（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與同步控制.pdf

江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 摘要 1 9 9 8 年w a t t s 和s 廿0 9a _ t z 在n a t u r e 上發(fā)表一篇關(guān)于小世界網(wǎng)絡(luò)模型的文章，越來越 多的國內(nèi)外的學(xué)者集中到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究上。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)成為圖論、統(tǒng)計物理學(xué)、計算機(jī) 網(wǎng)絡(luò)、生態(tài)學(xué)、社會學(xué)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)等各個不同領(lǐng)域的研究焦點。1 9 9 9 年b a r a b h s i 和a l b e r t 在s c i e n c e 上提出無標(biāo)度( s c a l e f r e e ) 網(wǎng)絡(luò)模型( 蜊) 。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)諸多特征中最重要的是小世 界( s m a l l - w o r l d ) 效應(yīng)和無標(biāo)度( s c a l e - f r e e ) 特性，這兩個方面構(gòu)建了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的基石。 本文主要包括以下幾個方面。第二章介紹了經(jīng)典的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型及其動力學(xué)性質(zhì)。 第三章對于前一章中的經(jīng)典的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的特性進(jìn)行分析，利用平均場理論得出在保 證網(wǎng)絡(luò)持續(xù)增長與優(yōu)先連接條件下無標(biāo)度模型的，值的大小成因。發(fā)現(xiàn)了此類無標(biāo)度網(wǎng) 絡(luò)具有的標(biāo)度共同點：新增節(jié)點具有固定度時，系統(tǒng)韻a k 。b t 決定了y 的大小，即 ，= b a + l ，從而簡化分析過程有利于構(gòu)造模型。通過一個簡單的無標(biāo)度模型來證實我 們的結(jié)論。第四章研究網(wǎng)絡(luò)中的同步能力與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的關(guān)系。從最簡單的串聯(lián)耦合網(wǎng)絡(luò) 加一條邊，利用的遍歷的方式，對每一種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)計算其矩陣的特征值，觀察系統(tǒng)同步能 力變化情況找出同步能力最強的結(jié)構(gòu)。進(jìn)而得到對于同步能力優(yōu)化的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。第五章 研究了產(chǎn)品人際間傳播特征，并對于傳播產(chǎn)生的后果進(jìn)行了預(yù)測。對于均勻隨機(jī)狀態(tài)下 證明新產(chǎn)品在一定范圍內(nèi)使用者與非使用者趨于平鑄狀態(tài)。利用最新的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究成 果構(gòu)造模型將傳播范圍最大限度的擴(kuò)大。有利于企業(yè)的產(chǎn)品廣告投入效果與成本進(jìn)行計 算，優(yōu)化投入產(chǎn)出理論分析表明，對于產(chǎn)品人際傳播進(jìn)行策略行為，可以帶來有效后果。 同時也表明網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對于產(chǎn)品傳播有著重要的影響。由此說明，對于傳統(tǒng)的產(chǎn)品 營銷方式改革的必要性。 關(guān)鍵詞：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；無標(biāo)度；小世界；混沌；同步；耦合系統(tǒng) 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 a b s t r a c t i n l 9 9 8 ，a na r t i c l ea b o u ts m a l l w o r l dn e t w o r km o d e l sw a sp u b l i s h e di nn a t u r e f r o mt h e no nm a n y r e s e a r c h e r sh a v eb e e nw o r k i n go nc o m p l e xn e t w o r k s c o m p l e xn e t w o r kb e c a m eaf o c u si nm a n yf i e l d s ， s u c ha sg r a p ht h e o r y 、s t a t i s t i cp h y s i c s 、c o m p u t e rn e t w o r k s 、b i o n o m i c s 、s o c i o l o g ya n de c o n o m i c se t c i n1 9 9 9 ，b a r a b l i s ia n da l b e r tp r o f o u n ds c a l e - f r e en e t w o r km o d e li ns c i e n c e a m o n ga l lt h ec h a r a c t e r i s t i c s s m a l l w o r l da n ds c a l e f r e ea r et h em o s t i m p o r t a n t t h e ya r et h ef o u n d a t i o n so f c o m p l e xn e t w o r k s t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ：ag e n e r a li n t r o d u c t i o na b o u tc l a s s i c a lc o p l e xn e t w o r km o d e l s a n dt h ed y n a m i c a lb e h a v i o ri sp r e s e n t e di nc h a p t e r2 i nc h a p t e r3 ，t h ef a c t o ro f d e t e r m i n i u gt h ev a l u eo f ，i sf o u n db ya n a l y z i n ga n dd e d u c t i o nt h o s ec l a s s i c a lc o m p l e xn e t w o r k s f o u n dac o m m o ns c a l e c h a r a c t e rf o rs o m ek i n d so f s c a l e f r e en e t w o r k sw h i c hn e e dl i n e a rg r o w t ha n dp r e f e r e n t i a la t t a c h m e n t i n t h ec a s eo fa d d i n gn e wv e r t i c e sw i t haf i x e dd e g r e e ，t h ev a l u e so fya r ed e t e r m i n e db yt h es y s t e m s 口t b t ，。b l a + i a n do t h e r m o d e l sc a nb ec o n s t r u c t e de a s i l y , s i m p l i f y t h ep r o c e s so f a n a l y s i s b y i n t r o d u c i n gas i m p l es c a l e - f r e em o d e l ，p r o v e do u rc o n c l u s i o n sr i g h t i nc h a p t e r4 ，r e l s t i o n sb e t w e e n s y n c h r o n i z a t i o na n dt h et o p o l o g yo fc o u p l e dn e t w o r k si si n v e s t i g a t e d a tf i r s tan e we d g ei sa d d e dt oa s i g n a ln e t w o r ki ns e r i e s ，a n dc h a n g e st h es y n c h r o n i z i n ga b i l i t yo fc o u p l e dn e t w o r k sa c c o r d i n g l y t h e s t r u c t u r ew i t ht h eb e s ts y n c h r o n i z i n ga b i l i t yi sf o u n d t h u st h eo p t i m a ls t r u c t u r eo fc o u p l e dn e t w o r ki s o b t a i n e d i nc h a p t e r5 , t h ec h a r a c t e r i s t i co f am o d e lo f p r o d u c t ss p r e a d i n ga m o n gp e o p l ei ss t u d i e da n dt h e r e s u l ti sp r e d i c t e d ，t h ed e r i v a t i o no fe p i d e m i cs p r e a d i n gi nh o m o g e n e o u sn e t w o r k sh a v eab a l a n c e b e t w e e nt h ep e o p l ew h oh a v ep u r c h a s e da n dt h ep e o p l ew h oh a v e n tp u r c h a s e di ti nt h ee n d ，b yu s i n g t h er e c e n t a d v a n c e so f c o m p l e x n e t w o r k s , a n e w m o d e l i s b u i l t t oe n l a r g e t h ed e g r e eo f s p r e a d i n g a s b r o a d a sp o s s i b l e i t su s e f u lt oc a l c u l a t et h ec o s to fa d v e r t i s e m e n ta n do p t i m i z et h ei n o u t t h e r ei sag o o d e f f e c tt oh a v eat a c t i cf o rp r o d u c t ss p r e a d i n ga m o n gp e o p l e a n da l s o ，t h et o p o l o g i cs t r u c t u r eo f n e t w o r k s h a sa ni m p o r t a n ti m p a c tt ot h es p r e a d i n go fp r o d u c t s i t sn e c e s s a r yt or e f o r mt h et r a d i t i o n a lm e a n so f s a l e s k e y w o r d s ：c o m p l e xn e t w o r k s ；s c a l e - f r e e ；s m a l l - w o r l d ；c h a o s ；s y n c h r o n i z a t i o n ；c o u p l e ds y s t e m i i 獨創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所里交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨立 進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的內(nèi)容以外，本論文不 包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果。對本文的研究 做出重要貢獻(xiàn)的個人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意 識到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 學(xué)位論文作者簽名： 日期：年 月日 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 第一章引言 1 1 本課題的研究背景和現(xiàn)狀 自然界中存在的大量復(fù)雜系統(tǒng)都可以通過各種各樣的網(wǎng)絡(luò)加以描述。一個典型的網(wǎng) 絡(luò)是由許多節(jié)點與連接節(jié)點的邊組成的。其中節(jié)點用來代表真實系統(tǒng)中不同的個體，而 邊則代表個體之間的關(guān)系，有邊相連的兩個節(jié)點被看作是相鄰的。例如，神經(jīng)系統(tǒng)可以 看作由大量神經(jīng)細(xì)胞通過神經(jīng)纖維相互連接形成的網(wǎng)絡(luò)；計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)可以看作是自主工 作的計算機(jī)通過通信介質(zhì)如光纜、雙絞線、同軸電纜等相互連接形成的網(wǎng)絡(luò)；類似的還 有電力網(wǎng)絡(luò)、社會關(guān)系網(wǎng)絡(luò)、交通網(wǎng)絡(luò)等等。 對網(wǎng)絡(luò)最早進(jìn)行研究的是數(shù)學(xué)家，基本理論是圖論。經(jīng)典的圖論是傾向于用某種規(guī) 則的拓樸結(jié)構(gòu)模擬真實網(wǎng)絡(luò)，到了上世紀(jì)五十年代末期，e r o d 6 s 和r d n y i l l 】建立了隨機(jī)網(wǎng) 絡(luò)模型，將概率方式引入圖論的研究，認(rèn)為現(xiàn)實的網(wǎng)絡(luò)連接是等概率的，即兩點之間的 連接是隨機(jī)連接。近半個世紀(jì)中隨機(jī)圖一直是科學(xué)家研究真實網(wǎng)絡(luò)最有力的武器。直到 最近，由于計算機(jī)數(shù)據(jù)處理和計算能力的飛速發(fā)展，科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)大量的真實網(wǎng)絡(luò)既不 是規(guī)則網(wǎng)絡(luò)也不是隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)麗是介于兩者之間的網(wǎng)絡(luò)。這樣一些網(wǎng)絡(luò)被稱為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)， 其中最重要的統(tǒng)計特性是小世界( s m a l l - w o r l d ) 效應(yīng)和無標(biāo)度( s c a l e f r e e ) 特性。 1 9 9 8 年w a t t s 和s t r o g a t z f 2 j 提出基于人類社會網(wǎng)絡(luò)的小世界( s m a l i w o r l d ) 模型( w s ) ， 它通過調(diào)節(jié)一個參數(shù)可以從規(guī)則網(wǎng)絡(luò)向隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)過渡( 圖1 1 ) ，主要利用斷鏈重連改變原 有網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，加入隨機(jī)性的連接得到一個隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)。發(fā)現(xiàn)一種被忽視視的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。 1 9 9 9 年b a r a b f i s i 和a l b e r t b4 j 提出了無標(biāo)度( s c a l e f r e e ) g 目絡(luò)模型( 占a ) 。它的形成必須具備 兩個條件：增長和擇優(yōu)連接，所生成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)度概率分布是冪律形式e ( k ) = k - r ( 圖1 2 ) 并具體利用平均場方法推導(dǎo)出，= 3 。這兩項工作揭開了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)新的研究序幕。 小世界模型的研究中，n e w m a n 與w a t t s 通過對于規(guī)則網(wǎng)絡(luò)直接添加新的捷徑也能得 到小世界網(wǎng)絡(luò)k l e i n b e r g 嘲提出基于兩維方格的w s 模型的一般化形式；o z i k ，h u n ta n d o t t v j 引入一個簡單的小世界成長演化模型，它上面所有的連接由點附近的位置所決定； a n d r a d e 與h e r r m a n n 【剮，中科大復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究小組【9 j 研究了阿波羅網(wǎng)，證實它具有許多 小世界性質(zhì)。 1 9 9 9 年，b a r a b f i s i 和a l b c n l 3 t 4 ( b a ) 發(fā)現(xiàn)許多真實網(wǎng)絡(luò)具有冪律型度分布，即 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 尸( 七) k - ，其中1 0 與兩個常數(shù) d 0 a 對于所有d d ，使得【礦( s ( f ) ) + d r 】d + d 【獷( s ( f ) ) + d r 】一r l n ，這里 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 le r 一是單位矩陣。如果c 五：s j ，即c 導(dǎo)i 那么定義( 2 1 ) 下的同步是指數(shù)穩(wěn)定的，其 i ，l 中孑是由孤立結(jié)點的動力學(xué)和內(nèi)部結(jié)構(gòu)矩陣所決定的常數(shù)( 由網(wǎng)絡(luò)的l y a p u n o v 指數(shù)所刻 劃) 。如的值越小，i 如i 的值越大，這表明網(wǎng)絡(luò)( 2 1 ) 可以在一個很小的耦合系數(shù)下實現(xiàn)同步。 因此，在特定的耦合方式下，耦合矩陣一的第二大特征值表征了網(wǎng)絡(luò)( 2 1 ) 的同步能力。w u 和c h u a 口1 1 的工作表明：通常情況下，只要耦合強度c 足夠大，都會使耦合振子系統(tǒng)進(jìn)入同 步狀態(tài)。 引理2 2 中的判據(jù)如果不滿足( 2 1 ) 的形式可能就不成立了，同時引理2 2 也說明了對于網(wǎng) 絡(luò)的結(jié)構(gòu)它的耦合矩陣的第二特征值對于同步能力的影響是很大的。汪小帆和陳關(guān)榮在 【2 2 】中進(jìn)一步研究了動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)的同步條件。不失一般性，令r = d i a g ( 1 , o ，o ，0 ) 那么( 2 1 ) 式寫成： _ 南= ( 而) + c 嘞工門 - l j ，2 = 以( x 。)i = l 2 ，n( 2 ，2 ) 圣。= ( x 。) 引理2 3 如果如- t c 那么( 2 2 ) 式定義的同步態(tài)是漸近穩(wěn)定的，其中t 0 是使單 個節(jié)點的自反饋系統(tǒng) f 矗= 一( x ) 一t x ， 量2 = 厶( x )( 2 3 ) l 童。= ( x ) 的原點指數(shù)穩(wěn)定所需的反饋強度的最小值，即c i 暑i 中的l 孑i 或( 4 8 ) 式中的一。 b a r a h o n a 與p e c o r a l 2 3 1 得到結(jié)果，扎如是獨立于其它因素之外測量網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)同步能力的 條件，其中是耦合造成矩陣的最小特征值，即是絕對值最大的特征值。 2 2 經(jīng)典復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型 現(xiàn)實世界中許多系統(tǒng)都可以用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來描述f 2 4 ，2 5 0 6 ，2 7 1 ，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點為系統(tǒng)元素，邊為元 素間的互相作用和相互聯(lián)系( 即關(guān)系) ，如社會網(wǎng)絡(luò)中的合作網(wǎng)、信息網(wǎng)絡(luò)中的萬維網(wǎng)、 技術(shù)網(wǎng)絡(luò)的i n t e r a c t 網(wǎng)和運輸網(wǎng)、生物網(wǎng)絡(luò)的代謝網(wǎng)絡(luò)等等。由于現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)規(guī)模一般很大， 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 節(jié)點間的相互作用多而復(fù)雜，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)基本上未知或未曾探索。兩百多年來，人們對描 述真實系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的研究經(jīng)歷了三個階段。在最初的一百多年里，科學(xué)家們認(rèn)為真實系 統(tǒng)因素之間的關(guān)系可以用一些規(guī)則的結(jié)構(gòu)表示，例如二維平面上的歐幾里德格網(wǎng)；從2 0 世紀(jì)5 0 年代末到9 0 年代末，無明確設(shè)計原則的大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)主要用簡單麗易于被多數(shù)人接 受的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)來描述1 1 1 ，隨機(jī)圖的思想主宰復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究達(dá)四十年之久；直到最近幾年， 科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)大量的真實網(wǎng)絡(luò)既不是規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，也不是隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，而是具有與前兩者皆不 同的統(tǒng)計特征的網(wǎng)絡(luò)，其中最有影響的是小世界網(wǎng)絡(luò)肛j 年口無尺度網(wǎng)絡(luò)1 3 】。 無尺度網(wǎng)絡(luò)指節(jié)點度服從冪律分布的網(wǎng)絡(luò)。b a 模型是第一個無尺度網(wǎng)絡(luò)演化模型， 它捕捉到了無尺度網(wǎng)絡(luò)形成的兩個必不可少的機(jī)制增長和擇優(yōu)連接是( 3 4 1 ，說明了大 規(guī)模復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)自組織成為無尺度狀態(tài)的原因。b a 開創(chuàng)性論文的發(fā)表，掀起了無尺度網(wǎng)絡(luò) 和b a 模型研究的高潮，在新世紀(jì)初的最近幾年里，科學(xué)家們就提出了許多產(chǎn)生無尺度 網(wǎng)絡(luò)的模型1 2 8 , 2 9 , 3 0 ，并對b a 模型的主要性質(zhì)進(jìn)行了深入研究【3 1 翔1 。 b a 模型同e r 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和w s 模型一道，對網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的發(fā)展起著重要的作用。眾所 周知，e r 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)有一個等價模型，它們有著完全相同的性質(zhì)，對其中一個模型的研究 結(jié)論都可以推廣到另一模型，因此，人們往往根據(jù)方便，選擇使用e r 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)或其等 價模型。章忠志【3 3 1 提出了b a 網(wǎng)絡(luò)的一個完全等價的演化模型，模型的演化機(jī)制比b a 的簡單，在系統(tǒng)增長的演化過程中，新節(jié)點總是與網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選擇的邊所關(guān)聯(lián)的節(jié)點進(jìn) 行連接。利用平均場方法，解析計算了節(jié)點的增長動態(tài)性、節(jié)點度分布和平均集聚系數(shù)， 計算結(jié)果與b a 網(wǎng)絡(luò)完全相同。 2 2 ie r 模型及其等價模型 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)理論由匈牙利數(shù)學(xué)家e r d 6 s 和r 6 n y i 提出【5 ，他們提出的模型稱為經(jīng)典的 e r 模型。e r 模型的定義為：由個頂點構(gòu)成的圖中，隨機(jī)連接g 條邊形成一隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)， 記為g 。，由這樣的n 個節(jié)點g 條邊組成的網(wǎng)絡(luò)共有c 膏( 1 ) 2 種，構(gòu)成一個概率空間， 每一個網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)的概率是相等的。 另一種與e r 模型等價的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型是二項式模型，其定義如下：給定的節(jié)點數(shù)目 固定不變，假定任意節(jié)點對之間有條邊連接的概率為p ，形成的網(wǎng)絡(luò)記為g 。這樣， 整個網(wǎng)絡(luò)中邊的數(shù)目是一個隨機(jī)變量，其期望值為i ( | 一i ) 2 。設(shè)g 0 是由節(jié)點為v l ， v 2 ，v n 且有g(shù) 條邊連接組成的一個隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，則按上述構(gòu)造過程，得到g 0 的概率 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 為p ( g o ) ：p 。( i 一，) w 一m 。如果令g 。夕，則兩個模型g 。g u ，互相等價，由任一 模型得出的結(jié)果可以非常容易的推廣到另一模型。 2 2 2b a 模型 b a 模型是第一個增長的網(wǎng)絡(luò)模型【4 1 ，其描述如下： ( 1 ) 增長：在初始時刻，假定系統(tǒng)有m o 個孤立節(jié)點，在以后的每個時間間隔中，新增 一個度為m 的點( m m o ) ，并將這m 條邊連接到網(wǎng)絡(luò)中已經(jīng)存在的m 個不同的節(jié)點上。 ( 2 ) 擇優(yōu)連接；當(dāng)在網(wǎng)絡(luò)中選擇節(jié)點與新增節(jié)點連接時，假定被選擇的節(jié)點v 與新節(jié)點 連接的概率兀( 乜) 和節(jié)點v 的度成正比一日i - i ( ”2 轟。 設(shè)節(jié)點i 的度k i 滿足動態(tài)方程： o 良k _ a - = 彳兀c 置，= 一蠢 c ：4 ， 分母求和是對系統(tǒng)中除新進(jìn)入系統(tǒng)的節(jié)點外的所有節(jié)點進(jìn)行的，則 ，k ，= 2 r o t - m 。每個時間步度的變化為a k = ，l ，因此4 = 聊，得到a 七。o t = k 。2 t ，此 方程滿足初始條件k 。( r 。) = m 解得 毒( f ) = m ( t t , ) ”( 2 5 ) 由( 2 5 ) 一個點的度t ( f ) 小于k 的概率可以寫成： p ( k ) _ p ( f 等) ( 2 6 ) 假定以等時間間隔向系統(tǒng)添加點，那么r 。的概率密度是： ：( ，) = 1 ( m o + t )( 2 7 ) 代入( 2 4 ) 得： p ( ，。 掰2 k 2 ) = 1 - p ( t ，s m 2 k 2 ) = 1 - m 2 t k 2 0 + m 。) 由此可以得到關(guān)于k 的概率分布： p ( k ) = a p ( k , i t ) r 。( 2 1 0 ) ( 2 1 0 ) 式表示所有節(jié)點的度按同一方式演化，即都服從冪律，與b a 網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點度 的演化完全致。由( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) 兩式可得，隨機(jī)選擇的兩節(jié)點i , u 歹是直接鄰居的概率 p r o b ( i j ) = m ( t 。，) 4 5 。 假設(shè)時問f 服從均勻分布，根據(jù)( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) 兩式可計算節(jié)點的度分布函數(shù)p ( ) 為 眥) = 掣= 磊2 m 2 t 可1 當(dāng)f 斗時，有：p ( 七) 2 m 2 k f 2 1 1 ) 可見，與b a 網(wǎng)絡(luò)一樣，該模型最終演化成標(biāo)度不變狀態(tài)，其節(jié)點的度分布也與b a 網(wǎng)絡(luò)完全相同，都服從度指數(shù)y 23 的冪律分布( 圖2 1 ) 。 圖2 i ：網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點度分布。 網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)為1 0 0 0 0 ，m = 3 。實線表示( 4 ) 式計算的理論結(jié)果，其斜率為3 。 十字符表示b a 模型的模擬結(jié)果，實心點為等價模型的模擬結(jié)果。 ( 2 ) 集聚系數(shù) 由于本模型中，只在新節(jié)點與老節(jié)點之間才建立連接，因此，僅當(dāng)新節(jié)點連接到節(jié) 點i 且與f 的櫛( 聆2 0 ，肌一1 ) 個鄰居進(jìn)行連接時，k i 和蜀的值才改變，從而改變c f 的 值。c f 滿足下面的動態(tài)方程： 魯= 一n - 一o p i n “i n ( 2 a 2 ) 其中，巴表示新節(jié)點連接到節(jié)點，和它的胛個鄰居時集聚系數(shù)的變化值，則表 示這一變化的概率。巳滿足下式 江蘇大學(xué)硬士學(xué)位論文 玲粼一志一磊+ 志 ， 蜘由兩部分的乘積構(gòu)成，第一鄙分是甭一條款邊恁搔劊幣點1 冊撒率，逐一儆翠由 ( 2 9 ) 式給出；第二部分部分指的是其余( 所一1 ) 條新邊連接到節(jié)點i 的訂個鄰居的概率， 它等價于每次成功概率為n e i g h b o r ( i ) ( 2 m t ) 的( m 1 ) 重貝努利里試驗中，成功玎次的概 率。n e i g h b o r ( i ) 表示節(jié)點i 的鄰居數(shù)目，其值可通過下面的積分獲得。 ”e 動) = f k ，p r o b ( i x ) d t r2 爭l n f 叫) 綜上可得的關(guān)系式為：驢弘k ic ( k 4 l r n t 九l 一半廣( 2 1 5 ) 由( 2 1 5 ) 式知療 1 時，p m 很小，可以忽略低階項，得： 百d c , = 施巳w c j o w c n ：一而m c j + 面m ( m 麗- 1 ) 得吣赫赫卜卜4r 再一瓢淵s f 億 ( 2 1 7 ) 式中c o n s t 為積分常數(shù)，可通過初始條件c j ( ) 的值決定。c j ( f ，) 指節(jié)點f 剛進(jìn)入 系統(tǒng)時的集聚系數(shù)，其表達(dá)式為 馴= f 孝f 撕6 ( i j ) p r o 啪刪( 觥2 拈面半 將2 代入( 2 1 7 ) 式，并與( 2 1 8 ) 式比較， ! 釉j c o n s t 的值，忽略修正項，再代入( 2 1 7 ) 式，得到c 隨時間的演化公式 晰雨南矗( 妒+ ：魯咿 利用第一積分中值定理，對( 2 1 9 ) 式進(jìn)行積分，就可得到整個網(wǎng)絡(luò)的平均集聚系數(shù)c 。 c ：叢 = 籌離州炯一蒜叫店枷，畢k ， ( 2 2 0 ) 式中的掌【1 ，f ，當(dāng)f 很大時，( 2 2 0 ) 式中的手與肌以比較起來可以忽略不計。 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 因此，網(wǎng)絡(luò)的平均集聚系數(shù)c 可以寫成 一c = 籌 n 掣卜捌半 眨：。， 可見，該演化模型的平均集聚系數(shù)與b a 網(wǎng)絡(luò)完全一樣，它隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增大而 迅速下降( 圖2 2 ) 。 圖2 2 ：網(wǎng)絡(luò)的平均集聚系數(shù)隨著網(wǎng)絡(luò)大小的變化。 圖中所有網(wǎng)絡(luò)中的m = 3 。實線表示是由( 2 2 1 ) 式給出的理論結(jié)果，十字符表示b a 模 型的模擬結(jié)果，實心點為等價模型的模擬結(jié)果。 綜上所述，該模型與b a 網(wǎng)絡(luò)的度分布和集聚系數(shù)兩個參數(shù)完全相同。遺憾的是， 我們沒能給出演化模型的平均路徑長度( a p l ) 的解析表達(dá)式，但是數(shù)值模擬表明( 因 篇幅限制，模擬結(jié)果這里未給出) ，該模型與b a 網(wǎng)絡(luò)的a p l 也相同。因此，新模型與 b a 網(wǎng)絡(luò)有著相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和性質(zhì)，它與b a 網(wǎng)絡(luò)完全等價，這一等價性通過直覺和模 型的演化機(jī)制都很容易看出：由( 2 1 0 ) 式知，新模型與b a 網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點增長動態(tài)性完全相 同，這就充分說明了兩個網(wǎng)絡(luò)的等價性。 2 2 4 章忠志、榮莉莉，周濤合作演化模型 合作網(wǎng)絡(luò)是現(xiàn)實世界中廣泛存在的一類網(wǎng)絡(luò)。章忠志、榮莉莉，周濤p 1 提出了針對 一類特殊的無標(biāo)度合作網(wǎng)絡(luò)的演化模型，并利用平均場方法解析計算了節(jié)點的增長動態(tài) 性，證明了該網(wǎng)絡(luò)是節(jié)點度分布符合冪律分布的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，其冪指數(shù)為 ，。( 2 m 一1 ) ( m 1 ) ，其中聊是不小于2 的正整數(shù)，通過調(diào)節(jié)參數(shù)聊可以得到屬于區(qū)間( 2 ，3 ) 的不同的，值。 合作網(wǎng)絡(luò)是現(xiàn)實世界普遍存在且目前研究較多的一種網(wǎng)絡(luò)，包括電影演員合作網(wǎng)、 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 科研合作網(wǎng)等等。這類網(wǎng)絡(luò)具有與其他類型網(wǎng)絡(luò)截然不同的獨特之處，即它是由許多完 全圖組合而成的。例如在電影演員合作網(wǎng)中，參加演出同一部電影的演員構(gòu)成一個完全 圖；在橋牌選手合作網(wǎng)絡(luò)中，同場比賽的四名隊員構(gòu)成一個完全圖；科學(xué)家合作網(wǎng)中， 同一篇文章署名的作者構(gòu)成個完全圖。根據(jù)合作網(wǎng)絡(luò)的特殊性，建立演化模型是很有 意義的工作。 章忠志、榮莉莉，周濤考慮了一類特殊的合作網(wǎng)絡(luò)，即合作人數(shù)固定的合作網(wǎng)絡(luò)， 建立了相應(yīng)的演化模型。并利用平均場方法解析計算了節(jié)點的增長動態(tài)性，證明了該網(wǎng) 絡(luò)是節(jié)點度分布符合冪律分布的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，其冪指數(shù)為y = ( 2 m 一1 ) ( m 一1 ) ，其中m 是 不小于2 的正整數(shù)，通過調(diào)節(jié)參數(shù)聊可以得到屬于區(qū)間( 2 ，3 ) 的不同的y 值。數(shù)值模擬結(jié) 果與解析計算結(jié)果相吻合。 現(xiàn)實世界中有一類最簡單的合作網(wǎng)絡(luò)，在這類網(wǎng)絡(luò)中，完成一次合作的人數(shù)是固定 的，如橋牌網(wǎng)中每次合作總是由4 個人完成。下面我們將給出一個針對該類特殊合作網(wǎng) 絡(luò)的個演化模型。 2 t = 1 4j4： 爪肅6 l ? l 、， i oj i 。| f 、 ， f 。r 、j ， ， 3 t 毒一卜3i 髟：一一 _ j 3 j f 、j f ，+ 、卜7、。 l l、i 0蕾 2 2 t = 2t = 3 圖2 3m = 3 時的網(wǎng)絡(luò)增長示意圖。 在初始時刻，網(wǎng)絡(luò)為相互連接的三個節(jié)點組成的三角形。然后在每個時間步，增加一個新節(jié) 點，新頂點與隨機(jī)選擇的一個三角形的三個頂點各連一條邊。 在本模型中，網(wǎng)絡(luò)初始狀態(tài)為由m ( 腳2 ) 個節(jié)點和m ( m 一1 ) 2 條邊組成的完全圖 ( m - 完全圖) ，爾后在每一個時間步內(nèi)，網(wǎng)絡(luò)新增一個節(jié)點，該節(jié)點從網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選擇 一個辨完全圖，并與此m 個節(jié)點分別連一條邊，表示一次+ 1 ) 個人的合作。易知每一 個時問步網(wǎng)絡(luò)增加1 個節(jié)點，m 條邊，m 個m 完全圖和1 個枷+ 1 ) 完全圖( 如圖2 3 所示) 。本模型雖然只是一個租糙的模型，卻抓住了合作網(wǎng)絡(luò)最主要的特征，即網(wǎng)絡(luò)由完 全圖構(gòu)成。例如橋牌網(wǎng)絡(luò)即可看作本模型在m = 3 時的情形。 現(xiàn)在來求節(jié)點的增長動態(tài)性與度分布，模型中任一節(jié)點v 的度乜隨時間的演化關(guān)系 娜 一 ， o 、 卜 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 可通過平均場近似的方法求得。由于新節(jié)點進(jìn)入系統(tǒng)時，總是與一個隨機(jī)選擇的m 一完 全圖的各頂點建立連接，而且，度越大的節(jié)點會在越多的m 一完全圖中出現(xiàn)。節(jié)點度每 增加1 ，由其作為組成部分的m 完全圖的數(shù)目就增加肼，因此，在每一個時間步，新節(jié) 點與其連接的概率也越大。在每一時間步，新節(jié)點進(jìn)入系統(tǒng)并連接到節(jié)點v 時，氐將增 加1 。假設(shè)氐為連續(xù)實變量，它滿足下面的動態(tài)方程： 堡：( m - 1 ) k ，- m ( m - 2 ) f 2 2 2 ) o tm t4 - 1 ( 2 ，2 2 ) 式中的分母表示在新節(jié)點引入之前，系統(tǒng)所具有的m 一完全圖的數(shù)目，分子表 示組成成分包含節(jié)點v 的m 一完全圖的數(shù)目。 ( 2 2 2 ) 式的初始條件是：節(jié)點v 在時刻進(jìn)入系統(tǒng)，此時其度為磚純) = 嬲。于是滿足 這一初始條件的方程( 2 2 2 ) 的解為： 啪) = 等旱+ 盎( 籌) 4 ( 2 2 孔 其中口：蘭蘭 ( 2 2 3 ) 式表示所有節(jié)點的度按同一方式演化，即都服從冪律。利用( 2 2 3 ) 式，可寫出連 通度t ，( r ) 小于七的概率表達(dá)式； 刪北廿即忑事m 兩t + l 一 仁2 4 ) 由于每一個時間步都有且僅有一個節(jié)點加入到原網(wǎng)絡(luò)中，因此0 服從均勻分布，其概 率密度為： 聃v ) 。燾 ( 2 2 5 ) 將( 2 2 5 ) 式代入( 2 2 4 ) 式，得： 地 焉甄m t + l 爿1 _ l - 藕再話m t + 巧l 一1 m，竹一l 一翌、 m + t ( 2 2 6 ) ? | 砉 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 聊，= 掣= 基2 m - i 川脅一焉亍) 4 ( 2 2 7 ) 盎m ) 等( j j 一警m1 ) 寸“= ( 砉蘆 巫m 竽1 廠 ( 2 2 8 ) 一i 一fl f 2 2 8 y ：土+ 】：2 m - 1 。盧 m 一1 r 2 2 9 ) 盧3 1 2 ；當(dāng)m - - - - o o ，斗l ，因此，盧( i 2 ，1 ) 。由( 2 2 9 ) 式失1 1 ，盧和y 滿足下面的關(guān) 圖2 4 模型的度分布。 圖( a ) 和( b ) 分別為m = 2 ，3 兩種情況，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)均為1 0 0 0 0 。實線表示理論計算 - 1 6 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 的結(jié)果，其斜率分別為- 3 ( a ) 和2 5 ( b ) 。 圖2 4 中的數(shù)值結(jié)果出現(xiàn)胖尾現(xiàn)象，即許多度數(shù)很大的節(jié)點出現(xiàn)的概率相同。發(fā)生這 一情況的主要原因是，數(shù)值模擬中網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的數(shù)目有限，而預(yù)測值則是t 斗時的統(tǒng)計 結(jié)果。網(wǎng)絡(luò)規(guī)模越大，模擬結(jié)果與理論計算值也將越吻合。 在本模型中，網(wǎng)絡(luò)初始狀態(tài)為由m ( m 2 ) 個節(jié)點和m ( m 一1 ) 2 條邊組成的完全圖( m 一 完全圖) ，爾后在每一個時間步內(nèi)，網(wǎng)絡(luò)新增一個節(jié)點，該節(jié)點從網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選擇一個m 一 完全圖，并與此m 個節(jié)點分別連一條邊，表示一次m + 1 個人的合作。易知每一個時間步網(wǎng) 絡(luò)增加1 個節(jié)點，m 條邊，m 個m 一完全圖和1 個( 肌+ 1 ) 一完全圖。它滿足下面的動態(tài)方 程： a k ：! 竺二1 2 生二竺! 竺：型 o tm t + 1 ( 2 3 1 ) 同樣滿足初值條件七，( f 。) = m ，得到 y 2 m - t 旦+ 1 ( 2 3 2 ) m 一1m l 、 2 2 5 陳慶華、史定華模型 1 ) 模型a 開始時有系統(tǒng)有個孤立節(jié)點【3 6 】，每個時間間隔中進(jìn)行下面操作： ( 1 ) 在已經(jīng)存在的節(jié)點中添加，條新連接：隨機(jī)選擇一個節(jié)點作為新連接的起始點， 點f 被選擇作為新連接的另一個節(jié)點滿足偏好概率兀( t ，口) = ( 磚+ 口) ，( k j + 口) ，重復(fù) 操作，次，所有的節(jié)點具有一個初始的吸引度口0 參數(shù)a 的引入保證了新的節(jié)點能夠得 到新連接 ( 2 ) 新增一個度為m 的點：新增的節(jié)點連接到現(xiàn)有系統(tǒng)的節(jié)點i 滿足 兀( t ，口) = ( t + 口) ，( k j + 口) ( 3 ) 重新連接系統(tǒng)已經(jīng)存在的n 條連接：隨機(jī)選擇一個點i 與連接i 的邊，然后斷開 點i 宅f i 。與，重連這條邊得到0 其中i 以概率兀( 七f ，口) = ( t + 口) ，( k j + 口) 選擇得到動 力學(xué)方程： 魯鄧訓(xùn)知”，東南州州專東南 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 化簡得， o 西k _ _ l = 與+ 面l 了+ m 磊+ nt k f + o t ( 2 3 3 ) 同時滿足初值條件k 。( f ) = m ，這里經(jīng)過計算得出： y ：3 l + 3 m + n + o t ；2 1 + 2 m + o t + 1 。f + _ m + n，+ m + n 得出，值大于2 的結(jié)果 2 ) 模型b 開始時有系統(tǒng)有m o 個孤立節(jié)點，每個時間i 司隔中進(jìn)行f 面操作： ( 1 ) 、( 2 ) 步驟同b a 模型的兩個步驟 ( 3 ) c 條舊連接被刪除：點f 以反偏好概率兀( 七) 2 丙高j ( 1 一丌( t ) ) 被選擇- 得到演 化方程： 魯= 珊兀( 龜m 【n ) x 1 + 丟兀( 1 ) 兀( t 肛c 兀( t ) l + 善丌( 1 ) 丌( 恕) 】 化簡得：o a k _ l = 一芋+ 面i m 而+ 2 n 七， ( 2 3 4 ) 同時滿足初值條件七( f ，) = m ，這里 v= ，”+ 2 n 得出，值在2 與3 之間。 2 3 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)性質(zhì) 2 3 1 網(wǎng)絡(luò)同步 m + 行一c 、 ，”+ 2 n + l 如果在網(wǎng)絡(luò)的每個節(jié)點上加上一個動力學(xué)系統(tǒng)，這個動力學(xué)系統(tǒng)既可以是極限環(huán)也 可以是混沌的吸引子；而讓有邊相連的兩個節(jié)點的動力學(xué)系統(tǒng)之間存在相互的耦合作用， 就形成了一個動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)。嚴(yán)格地說，設(shè)網(wǎng)絡(luò)有個節(jié)點，第i 個節(jié)點在n 時刻的m 維狀 態(tài)變量是工( 玎) ，單個節(jié)點在不考慮耦合作用的時候滿足的狀態(tài)方程是 x 0 + 1 ) = f ( x 。( 聹) ) 。h ：r 4 寸r ”是每個節(jié)點狀態(tài)變量的函數(shù)，用于對其它節(jié)點進(jìn)行耦 合。這樣在存在耦合作用的情況下，第i 個節(jié)點所滿足的狀態(tài)方程是 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 x 。( n + 1 ) = f ( x 1 ( ) ) + 莎，g f h ( x 坳” ( 2 3 5 ) 對于連續(xù)系統(tǒng) 膏= y ( x ) + 口，g , j n ( x 7 ) ( 2 3 6 ) 其中盯是耦合強度，g 。表示耦合矩陣g 的矩陣元，定義如下： i kf _ f ， 嘭= 1 _ ，a( 2 3 7 ) 【0 其它 其中七是節(jié)點i 的度a ，是節(jié)點f 相鄰的節(jié)點的集合。耦合矩陣g 包含了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的全 部信息。在耦合的作用，經(jīng)過段時間的演化，使得_ ( f ) = x ：o ) = = x n ( f ) = s o ) 0 o o ) 網(wǎng)絡(luò)就進(jìn)入了同步狀態(tài)。但是，并不是所有的網(wǎng)絡(luò)在任意耦合強度或藕合方式下都能實 現(xiàn)同步。 2 3 2 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的穩(wěn)定性分析 p e c o r a 和c a r r o l l 研究了線性耦合網(wǎng)絡(luò)同步的穩(wěn)定性問題，給出了主穩(wěn)定函數(shù)判據(jù)【3 7 】。 首先假設(shè)：( 1 ) 所有的耦合振子都是完全相同的。( 2 ) 從每個振子提取的用于耦合其它 振子的函數(shù)也是完全相同的，( 3 ) 同步流形是不變流形，( 4 ) 節(jié)點的耦合方式使在同步流形 附近系統(tǒng)可以線性化。( 1 ) 和( 3 ) 是為了保證相空間同步超平面的存在，假設(shè)( 2 ) 是為了使 動力學(xué)系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性圖象更加清晰具體，假設(shè)( 4 ) 是為了更好地應(yīng)用線性近似 這一研究耦合系統(tǒng)最常用的方法。在此基礎(chǔ)上，p e c o r a 和c a r r o l l 逐步完成了當(dāng)網(wǎng)絡(luò)上的耦 合振子系統(tǒng)的同步混沌態(tài)存在短波分岔對的同步穩(wěn)定性分析，提出用主穩(wěn)定性函數(shù)方法 確定動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)同步的穩(wěn)定性。 首先對動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)的同步流形進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析，當(dāng)存在藕合作用時第f 個節(jié)點所 滿足的狀態(tài)方程是( 2 3 6 ) 在同步狀態(tài)s 附近對其線性化，得到： j = d f ( s ) z + 口，g # d h ( s ) z ( 2 - 3 8 ) 其中z 是節(jié)點i 在同步流形j 上的變分d 聯(lián)) 和d 五* ) 分別是函數(shù)，和h 的t 7 1 i n 階 j a c o b i a n 矩陣。利用m n 階矩陣z = ( z 1 ，z 2 ，z “) 重寫( 2 3 8 ) ： 2 = d f ( s ) z + a d h ( s ) z g 。f 2 3 9 ) 根據(jù)約當(dāng)規(guī)范型理論，上式的穩(wěn)定性是由g 的特征值，決定的，設(shè)其對應(yīng)特征值為口， 并且令u = = - p r ，將8 右乘( 2 3 9 ) 式得到： 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 = o f ( s ) + o g d h ( s ) - “( 2 4 0 ) 這樣原來討論的m x n 維空問的穩(wěn)定性問題簡單化到塒m 維空間，并且通常情況下 m n 。離散系統(tǒng)可給出( 2 4 0 ) 式類似的結(jié)論。利用( 2 4 0 ) 式計算單個系統(tǒng)的l y a p u n o v 指 數(shù)，設(shè)這些指數(shù)分別為 = k 五：以。由于：，g f - - 0 ，= o 總是g 的一個特 征值，相應(yīng)的特征向量是( 11 1 ) 7 它對應(yīng)同步流形模式。其它一1 個特征向量所張 成的子空間橫截于同步流形，如果所有這些橫截l y a p u n o v 指數(shù)都小于o ，系統(tǒng)穩(wěn)定。設(shè) 0 7 = 口+ 妒，作為耦合矩陣g 如果是非對稱耦合則它的特征值可能有復(fù)數(shù)。代x ( 2 4 0 ) 中： 吱= d f ( s ) + + i p ) o h ( s ) 越( 2 4 t ) 計算最大五 印甜雄d v 指數(shù)五h 隨著口與的變化關(guān)系，這就是p e c o r a , 和c a r r o l l 定義的 主穩(wěn)定性函數(shù)( m a s t e rs t a b i l i t y f u n c t i o n ) ，圖2 5 給出了耦合振子系統(tǒng)的同步混沌態(tài)存在短波 分岔時它們的關(guān)系圖，五。 奠 ( 2 4 2 ) 【d y h 眥 口2 血 魚s ( 2 4 3 ) 圖2 5r 6 s s l e r 振子通過變量x 進(jìn)行耦合的主穩(wěn)定函數(shù) 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 圖2 6 對稱耦合時r 6 s s l e r 振子的主穩(wěn)定性函數(shù) 汪小帆和陳關(guān)榮f 挖1 研究了耦合振子是連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步穩(wěn)定性問題，并對 b a 網(wǎng)絡(luò)的同步現(xiàn)象作了研究，發(fā)現(xiàn)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的同步狀態(tài)在隨機(jī)去掉節(jié)點時表現(xiàn)出很強 的魯棒性。 前面提出的分析網(wǎng)絡(luò)同步穩(wěn)定性的方法都需要計算耦臺矩陣的特征值，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié) 點數(shù)目巨大，計算其耦合矩陣的特征值只能采用近似方法，c h e r t t 4 0 1 等人將主穩(wěn)定性函數(shù) 方法與g e r s h 9 6 r i n 圓盤理論結(jié)合，為網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對混沌耦合振子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響給出了 更精確的分析方法。 引理2 4g e r s h 9 6 r i n 圓盤定理：一個胛h 階矩陣a = 吼】的所有特征值處于n 個圓盤 的并集中( 稱為g e r s h g o r i n 圓盤) ，這些圓盤定義是： z c ：i z - a 。l 萎口。 ，z = ，z ，行 ( 2 4 4 ) 若存在可逆陣p 使得p g ，p 與g 有相同的特征譜，那么：d 1 = g 一e n - l ，7 。通 過變換令e 的不同元素為i ，可以得到個不同的約化矩陣，用d 。( 女= 1 , 2 ，) 表示。 將上述方法用于耦合矩陣g 中，令三= o ，e = ( 11 1 ) 7 ，得到d = 鐘】，其中 = q 一。根據(jù)g e r s h g i j r i n 圓盤定理動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)同步穩(wěn)定性條件表達(dá)如下： g e r s h g i j r i n 圓盤d 的中心位于穩(wěn)定區(qū)域q ，即( 甌一g “，0 )