（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)專業(yè)論文）關(guān)于受控帶跳擴(kuò)散過(guò)程生存性質(zhì)的研究及應(yīng)用.pdf

山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 關(guān)于受控帶跳擴(kuò)散過(guò)程生存性質(zhì)的研究及應(yīng)用 朱學(xué)紅 ( 山東大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，濟(jì)南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 本文研究的是受控帶跳擴(kuò)散過(guò)程的生存性質(zhì)理論。 在許多控制系統(tǒng)中，人們常常需要相應(yīng)的狀態(tài)軌道滿足一些受限條件， 比如不跑出某個(gè)事先給定的閉集等等，此類問(wèn)題稱為系統(tǒng)的生存性質(zhì) ( v i a b i l i t y ) 。 關(guān)于系統(tǒng)生存性質(zhì)的研究，可追溯到上個(gè)世紀(jì)七十年代。最先研究得比 較多的是確定性情形，之后隨機(jī)情形也日漸有所發(fā)展，早期工作可參見(jiàn) 1 、 i 2 1 ，然而均是基于隨機(jī)切線錐面方法來(lái)研究的，且結(jié)果都只是充分條件； b u c k d a h nr 等人f 3 1 采用完全不同于前人的方法，結(jié)合最優(yōu)控制和粘性解理 論，得到了判斷i t 6 型正向方程生存性質(zhì)的充分必要條件；系統(tǒng)具有生存性 質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)閉集k 的距離函數(shù)的平方是相關(guān)h j b 方程的粘性上解。 本文的工作主要是在【3 】的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮了系數(shù)顯含時(shí)間t 并且 由布朗運(yùn)動(dòng)和泊松過(guò)程共同驅(qū)動(dòng)的正向方程的生存性質(zhì)： 塒y t 。兒= z + 虻霹?！? 一，坼) d r + 盯( r ，霹“”( ) ，坼) d t 礙 ，j 。， i t ( 1 1 ) + 7 ( _ x 譬“) ，z ) 丙 ( d z d r ) j tjz 本文的具體安排如下： 在第一節(jié)中，我們給出生存性質(zhì)的定義以及方程系數(shù)的一些基本假設(shè)， 并對(duì)方程的解做了一些估計(jì)，為下面一節(jié)中研究值函數(shù)的性質(zhì)做準(zhǔn)備。 笫二節(jié)，我們指出系統(tǒng)具有生存性質(zhì)實(shí)際上等價(jià)于如下最優(yōu)控制的存在 性問(wèn)題： w ，z ) _ 。艇。) e 8 坩和“州2 w t 4 “) d s 其中：d g ( z ) 表示集合k 的距離函數(shù)，a f 斟為容許控制集并研究了值 函數(shù)v ( t ，z ) 的相關(guān)性質(zhì)，給出相應(yīng)的b e l l m a n 原理。 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 我們知道，最優(yōu)控制的值函數(shù)一般是某個(gè)h j b 方程的粘性解。作為完 全可以獨(dú)立的一部分，第三節(jié)主要研究了如下時(shí)間空間均是無(wú)窮區(qū)間的非線 性二階積分一偏微分方程： f摯+inffa限z，“，。“(tz)。屯(t，z)口(t，x,vlitot v e u ) + ，( ，。，”) ) 警囂 慨1 ) 北z ， ，p ，m ) = 扣，z ，”) ) + 糾1 a ，盯盯( t ：茁口) 】 b ( t ，茁， ，$ ) = 西( t ，z + 吖( t 。z ，f ：) ) 一西( t z ) 一( d 多( t ) 1 ( t ：。， ，z ) l n ( d z ) j z 函數(shù)，關(guān)于( t ，z v ) 連續(xù)，關(guān)于 一致地關(guān)于x 連續(xù)，且關(guān)于z 平方增長(zhǎng)。并 且得到了本文中最重要的一個(gè)結(jié)論： 定理3 5 ：f ( t ，o ) ( ( ( t ，石) ) 非負(fù)、關(guān)于z 平方增長(zhǎng)，且為方程( 3 1 ) 的粘性下 解( 上解) ，則 f ( t ，z ) ( ( t ，。) ，v ( t z ) 0 + 。) r ” 在第四節(jié)中，作為方程( 31 ) 的特殊情況，當(dāng)f ( t z 。) 蘭終( z ) 時(shí)，利用 上節(jié)所得到的粘性解比較定理，得到了判斷閑集a | 關(guān)于系統(tǒng)( 1 1 ) 具有生存 性質(zhì)的判據(jù)： 定理4 2 ：在假設(shè)( h 1 ) 一( h 3 ) 成立的條件下，下面二者等價(jià)： ( i ) 閉集k 關(guān)于方程( 1 1 ) 具有生存性質(zhì) ( i i ) d 2 ( x ) 為方程( 4 1 ) 的粘性上解 在最后一部分，我們利用生存性質(zhì)理論，研究了一維帶跳隨機(jī)微分方程 的比較定理的充分必要條件。 關(guān)鍵詞：生存性質(zhì)，泊松過(guò)程，二階非線性積分一偏微分方程，粘性解 比較定理。 i i 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 t h ev i a b i l i t yp r o p e r t yo f c o n t r o l l e dj u m pd i f f u s l 0 n p r o c e s s e sa n di t sa p p l i c a t l 0 n s z h ux u e h o n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e ) ( s h a n d o n gu n i v e r s i t 5 ，j i n a n ) 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t i nt h i s p a p e r ，w es t u d yt h ev i a b i l i t yp r o p e r t yo fc o n t r o l l e dj u n l pd i f f u s i o n i ) r o c e s s e s i nm a n ys y s t e m sw i t hc o n t r 0 1 t h e c o r r e s p o n d i n gs t a t et r a j e c t o wm a yb e r e q u e s t e dt ob eu n d e rs o m ec o n s t r a i n t s ，f o re x a m p l e ，w i t h i nap r e s c r i b e dc l o s e ( t s u b s e tko ft h es t a t es p a c e t h ep r o b l e mo fe x i s t e n c eo fc o m r o ln i l ( t e ras t a t e c o n s t r a i n ti sc a l l e dt i l e v i a b i l i t yp r o p e r t yo ft h eu n d e r l y i n gc o n t r o ls y s t e m t h i sp r o b l e mh a sb e e nw i d e l ys t u d i e di nt h ed e t e r m i n i s t i cc g s ea n dal i t t l e b i tl e s si nt h es t o c h a s t i cc a s e t h em a j o rc o n t r i b u t i o n so f1 9 7 0 sa n d1 9 8 0 sa r e q u o t e di na u b i na n dd ap r a t o ( 1 9 9 0 1 1 1 ) a n dg a u t i e ra n dt h i b a u l t ( 1 9 9 3 1 2 ) b u t t h e s ep a p e r sa r ea l lb a s e do i lt h es t o c h a s t i c t a n g e n tc o n ea n dt h e ya r ea l l ，j u s t s u f f i c i e n tc o n d i t i o n s b u c k d a h ne t a 1 ( 1 9 9 8 3 ) u s ean e wa p p r o a c hd i f f e r i n gf r o m t h e f o r m e r s t h e ys t u d yt h ev i a b i l i t yp r o b l e ma s as t a n d a r dc o n t r o lp r o b l e m a n dd r a wan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tr e s u l t ：t h es q u a r eo fd i s t a n c ef u n c t i o no ft h i s c o n s t r a i n tki sav i s c o s i t 3 s u p e r s o l u t i o no fah a m i l t o n j a c o b i b e l h n a n e q u a t i o ni f a n do n l 3 i ft h es y s t e me n j o y st h ev i a b i l i t yp r o p e r t y i nt h i sp a p e r ，b a s e do n 3 1 w ec o n s i d e rt h e f o l l o w i n g e a s ew h e r et h ec o e f f i c i e n t s c o n t a i nt i m et e x p l i c a t e l ya n dt h es y s t e m sa r ed r i v e nb yb o t hb r o w n i a nm o t i o n a n dp o i s s o np r o c e s s ： j z ( ) ：2 z 。z ? ( r j 群1 7 口( ) ，”r ) d r + ，5 c r ( r ，j z ( ) ，”r ) d - 佴 ( ，) + ，5 1 7 ( r ，x i ! ( - ) ，”，。) ( d 。d r ) 。1 。1 i i i 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 t h ef o l l o w i n gi st h ea r r a n g e m e n to ft h i sp a p e r i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no fv i a b i l i t ya n ds o m ee s s e n t i a lh y - p o t h e s i sa b o u tt h ec o e m c i e n t s w ea l s oh a v es o m ee s t i m a t e sa b o u tt h es o l u t i o no f e q u a t i o n ( 11 ) w h i c hi sp r e p a r e df o rt h en e x ts e c t i o n t h es e c o n dp a r t w ep o i n to u tt h a tt h e v i a b i l i t yp r o p e r t yi si nf a c te q u i v a l e n t t ot h ee x i s t e n c eo fs o m eo p t i m a lc o n t r 0 1a s 如l l o w s ： 1 伽) _ 畦聰。、e e 扣。訊_ “乩j 脅 w h e r e ：d ( ( x ) m e a n st h ed i s t a n c ef l m c t i o no fc o n s t r a i n tk ，4 i t , o c ) i st h es e to fa d m i s s i b l ec o n t r o l s w ea l s os t u d ys o m e p r o p e r t i e so ft h ev a l u ef u n c t i o n x ) a n d g i v et i l ec o r r e s p o n d i n gb e l h n a np r i n c i p l e ， a si ti s e l lk n o w n t i l ev a l u ef u n c t i o n i z ) w i l lb et h eu n i q u ev i s c o s i t y s o l u t i o no fs o m eh j - b e q u a t i o n a sas e l f c o n t a i n e dp a r t t h et h i r ds e c t i o ni s a b o u tt h ef o l l o w i n gn o n l i n e a rs e c o n do r d e ri n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ： i 害+ ! 醇 - ( t ，z ，”，?！? t z ) ，d 。( t 。) ) + b ( 。，u ) + ，( t ，。) ) 1 一c u ( t z ) = o l 。三毀“( 抽) = o ( 3 1 ) 4 ( t ，z ， p 、 ，) = ( p ，b ( t ，z ， ) ) + i 1 圳m 盯7 ( t 點(diǎn)u ) b ( 2 - 。- ”，p ) 2 7 ( t ，z + | ( t z ”：) ) 一( ，。) 一( d 咖( t z ) 7 ( t ，。，目，。) ) 】n ( 如) ，i sc o n t i n u o u si n ( t ，。 ) ，c o n t i n u o u si n 。u n i f o r m l yo nua n d q u a d r a t i cg r o w t hi n z a n d 、1 v ：ed r a wt h em o s ti m p o r t a n tc o n c l u s i o ni n t h i sp a p e r ： t h e o r e m3 5 ：( ，z ) ( ( ( t ，。) ) i s n o n n e g a t i v ea n dq u a d r a t i cg r o w t hi nz w h i c hi st h ev i s c o s i t ys u b s o l u t i o n ( s u p e r s o l u t i o n ) o f e q u q t i o n ( 3 1 ) ，t h e n ( f ，z ) 0 ，z ) ，v ( t ? ) 0 十。) r “ i 、 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 t h ef o u r t hs e c t i o n ：i ne q u a t i o n ( 3 1 ) ，w h e nf ( t ，z ， ) 三壤( z ) p a r t i c u l a r l 3 r ， a p p l y i n gt h ec o m p a r i s o nt h e o r e mo fv i s c o s i t ys o l u t i o ni nt h ea b o v es e c t i o n ，w eh a v e t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r 3 c o n d i t i o no ft h ev i a b i l i t yp r o p e r t yo f e q u a t i o nf 1 1 ) ： t h e o r e m4 2 ：u n d e rt h e a s s u m p t i o n ( h 1 ) 一( h 3 ) ，t i l ef o l l o 聃r i n gs t a t e m e n t s a r ee q u i v a l e n t ： ( i ) ke n j 0 3 sv i a b i l i t 3 p r o p e r t 3 w i t hr e s p e c tt o ( 1 1 ) ( i i ) d l ( x ) i sav i s c o s i t ys u p e r s o l u t i o no f ( 4 1 ) i nt h el a s t s e c t i o n ，a sa na p p l i c a t i o no fv i a b i l i t 3 p r o p e r t y ，w es t u d yt h e c o m p a r i s o nt h e o r e mo f1 - d i m e n t i o n a ls t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h j u m p k e y w o r d s ：v i a b i l i d p o i s s o np r o c e s s ，s e c o n do r d e rn o n l i n e a ri n t e g r o d i f f e n e n t b t le q u a t i o n s 、i s 【o s i t ys o l u t i o n ，c o m p a r i s o nt h e o r e m 引言 在許多控制系統(tǒng)中，人們常常需要狀態(tài)軌道滿足一些受限條件，比如不跑 出某個(gè)事先給定的閉集a ，等等，此類問(wèn)題稱為系統(tǒng)的生存性質(zhì)( v i a b i l i t 5 r ) 。 關(guān)于生存性質(zhì)的研究，對(duì)于確定性情形而言非常廣泛，而對(duì)于隨機(jī)情 形，起步相對(duì)較晚。1 9 7 0 s 和1 9 8 0 s 期間的主要工作，可參見(jiàn)a u b i nj - p 、 d a p r a t o 1 】及g a u t i e r 、t h i b a u l t 2 ，他們基于隨機(jī)切線錐面的方法，給出了 一些判斷正向隨機(jī)系統(tǒng)生存性質(zhì)的充分條件。由于生存性質(zhì)理論在數(shù)學(xué)金融 學(xué)方面有很好的應(yīng)用，因而再度引發(fā)了許多學(xué)者的研究興趣。 b u c k d a h nr 、p e n gs 、q u i n c a m p o i x h i 及r a i n e rc f 3 1 四人首次采用 新的方法，結(jié)合最優(yōu)控制及粘性解理論，得出判斷如下正向系統(tǒng)生存性質(zhì)的 充分必要條件： d_x苫t。,。(-，：h、(：v二rev。()，p)dt+盯(五彳8 c _ ) ， ) d w 矗，f 。，+ 。c ) 對(duì)于這種新的研究生存性質(zhì)的方法，我們非常感興趣?？紤]到有很多受 控系統(tǒng)其系數(shù)是顯含時(shí)間t 的，并且其軌道也可能是跳躍性的，如： 艫虬) ：z + ，56 ( r 坶( 】m ) d 7 + ，s 小御圳j ，州w j + ，5 上竹席州) 脾，柚d r ) 其中霄( 以如) = ( 一內(nèi)) ( d 地) 為平方可積鞅，n 為泊松隨機(jī)測(cè)度，為其補(bǔ) 償子。是否對(duì)這樣一個(gè)系統(tǒng)的生存性質(zhì)問(wèn)題，仍有類似于f 3 】中的結(jié)果呢? 本文分如下五部分：第一節(jié)，給出了系統(tǒng)的描述及解的估計(jì)；第二節(jié)， 引出系統(tǒng)生存性質(zhì)問(wèn)題實(shí)際上等價(jià)于一類最優(yōu)控制的存在性問(wèn)題；第三節(jié)， 我們給出并證明了相關(guān)積分一偏微分方程粘性解比較定理；第四節(jié)，利用粘 性解比較定理，我們得到系統(tǒng)生存性質(zhì)的刻畫；最后，利用此結(jié)論研究了一 維帶跳隨機(jī)微分方程的比較定理。 第一節(jié)問(wèn)題的提出 令( 吐戶，p ) 為一完備概率空間 和平穩(wěn)泊松過(guò)程聯(lián)合產(chǎn)生的事件族 1 、d 一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)( w ：) 。，o ( 五) c ! o 是由下面相互獨(dú)立的布朗運(yùn)動(dòng) 且包含蘆中所有零測(cè)集： 2 、 ( 0 ，+ 。) x ( z 0 ) ) 上的泊松隨機(jī)測(cè)度，其中zc 冗，8 z 為相應(yīng) 的波雷爾域；其補(bǔ)償子l 對(duì)( d t d z ) = d t n ( d z ) ，滿足n ( z ) + 。；v a 8 z ， ( ( o ， 。4 ) = ( 一對(duì)) ( ( o - 4 ) ) 伽是五鞅。 令u 為一緊賦范距離空間，用 e i v ( s ) 1 1 2 d 8 + o 。，v 丁 hr 2 ) 成立的所有五一循序可測(cè)的隨機(jī)過(guò)程 ( ) 的集合。我們稱”( ) 4 h ，? ) 為容 x ：1 z = = z + 名。8 7 r 一一i 。 ( ) ，t r ) d r - z 5 c r ( r ，x j z ，# ( ) ，”r ) d i i ； f ，1 ) + ，8 1 7 ( n j ! ( _ ) ，u ，。) 霄( d ：d r ) 。1 1 b ： 0 ，+ 。) xr “xu r n o - ： 0 ，+ 。) r “u r ”。4 7 ： 0 ，+ 。) r ”u z _ r 7 t 定義11 ：我們稱閉集kc 船關(guān)于方程( 1 1 ) 具有生存性質(zhì)，如果 v ( t ，z ) 0 + 。) k ，存在完備概率空間( f 2 ，p ) ，d 維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)w 平穩(wěn)泊松隨醐機(jī)過(guò)程n ，及過(guò)程口( ) _ 時(shí)。) ，使得 ?！?，vs 阮+ 。) p o s 2 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 我們的目的就是要找出k 關(guān)于方程( 1 1 ) 具有生存性質(zhì)的充要條件。 假設(shè)： ( h 1 )b 、( 9 - 、7 關(guān)于( t 、z f ) 連續(xù) ( h 2 )v x ，。艫，t 0 + 。c ) 、”u ( b ( t ：z u ) 一b ( t ，z 7 ， ) z z 7 ) sl , l l x 一。7 i j 2 0 0 z 。) 一盯0 ，2 17 u ) g | i z z i 【 厶你叩小仲r ) 1 1 2 州。) 0 。 定理1 2 ；在假設(shè)( h 1 ) 、( h 2 ) 成立的條件下，v ( t ，z ) f 0 、+ 。c ) r “，u ( ) _ 記+ 。1 ，方程( 1 1 ) 存在唯一強(qiáng)解， 證明：見(jiàn)參考文獻(xiàn)( 4 或者 5 j 。 運(yùn)用經(jīng)哭辛緩，我們叫以得劍以f 關(guān)于解的估計(jì)： 命題1 3 ：j 常數(shù)虧 c ，及充分大的常數(shù)c + ，使得下面不等式成立 e i i x ：酬一x j 1 2 ( ij ( = | + ( 14 - e i i x ：嚴(yán)”f 2 ) ( s s 1 ) e o ( 8 - - s i ) ：s s l t f i i l 馴艫q 2 s c + ( 1 + l z i l 2 ) 1v ( 8 一t ) e e ( 3 一“，s t ( i i i ) 刑”- j 一驢川1 1 2 c 4 p l t 2 ) + i i x l 一x 2 i ( 2 1 e 。( 。- t 2 ) e ( c 一1 ) ( s - t 1 ) s2t l 芝t 2 ( 注：此處的c + 為泛指的常數(shù)，可以不相同) 3 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 證明：( i ) 為簡(jiǎn)單記：x ”( ) = x ，對(duì)i i x ，一x 。，1 1 2 ，7 e s 1 ，s 做i t 6 公式 e | | 墨一x s l l | 2 = e 序6 ( 1 , x t , 1 2 1 ”( 恥虬) ) d i + e ，h 勘) 1 1 2 d f + e f 加z m 礬：) j i l 惜喝臚 ( 6 ( f ，) 2 ( x 一一。) ) = ( b ( t x “t ，f ) 一b ( 1 ，x v 1 ) 、2 ( 工f 一五。) ) - 4 - ( b ( 1 ，x v 1 ) 2 ( 工f x 。) ) 2 p | | 置一k 。1 1 2 + d i i _ 一x 。1 1 2 + ；】| b ( f x 。) 1 1 2 盯( f ，x l ，地) 1 1 2 兒i _ 一工。十7 ( z 丑，。 j z 廠i k , ( 1 ，x ，地洲出 j z ( 1 + d ) 忡( f | y f ，2 ) 7 z 2 一工 x s i ，吼 x s 。l f 2 一( 7 ( ，五c f ，：) ，2 ( 一置) ) m d ：) ( 1 + g i x “s 川2 十( 1 + ) 伽州一只n 眥出) 因?yàn)閎 正 ，關(guān)于z 線性增長(zhǎng)，且n ( z ) + e c ，故存在常數(shù)c + ，使得： e | | 墨y s l i f 2 s c + ( 1 + e l l x s - i | 2 ) ( s s 1 ) + ( 2 u + 四+ c 1 + j + 四j + j d ) e 1 殛一x s l ij 2 d i j 8 1 可選取d 充分小，使得2 p + 喏+ c l + j + 四d + c i j e c ，并利用g r o n w a l l 不等式，我們有： e | | 、r 。一- y s 。1 1 2se + ( 1 + e 0 x 。| | 2 ) ( s s 1 ) e e ( 8 - s i 4 d 力口k 一墨20x 1 一隋我 d 數(shù)謄給汪 而 y盯 2 + 姐 k + 0 靶 + x n “ + 盯 2 一 j 腎忙四 + + 一 一 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 ( i i ) 酬工i 2 e ( n x 一。| | 4 - f x 1 1 ) 2 s2 e l i x 。一x 儼+ 2 1 1 x l l 2 s 2 1 1 2 1 1 2 + 2 c 4 ( 1 + 1 i r 1 2 ) ( s t ) e c ( 5 。) c + ( 1 + i z l l 2 ) 1v ( s t ) 】c ( s 一。) 故( i i ) 實(shí)際上是( i ) 的一個(gè)推論。 ( i i i ) 對(duì)1 | 一；1 “。一一；2 “，”愾r i t l 8 】做i t 6 公式，為簡(jiǎn)單記 霹m z 川= 霹，x t 2 , x ：, v ( = 霹 e ij x ) 一霹j 1 2 = e i i r - 醒 1 2 + e ( 6 ( f ，對(duì)m ) 一6 ( f ，砰，q ) ，2 ( x , 1 一埒) ) d e j i 盯( f ，研，) 一盯( f - 砰，饑) 臚馥 j t ij t l 十e z z 川一研+ 州? 研，：) 州，督叱刮【2 圳w x 剮2 一( ，( ? ，- 甜訕，。) 一v ( 1 ：工f ，t l ，：) 2 ( 一1 一w ) ) 禮( d ：) d 莖e 1 i f l x i l l 2 + 心”+ 島+ c ) e i i x ? 一；1 1 2 d l 再次利用g r o n w a l l 不等式，我們有： 馴鬻z t f l 2 s 2 e i i x ：一z 2 1 1 2 + 2 1 1 茁2 2 ：1 1 i 2 c + ( 1 + z 2 1 2 ) 0 l t 2 ) e 。( t l - - t ! + 2 1 i x 2 一z l l l 2 c 4 1 一t 2 ) + | | z l x 2 1 1 2 】e e ( h b ) 因此： e 1 1 瑤一霹l f 2 莖c + ( t 1 一2 ) + | i z l z 2 2 e e ( 。，一如) e ( c 一1 ) 【s 一， 口 a p。 酸 一0e 一 2 鬈 一 霹 e 據(jù)根而 第二節(jié)與一類最優(yōu)控制問(wèn)題的聯(lián)系 如果我們定義值函數(shù)如f ： ) _ 。；髓。e e 。p 。u a 2 刪( y - t “1 ) 如 其中，d k ( r ) 表示集合k 的距離函數(shù)。顯然，若關(guān)于方程( 1 1 ) 具有生存 性質(zhì)，當(dāng)且僅當(dāng)：最優(yōu)控制存在，且v u ，x ) = 0 ，v ( t ，z ) f 0 ，+ o c ) k 首先，讓我們看看函數(shù)h t z ) 的性質(zhì)： 命題2 ，l ；l ( f ：t ) c ( o + o 。) r “) 且存在常數(shù)c + ，使得 v ( t z ) c + ( 1 + l i x l l 2 ) v ( t 工) 【0 ，+ 。) r “ 證明：為簡(jiǎn)單記： - “，= ，曩一”( ) = 馨，m ”( = 凡 不妨設(shè)t l t 2 曠( t 1 x lj v ( t 2 ，現(xiàn)) i 一吒瓢。e t ，re - c ( s - h ) 靠( 一肛d s 。；世。，e f “e 。卜喇2 r 2 燦j 一。；如，ef 。e 卅“淞。i i - t 2 ) d s - 。囂。、f 。e _ c ( 州出 ss u p e - c ( s - t z ) j d - ( 、0 。一。) + d ( 叉詈) j | d ( x - l 。- - t 2 ) 一d g ( x ；) l d , s y e a 9 ，+ )j 虹 r 一 曼s u p e 一( 1 0 _ 2 1 【d k ( x i 。一c 。) + d k ( x ；) 】2 ) + e d 耳( x 0 “一。，) 一d ( x ：) 1 2 ；幽 由命題( 1 3 ) e d k ( 霹柏噸) + d u ( 霹) 】2 e i i x l 。一。i f + ij 霹| | + 2 d , ( o ) j 2 s 3 ( e 0 霹+ 。一圯2 + 霹l 2 十4 d ；( o ) 】 c + ( 1 + 1 1 1 1 | 2 + j 1 2 27 f 2 ) 1vs t 2 ) e c ( s - t 2 ) e i d ( x 2 柏噸) 一d k ( 霹) j 2 s 馴豫幻一霹f i 。 2 酬豫磙2 別豫“- 也一硎。 s c + f ( 。l 2 ) + f f z l 一。2 f f 2 】e 。( 1 如) e 舊一1 ) ( s t t l + - _ + ( 】+ e f f y ? f i 2 ) ( 。一2 ) 。( 。一。 s 叫( 。1 如) 圳z z 一印 f 2 j 1v ( s 一鍘e 于( r 。一：j 所以存在常數(shù)c + ( 依賴于j k 悒2j j 。) ，使得 ”( t l ，茁1 ) 屯，z 2 ) i ? e 書(shū)c m 一屯) + 飩憚f lv ( s - 緋瓣吣卜圳如 麗( _ r g ，故i ( t z ) c ( i o ，+ o c ) x 月n 1 再看平方增長(zhǎng)性，因?yàn)?d 奄( 工js ( j j 0 + d ，( o ) ) 2s 2 五j | 2 + 2 ( o ) 所以 。) s 。i n h f + 。，e + ”e e ?！? 2 i i x 。1 1 2 + 2 d a k ，( o ) ) d 8”o 一j ， 。 i 由命題1 3 e j j 置臚c ( 2 + f f z f f 2 ) 1v0 t ) 7 e 于。t 因?yàn)? 0 ，我們有： f ( f z 卜。囂。、e l 。t + 6 e 叫“訊驢) 蚺e - c d v ( t + 5 , 礴町，) 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 證明：根據(jù)定義 、7 ( t ，z ) = 。；，。i n m f + 。，e + 。e g 。一q d 齋( x 。t j 。p 【f ) d s = 。；娥刊e 以e z 扣“礞( 磚“乩) 如+ 。“州2 山- t “。) d s ) = 。瓢。) e j ( 8 。”略2l n t 。州) 如 - t - e 一c 5 i n f，+ o ce - c b 一( + 6 1 。a 2 、( 。v 。t + 6 ，x ；o ”。一( 1 ) d s ) “4 ”5 + ) + j = 。飄。，e 哆 8 - c 和。露”。) 如+ e - c 5 i + d - r t + , v j , 叭。) 在給出相應(yīng)h j b 方程之前，我們先給出下面一些記號(hào)( 參見(jiàn)【9 】) ： 馴n 慨) 枷m 鄧刪 0 刊枷吲n 刪s u p 嘧黜 刪v 俐 對(duì)于f 0 ，+ 。) 丁r “，u c - 1 p r ”， ，s ”( 這里s ”表示所有n n 對(duì) 稱矩陣空間) ，我們定義： 。4 ( t ，r 、。p 、，) = ( p 6 ( t ，z ，。) ) ；打f j ，盯口( ，r 1 7 ) 1 對(duì)于7 7 ( 0 1 ) p c o 2 ( o + ) r “) ，我們定義： b 。( t ，z ，f ，曲) = 【西( z 十 ，( f z ， ：) ) 一西( t z ) 一( d o ( t ，r ) ，7 ( t ，z ， ，。) ) 釓【d ：) j z r i - - 1 ( 1 ) 此記號(hào)也可以換寫為； 。+ y t ( t ，z ，t j ，：) ) 7 7 ( f ，z ，u ，z ) l d y n ( d z ) 由于 ，( t ，z ，f z ) 線性增長(zhǎng)，故當(dāng)( t z ) 固定時(shí)， ( t ，z u ，z ) 關(guān)于t ，口，。一致有界 因此被積函數(shù)可以被某個(gè)常數(shù)g ( 僅依賴于t 。) 所界住，再加上n ( z ) + 所以積分關(guān)于p 一致收斂，且對(duì)每個(gè)固定的( t z ) ： 囂溜島( 幽。) = o 8 ( 2 1 1 口 2 d打 鱸 一l 奶廠加 掣 啦 e 水 吁 島廠厶 = 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 對(duì)于o c 2 ( 1 0 ，+ 。) r “) ，我們定義： 廣 。b ”( t ，z z o 咖，p ) = 西( t ，z + 7 ( t z ，u ，z ) ) 一( t ，z ) 一( p 7 ( ，。， 。) ) ( d 2 ) j z n l q ) 由于g ( o ，+ 。) x 月“) ，故存在常數(shù)( i r 使得 i 曲( ，z ) 墨0 ( 1 + i z l f 2 ) v ( t ，z ) 0 ，+ 。c ) r “ 且 關(guān)于t 線性增長(zhǎng)，因此被積函數(shù)可以被某個(gè)常數(shù)c ( 僅依賴于p z ) 所界 住，再由扎( 刁 0 ，因?yàn)?1 i 啦( f ，z ) 0 且f ( ，z ) 0 閏 故存在t