（運(yùn)籌學(xué)與控制論專業(yè)論文）n值邏輯系統(tǒng)中命題的絕對(duì)真度及其隨機(jī)化理論.pdf

摘要 無論是二值邏輯還是多值邏輯，都注重形式推理而不大關(guān)心數(shù)值計(jì)算數(shù)理邏輯 側(cè)重嚴(yán)密的邏輯推理，而缺乏數(shù)值計(jì)算的靈活性和廣泛的應(yīng)用范圍通過把數(shù)值計(jì)算 引入到數(shù)理邏輯中，就可以建立起符號(hào)化與數(shù)值計(jì)算之間的聯(lián)系 “指派真值”的做法或多或少已經(jīng)反映出了數(shù)理邏輯概念的程度化思想程度化 的思想也正是人腦智能的反映王國俊教授從邏輯理論基本概念的程度化入手，提出 了計(jì)量邏輯學(xué)，通過把數(shù)值計(jì)算融入到數(shù)理邏輯系統(tǒng)中，使得數(shù)理邏輯更加靈活，應(yīng) 用也更加廣泛 計(jì)量邏輯學(xué)研究的邏輯系統(tǒng)主要包括經(jīng)典的二值命題邏輯系統(tǒng)l 、l u l 【a s i e w i c z 多 值邏輯系統(tǒng)l n 以及命題演算系統(tǒng)幺l 王國俊教授在文獻(xiàn)【9 】中通過引入邏輯公式的的 真度7 - ( a ) ，進(jìn)一步，引入了公式間的相似度和偽距離，從而建立了一套基于程度化理 論的近似推理框架 本文的研究目的和主要工作： 1 對(duì)于邏輯系統(tǒng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究，是一個(gè)重要的研究課題，已成為非經(jīng)典邏輯 系統(tǒng)基礎(chǔ)研究和應(yīng)用研究的重要方向之一本文將主要研究剩余格在幾類常見邏輯系 統(tǒng)中的基本應(yīng)用和特征性質(zhì) 2 文獻(xiàn) 8 1 基于測(cè)度論的思想，通過將賦值集向測(cè)度空間中的可測(cè)子集的轉(zhuǎn)化，利 用均勻概率空間的無窮乘積測(cè)度，在經(jīng)典命題邏輯中建立了公式的真度理論此后，文 獻(xiàn)【1 5 ，1 6 1 也基于測(cè)度論的思想，將公式的真度理論推廣至n 值l u k 戚e w i c z 命題邏輯系 統(tǒng)中文獻(xiàn)f 1 5 】中公式的真度定義是通過均勻概率空間的無窮乘積測(cè)度給出的，其中涉 及到無窮維的向量，因此不便于通過計(jì)算機(jī)編程來實(shí)現(xiàn)真度的數(shù)值計(jì)算本文將回避 均勻概率空間的無窮乘積測(cè)度，借助公式所誘導(dǎo)出的函數(shù)，給出一種新的絕對(duì)真度定 義，是對(duì)原有方法的改進(jìn)和簡化從而使得任意一個(gè)公式的絕對(duì)真度都可在有限步內(nèi) 利用計(jì)算機(jī)計(jì)算出來，使得本文的方法在算法上實(shí)現(xiàn)成為可能因此也將具有更好的應(yīng) 用價(jià)值 3 文獻(xiàn)【8 】在經(jīng)典二值命題邏輯系統(tǒng)中，利用測(cè)度論的方法，引入了邏輯公式的真 度，相似度，偽距離等概念，從等概率的觀點(diǎn)出發(fā)，研究了均勻概率空間中的情形，即讓每 個(gè)原子公式p 賦值為0 和1 的概率測(cè)度均為l 2 的情形文獻(xiàn)f 1 0 ，1 5 ，1 6 1 將公式真度的概 念推廣至n 值l u l c 嬲i e 麗c z 邏輯系統(tǒng)中，研究了每個(gè)原子公式p 賦值為的概率測(cè)度均 為1 加的情形這些研究的一個(gè)顯著特點(diǎn)就是每個(gè)原子公式的發(fā)生都是等概率的這 捅要 種等概率的觀點(diǎn)不能很好地體現(xiàn)概率具有隨機(jī)性的特點(diǎn)從而極大地限制了計(jì)量邏 輯學(xué)理論的應(yīng)用范圍本文將在非均勻概率空間中，利用概率測(cè)度的方法，研究了四種 常見n 值邏輯系統(tǒng)中公式賦值為的概率測(cè)度服從某一類離散型隨機(jī)分布列的情 形，引入了邏輯公式概率真度的概念和表達(dá)式，討論了其性質(zhì)在非均勻概率空間中，每 個(gè)原子公式的賦值不一定相等，這樣就更接近實(shí)際生活中的應(yīng)用，具有更好的應(yīng)用價(jià) 值然后在剩余格上引入了i 廠模糊相似的定義，給出了四種死值邏輯系統(tǒng)中公式間相似 度的定義和統(tǒng)一表達(dá)式，并研究了相似度的若干特征性質(zhì)；最后引入了公式間的偽距 離，為n 值命題邏輯的近似推理理論提供了另外一種可能的框架 關(guān)鍵詞：數(shù)理邏輯，蘊(yùn)涵代數(shù)，三角模，剩余格，絕對(duì)真度，絕對(duì)相似度，偽距離 a b s t r a c t t h ec h a r a c t e r i s t i e0 fm a t l l e m a t i c a l1 0 西cl i e 8i ns 洫b o h z a t i o n 齜l df o r m 反i i z a t i o n ， w h i c hi 8 叫t ed i 玨e r e n t 行o mc o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s t h ef o r 地re m p h a s i s e s o nf o 珊a 1r e a 8 0 n i i 培a n ds t r i c tp r o o f w h i l et h el a t e rc o n c e r 娜w i t hn 1 皿曲e r i c a lc o i n p u t a t i o na n d 印p r o x i m a t es o l u t i o 璐c o m p u t a t i o n a l lm a t h e m a t i c si sm o r e 丑e ) d b l e t h a nm a t h e m a t i c a ll o 舀c i tc a nb l l i l dt h ec o n n e c t i o nb e t w e e nm a t h e m a t i c a ll o 舀ca n d c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c 8b yb r i n 舀n gt h em m l b e r i c a lc a l l c u l a t i o ni n t om a t h 鋤a t i e a l l l o 舀c t h em e a n0 f ”d e s i g n a t e dt r u t hv a l u e s ”i nm a t h e m a t i c a ll o g i ch a dr e n e c t e dt h e i d e ao f 黟a d e dm e t h o d a l s o ，g r a d e dm e t h o di st h er e f l e c t i o no fi d e o l o 科p r o 惱s o r w 撕gg u o j u i l 髑t a b l i 8 h e dt h eq u a n _ t i t a t i v el o 舀cb 嬲l e do nb a u s i c1 0 舀cc o n c 印t s c o n - 8 e q u e n t l y n u l b e r i c a lc a l c u l a t i o nw a si n t r o d u c e di nt h em a t h e m a t 硫1 0 百c i tm a k e s t h em a t h e m a t i cl o 舀cm o r en e ) d b l ea n du s e a b l e i nw 婦g sp 印e r 9 】，t h et r u t hd e g r e ew 嬲i n t r o d u c e d a tt h es a m et i m e ，8 i m i l a r i t y a n dp s e u d 0 - d i s t a n c ew e r ea l s 0d e 6 n e db a 8 e do nt h ec o n c e p to ft r u t hd e g r e ew h i c h p r o v i d e sap o 蹈i b l ef 鋤明幻r kf o ra p p r o 販m a t e t h em a i nw r o r ko ft h i sp 印e ri n c l u d e s ： c h 印t e ro n e ：t h es t u d yo fa l j 驢b r a 行a m e w o r ki nf u z z y 峪cs y s t e m si sa ni i n _ p o r t a n tt 嬲k a n di th a db e c 伽a ne n l b r a n c h m e n ti nt h er e s e 甜c ho fn o n - c l a s s i c a l l i d 西cs y s t e m s 1 1 1t h i 8c h 印t e r ，s o m ep r e l i i n i n a r i e sa 艙r e c a u e da n dt h ec h 盯a c t e r i s t i 娼 0 ft n o r ma n dr e 8 i d u a t e dl a t t i c 稻a r ei n v 鏹t i g a t e d a n da l s op u to u tt h ec h 盯a c t e r i s t i c o ft - n o n n 趾dr e s i d u a t e dl a t t i c e s c h 印t e rt w o ：1 1 1 【1 0 】，b ym e a 璐o fi n f i n i t ep r o d u c tm e a 8 u r eo f 心r m l yd 誨 t r i b u t e dp r o b a b i l i t ys p a c 簀，t h ea u t h o rm a d em e n t i o no ft h et r u t hd e 留e et h e o r y ，w l l i d h w a sb a s e do nm e a s u r et h e o 礙l a t e r ，t h et r u t hd e g r e et h e o 巧w a se 吼e n d e dt ot h e 伽 v a d u e d l u k a s i e w i c zl o 西c8 y 8 t e mb yl l s i n gt l l i sm e t h o d b u t ，a l lt h ea t ) o v ew o r k sr u ni n t h eu n i f o r m l yd i s t m ) u t e dp r o b a b i u t ys p a c 鶴t h i 8d 商n i t i o n0 ft m t hd e g r e ew a sb u i l t o ni 礎(chǔ)血t ep r o d u c tm e 鷦u r e ，t h e 代f o r e ，t h ec a l c m a t i o n0 ft r u t hd e 伊e ei s 、r e l 了d i 伍c l t l t a n dc 觚n o tb er e a h z e db ya l g o r i t h m t h i sc h 印t e r 麗ua v o i dt h ec o n c 印to fi 血i l i t e p r o d u c tm e 嬲u r e ，a n d 舀v ea n e wd e f i i l i t i o no ft r u t hd e 附a b s o l u t et r u t hd e g r e e i t 8 i i j a b s t r a c t ar e f o m a t i v ea n dl a c o n i cd e f i n i t i o nw h i c hm 出啪i tp 0 8 s i b l et oc o m p u t et m t hd e 口e 鏹 o ff b r i n u l a sb yc o m p u t e r c h 印t e rt h r e e ：i nc l a s 8 i c a 王脅d u e dp r o p o s i t i o n a ll o g i c8 y s t e m ，t r u t hd e g r e 髑o f f o r d 虬d 鷦w e r ed e 丘n e db ym e 鵝u r et h e o f y a l j s ot h es i m i l 盯i t ya n dp s e u d 伊d i s t a n c ew e r e 行o mt h e 、r i e w p o i n to fe q u a lp r o b a b i h t y t h ep 0 嘲i b i h t yt h a te a 血a t o m i cp r o p o s i t i o n h o l d si 8u n 渤r ma n de q u 幽t o 言t h er a n d o m 訖a t i o nc h 盯a c t e r i s t i c0 fp r o b a b n i t y w a 瞎n o tr e f l e c t e du i l d e rt l l i 8m e t h o d i nt h i sc h a p t e r ，右r 8 t l y ，b a s e do nt h em e t h o d o fp r o b a b i l i t ym e a s u r e ，t h ec o n c e p t0 fp r o b a b i h t y 銅l t hd e 伊e e s 強(qiáng)di n t r o d u c e di t s g e n e r m 釵p r e s s i o ni n 皿e v e i d yp r o b a b i h t ys p a c ei 8 舀v e n s e c o n d l y t h es i m i l a r i t y d e 留e eb e t w e e nt w 0f o m n d 嬲o nar e s i d u a t e dl a t t i c ei sd e 丘n e di nt e r m so f 【廣f u z z y s i i i l i l a r i t y a n dt h ec h a r a u c t e rp r o p e r t i e sa u r ed i s c u s s e di nf o u r 帥e so f 佗一v a l u e d l o 舀cs y 8 t e m 8b a s e do nt h el e f t c o n t i i l u o u st - n o r m s l a s t l y ，ap s e u d 伊d i s t a n c ew a 8 i n t r o d u c e db ym e a 璐o fp r o b a b i l i t yt r u t hd e 鏟e e ，w h i c hp r o v j d 綃a n o t h e rp o 豁i b l e 丘a m e w o r kf o r 印p r o 賠m a t er e a s o l l i n gi nn v 址u e dp r o p o s i t i o n a jl o 舀c s i tc a np r o v i d e ak i n do fi n g e r e n c e 矗a m ef o rt h e 印p r d m a t er e a s o n i n gt h e o r y k e ，0 r d s ： m a t h e m a t 灑l o 西c ，t n o r m ，r 瞪i d u a t e dl a t t i c e ，a b 8 0 l u t et r u t h d e g r e e ，a b s o l u t es i m i l a r i t y ，p s e u d 0 d 斌a n c e ，p s e u d om e t r i c 蘭州理工大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說明 原創(chuàng)性聲明 、 本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的研究 成果除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng) 發(fā)表或撰寫的成果作品對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明 確方式標(biāo)明本人完全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承擔(dān) 作者簽名：疹聲參日期：辦加牙年6 月，日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán)保 留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱本 人授權(quán)蘭州理工大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索， 可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文同時(shí)授權(quán)中國科學(xué)技 術(shù)信息研究所將本學(xué)位論文收錄到中國學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫，并通過網(wǎng)絡(luò)向社會(huì) 公眾提供信息服務(wù) 作者簽名：鴦吏笠 日期： 2 邱彥年月j 日 導(dǎo)師躲李盼嗍如脾月，日 - l 日i j吾 自從l 0 t i iz a d e h 教授于1 9 6 5 年在i n f o m a t i o n 瓶dc o n t r o l 雜志上發(fā)表了一篇 開創(chuàng)性的論文 6 - 。l l ，若n = o ； 舭丌：i 2 1 曲 ：1 ) ，若。 o 。i 血n ( 口，6 ) ，若m a x ( n ，6 ) = l ， 一2 1 o ，其它， 8 蘭州理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 。木f6 = m 洫加：萎善6 1 ， * o m x m ：茲：i 簇 命題1 2 1 肛刀對(duì)任意三角模木， 這說明木w 是最弱的三角模，而 是最強(qiáng)的三角模 進(jìn)一步可知， 命題1 2 2 口刀 木 木 木 r 命題1 2 3 ，j 9 7 俐三角模木是連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)三角模關(guān)于第一變量是連續(xù)的 一砂三角模木是左佑，連續(xù)的 當(dāng)且僅當(dāng) 三角模關(guān)于第一變量是左佑j 連續(xù)的 即，對(duì)于每個(gè)b 【0 ，1 】且對(duì)于每個(gè)序列( n n ) n 【o ，1 】，若三角模宰是左連續(xù)的， 則：哿( 宰6 ) = ( ：晉) 木6 i 俐若三角模木是右連續(xù)的，則j 矗( 術(shù)6 ) = ( ，黔口n ) 木6 n n n e j vn t o 定義1 2 2 艮鍛木是一個(gè)三角模，剩余運(yùn)算一t ： o ，1 】2 一【0 ，1 】是滿足以下條件的運(yùn)算： n _ o = v 倒。木名列) - 9 ( 1 9 ) 禮值命題邏輯中命題的絕對(duì)真度及其隨機(jī)化理論 命題1 2 4 若：l c 是左連續(xù)的三角模，則 。一曲= 1 當(dāng)且僅當(dāng) 口6 ( 1 1 0 ) 證明設(shè)n 6 ，則n 木1 = 口6 ，由剩余運(yùn)算的定義可知口_ 加= 1 ；反之，設(shè)n _ t6 = 1 ，( ) n 【o ，1 】是一個(gè)序列，由剩余運(yùn)算的定義可知口事( s ) = o ，i c 口= n 6 口 命題1 2 5 設(shè)木是一個(gè)連續(xù)性的三角模，j t 是相應(yīng)的剩余運(yùn)算，則 。木( o _ t6 ) = n 6 ( 1 1 1 ) 證明設(shè)口6 ，則。木( n _ t6 ) = n 宰1 = o 設(shè)6 ( 3 5 ) 因?yàn)閑 作為有限子集是可測(cè)集，則根據(jù)定義3 1 1 可知【a 】是x 中的可測(cè)集，所以由 定義得到的勺( a ) 是存在的 例3 2 1 設(shè)a = 乃，b = n p 2 ，c = p 1 v 耽v v j 計(jì)算勺( a ) ，( b ) ，勺( c ) 的 值 解例因?yàn)? x l u q ，u 鋤) = 1 ) ，又知p ( x l u q ， 鋤) = 1 ) ) = 嵋，所以( a ) = 嵋 一1 l j 因?yàn)?【b 】= x i u q ，u ( p 1 ) = u 溉) = = u ) = 1 ) = 王，x i u q ，u p l ) = 1 ) n n x l u q ，u ( j ，仇) = 1 ) 2 7 冗值命題邏輯中命題的絕對(duì)真度及其隨機(jī)化理論 所以，勺( 曰) = p ( 【b 】) = p ( z ，x i u 1 ) = 1 ) ) p ( x i u q ，u 紕) = 1 ) ) 弘( p x l u q ， 0 機(jī)) = 1 ) ) = u 一1 嵋一1 1 = nu ? 一1 j = 1 似砂因?yàn)?i 刁= x l u q ，u 白1v vp ，竹) = 1 ) = i ，x l u q ，u 0 1 ) = 1 或或u ) = 1 ) 以下將分m 類情形進(jìn)行討論： ( 1 ) 若秒 1 ) = 1 ，記這種z ，的全體為g 1 = x i u q ，u ( p 1 ) = 1 ) ( 2 ) 0 1 ) l ，且u 魄) = 1 ，記這種的全體為g 2 = y x i 移q ，移1 ) l 且u 溉) = 1 ) ( z ) 若秒p 1 ) 1 且u 泡) 1 且u 慨一1 ) l ，u 慨) = 1 ，記這種的全體為g = x i u q ，u 1 ) 1 且 慨) 1 且且u p l _ 1 ) 1 且u ) = 1 ) ( m ) 若u p l ) 1 且且u ( m 1 ) l 且u ) = 1 ，記這種的全體為g m = z ， x f u q ，吡觀) 1 且且吡一1 ) 1 且吡d m ) = 1 ) 令g = g lug 2u ug m ，則舊= g 且gnq = d ，( i ，歹= l ，2 ，m ，i 歹) 故昂( g ) = 弘( g ) = 弘( u 矽x f 礦g ) 扛= 1 所以，由概率測(cè)度的可列可加性知 仇，tnl 碭( c ) = p ( x i g i ) ) ；鐘一1 + ( 1 一u ? 一1 ) 磁一1 + + ( 1 一嵋_ 1 ) 靠1 伽1 j = 1 注( i ) 在二值均勻概率空間中，原子公式賦值為。和1 的概率測(cè)度服從均勻兩點(diǎn)分 布，即p ( o ) ) = p ( 1 ) ) = ；，即田= 嵋= ，所絲( b ) = ( ；) n ，勺( c ) = 1 一( ) n ( i i ) 在n 值均勻概率空間中p ( o ) ) = p ( 擊 ) = = p ( 署) ) = 弘( 1 ) = 匆= 1 加擊，即q = 吾，所以勺( b ) = ( 曇) m ，勺( c ) = l 一( 1 一去) m 。這是本文的一種特殊情形 定理3 2 1 設(shè)么f ( s ) ，則 俐a 是重言式當(dāng)且僅當(dāng)哆( a ) = 1 俐a 是矛盾式，則昂( a ) = o ；反之不真 證明同文獻(xiàn)【1 6 】命題1 命題3 2 2 設(shè)4 ，b ，c f ( s ) ，則 俐供度朋p 規(guī)則，若勺( a ) q ，勺( a _ b ) p ，則昂( b ) q + p l 2 8 口 蘭州理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 一砂色度日s 覘則) 若( a _ b ) q ，( b c ) 2p ，則丁p ( a _ c ) 口+ p 一1 一t 砂若卜a _ b ，則昂( a ) 勺( b ) 證明( i ) 令置= l ，x i u q ，u ( a ) = 1 ) 易= | ，x i u q ，t ，( a b ) = 1 ) ， 根據(jù)已知條件可知p ( 局) q ，p ( 易) 盧，設(shè)p ( e ln 易) = z ，則 p ( 毋u 島) = p ( 且) + p ( 易) _ p ( 最n 島) = q + 口一z 顯然晶u 易x ，從而可得1 口+ p z ，即z q + p 一1 又，任取u ( 毋n 易) ， 則u ( a ) = u ( a - b ) = l ，從而可得u ( b ) = 1 ，所以昂( b ) = p ( 【別) p ( 日n 易) = z a + 口一1 因此命題得證 ( i i ) 的證明與( i ) 類似，( i i i ) 利用( i ) 可證 口 定理3 2 3 設(shè)a ，曰f ( s ) ，則 ( avb ) = 碭( a ) + 勺( b ) 一昂( a b )( 3 6 ) 證明u q ，u ( avb ) = 1 當(dāng)且僅當(dāng)u ( a ) = l 或u ( b ) = 1 ，所以陋vb 】= 阻】u 【b 】 又u ( a 八b ) = 1 當(dāng)且僅當(dāng)u ( a ) = u ( b ) = 1 ，即八b 】= 陋】n 【b 】，從而有 昂( a vb ) = p ( 【4 v 矧) = p ( 【a 】u 【b 】) = p ( 【a 】) + p ( 【b 】) 一p ( 【a 】u 【b 】) = p ( m 】) + p ( 【b 】) 一p ( 【a b 】) = 昂( a ) + 昂( b ) 一勺( a b ) 因此命題得證 口 推論3 2 4 設(shè)a ，b f ( s ) ，則 昂( a b ) 勺( a ) 勺( a v b ) ( 3 7 ) 3 3 基于概率真度的公式間的相似度和偽距離 在當(dāng)代模糊邏輯理論的研究中，剩余格是被國內(nèi)外眾多學(xué)者普遍采用的代數(shù)結(jié) 構(gòu)【1 9 4 5 1 根據(jù)定義1 2 3 ，當(dāng)l = 【0 ，1 】時(shí)，o 運(yùn)算就是l 上的三角模常見的三角模有 l u k 夠i e 麗c z 三角模0 l ，g i j d e e 角模o g ，乘積三角模甌和風(fēng)三角模 o 2 9 禮值命題邏輯中命題的絕對(duì)真度及其隨機(jī)化理論 命題3 3 1 設(shè)l = ( 【0 ，1 j ，v ， ， ，飛，0 ，1 ) 是一個(gè)剩余格， 俐若8 固三6 = m a x o ，口+ 6 一1 ) ，口16 = m i n 【1 ，1 一o + 6 ) ，則( 圓三，j 三) 是【o ，1 】上 的伴隨對(duì)，叫做三誠頓e 塒c 鐘隨對(duì) ， 囊咖p g 6 一砒n 6 加飛6 = ：蘭妻：，則( 。g ) 是【0 1 1 上的伴隨對(duì)， 叫做g d d e f 伴隨吼 ， 、 似咖圓丌6 = 曲，口162 ；：三蘭，州甌，1 ，是【0 川上的伴隨對(duì)，叫做乘 積伴隨對(duì) ， 一咖吼6 = m i 二乞，：蘭三：，n 二b6 = m a x 。1 l - n ，：蘭妻：，則c b 。，_ 。 其中氣，埝，和_ o 分別表示l m 黜i e w i c z 蘊(yùn)涵算子，g 6 d e l 蘊(yùn)涵算子，乘積蘊(yùn)涵 算子和風(fēng)蘊(yùn)涵算子根據(jù)定義1 2 3 和命題3 3 1 ，給出本文用到的以下命題： 命題3 3 2 設(shè)c = ( 厶v ， ，固，飛，o ，1 ) 是一個(gè)剩余格，則對(duì)任意n ，6 ，c 厶有以下性 磺： 俐oo ( 口飛6 ) 6 砂b 圓a 玩a ( no 玩) 一馴 飛6 ) o ( 6 飛c ) o 飛c 一砂oqv 玩= v ( no 玩) m 若0 6 ，則c 飛口c 飛6 ，n 飛c 6 飛c 定義3 3 1 設(shè)c = ( 厶v ， ，o ，飛，o ，1 ) 是一個(gè)剩余格，且x 是非空集二元關(guān)系s ： x x _ 厶如果滿足以下條件? v 疊x ，s ( z ，z ) = 1 f ，自房0 i 生) r 渺v 2 ，x ，s ( z ，可) = s ( 可，z ) p 寸稱性夕 似1 1 7 比，y ，z x ，s ( z ，3 ，) os ( 可，力s ( z ，z ) 陽待遞性， 則稱s ( z ，! ，) 為z 與可的基于圓的三模糊相似，簡稱為l 模糊相似 定義3 3 2 設(shè)a ，b f ( s ) ，令二元關(guān)系s ：f ( s ) f ( s ) _ 【0 ，l 】， s ( a ，b ) = m i n ，勺( a ) = 勺( b ) ，昂( a ) 勺( b ) 命題3 3 6 在厶系統(tǒng)，g n 系統(tǒng)，。系統(tǒng)和讎系統(tǒng)中，設(shè)以，b ，d f ( s ) ，則 s ( a ，b ) + s ( b ，c ) s ( a ，c ) + 1 ( 3 9 ) 證明( i ) 在l 。系統(tǒng)中s l ( a ，b ) + s l ( b ，c ) = 1 一l ( a ) 一昂( b ) i + 1 一i 昂( b ) 一碭( c ) l = 2 一( 1 勺( a ) 一( b ) l + i 印( b ) 一昂( c ) i ) 1 + ( 1 一l ( a ) 一勺( c ) i ) 未1 + s l ( a ，c ) ( i i ) 在g n 系統(tǒng)中，只需證明昂( a ) 昂( c ) 昂( a ) 昂( b ) + 昂( b ) 昂( c ) 一 1 若印( a ) 昂( c ) ，則顯然( a ) 八昂( c ) = ( a ) 昂( a ) 昂( b ) 勺( a ) 八勺( b ) 一( 1 一 勺( b ) 八勺( c ) ) 勺( a ) 八昂( b ) + 昂( b ) 八乃( c ) 一1 ；若昂( a ) 勺( g ) ，則昂( a ) 勺( c ) = ( c ) 昂( b ) 昂( c ) 昂( b ) 八( c ) 一( 1 一勺( a ) 昂( b ) ) = 勺( a ) 碭( b ) + 昂( b ) 八 勺( c ) 一1 ( i i i ) 在。系統(tǒng)和( i v ) 在g 系統(tǒng)中按丁p ( a ) ，( b ) ，( c ) 大小順序分類討論的方法 與( i i ) 類似可證，略去 口 定理3 3 7 在厶系統(tǒng)，g n 系統(tǒng)，鞏系統(tǒng)和幺系統(tǒng)中，設(shè)a ，b f ( s ) ，令 d ( a ，b ) = l s ( a ，召)( 3 。l o ) 則d ( a ，b ) 是f ( s ) 上的偽距離稱( f ( s ) ，d ) 是- 偽距離空問 證明( i ) 由定義3 3 1 和定義