（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)專業(yè)論文）評估ibnr準(zhǔn)備金的隨機(jī)方法.pdf

摘要 保險(xiǎn)事故的發(fā)生、報(bào)告與立案三者之間都存在著時間上的延遲，所以在會計(jì)評估e l ， 保險(xiǎn)公司不僅要為已報(bào)告的賠案估算準(zhǔn)備金，還必須為已發(fā)生但尚未報(bào)告的賠案做資金 準(zhǔn)備，即i b n r ( i n c u r r e db u tn o tr e p o r t e d ) 準(zhǔn)備金，這是賠款準(zhǔn)備金的重要組成部分 在會計(jì)評估日，保險(xiǎn)公司計(jì)提i b n r 準(zhǔn)備金時，通常是指廣義的i b n r 準(zhǔn)備金，包括了 純i b n r 準(zhǔn)備金( p u r ei b n r ) i b n r 準(zhǔn)備金評估的準(zhǔn)確性對公司的財(cái)務(wù)核算、客觀反 映經(jīng)營成果和確保公司償付能力有著重大的影響 由于i b n r 準(zhǔn)備金沒有可以直接利用的個案信息，因而所涉及的不確定性最高，評 估難度最大，無論是理論界還是實(shí)務(wù)界，迄今尚未出現(xiàn)廣泛認(rèn)可的評估技術(shù)和預(yù)測模型， 因此有很大的研究空聞在我國，隨著非壽險(xiǎn)長尾業(yè)務(wù)的開展，對i b n r 準(zhǔn)備金的評估 從之前的“不超過當(dāng)年實(shí)際賠款支出額的4 提取”改進(jìn)為“采用鏈梯法，案均賠款法， 準(zhǔn)備金進(jìn)展法和b f 法中的至少兩種方法進(jìn)行謹(jǐn)慎評估”，逐步與國際通行做法接軌但 是由于我國關(guān)于i b n r 準(zhǔn)備金評估的研究還剛剛起步，精算評估制度還存在商榷和改進(jìn) 的空間 以上提到的比率法、鏈梯法、案均賠款法、準(zhǔn)備金進(jìn)展法和b - f 法都是確定性方法， 即最終只是估計(jì)出一個確定的值，而無法說明這個值有多大的偏差，有多大的準(zhǔn)確性由 于i b n r 準(zhǔn)備金實(shí)質(zhì)上是一個隨機(jī)變量，因此我們可以用統(tǒng)計(jì)的方法去估計(jì)它的值，同 時給出它的置信區(qū)間這樣得到的結(jié)果將是更有說服力的 論文共四章，首先介紹了選題的背景；第二章對i b n r 準(zhǔn)備金的產(chǎn)生、定義作了說 明。闡述了單獨(dú)評估i b n r 準(zhǔn)備金的必要性，并且簡單介紹了評估i b n r 準(zhǔn)備金的確定 性方法和隨機(jī)方法；第三章提出了一種基于時間序列的評估i b n r 準(zhǔn)備金的方法，并作 了修正；第四章是這種評估方法一個實(shí)例模擬 本文的創(chuàng)新之處在于構(gòu)建了一種評估 b n r 準(zhǔn)備金的隨機(jī)方法t 利用時間序列的方 法預(yù)測出到評估日為止已經(jīng)發(fā)生的全部賠案數(shù)，并利用二次規(guī)劃及截尾正態(tài)分布兩種方 法對其進(jìn)行修正，然后減去已經(jīng)報(bào)告的賠案數(shù)，得到i b n r 賠案數(shù)，進(jìn)而估計(jì)i b n r 準(zhǔn) 備金這個模型的關(guān)鍵在于i b n r 賠案數(shù)的預(yù)測本文同時給出了m i n i t a b ，l i n g o 等軟 件的模擬結(jié)果 關(guān)鍵詞ti b n r 準(zhǔn)備金；i b n r 賠案數(shù)；偏相關(guān)函數(shù)；自相關(guān)函數(shù)；二次規(guī)劃； 截尾正態(tài)分布 a b s t r a c t t h e ei sd e l a yi nt h eo c c u r r e n c e ，r e p o r t ，a n ds e t t i n g - u po fc l a i m s o nt h ed a t eo f v a l u a t i o n ，t h ei n s u r e r sn o to n l yh a v et oe s t i m a t er e s e r v e sf o rr e p o r t e dc l a i m s ，b u ta l s o h a v et om a k ec a p i t a lp r e p a r a t i o nf o rt h o s ei n c u r r e db u tn o tr e p o r t e dc l a i m s ，t h a ti si b n r r e s e r v e ，w h i c hi st h ev i t a lp a r to fl o s sr e s e r v e w h e nt h ei n s u r e r sr e f e rt oi b n rr e s e r v e ， t h e ya l w a y sm e a nm o r et h a np u r ei b n rr e r v e t h ep r u d e n tw a yo fc a l c u l a t i o ni b n r r e s e r v eh a sg r e a ti m p a c to i lt h ei n s u r e r s l i a b i l i t yv a l u a t i o n ，s o l v e n c ya n dp e r f o r m a n c e a s s e s s m e n t s i n c ei b n rp r o v i s i o nh a su oc a s ei n f o r m a t i o nt or e l yo nd i r e c t l y , i ti sw i t ht h em o s t u n c e r t a i n t ya n da s s e s s m e n td i m c l l l t y t i l ln o w ，m a n yr e s e a r c h e sv a nb ed o n es i n c et h e r e a r en op u b l i c l ya c c e p t e dt e c h n i q u e sa n dm o d e l si nb o t ht h e o r ya n dp r a c t i c e i no u rc o n n - t r y , w i t hm o r ea n dm o r el o n g - t a i lb u s i n e s s e si n s u r e d ，i b n rr e b e r v ei sc h a n g i n gf r o m “n o t m o r et h a n4p e r c e n to fa c t u a lp a i dl o s s e st h a ty e a r 。t o 。a tl e a s ep r u d e n t l ye s t i m a t i n g i b n ri nt w ow a y ss u c ha sc h a i nl a d d e r ，p a y m e n t sp e rc l a i m ，r e s e r v ed e v e l o p m e n ta n d b fm e t h o d ”w h i c hi sm u c hc l o s e rt oi n t e r n a t i o n a lc r i t e r i o n as i n g l ev a l u ec a nb ec a l c u l a t e dt h r o u g ht h o s em e t h o d sm e n t i o n e da b o v e h o w e v e r i ti sd i f f i c a l tt os a yh o wa c c u r a t et h ev a l u ei s s i n c ei b n rr e s c u ei sar a n d o mv a r i a b l e s t o c h a s t i cm o d e l sc a nb es e tu pt oe s t i m a t ei t se x p e c t e dv a l u e v a r i a n c ea n dc o n f i d e n c e i n t e r v a l t h er e s u l tc a nb em o r ea c c e p t a b l e i nt h i sp a p e r ，t h e r ea r ef o u rp a r t s f i r s t l y , t h ep a p e ri n t r o d u c e dt h eb a c k g r o u n do f t h ei s s u e s e c t i o ni ig a v et h ed e f i n i t i o no fi b n rr e s e r v e t o l dw h yn e e dt oe s t i m a t ei b n r s e p a r a t e l y , a n db r i e f l yi n t r o d u c e dv a l u a t i o nm e t h o d s e c t i o ni i id e s i g n e dat i m e * s e r i e s m o d e lt oe s t i m a t et h en u m b e ro fi b n rc l a i m s s e c t i o ni vi sa ne x a m p l et oi l 1 u s t r a t et h e m e t h o dm e n t i o n e di ns e c t i o ni i i t h ei n n o v a t i o no ft h i sp a p e ri su s i n gt i m es e r i e sm e t h o d t oe s t i m a t et h en u m b e ro fi b n r ，a n da d j u s t i n gr e s e tw i t hq u a d r a t i cp r o g r a m m i n ga n d t r u n c a t e dn o r m a ld i s t r i b u t i o n k e y w o r d s li b n rr e s e r v e ，n u m b e ro fi b n r ，a u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o n ，p a r t i a l a u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o n ，q u a d r a t i cp r o g r a m m i n g ，t r u n c a t e dn o r m a ld i s t r i b u t i o n 學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人所呈交的學(xué)位論文是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果據(jù) 我所知，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不包含其他個人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研 究成果對本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個人和集體，均巳在文中作了明確說明并表示謝 意 作者簽名，燃 日期i1 2 學(xué)位論文使用授權(quán)聲明 本人完全了解華東師范大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，學(xué)校有權(quán)保留學(xué)位論文 并向國家主管部門或其指定機(jī)構(gòu)送交論文的電子版和紙質(zhì)版有權(quán)將學(xué)位論文用于非贏 利目的的少量復(fù)制并允許論文進(jìn)入學(xué)校圖書館被查閱有權(quán)將學(xué)位論文的內(nèi)容編入有關(guān) 數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索有權(quán)將學(xué)位論文的標(biāo)題和摘要匯編出版保密的學(xué)位論文在解密后適 用本規(guī)定 學(xué)位論文作者簽名勃謅 日期：以b 導(dǎo)師簽名 日期： 輥雄 汐列 第一章引言華東師范大學(xué)碩士論文1 第一章引言 1 1問題背景 i b n r ( i n c l l r r e db u tn o tr e p o r t e d ) 準(zhǔn)備金，即已發(fā)生未報(bào)告準(zhǔn)備金，是保險(xiǎn)公司對 已經(jīng)發(fā)生但尚未報(bào)告的賠款給付所做的資金準(zhǔn)備在保險(xiǎn)公司非壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)的各項(xiàng)準(zhǔn)備金 中，i b n r 準(zhǔn)備金沒有可以直接利用的個案信息，因而所涉及的不確定性最高，評估難度 最大，無論是理論界還是實(shí)務(wù)界，迄今尚未出現(xiàn)廣泛認(rèn)可的評估技術(shù)和預(yù)測模型，因此有 很大的研究空間i b n r 準(zhǔn)備金評估的準(zhǔn)確性對公司的財(cái)務(wù)核算、客觀反映經(jīng)營成果和確 保公司償付能力有著重大的影響，一直受到保險(xiǎn)公司保單持有人保監(jiān)會，稅務(wù)機(jī)關(guān)， 股東，潛在投資者等的廣泛關(guān)注 對于在評估核算日之前已經(jīng)發(fā)生了保險(xiǎn)事故的理賠責(zé)任，有報(bào)告延遲和理賠延遲兩 大不確定因素財(cái)產(chǎn)理賠一般是在一年或兩年內(nèi)完成，而責(zé)任賠付的情況卻有著根本性 的不同責(zé)任賠付的最終金額通常要等到索賠事件發(fā)生幾年后才會知道例如，發(fā)生在美 國的醫(yī)療事故中，保費(fèi)收入中只有4 一6 的賠償是在事件發(fā)生的當(dāng)年年底支付的，大 約5 0 是在事件發(fā)生的第三年支付的，而保費(fèi)收入的8 5 一9 5 是在事件發(fā)生十年之 后支付的【1 】又比如，工人在工作中吸入石棉而導(dǎo)致石棉肺( a s b e s t o s i s ) 的職業(yè)病，直至 最后轉(zhuǎn)變?yōu)榉伟┑臐摲诤荛L( 最長可達(dá)5 0 年) 2 有資料顯示，保險(xiǎn)業(yè)為石棉和環(huán)境 ( a & e ) 污染賠款提取的準(zhǔn)備金有約5 5 0 億美元的缺口【3 】可見預(yù)測未來支付的難度被 以下這個事實(shí)加大了；有相當(dāng)大的一部分索賠在年度報(bào)表評估日甚至還未予以報(bào)案，因 此需要精算師進(jìn)行所謂的i b n r 準(zhǔn)備金估算 在美國保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中，準(zhǔn)備金評估方法主要分為三類。損失進(jìn)展法( 包括鏈梯法、案均 賠款法，準(zhǔn)備金進(jìn)展法) 、損失率法、兩種方法的綜合( b f 方法和s - b 方法) 采用鏈梯 法，準(zhǔn)備金評估結(jié)果對流量三角型左下角數(shù)據(jù)極為敏感，進(jìn)展因子較小的變動就會導(dǎo)致 評估結(jié)果巨大的波動而損失率法過于重視近期賂付經(jīng)驗(yàn)，忽略賠付進(jìn)展規(guī)律，很難符合 實(shí)際s - b 方法( 又稱c a p e - c o d 方法) 同b - f 方法類似，都綜合運(yùn)用賠付延遲模式規(guī)律 和基于風(fēng)險(xiǎn)的期望賠付率，其最大創(chuàng)新之處在于使用歷史經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)來估計(jì)最終期望損失 率，而不依賴于賠付經(jīng)驗(yàn)判斷最終損失率因而在再保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中，再保險(xiǎn)人因缺乏最終損 失率，或者當(dāng)定價(jià)精算師的期望損失率與實(shí)際經(jīng)驗(yàn)不一致時，該方法更為有效 第一章引言華東師范大學(xué)碩士論文2 長期以來，我國財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)主要為短尾業(yè)務(wù)，i b n b 準(zhǔn)備金比重相對較小，根據(jù)財(cái)政部 1 9 9 9 年1 月頒布的保險(xiǎn)公司財(cái)務(wù)制度，采用不超過當(dāng)年實(shí)際賠款支出額的4 提取， 強(qiáng)調(diào)已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金的準(zhǔn)確性但隨著職業(yè)責(zé)任險(xiǎn)、醫(yī)療事故責(zé)任險(xiǎn)、雇主責(zé)任險(xiǎn) 等長尾業(yè)務(wù)的開展，根本無法準(zhǔn)確估計(jì)已報(bào)告賭案未來賠付進(jìn)展，如仍然采用上述規(guī)則 提取i b n r 準(zhǔn)備金，必將錯誤評估公司負(fù)債鑒于此，保監(jiān)會于2 0 0 4 年年底及2 0 0 5 年 2 月相繼出臺了保險(xiǎn)公司非壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)準(zhǔn)備金管理辦法( 試行) 和保險(xiǎn)公司非壽險(xiǎn)業(yè) 務(wù)準(zhǔn)備金管理辦法實(shí)施細(xì)則( 試行) ，對i b n r 準(zhǔn)備金的核算作了新的規(guī)定；根據(jù)險(xiǎn)種 風(fēng)險(xiǎn)性質(zhì)、分布、經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)等因素，采用鏈梯法、案均賠款法、準(zhǔn)備金進(jìn)展法和b - f 法等 其它合適的方法中的至少兩種對i b n r 準(zhǔn)備金進(jìn)行謹(jǐn)慎評估關(guān)于i b n r 準(zhǔn)備金核算方 法的規(guī)定正逐步與國際通行做法接軌 2 0 0 5 年5 月3 1 日美國財(cái)產(chǎn)意外險(xiǎn)精算協(xié)會執(zhí)行委員會頒布財(cái)產(chǎn)意外險(xiǎn)賠款 和理賠費(fèi)用準(zhǔn)備金原則的聲明最新討論稿，強(qiáng)調(diào)賠款準(zhǔn)備金估計(jì)的內(nèi)在不確定性，未來 將會在統(tǒng)計(jì)的框架下，采用德機(jī)方法評估準(zhǔn)備金這將成為我國準(zhǔn)備金評估未來的發(fā)展 方向 1 2研究思路及論文框架 筆者在文中是按以下思路展開分析的r 首先，闡述i b n r 準(zhǔn)備金的定義及產(chǎn)生原因， 說明i b n r 準(zhǔn)備金的重要性；其次，簡要介紹評估i b n r 準(zhǔn)備金的確定性方法和隨機(jī)方 法；然后，文章著眼于隨機(jī)方法，構(gòu)建基于時間序列的評估模型，并舉了一個這種模型的 實(shí)例；最后，提出值得繼續(xù)研究和有待商榷的問題 論文共分四章t 第一章是本文選題的背景；第二章對i b n r 準(zhǔn)備金的產(chǎn)生、狹義 i b n r 準(zhǔn)備金、廣義i b n r 準(zhǔn)備金、單獨(dú)評估i b n r 準(zhǔn)備金的必要性，以及評估i b n r 準(zhǔn) 備金的方法做了介紹；第三章在評估i b n r 準(zhǔn)備金的“平均法”的啟示下，利用時間序列 的方法去預(yù)測i b n r 賭案數(shù)，并利用二次規(guī)劃及截尾正態(tài)分布的方法進(jìn)行修正，進(jìn)而估 計(jì)i b n r 準(zhǔn)備金；第四章是上述構(gòu)造的模型的應(yīng)用和模擬；最后是結(jié)束語 第一章引言 華東師范大學(xué)碩士論文3 1 3 論文創(chuàng)新點(diǎn) 保監(jiān)會頒布的管理辦法( 試行) 中提到的鏈梯法、案均賠款法、準(zhǔn)備金進(jìn)展法和 b - f 法都是評估i b n r 準(zhǔn)備金的確定性方法，著眼于流量三角形的應(yīng)用但是由于i b n r 準(zhǔn)備金是一個隨機(jī)變量，在統(tǒng)計(jì)的框架下，采用隨機(jī)方法評估準(zhǔn)備金，這將成為我國準(zhǔn)備 金評估未來的發(fā)展方向 本論文的創(chuàng)新之處在于第三章的模型構(gòu)造和第四章的模擬第三章中利用時間序列 的方法首先預(yù)測出已發(fā)生的賠案數(shù)，再結(jié)合二次規(guī)劃及截尾正態(tài)分布對已發(fā)生賠案數(shù)的 預(yù)測值進(jìn)行調(diào)整，然后減去到評估日為止已經(jīng)報(bào)告的賠案數(shù)，即得到已發(fā)生未報(bào)告的賠 案數(shù)( i b n r 賠案數(shù)) ，最終得到i b n r 準(zhǔn)備金第四章是舉例對上述原理的應(yīng)用 第二章i b n r 準(zhǔn)備金評估的基礎(chǔ)原理華東師范大學(xué)碩士論文4 第二章i b n r 準(zhǔn)備金評估的基礎(chǔ)原理 在介紹i b n r 準(zhǔn)備金之前，先對非壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金作一個說明 2 1非壽險(xiǎn)準(zhǔn)備金 保險(xiǎn)公司通過和客戶簽訂保險(xiǎn)合同，先收取保費(fèi)，一旦客戶在保險(xiǎn)期間內(nèi)出險(xiǎn)，并屬 于保險(xiǎn)責(zé)任，則保險(xiǎn)公司對客戶進(jìn)行賠償從這里我們看到，保險(xiǎn)公司是負(fù)債經(jīng)營，業(yè)務(wù) 收入( 保費(fèi)) 在先，主要成本支出( 賠款) 發(fā)生在后然而保險(xiǎn)公司對客戶的負(fù)債具有很 大的不確定性，因?yàn)榭蛻粼诒ｋU(xiǎn)期間內(nèi)是否會發(fā)生保險(xiǎn)事故，是否需要理賠，理賠額究竟 多大，這些都是無法確定的因此保險(xiǎn)公司必須為將來需要履行的保單責(zé)任及其相關(guān)支 出做一定的資金準(zhǔn)備，這些資金就是我們所說的。責(zé)任準(zhǔn)備金。，是保險(xiǎn)公司負(fù)債的主要 構(gòu)成 我們可以從一張非壽險(xiǎn)保單的生命周期來看一下責(zé)任準(zhǔn)備金的構(gòu)成。以一張一年期 保單為飼，其保險(xiǎn)期間從2 0 0 6 年6 月1 日開始，到2 0 0 7 年5 月3 1 日期滿結(jié)束。保險(xiǎn) 公司通常以每年的最后一天( 1 2 月3 1 日) 作為評估日，計(jì)提各種準(zhǔn)備金如圖2 1 所示 在本例中，評估日正好處于保單有效期內(nèi) 保險(xiǎn)事故? 評估日 生效日 扎 期滿日 2 0 0 6 - 6 - l2 0 0 6 - 1 2 3 12 0 0 7 - 5 - 3 1 圖2 1 年期保單的生命周期圖 我們需要判斷的是；至評估b2 0 0 6 年1 2 月3 1 日，是否發(fā)生了保險(xiǎn)事故? 保險(xiǎn)公司 是否已經(jīng)支付了賠款? 如果評估日前沒有發(fā)生保險(xiǎn)事故，保單在0 7 年仍然有效，則應(yīng)該將這張保單收取的 保費(fèi)分為兩部分；一、保險(xiǎn)公司已經(jīng)承擔(dān)了從生效日到評估b 的保險(xiǎn)責(zé)任，這部分為“已 賺保費(fèi)”，是保險(xiǎn)公司的利潤；二。從評估日到次年的期滿日，為“未賺保費(fèi)”，是保險(xiǎn)公 司的負(fù)債，稱為。保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金( p r e m i u mr e s e r v e ) ” 如果評估日前已經(jīng)發(fā)生了保險(xiǎn)事故，但保險(xiǎn)公司還沒有結(jié)束賠付責(zé)任，保險(xiǎn)公司則 第二章b n r 準(zhǔn)備金評估的基礎(chǔ)原理華東師范大學(xué)碩士論文5 要提取“賠款責(zé)任準(zhǔn)備金( 1 0 s sr e s e i 、r e ) ，包括。未決賠款準(zhǔn)備金( o u t s t a n d i n gc l a i m r e s e r v e ) 和。理賠費(fèi)用準(zhǔn)備金( c l a i ma d j u s t m e n te x p e n s e sr e s e r v e ) 。，用以未來支付給保 單持有人的賠款和支付理賠過程中發(fā)生的費(fèi)用其中未決賠款責(zé)任又可進(jìn)一步分為兩種 情況，一種是所發(fā)生的保險(xiǎn)事故已經(jīng)報(bào)告到了保險(xiǎn)公司，即保險(xiǎn)公司已經(jīng)知道了該事故 而做的資金準(zhǔn)備，稱為。已發(fā)生已報(bào)告賠款準(zhǔn)備金( c a s er e s e r v e ) ；另一種是盡管保險(xiǎn) 事故已經(jīng)發(fā)生，但該事故還未報(bào)告到保險(xiǎn)公司，即保險(xiǎn)公司還不知道該事故而做的資金 準(zhǔn)備，稱為。已發(fā)生未報(bào)告賠款準(zhǔn)備金( i n c u r r e db u tn o tr e p o r t e d ，i b n rr e s e r v e ) ”此 外，理賭費(fèi)用也可進(jìn)一步分為直接理賠費(fèi)用和間接理賠費(fèi)用 綜上所述，非壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金的構(gòu)成如圖2 2 所示 未決賠款準(zhǔn)備金f 已發(fā)生已報(bào)告賠款準(zhǔn)備金 賠款責(zé)任準(zhǔn)備金f 。已發(fā)生未報(bào)告賠款準(zhǔn)備金 非壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金f。理賭費(fèi)用準(zhǔn)備金 言囂喜萎三 保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金 圖2 2 非壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金的構(gòu)成 2 2i b n r 準(zhǔn)備金的產(chǎn)生 賠付周期是指保險(xiǎn)事故從發(fā)生到最終結(jié)案的整個生命期一個完整的賠付周期如圖 2 3 所示： 事故 、 發(fā)生 會計(jì)日通知賠付結(jié)案 重提 賭付 結(jié)案 t l t t 2t s t 4 t 5 t 6 t 7壇t9 圖2 3 賭付周期 第二章i b n r 準(zhǔn)備金評估的基礎(chǔ)原理華東師范大學(xué)碩士論文6 從圖2 3 可以看出，t l 到t 2 的時間段內(nèi)，由于導(dǎo)致索賠的事件發(fā)生了，因而保險(xiǎn)公 司有賠付的責(zé)任，但如果保險(xiǎn)公司并不知道這一賠案的存在，即評估日t 在報(bào)告日如之 前( t l t 0 ，使得 = 啦一療1 a t l 一如m 一2 一島n t 一口，其中島0 ； ( i i i ) 五) 二：滿足a r m a ( p ，q ) 模型；若存在i o , 口 0 ，使得 = 母1 盈一l + q h z t 一2 + + 如一p + d - o l a t 一1 一如吼一2 一- 8 q a t q ，其中如吼0 若此時定義滯后算子b s b p z , = z a - p ，p o ) ，則上述三種模型可以如下表示 ( i ) 盈) + 一。o o 滿足a r ( p ) 模型錯( 1 一也b ) 魂= a t ； ( i i ) 忽) ：三滿足m a ( q ) 模型錯= ( 1 一塞0 j b j ) a t ； j = ( i i i ) ) ：滿足a r m a ( p ，q ) 模型錚( 1 一薹咖k = ( 1 一塞o ) 啦 一 j 2 1 所有上式中，紼0 在此情況下，我們得到a r ( p ) 和m a ( q ) 的特征方程如下t a r ( p ) 的特征方程定義為一妒( z ) = 1 一妒1 9 1 一2 轤一諱擴(kuò)； m a ( q ) 的特征方程定義為口( z ) = 1 一口1 2 1 一如妒一如 定義3 1 5 魂) ：稱為可逆的，若滿足， ( i ) 施) + 一o 。o 是滿足m a ( q ) 或a r m a ( p ，q ) 的； ( i i ) 存在常數(shù)7 r k ，= 1 ，2 ，使得t ( 1 一島) ( 1 一e 仉擴(kuò)) = 1 3 2a r t m a ( p ，q ) 模型的性質(zhì)與模型構(gòu)建 為時間序列找到一個合適的模型不是一件很簡單的事，在這個過程中，我們需要采 取多步檢驗(yàn)的方法主要是下面三個步驟；模型初步確立，模型擬合和模型診斷 模型初步確立t 在這過程中，主要是為觀測的時間序列初步選定一個( 一組) 合適 的模型我們可能要觀測到不同的散點(diǎn)圖，計(jì)算不同的統(tǒng)計(jì)量，還要應(yīng)用數(shù)據(jù)所在領(lǐng)域的 專業(yè)知識等但需要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)的是此步選擇的模型中僅僅是試驗(yàn)性的，在后面的分析中 很可能會修正 在模型的初步選擇階段，我們要遵循“簡潔性原則”即模型在符合已知數(shù)據(jù)特征 的情況下盡可能含有少的參數(shù)a l b e r te i n s t e i n 曾說過“e v e r t h i n gs h o u l dh em a d ea 8 s i m p l e p o s s i b l eb u tn o ts i m p l e r ” 第三章基于索賠次數(shù)的i b n r 準(zhǔn)備金的評估方法華東師范大學(xué)碩士論文1 3 模型擬合模型擬合階段，我們要基于觀測數(shù)據(jù)去估計(jì)被選模型中的一個或多個參 數(shù)在此階段，我們通?？紤]的方法有最小二乘法，極大似然估計(jì)法等 模型診斷t 模型診斷主要是對我們在模型初步確立中得到的模型進(jìn)行評估如t 模型 對數(shù)據(jù)的擬合好不好? 模型的假設(shè)是否很合理的滿足? 如果充分性被保證，則模型構(gòu)建過 程結(jié)束，模型可以使用；否則，我們要回到模型初步確立階段，重新進(jìn)行模型的構(gòu)建，直 到找到合適的為止 即模型的構(gòu)建是一個循環(huán)的過程，幸運(yùn)的是，在今天計(jì)算機(jī)軟件的強(qiáng)大支持下，上面 的過程可以很好地操作在模型構(gòu)建階段主要運(yùn)用m i n i t a b 軟件 3 2 1 a r ( p ) 模型的性質(zhì) 若 ) + 一。o o 滿足a a ( p ) 模型，則我們有下面的性質(zhì)z 性質(zhì)l ： ) ：是平穩(wěn)的 = 亭 ) ：的特征方程廬( z ) = 0 的根的模都大于1 在實(shí)際應(yīng)用中，對于一個p 次方程很難知道它的解的模是否都大于1 ，為此，我們需 要利用h e n r i c i 1 4 在1 9 7 4 年提出的理論，結(jié)合計(jì)算機(jī)的編程去解決我們?yōu)榱藬⑹龅姆?便，下面討論a r ( p ) 都是在平穩(wěn)的條件下進(jìn)行的 性質(zhì)2 ta r ( p ) 中，對vk p ，妒k = 0 證明；根據(jù)前面一節(jié)介紹的偏相關(guān)函數(shù)的定義，我們可以知道；在a r ( p ) 模型中， 一l ，z t 一2 ，z t p ，z t 一+ 1 對缸的最佳預(yù)測為# 妒1 缸一1 + 也一2 十1 + 如一p ， 同樣，存在一個函數(shù)h ( 一1 z t2 ，z t - p ，z t 一 + 1 ) ，使得一1 ，盈一2 ，盈一p ，免一k + l 對z t t 的最佳預(yù)測為， ( 盈一l ，z t 一2 ，一，z t p ，盈一k + 1 ) ， 從而我們由定義知， 機(jī)t = c o y z 一毋l 盈一1 一也魂一2 = c o y a ，z t k h ( z t l z t 一2 ， = 0 魂訖 o 鈾 慨 一 第三章基于索賠次數(shù)的i b n r 準(zhǔn)備金的評估方法華東師范大學(xué)碩士論文1 4 性質(zhì)3 za r ( p ) 中，自相關(guān)函數(shù)滿足y u l e - w a l k e r 方程 至簍：三 m ：一：耋 即對于m a ( 1 ) ，在我們只能算出自相關(guān)函數(shù)的情況下，能得出兩個p 的值，說明模 型不唯一另一方面，在m a ( q ) 滿足可逆性的條件下，模型可以轉(zhuǎn)化為a r 模型，此時 在e ( x ) = 0 的根的模都大于1 的條件下，可以得到定義( 3 1 5 ) 的條件( i i ) 滿足，可以知 道模型轉(zhuǎn)化成功 第三章基于索賠次數(shù)的工b r 準(zhǔn)備金的評估方法華東師范大學(xué)碩士論文1 5 三羔至置 第三章基于索賠次數(shù)的i b n r 準(zhǔn)備金的評估方法華東師范大學(xué)碩士論文1 6 在經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)方法中，參數(shù)估計(jì)主要有矩估計(jì)法，最小二乘法以及極大似然估計(jì)法， 當(dāng)然在時間序列中也不例外但是我們也要注意，根據(jù)已有的成果，并不是上述三種方法 中的每一種都能很好地對每一時間序列模型作出有效的令人滿意的估計(jì) 在矩估計(jì)中，我們知道主要用樣本矩去模型參數(shù)對所有的模型，我們均可用樣本均 值去估計(jì)總體均值同時，我們也可用矩估計(jì)法去估計(jì)白噪聲的方差仃2 和 0 - 一b o 。o 的方 差伽其中伽的估計(jì)如下， 一1 ) s 2 ：堡l 一1 7 , 一l 對于a r ( p ) 模型；z t = 妒l 施一1 + 如盈- 2 + + 如忽，+ a t ，因?yàn)?e ( 吼) = e 啦( 1 忽一1 + 也魂一2 + + 如施一p + n t ) 】= 礦 e ( 盈) = e 【( l 施一1 + 也磊一2 + + 如p + a t ) 所以我們有t y 0 = 1 饑- i - 九仇+ + 緯+ 礦， 上式兩邊同時除以7 0 ，結(jié)合m = 等有； 口2 加=1 一曲1 p l 一也，) 2 一如p p e i 以： 旁2 = ( 1 一毒1 r l 一如r 2 一一西r p ) s 2 ， 其中f 1 ，f 2 ，r p 分別表示樣本的自相關(guān)系數(shù) 對于m a ( q ) 模型tz t = a t 一口1 0 t 一1 0 2 a t 一2 一毗一口，因?yàn)?e ( z t 盈) = e ( a t o z a t 一1 8 2 a t 一2 一一如d t q ) ( 吼一日i n t 一1 0 2 a t 一2 一一銘n t q ) 】 所以我們有t 7 0 = ( 1 - i - 口；+ 鐫+ - 4 - ) 口2 ， 所以： 。礦 仃。= 1 = ：一 1 + 日 + 鐫+ + 鉛 第三章基于索賠次數(shù)的i b n r 準(zhǔn)備金的評估方法華東師范大學(xué)碩士論文1 7 對于a r m a ( p ，q ) 模型，同樣可以用相關(guān)的樣本矩和參數(shù)估計(jì)值對礦進(jìn)行估計(jì) 但是對于a r ( p ) ，m a ( q ) 及a r m a ( p ，q ) 模型來說，矩估計(jì)僅對a r ( p ) 有著較高的 效率，對于m a ( q ) 以及a r m a ( p ，q ) 來說，效率并不高，參見 17 】例如，對于m a ( t ) 來說，參數(shù)0 的矩估計(jì)在大樣本下的方差為t y a r ( a ) = 1 + 1 0 2 + f 4 0 廁4 + 薩r + 一0 s ， 而在后面介紹的最小二乘法和極大似然估計(jì)法中，此方差為t v a r 兩：型， 但是這并不意味著矩估計(jì)在m a ( q ) 模型中毫無用處，因?yàn)楹竺娼榻B的兩種估計(jì)都需要利 用迭代運(yùn)算，此時我們可以通過矩估計(jì)得到參數(shù)的初值 在最小二乘法中，我們可以用來對a r ( p ) ，m a ( q ) 及a r m a ( p ，q ) 模型中的參數(shù)進(jìn) 行估計(jì)，其中對a r ( p ) 的估計(jì)結(jié)果與用矩估計(jì)法得到的結(jié)果在大樣本的情況下近似相同 【1 5 】，主要不同的是對于m a ( q ) 的估計(jì)此時我們必須運(yùn)用可逆性條件將其轉(zhuǎn)化為a r 模型，在利用最j 、- - 乘法 運(yùn)用極大似然估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)之一是在于它利用了數(shù)據(jù)中的所有信息，而不僅僅是樣本 的一階矩和二階矩另一優(yōu)點(diǎn)就是在大樣本的情況下，我們已經(jīng)有了很過一般性的結(jié)論 但是不足之處在于我們要知道它們的聯(lián)合分布，在本文中，我們都假設(shè)白噪聲服從獨(dú)立的 正態(tài)分布，其中均值為零，方差為口( 未知) 這樣我們就可以利用模型結(jié)構(gòu)導(dǎo)出 盈) 一+ 。o o 的聯(lián)合分布，然后利用經(jīng)典的極大似然原理求解出參數(shù)的估計(jì)值 這一部分的估計(jì)，我們均可用m i n i t a b 軟件產(chǎn)生，但我們要牢記一點(diǎn)，m a ( q ) 模型 不適宜用矩估計(jì)法 3 2 5 模型診斷 本部分的內(nèi)容主要是檢驗(yàn)前面得到的模型是否是充分的如果是充分的，我們就可 以運(yùn)用于實(shí)際中；如果模型是不充分的，我們必須回到前面一節(jié)去重新確定模型和確定 階數(shù)在模型診斷階段，主要從兩個方面入手：擬合的殘差分析和過度擬合分析 對于擬合的殘差分析，我們主要采用多變量檢驗(yàn)b o x 和p i e r c e 于1 9 7 0 1 8 1 年提出 了b o x p i e r c e 統(tǒng)計(jì)量l q = n 2 第三章基于索賠次數(shù)的i b n r 準(zhǔn)備金的評估方法 華東師范大學(xué)碩士論文1 8 其中缸= 弧一缸，璣是觀測值，蟊是擬合值他們證明了若模型符合a r m a ( p ，q ) ，則 q x 2 ( k p g ) 但是l j u n g 與b o x 于1 9 7 8 年陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了當(dāng)n = 1 0 0 時，q 并不 近似服從x 2 統(tǒng)計(jì)量，于是二人對上述統(tǒng)計(jì)量作了調(diào)整得到了調(diào)整的b o x - p i e r c e 統(tǒng)計(jì)量 【1 9 】( l j u n g - b o x - p i e r c e 統(tǒng)計(jì)量) t k 出 = n ( n + 2 ) 點(diǎn) 注意到當(dāng)石n + 霄2 1 時，q q ，關(guān)于兩者的討論可以參加 2 0 l 在實(shí)際應(yīng)用中，我們可以 用m i n i t a b 得到k = 1 2 ，2 4 ，3 6 ，4 8 時q + 的值，從而根據(jù)上述原理對模型作出診斷 過度擬合是我們在統(tǒng)計(jì)中經(jīng)常遇到的問題，如在實(shí)際問題中，可能a r ( 2 ) 模型是合 適的，此時如果我們用a r ( 3 ) 很可能會產(chǎn)生過度擬合問題我們說a r ( 2 ) 是確定的，若 滿足一 ( 1 ) 額外參數(shù)九的估計(jì)值并不非常顯著； ( 2 ) l 與也的估計(jì)與用a r ( 2 ) 得到的估計(jì)值并沒有顯著的變化 但是，在實(shí)際情況下，像上述兩個條件都滿足的很少在實(shí)際情況下，主要通過下述三個 原則定模型： 原則一。仔細(xì)鑒別原始模型如果一個更簡單的模型能夠擬合數(shù)據(jù)，那么我們在嘗試 用復(fù)雜模型時一定要小心； 原則二t 當(dāng)擬合不好時，不要同時增加a r 和m a 的階數(shù)； 原則三，如果模型的階數(shù)真的要增加，按照同類別的模型贈加，如m a ( i ) 擬合不好， 我們應(yīng)該嘗試著用m a ( 2 ) 而不是a r m a ( 1 ，1 ) 3 3普通a r m a ( p ，q ) 模型的預(yù)測 本部分討論的a r m a ( p ，q ) 模型均已滿足可逆性和穩(wěn)定性條件 定義3 3 1 盈) ：稱為廣義線性過程，若其滿足t z t = a t + 7 h a t 一1 + 7 r 2 0 一2 + 其中 啦) ：是白噪聲序列，e ”： 0 為z t + l 的最小 均方誤差估計(jì)，若滿足。 磊( z ) = e 十l i 盈，z t 一1 ，旬】 由定義3 3 2 可知，對于a r m a ( p ，q ) 來說 盈= 曲1 一1 + + 奶z t p + a t 一日l 啦一1 一如a t 一口 此時z t “的最小均方誤差估計(jì)為， 磊( z ) = e l 盈+ f 一1 + - + 如z t + l p + 啦+ l o l a t + f 一1 一- 一o q a t + t gj 魂，一1 ，z 1 】 = 毋1 磊( f 一1 ) 4 - + 如芻0 一p ) + e a t + l i 磊，z t 一1 ，z l 】 - 0 t e a f + l l l 盈，盈一1 ，一，z l 】一一o q _ g a t + l 9 1 旎z t1 ，z l 】， ( 3 3 1 ) 其中： e a t 卅鈾，z 1 】= o ， 。1 ； 。0 t 鉀， j 0 ， 磊o ) = 盈鉀，一曬一1 ) j 0 同時，a r m a ( p ，q ) 在可逆且平穩(wěn)的條件下有e ( 1 一也b ) 五= ( 1 一e , b j ) m ， 第三章基于索賠次數(shù)的i b n r 準(zhǔn)備金的評估方法華東師范大學(xué)碩士論文2 0 所以由可逆性 p口 = ( 1 一機(jī)) - 1 ( 1 一毋b ) 啦 i = 1 j = l + = ( 1 + 仉b ) 啦， k = l + 若滿足7 r 2 0 ； 礦稱為( 3 4 1 ) 的一個嚴(yán)格整體最優(yōu)解，若r s 且滿足f ( z + ) 0 ； 下面我們不加證明地引入不等式約束條件下非線性規(guī)劃問題( 3 4 1 ) 滿足最優(yōu)解的 必要性和充分性條件，證明參見【2 1 ，2 2 】 必要性條件； 定理3 4 1 ( f r i t zj o h n 條件) 對于非線性規(guī)劃問題( 3 4 1 ) ，若 ( i ) x 為非空開集； ( i i ) ，歷在礦s 上可微； 若礦是( 3 4 1 ) 的局部解，則存在不全為零的數(shù)k ，w ，i = 1 ，2 ，m 滿足f r i t z j o l l i l 條件t a ；v f ( x ) 一n v 9 i ( 礦) = o ； 磚研( 礦) = 0 ，i = 1 ，2 ，一，m ； a ；，k 0 ，t = 1 ，2 ，m 第三章基于索賠次數(shù)的上b r 準(zhǔn)備金的評估方法華東師范大學(xué)碩士論文2 2 其中v f ( x ) 壘( 著，器) t ，表示f 在x 上的梯度 定理3 4 2 ( k u h n - t u c k e r 條件) 對于非線性規(guī)劃問題( 3 4 1 ) ，若 ( i ) x 為非空開集； ( i i ) 歷在礦s 上可微； ( i i i ) v g i ( x ) ，i j ( 礦) 線性無關(guān) 若礦是( 3 4 1 ) 的局部解，則存在不全為零的數(shù)對， = 1 ，2 ，m 滿足k u h n - t u c k e r 條件。 v f ( x + ) 一磚v 甄( 礦) = o ； i = l a ；吼0 ) = 0 ，l = 1 ，2 ，m ； a 鑫，k 0 ，i = 1 ，2 ，m 其中i ( x + ) = 引g i ( x ) = 0 ，i = 1 ，2 ，m ， 充分性條件 定理3 4 3 對于非線性規(guī)劃問題( 3 4 1 ) ，若礦s 且 ( i ) ，m 在礦處二階可微， ( i i ) 存在塒，在礦處滿足k u t m - t u c k e r 條件， ( i i i ) 對于每個y m ，其中m = jy t v g t ( x + ) = 0 ，i j ( 礦) ，x o ) 都有， f 7 【v 2 他+ ) 一k v 2 肌( z ) 】y 0 t = l 則礦是( 3 4 1 ) 的嚴(yán)格局部解其中v 2 ，( z ) = ( 差) 表示f 在x 的h e s s e 矩陣 若在( 3 4 1 ) 中f ( x ) = z 7 h z ，z 艫，h 艫“且對稱，其他條件不變，則上述同 題轉(zhuǎn)化為帶不等式約束條件的二次規(guī)劃問題。 m 饑 z 7 日。 f 3 4 2 1 5 t 吼( z ) 0 ，i = 1 ，2 ，m 此時我們有如下結(jié)論【2 3 b 定理3 4 4 若h 是( 正定) 半正定矩陣，則( 3 4 ，2 ) 中的目標(biāo)函數(shù)是( 嚴(yán)格) 凸函數(shù)， 此時( 3 4 2 ) 稱為( 嚴(yán)格) 凸的二次規(guī)劃問題，此時任何k u h n - t u c k e r 點(diǎn)必為二次規(guī)劃的 全局最小點(diǎn) 第三章基于索賠次數(shù)的i b n r 準(zhǔn)備金的評估方法華東師煎本堂硬避2 3 在實(shí)際問題中，優(yōu)化問題的求解都是通過計(jì)算機(jī)運(yùn)用迭代方法計(jì)算的本文應(yīng)用的 優(yōu)化問題軟件是運(yùn)籌學(xué)軟件l i n g o ，運(yùn)籌學(xué)軟件主要有l(wèi) i n d o 和l i n g o 2 4 ，2 5 。2 6 】，其中 前者主要解決線性規(guī)劃問題，后者主要用于非線性規(guī)劃 3 4 2 截尾正態(tài)分布 在可靠性系統(tǒng)中，由于許多實(shí)際問題的觀察數(shù)據(jù)并不是對稱的，而是斜的，或者觀 察數(shù)據(jù)只能取正值而不能取負(fù)值，許多人認(rèn)為用正態(tài)分布作為失效理論分布是不合適的 【2 7 ，2 8 】，所以提出了截尾正態(tài)分布【2 9 ，3 0 】，這是截尾正態(tài)分布產(chǎn)生的歷史背景 定義3 4 2 若隨機(jī)變量x 的分布密度為t r t 一，2 地) ：f 蕊1 8 一節(jié)z 、0，霉 白，= n 1 ，2 ，m ，c j 表示一列已知數(shù)對數(shù)據(jù)進(jìn)行中心化i z 2 璣一p ，弘2 齋至弘，= 1 ，2 ，再令z n + j = y n + j p ，j = 1 ，2 ，肼，則調(diào)整后的預(yù)測模型為 e n + j = n + + p ，j = 1 ，2 ，m 其中三卅，j = 1 ，2 ，m 為甜 的預(yù)測值，滿足t m l r a i n ( 三憎 1 一l 皇鉀) 2 ，= l 8 t 知鉀+ p 白，i = 1 ，2 ，一，m 令2 = ( 三+ 1 ，知+ 2 ，知+ 肘) r ， 則有t a m ( j l f 1 ) = h m = 2 a a 7 = - 咖1 0000 1 一毋1 000 01一曲l 00 0 001 一曲1 0 0001 即模型可以表示成形如( 3 4 2 ) 的形式 r a i n 2 7 日2 s t n + j + 扯2c j ，t = 1 ，2 ，m 這樣可以利用我們前面的帶不等式約束的二次規(guī)劃理論進(jìn)行求解 、 o o 勁2 一 1 p 。 | ；堋銚 。緲 o o 一 軌塒 。 一 1 烈 一 嘴聊 | ；。 第三章基于索賠次數(shù)的i b n r 準(zhǔn)備金的評估方法華東師范大學(xué)碩士論文2 6 若利用截尾正態(tài)分布，則預(yù)測模型為 z n + i = 妞2 n + i 一1 + n n + i ，j = 1 ，2 ，m 其中 o “) 滿足截尾正態(tài)分布，截尾點(diǎn)為2 ：0 ，卅= c j p ，j = 1 ，2 ，m 令e ( a n + j ) = 肌鉀，j = 1 ，2 ，m ，且令孑 = e ( z 卅) ，結(jié)合( 3 4 3 ) 我們有： je ( z n + j ) ；1 e ( 細(xì)州一1 ) + p + j ，j = 1 ，2 ，一， ， 【e ( z n ) = z n 利用f n + j = e ( y n + i ) = 知 + 脅j = 1 ，2 ，m ，估計(jì)出 卅的值