（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）p分拆的計(jì)算.pdf

a b s t r a c t ( i nc h i n e s e ) 摘要 在2 0 世紀(jì)早期，為了解決丟番圖方程組或不等式組相關(guān)的問題，m a c m a h o n 提出分拆分析方法( 即o m a g e 算子) 1 9 7 2 年，作為分拆與有序分拆的推廣， s t a n l e y 提出了p 分拆自1 9 9 7 年以來，分拆分析被a n d r e w s 賦予了新的生命， 并被證明與目前分拆理論的研究密切相關(guān) 利用容斥原理，我們?yōu)橛?jì)算s t a n l e y 關(guān)于尸分拆上直和的生成函數(shù)推導(dǎo)出一 個(gè)公式這個(gè)公式簡(jiǎn)化了很多變形的平面分拆的計(jì)算，如多邊形平面分拆，以及帶 對(duì)角線或雙對(duì)角線的平面分拆本文通過多個(gè)的實(shí)例來闡述我們的方法，其中的 一些實(shí)例是新的平面分拆的變形 k - g o n 分拆是指包含忌個(gè)正整數(shù)的非遞減的序列，滿足最后一個(gè)元素不小于 其它元素的和通過分析非k - g o n 分拆，我們推導(dǎo)出k g o n 分拆的多變量生成函 數(shù)，與a n d r e w s ，p a t t i e 和r i e s e 所給出的結(jié)果一致另外，我們?yōu)閛 m e g a 算子的 計(jì)算提供了一個(gè)c + + 程序包，它的運(yùn)行時(shí)間比e l l 2 程序包運(yùn)行時(shí)間短 關(guān)鍵字：分拆分析，線性丟番圖不等式，生成函數(shù)，分拆，p 分拆，有序分拆，平面 分拆 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h ee a r l y1 9 0 0 s ，m a j o rp e r c ya m a c m a h o nd e v e l o p e dp a r t i t i o na n a l y s i s ( i e ，t h eo m e g ao p e r a t o r ) a sac o m p u t a t i o n a lm e t h o df o rs o l v i n gp r o b l e m si nc o n n e c t i o nw i t hl i n e a rd i o p h a n t i n ei n e q u a l i t i e sa n de q u a t i o n s i n1 9 7 2 r i c h a r de s t a n l e yi n t r o d u c e dp - p a r t i t i o n a sac o m m o ng e n e r a l i z a t i o no fc o m - p o s i t i o n sa n dp a r t i t i o n s p a r t i t i o na n a l y s i sh a s b e e ng i v e na n e wl i f eb yg o r g e e a n d r e w sa n ds h o w e dt h er e l e v a n c ei nt h ec u r r e n tp a r t i t i o n - t h e o r e t i cr s e a r c hs i n c e1 9 9 7 u s i n gt h ei n c l u s i o n - e x c l u s i o np r i n c i p l e ，w ed e r i v ea f o r m u l ao fg e n e r a t i n g f u n c t i o n sf o rs t a n l e y 7 sp - p a r t i t i o n so ft h eo r d i n a ls u mo fp o s e t s t h i sf o r m u l a s i m p l i f i e st h ec o m p u t a t i o n sf o rm a n yv a r i a t i o n so fp l a n ep a r t i t i o n s ，s u c ha s p l a n ep a r t i t i o np o l y g o n sa n dp l a n ep a r t i t i o n sw i t hd i a g o n a l so rd o u b l ed i a g o n a l s w ei l l u s t r a t et h em e t h o db ys e v e r a le x a m p l e s ，s o m eo fw h i c ha r en e w v a r i a t i o n so fp l a n ep a r t i t i o n s ，ak - g o np a r t i t i o ni san o n d e c r e a s i n gs e q u e n c eo fkp o s i t i v ei n t e g e r ss u c h t h a tt h el a s te l e m e n ti sl e s st h a nt h es u i no ft h eo t h e r s b yc o n s i d e r i n gk - g o n p a r t i t i o n s ，w ed e r i v et h em u l t i v a r i a b l eg e n e r a t i n gf u n c t i o nf o rn o n 七一g o np a r - t i t i o n s ，a sg i v e nb ya n d r e w s ，p a u l ea n dr i e s e ha d d i t i o n , w ep r o v i d ea nc + + p a c k a g ef o ro m e g ao p e r a t o rw h i c h i sf a s t e rt h a nel i 2p a c k a g e k e yw o r d s ：p a r t i t i o na n a l y s i s 。l i n e a rd i o p h a n t i n ei n e q u a l i t i e ，g e n e r a t i n gf u n c - t i o n , p a r t i t i o n , p - p a r t i t i o n , c o m p o s i t i o n , p l a n ep a r t i t i o n a m s s u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ( 2 0 0 0 ) ：0 5 a 1 5 ，0 5 a 1 7 , 0 6 a 0 6 ，11 p 8 1 南開大學(xué)學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本人完全了解南開大學(xué)關(guān)于收集、保存、使用學(xué)位論文的規(guī)定， 同意如下各項(xiàng)內(nèi)容：按照學(xué)校要求提交學(xué)位論文的印刷本和電子版 本；學(xué)校有權(quán)保存學(xué)位論文的印刷本和電子版，并采用影印、縮印、 掃描、數(shù)字化或其它手段保存論文；學(xué)校有權(quán)提供目錄檢索以及提供 本學(xué)位論文全文或者部分的閱覽服務(wù)；學(xué)校有權(quán)按有關(guān)規(guī)定向國家有 關(guān)部門或者機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版；在不以贏利為目的的前 提下，學(xué)?？梢赃m當(dāng)復(fù)制論文的部分或全部?jī)?nèi)容用于學(xué)術(shù)活動(dòng)。 學(xué)位論文作者簽名：兩 坪刁 二km 2 1 ) q 5 年6 月2 r 日 經(jīng)指導(dǎo)教師同意，本學(xué)位論文屬于保密，在年解密后適用 本授權(quán)書。 指導(dǎo)教師簽名：學(xué)位論文作者簽名： 解密時(shí)間：年月日 各密級(jí)的最長(zhǎng)保密年限及書寫格式規(guī)定如下： 7 內(nèi)部5 年( 最長(zhǎng)5 年，可少于5 年) ； l 秘密1 0 年( 最長(zhǎng)l o 年，可少于1 0 年) ：機(jī)密2 0 年( 最長(zhǎng)2 0 年，可少于2 0 年) 南開大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下，進(jìn)行 研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本學(xué)位論文 的研究成果不包含任何他人創(chuàng)作的、已公開發(fā)表或者沒有公開發(fā)表的 作品的內(nèi)容。對(duì)本論文所涉及的研究工作做出貢獻(xiàn)的其他個(gè)人和集 體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明的法律責(zé)任 由本人承擔(dān)。 學(xué)位論文作者簽名：高 局 滬。7 年6 月日 儼 年6 月日 c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n c h a p t e r 1 i n t r o d u c t i o n t h et h e o r yo fp a r t i t i o ni so n eo fa p p r e c i a t i n gb r a n c h e so fm a t h e m a t i c s i t s a p p l i c a t i o n sa r ef o u n dw h e r e v e rd i s c r e t eo b j e c t sa r et ob ec o u n t e do rd a s s i 。 f l e d t h et h e o r yo fp - p a r t i t i o n s ，w h i c hw a sd e v e l o p e di n1 9 7 2b ys t a n l e y 【1 】 s t a n d i n go n t h es h o u l d e r so fm a c m a h o n 【2 】2a n dk n u t h 【3 】，i sac o m m o ng e n - e r a l i z a t i o no ft h et h e o r yo fc o m p o s i t i o n sa n dt h et h e o r yo fp a r t i t i o n s a p - p a r t i t i o ni sa no r d e r - r e s e r v i n gm a p f r o map o s e rt on o n - n e g a t i v em - t e g e r s 【4 ，c h r e t ob ep r e c i s e ，l e t ( p ，p ) b eap o s e ra n d nt h es e to fn o n - n e g a f i v ei n t e g e r s t h e n 仃：p _ n i sap - p a r t i t i o no fpi f 凸p6i m p l i e st h a t 盯( o ) 礦( 6 ) f o ra n yt w oe l e m e n t sa ，b p t h e ( m u l t i v a r i a t e ) g e n e r a t i n g f u n c 。 t i o nf o rp - p a r t i t i o n so fap o s e tp = a l ，口n ) i sg i v e nb y f p ( x ) = f p ( x l , ，z n ) ：= z p z 2 c r 0 2 z 三蚓， w h e r e 盯n l n so v e ra l lp - p a r t i t i o n so fp f o rc o n v e n i e n c e ，w ew i l lo m i t 礦a n d u s ea l s on t oi n d i c a t et h ei n t e g e r 盯( 啦) ，w h i c hw i l lc a u s en oc o n f u s i o nf r o m t h e c o n t e x t s t a n l e y 【4 ，t h e o r e m4 5 4 】p r o v i d e da l le l e g a n tf o r m u l aw h i c he x p r e s s e s f p ( x ) i nt e r m so fd e s c e n tn u m b e r s h o w e v e r , t h ef o r m u l a i sas u m m a t i o no v e r a l ll i n e a re x t e n s i o n so fp a sw ek n o w , c o u n t i n gt h en u m b e ro fl i n e a re x t e n - s i o n si s # p c o m p l e t e 【5 】t h e r e f o r e ，w en e e dam o r e e f f i c i e n tw a yt oc o m p u t e t h eg e n e r a t i n gf u n c t i o n o nt h eo t h e rh a n d ，p - p a r t i t i o n sc a nb ev i e w e da ss o l u t i o n so fas y s t e mo f l i n e a rd i o p h a n t i n ei n e q u a l i t i e s i nt h ep i o n e e r i n gb o o k c o m b i n a t o r y 氏c 、鶘。 s i s ”【2 ，v 0 1 i i , p p 9 1 - 1 7 0 】m a c m a h o n i n t r o d u c e dp a r t i t i o na n a l y s i sa sac o m p u - t a t i o n a lm e t h o df o rs o l v i n gg e n e r a ls y s t e m so fl i n e a rd i o p h a n t i n ei n e q u a l i t i e s 1 c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n a n de q u a t i o n s t h et e c h n i q u ew a sg i v e nan e wl i f eb ya n d r e w s 【6 】i nh i ss t u d y o fl e c t u r eh a l lt h e o r e mi n t r o d u c e db yb o u s q u e t m 6 l o ua n de r i k s s o n 【7 】t h e n a n d r e w s ，p a u l ea n dr i e s ep u b l i s h e das e r i e so fp a p e r s 【8 _ 1 9 】t oe x h i b i ti t sv a t - i o u sa p p l i c a t i o n st oc o m b i n a t o r i a lp r o b l e m s c o e e le ta 1 【2 0 ，2 1 】p r e s e n t e d t h e f i v e g u i d e l i n e s a p p r o a c ht ol e c t u r eh a l lt y p et h e o r e m sa n dl i n e a ri n e q u a l - i t i e sa sas i m p l i f i c a t i o no fm a c m a h o n 。s p a r t i t i o na n a l y s i s f r o mt h i sm e t h o d | a n d r e w s ，c o e e la n ds a v a g e 【2 2 】r e v e a l e ds t r o n g e rr e s u l t sa b o u tl e c t u r eh a l l p a r t i t i o n sa n da n t i - l e c t u r eh a l lc o m p o s i t i o n s 【2 3 t h er e n a i s s a n c eo fm a c m a h o n 7 st e c h n i q u ep a r t l yd u et ot h ef a c tt h a ti ti s i d e a l l ys u i t e df o rb e i n gs u p p l e m e n t e db ym o d e mc o m p u t e ra l g e b r am e t h o d s a n d r e w s ，p a u l ea n dr i e s e 【1 3 】p r o v i d e dt h em a t h e m a tic ap a c k a g eo m e g a t oe v a l u a t et h eo m e g ao p e r a t o r h a n 【2 4 】g a v ea na l g o r i t h mb yu s i n gt h ec o - e f f i c i e n t so fp o l y n o m i a l sw i t h o u tk n o w i n gt h e i rr o o t s x i n 【2 5 】c o m b i n e dt h e t h e o r yo fi t e r a t e dl a u r e n ts e r i e sa n dp a r t i a lf r a c t i o nd e c o m p o s i t i o n st oo b t a i n af a s ta l g o r i t h m w ew i l lu s ex i n 7 su p d a t e dm a p l ep a c k a g ee l l 2 【2 6 】f o ro u r e x a m p l e si nt h i st h e s i s 。 1 10 m rc o n t r i b u t i o n s t h em a i ng o a li nt h i st h e s i si st of i n da ne f f i c i e n tm e t h o dt oc o m p u t e 屈x ) f o rp o s e t sc o m p o s e do fs e v e r a ls i m p l eo rs m a l lb l o c k sb yo r d i n a ls u m s t h e o r d i n a ls u mo ft w op o s e t s ( p p ) a n d ( q ， n g e n e r a t i n gf u n c t i o n 刀l em o s tu s e f u lb u tm o s td i f f i c u l tt ou n d e r s t a n dm e t h o df o re n u m e r a t i o n i sg e n e r a t i n gf u n c t i o n ag e n e r a t i n gf u n c t i o ni sap o w e rs e r i e sw h o s ec o e f - f i c i e n t se n c o d ei n f o r m a t i o na b o u tas e q u e n c e g i v e nas e q u e n c eo fi n t e g e r s 知，a l ，a 2 ，) ，t h eo r d i n a r yg e n e r a t i n gf u n c t i o n ( g e n e r a t i o nf u n c t i o nf o rs h o r t ) i sd e f i n e db y g ( z ) = o o + 口1 z + 口2 2 2 + a s x 3 + = o n z n n = 0 f o rm a n yo fp r o b l e m sw ee n c o u n t e r , i ts u f f i c e st oc o n s i d e rg e n e r a t i n gf u n c t i o n a sf o r m a lp o w e rs e r i e s l e t 7 sf i r s tc o n s i d e rt h er o l eo fg e n e r a t i n gf u n c t i o n si ne n u m e r a t i n gh a t e - g e rc o m p o s i t i o n s w ek n o wt h a tac o m p o s i t i o no fap o s i t i v ei n t e g e r 竹i n t om p a r t si sas e q u e n c e ( 入1 ，入2 ，入m ) s u c ht h a ta l + 入2 + + 入m = n h e n c ei t s g e n e r a t i n gf u n c t i o ni s g 卻川m = ( 禹) m = 三( 三二護(hù) b yu s i n gn e w t o n 7 sg e n e r a l i z e db i n o m i a lt h e o r e m 8 c h a p t e r 2b a c k g r o u n d g e n e r a t i n gf u n c t i o np l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nr e s e a r c ho fp a r t i t i o n s ，f o r i n s t a n c e ， t h e o r e m 2 1 ( e u l e rt h e o r e m ) t h en u m b e ro f p a r t i t i o n 曠禮i n t od i s t i n c tp a r t se q u a l s t ot h en u m b e ro f p a r t i t i o n so f 禮i n t oo d d p a r t s p r o o f l e tv ( o ，n ) a n dp ( v ，n ) b et h en u m b e ro f 他i n t od i s t i n c tp a r t sa n do d d p a r t s ，r e s p e c t i v e l y i ti se a s yt of i n d 艫坩= o o ( 1w ) = n 魯 n on = ln = l 1 t h i sc o m p l e t e st h e p r o o f 2 2l e c t u r eh a l it h e o r e ma n dr e l e v a n tr e s u l t s al e c t u r eh a l lp a r t i t i o no fl e n g t h 竹i sa ni n t e g e rs e q u e n c e 入= ( 入1 ，入n ) s a t i s f y i n g o 生1 生2 a n n w ed e n o t eb yc nt h es e to fl e c t u r eh a l lp a r t i t i o n so fl e n g t hn i n 【7 1 ，m b o u s q u e t - m 6 1 0 ua n dk e r i k s s o np r o v e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t t h e o r e m2 2 ( t h el e c t u r eh a l lp a r t i t i o nt h e o r e m ) r 拋n u m b e ro p a r t i t i o n s 砂 m o f t h e f o 朋入n + x n - 1 + + 入1t h e r e i n o 生1s 絲2 魯 e q u a l st h en u m b e ro f p a r t i t i o n so f m i n t oo d d p a r t se a c h 2 n 一1 ，e q u i v a l e n t l y , 轟q l x l = f 而者研 ( 2 1 ) w h e r ei a = 入1 + + 入。 b o u s q u e t - m 6 1 0 ua n de r i k s s o na c t u a l l yr e f i n e dt h el e c t u r eh a l lp a r t i t i o n t h e o r e m b yp r o v i n g 9 n g 佗p p 咖 = 一一竹2 g 一1 f l i l t h e o r e m2 3 t h en u m b e ro f p a r t i t i o n so f mo f t h e f o 朋入n - 4 - 入竹一1 + + 入1t h e r e i n o 一 一 o 1 一 九蠆 一 h 一1 c h a p t e r2b a c k g r o u n d t h e yr e f e r r e dt ot h e s ea sa n t i - l e c t u r eh a l lc o m p o s i t i o n sa n ds h o w e dt h ef o l l o w i n g w i t ha b i j e c t i v ep r o o f a l o n g t h el i n e so fy e e sp r o o f o f ( 2 2 ) i n 【3 1 】 t h e o r e m 2 6 ( t h er e f i n e da n t i l e c t u r eh a l lt h e o r e m ) 轟批兒刈礦“= 鬻， 入a n 、。1 1 w h e r e 【刈= ( l a d l j ，【入2 2 j ，【k n j ) a n dd ( a ) d e n o t e st h en u m b e ro f t h eh u m 一 掃盯o f o d dp a r t s 可口c o m p o s i t i o n 入， s e t t i n g 讓= u = 1 i na b o v et h e o r e m g i v e st h ef o l l o w i n ga n a l o go f ( 2 1 ) ： t h e o r e m2 7 ( t h ea n t i l e c t u r eh a l lt h e o r e m ) 、z ：q l x l = a 赫7 7 , 入n 、17 。1 c o r t e e la n ds a v a g ef 3 2 】s h o w e dt h a tt h er e f i n e dt h e o r e m sf o rb o t hl e c t u r e h a l lp a r t i t i o n sa n da n t i l e c t u r eh a l lc o m p o s i t i o n sc a nb eo b t a i n e da s s t r a i g h t f o r w a r dc o n s e q u e n c eo ft w oq - c h uv a n d e r m o n d ei d e n t i f i e sa n d p r e s e n t e dt h e f o l l o w i n gt w o t h e o r e m s t h e o r e m2 8 ( t h et r u n c a t e dl e c t u r eh a l lt h e o r e m ) t h et r u n c a t e dl e c t u r eh a l l p a r t i t i o n sa y es e q u e n c e sa = ( a 1 ，入2 ，a k ) s u c ht h a t 魯魯i 再k 獨(dú) 扎佗一上 佗一+ l t h e nt h eg e n e r a t i n g f u n c t w ni s t h e o r e m 2 9 ( t h et r u n c a t e da n t i l e c t u r eh a l lt h e o r e m ) t h et r u n c a t e da n t i - l e c t u r eh a l lc o m p o s i t i o n sa r e s e q u e n c e sa = ( 入1 ，入2 ，a 七) s u c ht h a t 叁! 一 釓一k + 1 一佗 t h e nt h eg e n e r a t i n g f u n c t i o ni s 入2 一七+ 2生0 鉈 ( 一曠一七+ 1 ；g ) 七 q ( q 2 ( 禮一知+ 1 ) ；q ) k 1 1 鬣h h 一 c h a p t e r2b a c k g r o u n d 2 3p a r t i t i o na n a l y s i s p a r t i t i o na n a l y s i si sf i r s ts u g g e s t e db yc a y l e y 【3 3 】b u tp r i m a r i l yd e v e l - o p e db yea m a c m a h o ni n 【3 6 】i nt h ep i o n e e r i n gb o o k “c o m b i n a t o r y a n a l y s i s ，【2 ，v o l i f , p p 9 1 1 7 0 m a c m a h o ni n t r o d u c e dp a r t i t i o na n a l y s i sa s a c o m p u t a t i o n a lm e t h o df o rs o l v i n gg e n e r a ls y s t e m so fl i n e a rd i o p h a n t i n ei n - e q u a l i t i e sa n de q u a t i o n s t h e k e yi n g r e d i e n to fm a c m a h o n 7 sp a r t i t i o na n a l y s i si st h eo m e g ao p e r a t o rq 至w h i c hd e f i n e d b y 9 k ，。，入i 1 = 8 l = 一5 r = 一 w h e r et h ed o m a i no ft h ea 8 1 ，8 ，i st h ef i e l do fr a t i o n a lf u n c t i o n so v e rci n s e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e sa n dt h e 九a r er e s t r i c t e dt oan e i g h b o r h o o do ft h e c i r c l e 隊(duì)l = 1 i na d d i t i o n ，t h ea 8 1 ，“a r er e q u i r e dt ob es u c ht h a ta n yo ft h e 2 r 一1s u m s o 。 4 。b ，卸 8 1 2 一 8 勺2 一o o i sa b s o l u t e l yc o n v e r g e n tw i t h i nt h ed o m a i n o ft h ed e f i n i t i o no fa 8 l ，5 ，m a c m a h o na l s oe x t e n d st h i so p e r a t o rt oa n o t h e rd i f f e r e n to p e r a t o rq ：w h i c h i sd e f i n e d b y o 。 0 0 g a 釓，卸a i l 入；：_ a 0 ， u 0 ”1 w 6 r 一一u u i n f o r m a l l y , m a c m a h o n 7 sm e t h o dc a nb ed e s c r i b e da sf o l l o w s l e tt h en o t a - t i o no ff ( x l ，z 竹) b ed e f i n e d b y z ? 1 z 挈w h e r et h es u m m a t i o n i so v e ra l l n o r m e g a t i v ei n t e g e rs a t i s f y i n gag i v e ns y s t e mo fl i n e a rd i o p h a n t i n ei n e q u a l i - t i e s i no r d e rt oc o m p u t ei tv i ap a r t i t i o na n a l y s i s ，o n en e e df i r s tt r a n s f o r m y ( x l ，z ，1 ) i n t oi t sc r u d e 扣mo f g e n e r a t i o n f u n c t i o n ，i e ， 廠( z 1 i ) 29 9 ( z ”z n ；a 1 ，a 2 ) t h e ni nt h en e x ts t e po n es u c c e s s i v e l ya p p l i e se l i m i n a t i o nr u l e su n t i lo n ef i r s t a r r i v e sar a t i o n a lf u n c t i o ne x p r e s s i o nw h i c hi sf r e eo fa l l 九i nt h i st h e s i st h e 1 2 臥 n a 刪椰 = 盱r 一 0 n 0 n a 00 4 0 f1，!一 莖( 1 一z 1 入l 入2 ) ( 1 一z 2 入3 入1 ) ( 1 一x a x 4 a 2 ) ( 1 一z 4 a 3 入4 ) i nt h ee 啦! 9 7 0 7 s ，s t a n l e y 【3 7 1s u c c e s s f u l l yu t i l i z e dp a r t i t i o na n a l y s i s i nh i sm o n u m e n t a lt r e a t m e n to fm a g i cl a b e l i n go fg r a p h s a p a af r o mt h i s o n es h i n i n gm o m e n t , p a r t i t i o na n a l y s i sh a sl a i nd o r m a n t a n d r e w sa n dh i s c o a u t h o r sp r e s e n t e das e r i e so fa r t i c l e s 【6 ，8 - 1 9 】t oc h a n g et h i ss i t u a t i o nb y d e m o n s t r a t i n gt h ep o w e ro fm a c m a h o n sm e t h o d i nc u r r e n tc o m b i n a t o r i a la n d p a r t i t i o n - t h e o r e t i cr e s e a r c h g o r g ee a n d r e w s 【6 】a n a l y z e da n dp r o v e dt h eb e a u t i f u lt h e o r e m , t h el e c t u r eh a l lp a r t i t i o nt h e o r e m ，v i am a c m a h o n 7 sp a r t i t i o na n a l y s i s g o r g ee 觚 d r e w s 【8 】a l s op r e s e n t e dan u m b e ro ft h e o r e m sw h i c hm a c m a h o no v e r l o o k e d ac a s ei np o i n ti st h a tt h en u m b e ro fp a r t i t i o n so fnw i t hn o n - n e g a t i v ef i r s t a n ds e c o n dd i f f e r e n c e sb e t w e e np a r t se q u a l st h en u m b e ro fp a r t i t i o n so f 竹i n t o t r i a n g u l a rn u m b e r s i n 【9 】g o r g ee a n d r e w sa n dp e t e rp a u l ei n t r o d u c e da n e n t i r e l yn e wa p p l i c a t i o n d o m a i nf o rm a c m a h o n 7 s o p e r a t o rt e c h n i q u e n a m e l y , p a r t i t i o na n a l y s i sc a na l s ob eu s e df o r p r o v i n gh y p e r g e o m e t r i cm u l t i s u mi d e n r i f l e s t h er e n a i s s a n c eo fm a c m a h o n s t e c h n i q u ep a r t l yd u et ot h ef a c tt h a ti ti s i d e a l l ys u i t e df o rb e i n gs u p p l e m e n t e db ym o d e mc o m p u t e ra l g e b r am e t h o d s w h i c ha r ei n t r o d u c e di nd e t a i li nc h a p t e r7 m a c m a h o n 【2 】c o n s i d e r e dp l a n ep a r t i t i o n sa san a t u r a la p p l i c a t i o nd o m a i n f o rp a r t i t i o n , b u ti nh i sb o o k 【2 】h ew r o t e “o u rk n o w l e d g eo ft h eo m e g a o p e r - a t o ri sn o ts u f f i c i e n tt oe n a b l eu st oe s t a b l i s ht h ef i n a lf o f i no fr e s u l t 1 1 1 i sw i l l 1 3 b ea c c o m p l i s h e db yt h ea i do fn e wi d e a sw h i c hw i l lb eb r o u g h tf o r w a r di nt h e f o l l o w i n gc h a p t e r s ：l d e s p i t eh i sn e g a t i v es t a t e m e n t ，a n d r e w s 【8 】8r e v i s i t e d2 - r o w e dp l a n ep a r - t i t i o n sa n ds u c c e