鏟z + 虹掣警+ 警一半 ( 2 1 6 ) 把( 2 1 6 ) 式帶入( 2 1 2 ) 式，略去常位相因子e x p ( i k z ) 后，( 2 - 1 2 ) 式可以 - n - 為 u g o , y o ) = 壺u u - - ) e x p i 腩魚(yú)k ，砂l(fā) ( 2 - 1 7 ) 或 眠譏) ：c f f 岫川唧i 地( 華一盟半) 卜砌( 2 - 1 8 ) 式中。：。x p k g 。2 + y 。2 2 z i 2 z 是一個(gè)與點(diǎn)( x t , y ) 有關(guān)的復(fù)常數(shù)，它的指 數(shù)部分說(shuō)明衍射場(chǎng)的位相變化，也叫二次位相因子。式( 2 1 7 ) 或( 2 1 8 ) 即 為菲涅耳衍射積分公式。 下面討論夫朗和費(fèi)近衍射的近似條件。在( 2 1 6 ) 式中，如果等號(hào)右邊第二項(xiàng) 滿足 苴筮 0 ， 一。 x + 。o 首先對(duì)定解區(qū)域d = 缸，f l o 。 工 - 0 作網(wǎng)格剖析，最簡(jiǎn)單、常用 的網(wǎng)格是用兩簇分別平行于x 軸和t 軸的等距直線工= x 。= k h ， 盧t ，= ，f ( 七= 0 , ：1 - 1 ，土2 ，j = 0 , 1 ，2 ，3 ) 將定解區(qū)域d 分成許多小矩形區(qū)域( 如 圖4 - 1 所示) 。 3 h - 2 h - l h 0 h2 h3 x 3 r 2 r r 圖4 - 1 差分計(jì)算示意圖 這些直線稱為網(wǎng)格線，直線的交點(diǎn)稱為網(wǎng)格點(diǎn)，也稱為節(jié)點(diǎn)，工和f 分別 稱為x 方向和t 方向的步長(zhǎng)，這種網(wǎng)格稱為矩形網(wǎng)格。如果用向前差商表示階 偏導(dǎo)數(shù)，即 剽：墮巫型一魚(yú)。弛仰, t j ) 舭f ( x kj fj)h 2 。 1 塑：坐生掣一三。；p糾at2 b ) f ” 其中o 島，0 。 1 ，那么方程( 4 1 ) 在節(jié)點(diǎn)也，t ，) 處可表示為 ! ! 墨：! 苧立：竺壘! ：! + 日竺! 蘭：! ：! ! ! 二! ! 蘭：! 生 f，l = 吾“；k + 0 z r ) + 口魯“：( + b ，) + f ( x = 詹饑，l j ) + ，扛，f ) ( 4 - 2 ) 其e p u ( x , ，o j = 伊饑) 。忙= o ，1 ，2 ja 由于當(dāng)h 和f 足夠小時(shí)，r ( x 。，t ，) 是小 量，在式( 4 2 ) 中可以略去月皈，t j ) ，從而得到與方程( 4 1 ) 相似的差分方程： 反射式衍射光柵的研究 堅(jiān)：叢生墜：! ! + 口坐坐生粵墮型：f ( x , t ) ( 4 渤 這兒，u ( x 。，t y ) 可以看作是問(wèn)題( 4 3 ) 的解在節(jié)點(diǎn)k ，t j ) 處的近似值。根據(jù)初 始條件，有 u “i ，o ) = 伊( 石i )( 七= o ，士1 士2 ) ( 4 - 4 ) 把( 4 - 3 ) 式和( 4 4 ) 式結(jié)合，就可得到問(wèn)題( 4 1 ) 的數(shù)值解的差分格式。其 中式 r ( x k , t j ) 2 三“：k 一+ 0 2 r ) + a j h “弘t + 0 1 h , t ) = 0 偽+ f ) 稱為差分方程( 4 - 3 ) 的截?cái)嗾`差。如果一個(gè)差分方程的截?cái)嗾`差為 足= o ( r q + ，) ，則稱差分方程對(duì)f 是q 階精度，對(duì)工是h 階精度。顯然，截?cái)?誤差的階數(shù)越大，差分方程對(duì)微分方程的逼近越好。 若網(wǎng)格步長(zhǎng)趨于0 時(shí)，差分方程的截?cái)嗾`差也趨近于0 ，則稱差分方程與 相應(yīng)的微分方程是相容的。這是用差分法求解偏微分方程問(wèn)題的必要條件。 4 1 2 確定反射式衍射光柵的大小和邊界條件 應(yīng)用差分法求解偏微分方程，首先要確定反射式衍射光柵的幾何尺寸，下 面將給出確定反射式衍射光柵的幾何尺寸的方法。在第三章，得到了簡(jiǎn)化了的 高斯光束的近似表達(dá)式( 3 1 5 ) 川)：aei(xy a e x p ( - q 籌)，f ) = 二 去一) wl z ， 從( 3 1 5 ) 式中可以看出，由于基模高斯光束的強(qiáng)度是以高斯形式分布的， 如果光腰半徑w ( z ) 的值已經(jīng)確定，當(dāng)x , y 達(dá)到一定值時(shí)，光束的光強(qiáng)i ( x y ，1 ) 就 變得很小了，所以適當(dāng)選取反射式衍射光柵的幾何尺寸有助于提高反射式衍射 光柵的能量衍射效率。通常根據(jù)高斯光束的光腰半徑w ( z ) 的值確定反射式衍射 光柵的大小。 要想求解反射式衍射光柵表面的浮雕高度，還需要確定反射式衍射光柵的 邊界條件。由于反射式衍射光柵是純相位元件，所以可以把入射到反射式衍射 生蘭登墊查堂堡主笙塑圭堡蘭 一 光柵邊界的程函作為求解反射式衍射光柵表面浮雕高度的邊界條件。設(shè)激光器 和反射式衍射光柵之間的距離為l ，入射激光束和反射式衍射光柵之間的夾角 為4 5 。，激光器發(fā)出的激光的波長(zhǎng)為a 。由于激光器和反射式衍射光柵之i = i f t l 距離遠(yuǎn)大于反射式衍射光柵的邊長(zhǎng)，把邊界條件作近似處理，入射到反射式衍 射光柵的程函近似表示為 妒：挈 ( 4 5 ) 就可以根據(jù)( 4 5 ) 確定反射式衍射光柵的邊界條件。 反射式衍射光柵的邊長(zhǎng)和邊晃條件確定好之后，根據(jù)需要得到的衍射圖樣的 大小和第三章給出的積分公式( 3 - 1 2 ) ( 3 - 1 3 ) 來(lái)確定口，的值，口，的值確定 好之后，就可以確定差分網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)。然后用差分法求解反射式衍射光柵的表面 浮雕高度。 第二節(jié)數(shù)據(jù)采樣和數(shù)據(jù)還原 表示反射式衍射光柵的表面形狀的函數(shù)是連續(xù)的，因?yàn)橛糜?jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值 計(jì)算時(shí)不能對(duì)連續(xù)函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，所以當(dāng)計(jì)算機(jī)分析和處理連續(xù)函數(shù)時(shí)，需要 用一些離散的點(diǎn)描述連續(xù)函數(shù)，即對(duì)連續(xù)函數(shù)進(jìn)行抽樣。在抽樣時(shí)，如果抽樣 的點(diǎn)過(guò)密，這樣會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量和存儲(chǔ)量太大；如果抽樣點(diǎn)過(guò)疏，無(wú)法保證計(jì)算 的精度。因此，能否合理的選擇抽樣間隔，做到既不丟失信息，也不會(huì)使計(jì)算 工作量過(guò)大，這是設(shè)計(jì)反射式衍射光柵時(shí)要注意的一個(gè)重要問(wèn)題。 假設(shè)反射式衍射光柵的表面函數(shù)為妒( “，v ) ，通常選取二維疏狀函數(shù)來(lái)對(duì)它 進(jìn)行抽樣： 仍g ，j ，) = 妒g ，j ，k 。m 6 ( 童) c 。肌西( 蚩 c a 一。， 其中 c 。朋= 重妻一 ) = 喳她硝， 反射式衍射光柵的研究 c 。肌6 ( 守m 6 ( 參) f f f ”十 圖4 - 2 = 維函數(shù)的方形抽樣 c 。礎(chǔ)( 爿= 圭6 ( 參一瓏) = y 奎咖y ， 因此，抽樣值函數(shù)仍g ，) 由占函數(shù)的陣列組成，各個(gè)占函數(shù)之間的間距在 x 方向上的寬度為x ，而在y 方向上的寬度為y ，如圖( 4 - 2 ) 。為了便于分析， 研究純g ，j ，) 的頻譜。根據(jù)卷積定理，抽樣值函數(shù)g 。g ，j ，) 的頻譜為 ，) = 撇。肋慨，鞏) + y 優(yōu)，) = 重重g 卜量礦多) ， 由式( 4 7 ) 可以看出，圖像函數(shù)在空間域的抽樣，將導(dǎo)致其頻譜的周期性 出現(xiàn)，構(gòu)成排列有序的頻譜島。其間距為l x 和1 y ，如圖( 4 - 3 ) 所示。 為了從抽樣值函數(shù)的頻譜中恢復(fù)得到原來(lái)函數(shù)的頻譜，除了原函數(shù)必須是 帶限函數(shù)外，還要求頻譜間的間距1 x 和1 y 必須足夠大，使得各頻譜不會(huì)相 互重疊。 皇王型墊查堂堡主墮壅生堡莖 一 假設(shè)反射式衍射光柵表面函數(shù)p ( x ，y ) 是一個(gè)帶限函數(shù)，即其頻譜僅在頻譜 面上的一個(gè)有限區(qū)域上不為0 ，用一個(gè)小矩形圍住這個(gè)區(qū)域，令小矩形在f ，和 方向的寬度為2 b ，和2 b ，并且假定該矩形的中心在原點(diǎn)。由于抽樣值函數(shù)的 g 。( f x ，f y ) 頻譜島 i 66 aja 一 圖4 3 抽樣值函數(shù)的頻譜 頻譜在l 和方向周期性重復(fù)出現(xiàn)的間隔為1 x 和1 y ，如果 2 b 一1 x ，2 b y 1 y ( 4 - 8 ) 那么就保證頻譜之間不會(huì)相互重疊。從而可以得到：為了完全復(fù)原出原來(lái) 的圖像函數(shù)的頻譜，抽樣點(diǎn)陣的最大間隔應(yīng)為 x = v 2 b ，y = 1 2 b , ( 4 9 ) 根據(jù)( 4 9 ) 式即可算出反射式衍射光柵表面函數(shù)的最大抽樣間距。 第三節(jié)編程計(jì)算 第三章和本章第一節(jié)分別給出了設(shè)計(jì)反射式衍射光柵的理論模型和計(jì)算方 法，這一節(jié)將根據(jù)給出的理論模型和計(jì)算方法確