（運(yùn)籌學(xué)與控制論專業(yè)論文）基于cvar的投資組合優(yōu)化問(wèn)題.pdfVIP

浙江大學(xué)碩士學(xué)位論文基于c v a r 的投盎組合優(yōu)化閩題 摘要 投資組合理論是金融學(xué)中的重要研究課題之一，其目的是尋求一個(gè)最優(yōu)投資 組合，在給定的收益水平下使投資風(fēng)險(xiǎn)最小化，或者在給定的風(fēng)險(xiǎn)下使投資者的 收益最大化。v a r 、c v a r 和c d a r 是近年來(lái)提出的新的風(fēng)險(xiǎn)度量方法，特別是c v a r ， 由于它概念簡(jiǎn)單，又具有許多優(yōu)良性質(zhì)，已引起眾多研究者們的注意，成為金融 風(fēng)險(xiǎn)管理中研究的前沿課題。 通過(guò)介紹v a i l 、c v a r 、c d a r 的概念和性質(zhì)，闡述了各自的優(yōu)缺點(diǎn)分析了將 c v a r 和c d a r 應(yīng)用于決策問(wèn)題的處理技巧。 基于c v a r 的投資組合決策主要有兩個(gè)方面的應(yīng)用；均值一c v a r 模型和帶有 c v a r 限制條件的均值一方差模型。 均值- - c v a r 模型的有效前沿是通過(guò)求解均值一方差模型來(lái)研究的。在收益率 服從聯(lián)合正態(tài)分布的假設(shè)下，均值一c v a r 模型的有效前沿是均值一方差有效前沿 的子集。 帶有c v a r 限制條件的均值一方差模型有效前沿就是均值一方差有效前沿中 位于以一k 為截距，以f ( 歷為斜率的直線的上方部分。 當(dāng)借款利率和存款利率不同時(shí)，投資組合的有效前沿不再是一條直線。 最后，運(yùn)用c v a r 、c d a r ，在中國(guó)股市和其它領(lǐng)域進(jìn)行了實(shí)證分析。驗(yàn)證了模 型的有效性。 關(guān)鍵詞：投資組合；v a r ；c v a r ；c d a r ；有效前沿 浙江大學(xué)碩士學(xué)位論文 基于c v a r 的投瓷組合優(yōu)化閱題 a b s t r a c t p o r t f o l i o st h e o r yi so n eo ft h ei m p o r t a n tr e s e a r c hc o n t e n t si ne c o n o m i c s i ta i m s t oa t t a i nt h ep o r t f o l i o so ft h em a x i m u mo ft h ei n v e s t m e n t sr e t u r nw i t ht h eg i v e n v a l u eo ft h er i s ko fp o r t f o l i o so ro ft h em i n i m u mo fi n v e s t m e n t sr i s kw i t ht h eg i v e n l e v e lo ft h ei n v e s t m e n t sr e t u r n v a r 、c 1 ，a ra n dc d a r w h i c ha r en e wr i s km e a s u r e m e n t m e t h o d s ，a r ep o tf o r t hr e c e n t l y b e c a u s eo f i t se a s yd e f i n i t i o na n de m i n e n t p r o p e r t i e s c v a ri sg i v e na t t e n t i o n sb ym o r ea n dm o r er e s e a r c h e r si np a r t i c u l a r a n d b e c o m e sal a t e s tr e s e a r c hc o n t e n ti nf i n a n c i a lr i s km a n a g e m e n t o nt h ef o u n d a t i o no ft h ed e f i n i t i o n so fv a r 、c v a ra n dc d a l l t h e i ra d v a n t a g e sa r e d e s c r i b e da n dt h em e t h o d so fa p p l y i n gc y a ra n dc d a rt od e c i s i o na r ea n a l y s e d t h e r ea r et w ok i n d so fa p p l i c a t i o n sa b o u tp o r t f o l i os e l e c t i o nd e c i s i o nb a s e do n c v a r ：m e a n c v a rm o d e la n dc v a r c o n s t r a i n e dm e a n - v a r i a n c em o d e l t h ee f f i c i e n tf r o n t i e r so fm e a n c v a i lm o d e la r eo b t a i n e db ys o l v i n gm e u n v a r i a n c e m o d e l m e a n 叫c v a re f f i c i e n ts e ta r es u b s e to f t h em e 酊va = r i a n c ee f f i c i e n tf r o n t i e r u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tr e t u r n sa r en o r m a l l yd i s t r i b u t e d t h ee f f i c i e n tf r o n t i e r so fc v a r - c o n s t r a i n e dm e a n - v a r i a n c em o d e li st h es e c t i o n o fe f f i c i e n tf r o n t i e ro fm e a n v a r i a n c em o d e la b o v eal i n ew i t hi n t e r c e p t 。ka n ds l o p e t ( b ) m e nt h ei n t e r e s tr a t eo ft h eb o r r o w e dm o n e yi sn o te q u a lt ot h ei n t e r e s tr a t e o ft h ed e p o s i t ，t h ee f f i c i e n tf r o n t i e ro fp o r t f o l i oi sn ol o n g e ras t r a i g h tl i n e f i n a l l y 。r i s km e a s u r ei n d e xc v a ra n dc d a ra r ea p p l i e di nc h i n e s es t o c km a r k e t a n do t h e rf i e l d s ，a n dt h e ya r ev e r i f i e de f f e c t i v e k e yw o r d s ：p o r t f o l i o ：v a r ，c v a r ，c d a r ；e f f i c i e n tf r o n t i e r 3 - 浙江大學(xué)碩士學(xué)位論文 基于c v a r 的投資組合優(yōu)化問(wèn)題 第一章緒論 一、本文的研究目的 2 0 世紀(jì)7 0 年代以來(lái)，隨著經(jīng)濟(jì)全球化和金融一體化的趨勢(shì)越來(lái)越明顯，競(jìng)爭(zhēng) 變得越來(lái)越激烈，管制轉(zhuǎn)向放松。自8 0 年代以來(lái)，由于金融創(chuàng)新、信息技術(shù)以及 國(guó)際金融自由化的發(fā)展，全球金融市場(chǎng)發(fā)生了基礎(chǔ)性和結(jié)構(gòu)性的變化，金融市場(chǎng) 在提高運(yùn)作效率的同時(shí)，金融市場(chǎng)的波動(dòng)也變得更加劇烈。為了分散金融風(fēng)險(xiǎn)的 需要，金融衍生工具便應(yīng)運(yùn)面生并迅速發(fā)展，到九十年代中期，它的名義市場(chǎng)價(jià) 值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于股票市場(chǎng)的市值。然而，為規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)而產(chǎn)生的金融衍生工具卻越來(lái)越 多地被用于投機(jī)而不是保值，所以，金融衍生工具本身也有極大的風(fēng)險(xiǎn)。如國(guó)際 上名聲赫赫、輝煌一時(shí)的幾大銀行，如英國(guó)巴林銀行、日本大和銀行，它們的破 產(chǎn)倒閉案都與金融衍生工具有關(guān)。這些金融機(jī)構(gòu)的沒(méi)落，敲響了全世界金融機(jī)構(gòu) 的警鐘。因此，如何有效地控制金融市場(chǎng)的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)越來(lái)越成為金融機(jī)構(gòu)和監(jiān)管 當(dāng)局關(guān)注的焦點(diǎn)。 我國(guó)的金融市場(chǎng)，更不成熟，其證券價(jià)格的波動(dòng)比國(guó)外的證券市場(chǎng)更為劇烈， 面臨的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)也更大。在我國(guó)加入w t 0 后，隨著金融市場(chǎng)的進(jìn)一步開放，投資 者面臨的風(fēng)險(xiǎn)更加復(fù)雜，他們的投資理念也更趨于理性化。另外，在原料市場(chǎng)， 由于新技術(shù)和新產(chǎn)品的不斷涌現(xiàn)，產(chǎn)品原料的市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)也日趨激烈t 對(duì)一個(gè) 企業(yè)來(lái)講，尤其對(duì)那些原料依賴程度高的企業(yè)而言，原料價(jià)格的波動(dòng)嚴(yán)重影響著 企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)能力。所以，對(duì)一個(gè)企業(yè)管理者來(lái)講，需要解決在不影響利潤(rùn)的 情況下，如何減少由于原料價(jià)格波動(dòng)引起的風(fēng)險(xiǎn)。 總之，無(wú)論是投資者還是管理者，都迫切需要科學(xué)的數(shù)量化投資方法來(lái)提高 自身對(duì)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的有效分析和管理的能力。 本文的研究目的在于借鑒c v a r 和c d a r 技術(shù)在風(fēng)險(xiǎn)管理方面的先進(jìn)性，把它 們作為風(fēng)險(xiǎn)度量的工具，試圖把c v b r 和c d a r 技術(shù)與證券投資組合選擇理論聯(lián)系 起來(lái)，應(yīng)用到投資組合管理中去。通過(guò)識(shí)別證券投資中的風(fēng)險(xiǎn)和采購(gòu)過(guò)程中的風(fēng) 浙江大學(xué)碩士學(xué)位論文基于c v a r 的投資組合優(yōu)化問(wèn)題 險(xiǎn)，探討其在中國(guó)證券市場(chǎng)投資管理中及原料市場(chǎng)實(shí)物采購(gòu)管理中的可能性和有 效性。這有助于管理部門進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理，為管理提供了一個(gè)客觀依據(jù)，有利于規(guī) 范證券市場(chǎng)和原料市場(chǎng)，優(yōu)化資源配置，從而促進(jìn)經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定發(fā)展。 二、風(fēng)險(xiǎn)度量方法的研究現(xiàn)狀 自從1 9 5 2 年美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家、金融學(xué)家、1 9 9 0 年諾貝爾獎(jiǎng)獲得者m a r k o w i t z 發(fā) 表證券組合投資【j 4 l 一文以來(lái)，風(fēng)險(xiǎn)管理和投資決策等問(wèn)題就得到世界各國(guó)經(jīng) 濟(jì)學(xué)家的日益重視和深入研究。m a r k o w i t z 在該文中第一次從風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率與 風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系出發(fā)，用方差來(lái)描述風(fēng)險(xiǎn)，討論了不確定性經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中最優(yōu)資產(chǎn) 組合的選擇問(wèn)題。 在m a r k o w i t z 的工作之后，另外兩位美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家、諾貝爾獎(jiǎng)獲得者 s h a r p e w i i l i a mf 和l i n t e r j o h n 分別在1 9 6 4 年發(fā)表的論文資本資產(chǎn)定價(jià)：風(fēng)險(xiǎn)條 件下的市場(chǎng)均衡理論 3 1 和1 9 6 5 年發(fā)表的論文風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)值：股票資產(chǎn)組合 的風(fēng)險(xiǎn)投資選擇，資本預(yù)算1 4 】中，在比較強(qiáng)的市場(chǎng)假設(shè)下，給出了m a r k o w i t z 均 值一方差模型的均衡版本，即資本資產(chǎn)定價(jià)模型c a p m 。 此后，投資組合理論得到了較快的發(fā)展。在這些研究中，一個(gè)較為突出的問(wèn) 題在于對(duì)投資風(fēng)險(xiǎn)的概念即度量方法的把握上。m a r k o w i t z 的i t i e a l l v a r i a n c e 的風(fēng) 險(xiǎn)評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)以后的研究工作有著十分深遠(yuǎn)的影響。后來(lái)的研究者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的度量 方法有所改進(jìn)，如e - s 風(fēng)險(xiǎn)【2 ，培。近年來(lái)，金融學(xué)家和研究者們又提出了新的 度量方法，如文【9 】提出的“收益率倒數(shù)損失”、文【1 0 】提出的“差異系數(shù)”等。但 是，風(fēng)險(xiǎn)的度量都沒(méi)有脫離“方差”這個(gè)框架。 1 9 9 3 年，國(guó)際清算銀行宣布有意引入一種針對(duì)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的資本金要求，提出 了v a r 的概念。簡(jiǎn)單地說(shuō)， c a r 就是在定的持有期內(nèi)，某一投資組合在一定的置 信水平下所面臨的最大的潛在損失 8 , 1 1 - 2 2 。從此，國(guó)內(nèi)外的經(jīng)濟(jì)學(xué)家和研究者們對(duì) 這種風(fēng)險(xiǎn)度量方法進(jìn)行了廣泛而深入的研究，使v a r 方法在度量風(fēng)險(xiǎn)、預(yù)測(cè)風(fēng)險(xiǎn)和 確定投資組合方面取得了較大的成功。 對(duì)v a r 的研究分為兩個(gè)方向：一是對(duì)v a r 理論的進(jìn)一步深化，主要表現(xiàn)在對(duì) v a r 的經(jīng)濟(jì)意義的進(jìn)一步解釋，即把國(guó)際清算銀行定義的v a r 的概念發(fā)展到投資 組合收益率損失的v a r 上來(lái)。對(duì)v a r 性質(zhì)的最新研究主要是討論v a r 風(fēng)險(xiǎn)是否符 浙江大學(xué)碩士學(xué)位論文基于c v a r 的投資組合優(yōu)化問(wèn)題 合一致性風(fēng)險(xiǎn)度量標(biāo)準(zhǔn) 2 a - 2 7 。 另一個(gè)方向是對(duì)v a r 的計(jì)算方法的研究1 9 j 1 捌，主要的計(jì)算方法有三種：歷 史模擬法、分析法、m o r t ec a r l o 方法。歷史模擬法即對(duì)歷史數(shù)據(jù)利用統(tǒng)計(jì)方法來(lái) 估計(jì)市場(chǎng)因素的參數(shù)。再模擬市場(chǎng)因素未來(lái)的變化；分析法是首先分析市場(chǎng)因素， 且將組合價(jià)值用市場(chǎng)因素表示，然后假設(shè)市場(chǎng)因素所服從的變化；m o r t ec a r l o 方 法則是直接根據(jù)歷史數(shù)據(jù)模擬市場(chǎng)因素未來(lái)的變化。對(duì)計(jì)算方法的研究主要是對(duì) 三種方法的改進(jìn)或修正【嘲，如使用非參數(shù)方法來(lái)代替參數(shù)法、把歷史模擬法和參 數(shù)法結(jié)合起來(lái)等，使計(jì)算出的結(jié)果更符合實(shí)際的經(jīng)濟(jì)情況。 然而，v a r 方法的流行并不意味著v a r 是一種合理有效的風(fēng)險(xiǎn)度量方法。實(shí) 際上研究結(jié)果和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)都表明，過(guò)于單純的v a r 方法存在嚴(yán)重的缺陷1 2 2 0 , 2 和3 0 。 為了克服v a r 的不足，r o c k a f e l l e r 和u r y a s e v 提出了c v a r 方法】，c v a r 方 法是指損失超過(guò)v a r 的條件均值，也稱為平均超額損失，它代表了超額損失的平 均水平，反映了損失超過(guò)v a r 閥值時(shí)可能遭受的平均潛在損失的大小，較之v a r 更能體現(xiàn)潛在的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值。c v a r 滿足一致性風(fēng)險(xiǎn)度量標(biāo)準(zhǔn)的四個(gè)公理。因此是一 致性風(fēng)險(xiǎn)度量。c v a r 的計(jì)算可以通過(guò)構(gòu)造一個(gè)功能函數(shù)而轉(zhuǎn)化為一個(gè)凸函數(shù)的優(yōu) 化問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上易于處理，并且在計(jì)算c v a r 的同時(shí)，相應(yīng)的v a r 值也可同時(shí) 得到。 文【3 l 】首次提出c v a r 的概念，討論了等價(jià)定義即性質(zhì)、計(jì)算與樣本逼近，并 部分地解決了正態(tài)假設(shè)下的資產(chǎn)組合優(yōu)化問(wèn)題。文【3 2 】從定義、性質(zhì)、計(jì)算等若干 方面對(duì)v a r 和c v a r 的優(yōu)劣進(jìn)行了比較研究。文【3 3 1 對(duì)以c v a r 作為目標(biāo)和約束條 件下的資產(chǎn)組合優(yōu)化闖題進(jìn)行了初步探討。文【3 4 】討論了基于一般分布時(shí)c v a r 的 概念和性質(zhì)。文【3 5 】將c v a r 度量方法應(yīng)用與信用風(fēng)險(xiǎn)中。 v a r 的推廣方法除了c v a r 方法外，還有c d a r l 4 3 1 、e s 【4 1 ，4 2 】、w c e i “、t c e l 4 2 1 等。 風(fēng)險(xiǎn)度量方法的應(yīng)用主要有兩方面，一是進(jìn)行投資組合決策，即尋找既定風(fēng) 險(xiǎn)下投資收益最大的投資組合或既定投資收益下投資風(fēng)險(xiǎn)最小的組合；二是計(jì)算 一個(gè)確定的投資組合的風(fēng)險(xiǎn)量值。第一方面的應(yīng)用較為普遍，根據(jù)投資組合收益 分布的不同特性，可以選擇不同的風(fēng)險(xiǎn)度量工具。第二方面的應(yīng)用v a r 和c v a r 浙江大學(xué)碩士學(xué)位論文基于c v a r 的投蟄組合優(yōu)化闐題 較有經(jīng)濟(jì)意義，己逐漸成為金融監(jiān)管部門評(píng)價(jià)金融風(fēng)險(xiǎn)的常用工具。 三、本文的內(nèi)容安排 本文從理論探討、數(shù)學(xué)建模、實(shí)證分析等幾方面著手，研究了證券組合風(fēng)險(xiǎn) 度量方法，特別是基于c v a r 風(fēng)險(xiǎn)度量方法。主要工作如下： ( 1 ) 引入了v a r 、c v a r 、c o a r 方法，比較了它們的優(yōu)缺點(diǎn)，并介紹了把c v a r 和 c d a r 應(yīng)用于決策問(wèn)題的處理技巧。 ( 2 ) 討論了基于c v a r 的投資組合決策包括均值- - c v a r 模型和帶有c v a r 限制條件 的均值一方差模型的有效前沿問(wèn)題。 ( 3 ) 把m a r k o w i t z 的均值一方差理論推廣到均值一c v a r 、均值- - c d a r 模型，以深 滬兩市的l o 個(gè)個(gè)股為研究對(duì)象，進(jìn)行了實(shí)證分析，并且對(duì)均值一c v a r 模型和均值 - - c d a r 模型的有效前沿進(jìn)行了比較。 ( 4 ) 考慮帶限制的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量模型，并把它們應(yīng)用到投資組合選擇和原料采購(gòu)管理。 浙江大學(xué)碩士學(xué)位論文 基于c v a r 的投資組合優(yōu)化問(wèn)題 第二章c v a r 風(fēng)險(xiǎn)度量方法 本章先引入了一致性度量標(biāo)準(zhǔn)，而后介紹了v a r 概念及其性質(zhì)，對(duì)v a r 優(yōu)缺 點(diǎn)做了總結(jié)。針對(duì)v a r 的非一致性，引入了它的兩種修正模型c v a r 和c d a r ，介紹 了c v a r 和c d a r 的概念、性質(zhì)及計(jì)算方法，分析了它們的優(yōu)缺點(diǎn)。 2 1 一致性度量標(biāo)準(zhǔn) 所謂一致性公理是由a r t z n e r 等人提出的，若某一風(fēng)險(xiǎn)度量工具具有如下 性質(zhì)”： 1 ) 次可加性妒伍4 - y ) s 礦口) + 礦( y ) 2 ) 正奇次性以x ) = 卸伍) ，v a 0 3 ) 平移不變性妒暇+ c ) = 伍) 一c ，c 是常數(shù)， 4 ) 單調(diào)性若x y ，則妒伍) s 礦( y ) 則稱口是一致性的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量方法。 這四條性質(zhì)中，次可加任反應(yīng)了組合投資的風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)該小于分散投資的風(fēng)險(xiǎn)， 即分散投資是可以降低風(fēng)險(xiǎn)的；正奇次性反應(yīng)了一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)大小跟資產(chǎn) 頭寸成正比；平移不變性反應(yīng)了若增加無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的頭寸到組合中，組合的風(fēng)險(xiǎn) 將隨著無(wú)風(fēng)險(xiǎn)頭寸的增加而減少；單調(diào)性反應(yīng)了若一個(gè)資產(chǎn)占優(yōu)于另一個(gè)資產(chǎn)， 則前者的風(fēng)險(xiǎn)至少不大于后者。 可見，一致性公理表達(dá)的是金融風(fēng)險(xiǎn)理論中最基本的常識(shí)，通過(guò)這些常識(shí)用 來(lái)檢驗(yàn)?zāi)骋伙L(fēng)險(xiǎn)測(cè)量方法對(duì)投資組合部分與整體的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度是否一致，a r t z n e r 等 人認(rèn)為，只有一致性的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量方法才能充當(dāng)投資組合管理工具。 浙江大學(xué)碩士學(xué)位論文基于c v a r 的投資組合優(yōu)化問(wèn)題 2 2v a r 方法的理論基礎(chǔ) 2 2 1v a r 的定義和性質(zhì) 近三十年來(lái)，由于全球金融市場(chǎng)呈現(xiàn)出前所未有的波動(dòng)住，因此，金融市場(chǎng) 風(fēng)險(xiǎn)越來(lái)越成為金融機(jī)構(gòu)和監(jiān)管當(dāng)局關(guān)注的焦點(diǎn)，在監(jiān)管當(dāng)局不斷強(qiáng)化對(duì)市場(chǎng)風(fēng) 險(xiǎn)管理的同時(shí)，許多金融機(jī)構(gòu)都投入巨額經(jīng)費(fèi)開發(fā)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)管理技術(shù)。在這樣的 大背景下。在2 0 世紀(jì)9 0 年代，一種以貨幣為基準(zhǔn)來(lái)描述風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量技術(shù)y a r 便應(yīng)運(yùn)而生。隨后，風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值v a r 方法又被巴塞爾協(xié)會(huì)隆重推出，成為市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn) 管理的標(biāo)準(zhǔn)。 v a r 定義如下； 定義2 1 1 ( v a r ) “。1v a r ( v a l u e a t r i s k ) 是指在一定的持有期內(nèi)和給定的 置信度下，某一資產(chǎn)組合可能遭受的最大損失。用數(shù)學(xué)公式來(lái)表示即： p r o b ( l v a r p ) = 1 一聲 其中l(wèi) 為資產(chǎn)組合在持有期內(nèi)的損失，v a r p 為資產(chǎn)組合在置信水平盧下處于風(fēng)險(xiǎn) 中的價(jià)值。v a r 回答了：發(fā)生損失大于給定耽氓4 的概率小于a 例如，j p m o r g a n 公司1 9 9 4 年年報(bào)公布，1 9 9 4 年該公司一天的9 5 v a r 值為 1 5 0 0 萬(wàn)美元，這意味著這公司可以以9 5 的概率保證，1 9 9 4 年每一特定時(shí)點(diǎn)上的 投資組合在未來(lái)2 4 小時(shí)內(nèi)，由于價(jià)格波動(dòng)而造成的損失不會(huì)超過(guò)1 5 0 0 萬(wàn)美元。 這一數(shù)據(jù)不僅給出了市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)暴露的大小，同時(shí)也給出了發(fā)生損失的概率。 由v a r 的定義，可以得到v a r 的如下性質(zhì)?！保?性質(zhì)1 v a r 滿足平移不變性，即v a r 口( y + c ) = 阮( y ) + c - 性質(zhì)2 v a r 滿足正齊次性，即v o r ，( c y ) = c v 置p r ) ，當(dāng)c 0 時(shí)。 性質(zhì)3 v a r p ( 1 r ) = - v a r l _ p ( - y ) 性質(zhì)4 v a r 關(guān)于s d ( 1 ) 單調(diào)，即若y i 5 這意味著在9 5 的情況下，投資組會(huì)b 會(huì)帶來(lái)風(fēng)險(xiǎn)，即v a r 0 ?？梢?，用v a r 來(lái) 描述風(fēng)險(xiǎn)的結(jié)果是：集中投資占優(yōu)于分散投資。 浙江大學(xué)碩士學(xué)位論文基于c 、姐的投整組合優(yōu)化問(wèn)題 ( 3 ) 不具有凸性。由于它不具有次可加性，從而不具有凸性，因而它的優(yōu)化問(wèn)題就 很難解決。在進(jìn)行投資組合優(yōu)化時(shí)，由于v a r 不能表示為各種組合資產(chǎn)的頭寸的 函數(shù)，至今仍無(wú)法對(duì)其直接進(jìn)行優(yōu)化。另外，以v a r 為目標(biāo)函數(shù)的規(guī)劃問(wèn)題一般 不是凸規(guī)劃，其局部最優(yōu)解不一定是全局最優(yōu)解，因此在求解時(shí)將遇到很大困難。 ( 4 ) 尾部損失測(cè)量的非充分性。v a r 將注意力集中在一定置信度下的分位點(diǎn)上，而 該分位點(diǎn)下面的情況則完全被忽略了。也就是說(shuō)v a r 太注重某一個(gè)點(diǎn)，因此無(wú)法 考察它下方的尾部信息，而它下方這小概率發(fā)生的巨額損失情形，正是市場(chǎng)在某 些極端情況下發(fā)生的，也正是風(fēng)險(xiǎn)管理所需要關(guān)注的。這使得用v a r 這種方法不 能防范某些極端事件，而這些極端事件發(fā)生概率雖小，一旦發(fā)生，將使金融機(jī)構(gòu) 出現(xiàn)滅項(xiàng)之災(zāi)。 針對(duì)v a r 的缺點(diǎn)，理論界提出了許多改進(jìn)方法，如c v a r 和c d a r 。 2 3c v a r 方法的理論基礎(chǔ) 2 3 1c v a r 的定義和性質(zhì) 一、c v a r 的定義 c v a r 是由r o c k a f e l l o r 和u r y a s e v ( 1 9 9 9 ) 提出的一種新的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量方法，也 稱條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值法或超額平均損失?！埃x如下： 定義2 2 1 ( c 、，a r )c v 8 r 是指在給定期限和置信度下，某一資產(chǎn)組合面i 臨 的超過(guò)v a r 的平均損失，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為： c v a r p ( x ) = e l ( x ，y ) l 三( x ，) v a r y ( x ) c v a r 考慮的是大于v a r 的極端損失的平均值，它表達(dá)了當(dāng)資產(chǎn)損失超過(guò)v a r 值時(shí)其損失究竟是多少的問(wèn)題，從數(shù)學(xué)意義上講，它是一個(gè)條件期望值，較v a r 更能體現(xiàn)資產(chǎn)組合所面臨的真正風(fēng)險(xiǎn)。 設(shè)h 工，y ) 是損失函數(shù)，為連續(xù)形隨機(jī)變量，其中x 為決策向量，表示資產(chǎn)尺 寸大小，工x ( x 是投資組合的可行集) ，隨機(jī)向量y 代表市場(chǎng)因子( 如資產(chǎn)的收 益率向量、價(jià)格等) ，它的密度函數(shù)為，( y ) 。 浙江大學(xué)碩士學(xué)位論文基于c v a r 的投資組合優(yōu)化問(wèn)題 令l f ，o ，f ) = f p ( y ) d y ，對(duì)任意固定的x ，l l ，( 毛f ) 作為f 的函數(shù)是在投資組合 “坶 x 下的損失分布函數(shù)，r o c k a f e l l a r 證明了它對(duì)f 非減右連續(xù)。在p ( y ) 連續(xù)的情況 下，( x ，f ) 是連續(xù)的，且在置信度夕下，有 v a r y ( x ) = m i n 9 - r ：y ( 工，f ) 盧) ， c v a r p ( x ) = e l ( x , y ) | l ( x ，j ，) v a r p ( x ) = ( 1 一歷。1j l ( x ，y ) p ( y ) d y 工( ，碡嘶，) 二、c v a r 的性質(zhì) 對(duì)于c v a r ，它具有如下一些性質(zhì)1 ： 性質(zhì)l c v a r 滿足平移不變性，即c v a r p ( g 4 - c ) = c v a r p ( y ) + c 性質(zhì)2 c v a r 滿足正齊次性，即c v a r p ( c y ) = c c v a r d ( y ) ，當(dāng)c 0 時(shí)。 性質(zhì)3 e ( 1 ，) = ( 1 一f 1 ) c v a r d ( y ) 一口c v a r 。j ( 一l ，) 性質(zhì)4c v a r 關(guān)于s d ( 2 ) 、m d ( 2 ) 均為單調(diào)的。 性質(zhì)5c v a r 滿足次可加性，即對(duì)任意的隨機(jī)變量l 、y 2 ，有 c w a r p ( y t4 - l ) s c v a r d ( y 1 ) + c v a r j ( y 2 ) 性質(zhì)6c v a r 是凸的，即對(duì)任意的隨機(jī)變量、l 及名1 0 , 1 】有 c v a r a ( a y , + ( 1 一 ) y 2 ) s ；t c v a r ，( k ) + ( 1 一a ) c y 矗郎( l ) 。 性質(zhì)7c v a r 是一致性風(fēng)險(xiǎn)度量方法。 2 3 2c v a r 的計(jì)算方法 c v a r 的計(jì)算不需要事先假定分布形態(tài)，在任意情況下，其計(jì)算都可通過(guò)模擬 法來(lái)實(shí)現(xiàn)。 定義函數(shù)乃( 工，d 2 f + r 互l 工( 工，力一糾+ ，其中a + = m a x o ，口) 計(jì)算c v a r 的關(guān)鍵在于函數(shù)乃( 工，f ) 易o(hù) ，f ) 具有如下性質(zhì)： 浙江大學(xué)碩士學(xué)位論文 基于c v a r 的投資組合優(yōu)化問(wèn)題 定理2 1 ” r a ，。i n cvarp(x)=，哩?。f。(工，f)。x p z e( j k x x j 。 如果損失函數(shù)三( 而，) 和可行集x 是凸的，則上式就是凸規(guī)劃的最優(yōu)化問(wèn)題， 最小化c v a r 可轉(zhuǎn)化為解決凸優(yōu)化問(wèn)題： ( 悱r a i m n 乃( 。f ) 因此，基于c v a r 的投資組合必定存在最優(yōu)解。 由于市場(chǎng)因子y 的分布一般是未知的，在這種情況下，只能根據(jù)歷史數(shù)據(jù)或情 景模擬數(shù)據(jù)來(lái)刻畫它們的經(jīng)驗(yàn)分布。再根據(jù)經(jīng)驗(yàn)分布測(cè)算其風(fēng)險(xiǎn)量值。因此 b ( x ，f ) 可以用情景分析法( 模擬法) 來(lái)近似，在這里運(yùn)用歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，取 j - 個(gè)歷史數(shù)據(jù)y ，= l 2 ，則( 工，f ) 可近似表示為： 局c 瓣f + 南糞一f 】+ o 從上式可以看出，如果h x ，y j ) 是關(guān)于z 的線性函數(shù)，那么函數(shù)只( 工，f ) 是凸的而 且分段線性的。 通過(guò)虛擬變量。j = - y ，一引+ ，= 1 , 2 ， 元( 工，f ) 又可轉(zhuǎn)化為： f + i 幣1 萬(wàn)薔, i z ， o l ( x ，y ，) 一f ，o ，o ，= l ，( 2 1 ) 2 3 3c v a r 方法的優(yōu)缺點(diǎn) 通過(guò)上述分析，我們可以知道： ( 1 ) c v a r 不是一個(gè)單一的分位點(diǎn)，而是尾部損失的平均值，它考慮了大于 v a r 的所有尾部信息，也就是說(shuō)，只有將所有大于v a r 的尾部損失全部估計(jì)到才能 夠計(jì)算c v a r ，這充分體現(xiàn)了對(duì)尾部損失測(cè)量的充分性。 浙江大學(xué)碩士學(xué)位論文 基于c v a r 的投赍組合優(yōu)化問(wèn)題 ( 2 ) 在得到c v a r 的同時(shí)也得到了v a r ，這可對(duì)風(fēng)險(xiǎn)實(shí)行雙限管制。 ( 3 ) 不論投資者的回報(bào)是否是正態(tài)分布，c v a r 滿足a r t z n e r 等人提出的一致 性公理，符合現(xiàn)代金融理論中的基本常識(shí)。 ( 4 ) 又由于它的凸性使它的優(yōu)化問(wèn)題計(jì)算操作簡(jiǎn)單、能夠處理大樣本事件， 且都存在最優(yōu)解。 ( 5 ) c v a r 同樣用貨幣來(lái)計(jì)量損失的大小，概念簡(jiǎn)單，便于投資者直觀理解。 然而c v a r 模型也并非完美無(wú)缺，它仍處在發(fā)展之中。由于c v a r 計(jì)算的是超 過(guò)v a r 的尾部損失的均值，因此，尾部損失分布估計(jì)的準(zhǔn)確性將直接影響到c v a r 的計(jì)算精度；另外，c v a r 的計(jì)算也同樣依賴于歷史數(shù)據(jù)，而事實(shí)上尾部小概率事 件的數(shù)據(jù)資料更難得到，所以對(duì)歷史數(shù)據(jù)的選擇同樣會(huì)影響計(jì)算的結(jié)果。 2 4c d a r 方法的理論基礎(chǔ) 一、c d a r 的定義 c d a r 是v a r 的另一種改進(jìn)模型，和c v a r 只是損失函數(shù)不同。 記y ( x ，f ) 為t 時(shí)某一資產(chǎn)組合的回報(bào)，x 表示資產(chǎn)的尺寸大小，損失函數(shù) 工( 工，f ) = 罌警b ( 工，f ) 一y ( x ，f ) 表示過(guò)去一段時(shí)期內(nèi)的最大回報(bào)與當(dāng)前回報(bào)的差 對(duì)置信度( o ，1 ) ，c d a r 口就是投資組合的損失函數(shù)中最壞的( 1 ) 。1 0 0 情況的 平均值“”。用數(shù)學(xué)公式表達(dá)為； c d a r p ( x ) 2 南量上b ， 其中q = ( f 【o ，t i f l ( x ，f ) 口) ，其中叩= 盧一d a r ，表示一個(gè)閥。 二、c d a r 的性質(zhì) 對(duì)y p 【o ，1 1 ，c d a r 滿足刪： 性質(zhì)1 c d a r 具有非負(fù)性，即c d a r ，( y ) 0 性質(zhì)2 c d a r 具有平移不變性，即對(duì)常數(shù)c ，有c d a r ，( y + c ) = c d a r ，( 1 ，) 蘭塑2 苧竺生蘭蘭竺墮 莖王! ! 堅(jiān)竺絲堡望魚垡些塑里 性質(zhì)3 c d a r 具有正奇次性，u 口c o a r 口( 五l ，) ；a c d a r p ( g ) ，v 3 , 0 性質(zhì)4 c d a r 具有次可加性，b o c o a r p ( r , + k ) g c d 嗚( ) + 踟峨( 匕) 性質(zhì)5 c d a r 具有凸性，即 c d a r p ( 乏y i + ( 1 一五) e ) s x c o a r p ( i , , ) + ( 1 一五) c d 日j 酩( e ) ，五i o ，1 l 由此可見，c d a r 是一致性的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量方法。由于它具有凸性，所以和c v a r 方法一樣，它的優(yōu)化問(wèn)題也同樣可以通過(guò)功能函數(shù)最終可以簡(jiǎn)化為線性優(yōu)化技術(shù) 來(lái)處理。 三、c d a r 的計(jì)算方法 計(jì)算c d a r 函數(shù)也可以通過(guò)一個(gè)功能函數(shù)1 易( w ) 2 ，7 + 南爭(zhēng)( 州h l + 來(lái)實(shí)現(xiàn)，其中卵表示損失函數(shù)在置信度下的門檻值，這一表達(dá)式為計(jì)算處理帶來(lái) 了方便。和計(jì)算c v a r 類似，計(jì)算c d a r 同樣可轉(zhuǎn)化為： 叩+ 而l 汐薈j z ， s j o j l ( x ，d 一叩，j 0 ，_ = l ， ( 2 2 ) 其中z ，- ，= 1 ，j 為輔助變量。 又因?yàn)閦 ( x , ) - - l z ( x ，j 1 ) 一，r ，所以如果給定資產(chǎn)組合的收益率函數(shù)- ， = 1 ，j ，則計(jì)算式( 2 2 ) 又可轉(zhuǎn)化為： 巧+ 南考乃 s t z , j h i r ，hj n 卜l r j ， 2 0 ，群j 0 ，o - - 0 ，= l ，歹 2 。3 其中，h ，= l ，為輔助變量。 浙江大學(xué)碩士學(xué)位論文 基于c v a r 的投資組合優(yōu)化問(wèn)履 第三章基于c v a r 的投資組合模型 現(xiàn)代證券投資組合優(yōu)化理論，針對(duì)投資者的期望收益率和風(fēng)險(xiǎn)等約束條件，通 過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型的求解，可以給出在風(fēng)險(xiǎn)約束下或以風(fēng)險(xiǎn)最小化為目標(biāo)的投資組合 有效前沿和資金在各類資產(chǎn)上的投資比例。使投資者可以了解所有的投資機(jī)會(huì)和 各種風(fēng)險(xiǎn)收益狀況，然后在根據(jù)各自的偏好，在權(quán)衡每一個(gè)組合后，從中選擇滿 足自己要求的最優(yōu)投資組合。本章從均值一方差模型及其有效邊界出發(fā)，討論了 多種情況下的均值- - c v a r 模型及其有效邊界問(wèn)題。 3 1 均值一方差模型及其有效邊界 3 1 1 均值一方差模型 在投資中，收益和風(fēng)險(xiǎn)是密不司分的，要想獲得更高的收益，就得承受更大 的風(fēng)險(xiǎn)；反之，要降低風(fēng)險(xiǎn)，則獲得的收益也將降低。一個(gè)理性的投資者總是希 望在回避風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)增加收益。那么如何實(shí)現(xiàn)愿望呢? m a r k o w i t z 指出：合理的分 散投資可以最大限度的降低風(fēng)險(xiǎn)，獲得較高的收益。進(jìn)而他提出了均值方差模型： 對(duì)有n 種證券，令工= ( 而，x z ，工) 7 為投資比例，收益率j ，= ( n ，j ，z ，y ) 7 ， 預(yù)期收益率為e ( j ，) = ( 且( j ，。) ，e ( y ：) ，e ( y 。) ) 7 = ，v 是收益率間的協(xié)方差矩陣， 則證券組合p 的收益率為，= x r y ，預(yù)期收益率為e ( ，) = 工7 ，方差為 礦2 = ，v x 。記，= ( 1 ，1 ，1 ) 7 ，則投資決策模型即為多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題： im i n ；= x r v x m a xe ( ，) = x r z l ，：1 其中盯；表示組合風(fēng)險(xiǎn)，表示組合收益率若不允許賣空，則加上條件 浙江大學(xué)碩士學(xué)位論文 基于c 、h r 的投資組合優(yōu)化問(wèn)題 而2 0 ，f = 1 , 2 ，席。此模型分別用組合收益和組合方差來(lái)反應(yīng)資產(chǎn)的收益與風(fēng)險(xiǎn) 狀況。 而對(duì)多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃。假設(shè)投資者更注重風(fēng)險(xiǎn)，則 他會(huì)在給定收益率水平下選擇有最小方差的組合； f m i “q 2 = x 7 v x 模型a j ，。工7 聲= ， l工7 i = 1 假設(shè)投資者更注重收益，他會(huì)在給定方差的情況下選擇期望收益率最大的組 合。均值一方差模型可表示為： i m a x 工7 i l 模型b “x t v x = 吒2 i工7 ，= l 其中r 幕i o 0 2 分別表示期望組合收益率和方差常數(shù)。由于模型a 和模型b 有相同的 有效前沿，投資者一般都是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，所以，下面討論模型a 。 以下盯；簡(jiǎn)記為口2 ，e ( ) 簡(jiǎn)記為，。 由l a r g a n g e 乘子法解得模型a 的邊界方程為： 盯2 ( ，一b a ) 2 l ，月 a ，爿2 = 1 ( 3 1 ) 其中最優(yōu)解工。為： 工。= 礦1 i + a z v l ，a = i 。v i ，b = 1 。v “， c = 7 聲，= c b 2 ， = 1 c - 廣r b ，五= 1 r a - 廣b 。 可見，在均方差均值坐標(biāo)系下，是以( o ，曰，爿) 為中心以，= b a 五了j 0 為 漸近線的雙曲線方程的右半支。點(diǎn)m ( j 去，罷) 對(duì)應(yīng)的資產(chǎn)組合是所有可行資產(chǎn)組合 中具有最小方差的資產(chǎn)組合，稱為最小方差組合。比最小方差組合收益率高的邊 界為模犁a 的有效前沿。如圖3 1 所示。 浙江大學(xué)碩士學(xué)位論文基于c v a g 的投資組合優(yōu)化問(wèn)題 圖3 - 1圖3 _ 2 3 1 2 具有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的均值一方差模型 當(dāng)投資者在市場(chǎng)上可以獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)( 收益率為，) 時(shí)，設(shè)， ，最小方 模型c 扛t m 工i n o + 而v ，x = ， i毛7。 l工7 j + 工= 1 模型d 用l a r g r a n g e 法解得模型的邊界方程為： ，一，f 育眨， ，一， 一五“o 其中h = c - 2 v r b + r 2 a ，這意味著模型d 的邊界方程在均方差一均值坐標(biāo)系中 是以f ( o ，) 為頂點(diǎn)，斜率為百的兩條射線，其中上半支射線為模型d 的有 效前沿。如圖3 - 2 所示。 瞻x = x 吒 x 則 o y = 0 = 0 ， = ， 慨 = 可 毛 型 中 模 其 以所 0 一協(xié)吖 工 工 ， n d _ 0 一k ， 浙江大學(xué)碩士學(xué)位論文基于c v a r 的投資組合優(yōu)化問(wèn)題 定理1 模型d 的有效前描即為越f 。( 0 ，) 點(diǎn)的射線與模型a 的有效前j 甘a b 的切線。 證明：假設(shè)切點(diǎn)為m ，則直線f m 的方程為： ，：塵土礦+ ， ( 3 3 ) 對(duì)( 3 1 ) 式兩邊關(guān)于盯求導(dǎo)，可得： 石d r = 一a a ：ra 擊 ( 3 4 ) d 仃一lb 、。 由于m 為f m 和a b 的切點(diǎn)，所以 生：壘。 !：皇 ( 3 研 d c rar a b盯 、 由( 3 1 ) 式和( 3 5 ) 式可得： r m = 篙b - a r r 一= ( 南 a ( b - a r r ) z + 伍回2 一2 i + j j p 山) 將( 3 6 ) 式代入( 3 3 ) 式可得，直線的斜率為百。定理得證。 3 2 均值一c v a r 模型及其有效邊界 3 2 1 均值c v a r 模型 一、正態(tài)分布下的c v a r 計(jì)算 設(shè)有n 種證券，x = ( 而，工。，藝) 7 為投資比例，第i 種證券的收益率為y ， y = ( j ，l ，j ，2 ，y 。) ，預(yù)期收益率為( n ) ，z = ( e ( 幾) ，e ( y 2 ) ，z ( y 。) ) 7 ，v 是協(xié) 方差矩陣，則證券組合p 的收益率為0 = x r y ，預(yù)期收益率為e ( ，) = x 7 p ，方差 為盯，2 工1 瞻。假設(shè)資產(chǎn)收益率服從聯(lián)合正態(tài)分布。 先考慮特殊情況：當(dāng)損失函數(shù)l 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時(shí)，由 c a r 的定義可知。 v a r 滿足p s 眥，) = 蘆，即n 壤，2 ，。和為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的下側(cè)盧分位數(shù)； 浙江大學(xué)碩士學(xué)位論文 基于c v a r 的投資組合優(yōu)化問(wèn)題 c w r p = e i l r - v a r p ：甓：南f 圳坶南北小 e 。9 ( 砷咖1 一聲b 1 一”v 由于損失函數(shù)l = - x r p n ( 一e ( ，) 巳2 ) ，即三之寫生一( 。1 ) 所以由 v a r p 滿足p 仁s v a r p = 可知。 p 掣s 掣 ：，從而v a r p 功q 川，) 。 【 盯，仃， j 。 c 叫i 鴨 = o r p e 半盼怫卜c ， 一降降鼉掣卜， = r 與似和p p - e ( ，) = f ( 炒p - e ( ，) 其中f ( 盧) = r 與9 ( 和) 一 z ( 盧) 表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下側(cè)分位數(shù)，尹( ) 表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài) 分布的密度函數(shù)。 麩上面分析可以知道，在正態(tài)分布假設(shè)下，c v a r ，與仃，有線性關(guān)系，斜率為 f ( ) = f 與尹( 和) ，因此在給定時(shí)，c v a r 值可以根據(jù)市場(chǎng)因子的均值和標(biāo)準(zhǔn)差 很快得到。而且由于隱隨盧單調(diào)增加，以c v a r ，也隨單調(diào)增加，從而r ( 歷 是p 的單調(diào)遞增函數(shù)。 二、基于均值一c v a r 的資產(chǎn)組合有效前沿 當(dāng)收益率服從聯(lián)合正態(tài)分布即j ，n ( p ，v ) 時(shí)，考慮均值一c 汛模型： 浙江大學(xué)碩士學(xué)位論文基于c v a r 的投資組合優(yōu)化問(wèn)題 jr a i n c v a r ，( 工) 模型e 文t x r p = ， 【 善7 f = 1 定理2 【3 1 1 設(shè)y 服從聯(lián)合正態(tài)分布，若口0 5 ，則模型a 、e 等價(jià)，即存在同一優(yōu) 化組合x ，使得方差和c v a r 同時(shí)達(dá)到最小。 定理3 口町組合，屬于均值一方差有效邊界的充要條件時(shí)組合p 屬于均值一c v a r 有效邊界： 下(cvarp+r)lt(f1)2一巡ia=1 ( 3 7 ) l ，a 、 其中a = i r v i ，b = i r v 一，c = 盧7 v - l 尸，a = a c b 2 。 最優(yōu)解為x * - - - n + 礦1 ，其中 = 竿，以= 業(yè)a 。 顯然，均值一c v a r 邊界等價(jià)于對(duì)均值一方差邊界作了一個(gè)簡(jiǎn)單的變換。均值 一a r 邊界和有效前沿如圖3 - 3 所示。 r 圖3 - 3 定理4 【3 8 】在給定水平下，如果最小c v a r 口存在，則它是均值方差有效的。 定理5 【3 3 1 當(dāng)且僅當(dāng)f ( 刃 i 萬(wàn)時(shí)。在此水平下的最小c v a r 投資組合存在，且 工= i c ( v - i i ) - b (