（計算數(shù)學(xué)專業(yè)論文）基于水平集方法的圖像分割.pdf

摘要 論文題目：基于水平集方法的圖像分割 學(xué)科專業(yè)：計算數(shù)學(xué) 研究生：李曉偉 指導(dǎo)教師：趙鳳群教授 戴芳副教授 摘要 簽名： 簽名： 簽名： 圖像分割是計算機視覺中的關(guān)鍵步驟之一。傳統(tǒng)非模型的分割方法由于其方法本身的 局部性，有分割區(qū)域邊界可能不完整、缺乏結(jié)合先驗知識能力等缺陷，難于滿足復(fù)雜分割 應(yīng)用的需要。因此，需要一種能有機結(jié)合圖像本身的低層次視覺屬性與待分割目標先驗知 識的靈活開放的框架，以獲得分割區(qū)域的完整表達。目前基于水平集方法的圖像分割正在 顯示它的優(yōu)越性，它有對初始輪廓線位置不敏感，拓撲適應(yīng)性強等優(yōu)點。 本文研究了基于水平集方法的圖像分割方法。首先綜述了圖像分割的方法，對圖像分 割的目的、意義進行了概述，并重點對基于能量的s n a k e 模型、m u m f o r d - s h a h 模型、 c h a n v e s e 模型等三種模型進行了介紹和分析。其次詳細介紹了曲線演化理論、偏微分方 程模型的水平集方法求解以及數(shù)值計算方法。針對水平集方法中符號距離函數(shù)計算量比較 大這一缺點，本文提出了一種快速構(gòu)造符號距離函數(shù)的方法一八鄰域源點掃描法，該方法 具有速度快、精度高的特點。通過和直接法、快速行進法、李俊的方法進行對比，結(jié)果表 明該方法是有效的。最后針對c h a n - v e s e 模型對一些多目標圖像邊緣定位不準確的不足， 本文通過加入基于梯度的能量項對c h a n - v e s e 模型進行了改進，使得模型不但利用了圖像 的區(qū)域灰度信息，而且還利用了圖像的區(qū)域梯度信息，并用本文提出的八鄰域源點掃描法 來構(gòu)造符號距離函數(shù)，從而使模型對多目標圖像有更好的分割效果，并減少了迭代次數(shù)， 縮短了分割時間。 關(guān)鍵詞：圖像分割；偏微分方程；水平集方法；c h a n v e s e 模型；符號距離函數(shù) 西安j e x - 大學(xué)碩士學(xué)位論文 t i t l e ：l m a g es e g m e n t a t l o nb a s e d o nl e v e ls e tm e t h o d m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s n a m e ：x i a o w e il i s u p e r v i s o r ：p r o f f e n g q u nz h a o a s s o c i a t ep r o f f a n gd a i a b s t r a c t s i g n a t u r e ： s i g n a t u r e ： c ：心。批i s i g n a t u r e ：里墮幽 i m a g es e g m e n t a t i o ni so n eo fk e yi s s u e si nc o m p u t e rv i s i o n b e c a u s eo fe x t r a c t i n go n l y l o c a li n f o r m a t i o n 謝t 1 1d i s c o n n e c t e db o u n d a r yo ft h es e g m e n t e dr e g i o n ，a n dl a c ko fa b i l i t yt o i n t e g r a t ep r i o rk n o w l e d g ea b o u tt h es e g m e n t e do b j e c t s ，c l a s s i c a ln o n - m o d e lb a s e di m a g e s e g m e n t a t i o nt e c h n i q u e sc a n n o ts a t i s f yt h er e q u i r e m e n t so fc o m p l e xi m a g ev i s i o na p p l i c a t i o n s i nt h i sc a s e ，af l e x i b l ef r a m e w o r ki sr e q u i r e dt h a tc a ni n t e g r a t eb o t hl o wv i s i o ni n f o r m a t i o n f r o mi m a g e sa n dp r i o rk n o w l e d g ea b o u tt a r g e to b j e c t ss e a m l e s s l yt ol e a dt oac o n s i s t e n t r e p r e s e n t a t i o no ft h es e g m e n t e dr e g i o n s n o w a d a y s ，t h ei m a g es e g m e n t a t i o nb a s e do nl e v e ls e t m e t h o dh a sr e c e i v e dm u c ha p p r e c i a t i o n ，s u c ha st h ei n s e n s i t i v i t yt ot h ei n i t i a lc u r v ep o s i t i o n ， t h es t r o n ga b i l i t yt od e a lw i t ht h et o p o l o g i c a lc h a n g e se t c sp a p e rh a v eas t u d yo ni m a g es e g m e n t a t i o nw h i c hi sb a s e do nl e v e ls e tm e t h o d f i r s t ， t h em e t h o d s ，t h et a r g e ta n dt h es i g n i f i c a n c eo fi m a g es e g m e n t a t i o na r ei n t r o d u c e d ，a n dt h e s n a k em o d e l ，m u m f o r d s h a hm o d e l ，c h a n v e s em o d e la r ed i s c u s s e di nd e t a i l a n dt h e n ，t h e t h e o r yo fc u r v ee v o l u t i o n ，h o wt os o l v et h ep d e sm o d e lb a s e do nl e v e ls e tm e t h o da n di t s c a l c u l a t i o nm e t h o d sa r ee x p a t i a t e d o n ed i s a d v a n t a g eo fl e v e ls e tm e t h o di st h a tt h e c o m p u t a t i o n a l c o s to fs i g n e dd i s t a n c ef u n c t i o ni s e x p e n s i v e an e wm e t h o d - - - e i g h t n e i g h b o r h o o dv o r o n o is o u r c es w e e p i n g ，w h i c hc a nc o n s t r u c tt h es i g n e dd i s t a n c ef u n c t i o nf a s t ， i sp r e s e n ti nt h i sp a p e r t h i sm e t h o dp o s s e s s e sg o o da c c u r a c ya n dh i g hs p e e d c o m p a r eo u r m e t h o dw i t ht h ed i r e c tm e t h o d ，t h ef a s tm a r c h i n gm e t h o da n dl i j u n sm e t h o d ，t h ee x p e r i m e n t a l r e s u l ts h o wt h a to u rm e t h o di se f f i c i e n t l a s t ，t h ec h a n - v e s em o d e lc a nn o tg e tg o o de d g e so f s o m em u l t i t a r g e ti m a g e s ，s ot h ee n e r g yt e r mb a s e do ng r a d i e n ti se n t e r e di n t oc h a n - v e s e m o d e lt oi m p r o v et h i sm o d e l ，t h ei m p r o v e dm o d e ln o to n l ym a k eu s eo ft h ei m a g er e g i o n g r a y i n f o r m a t i o nb u ta l s om a k eu s eo ft h ei m a g er e g i o n g r a d i e n ti n f o r m a t i o n ，a n du s et h en e w m e t h o d _ e i g h tn e i g h b o r h o o dv o r o n o is o u r c es w e e p i n gt oc o n s t r u c tt h es i g n e dd i s t a n c e i i 摘要 f u n c t i o n ，s ot h ei m p r o v e dm o d e lc a ng e tb e r e rr e s u l tt ot h em u l t i - t a r g e ti m a g e s ，a n da l s ot h e u s i n gt i m e o fs e g m e n t a t i o na r es h o r t i n g k e yw o r d s ：i m a g es e g m e n t a t i o n ；p d e ；l e v e ls e tm e t h o d ；c h a n v e s em o d e l ；s i g n e dd i s t a n c e f u n c t i o n 獨創(chuàng)性聲明 秉承祖國優(yōu)良道德傳統(tǒng)和學(xué)校的嚴謹學(xué)風(fēng)鄭重申明：本人所呈交的學(xué)位論文是我個 人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進行的研究工作及取得的成果。盡我所知，除特別加以標注和致謝的地 方外，論文中不包含其他人的研究成果。與我一同工作的同志對本文所論述的工作和成 果的任何貢獻均已在論文中作了明確的說明并已致謝。 本論文及其相關(guān)資料若有不實之處，由本人承擔(dān)一切相關(guān)責(zé)任 論文作者簽名：犁蟛u 奄 年；月獅 學(xué)位論文使用授權(quán)聲明 本人樂璺維在導(dǎo)師的指導(dǎo)下創(chuàng)作完成畢業(yè)論文。本人已通過論文的答辯，并 已經(jīng)在西安理工大學(xué)申請博士碩士學(xué)位。本人作為學(xué)位論文著作權(quán)擁有者，同意授權(quán) 西安理工大學(xué)擁有學(xué)位論文的部分使用權(quán)，即：1 ) 已獲學(xué)位的研究生按學(xué)校規(guī)定提交 印刷版和電子版學(xué)位論文，學(xué)?？梢圆捎糜坝?、縮印或其他復(fù)制手段保存研究生上交的 學(xué)位論文，可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索；2 ) 為教學(xué)和 科研目的，學(xué)?？梢詫⒐_的學(xué)位論文或解密后的學(xué)位論文作為資料在圖書館、資料室 等場所或在校園網(wǎng)上供校內(nèi)師生閱讀、瀏覽。 本人學(xué)位論文全部或部分內(nèi)容的公布( 包括刊登) 授權(quán)西安理工大學(xué)研究生部辦 理o ( 保密的學(xué)位論文在解密后，適用本授權(quán)說明) 論文作者躲撙導(dǎo)臌：姆沙嚴多月棚 第一幸緒 論 1 緒論 圖像是用各種觀測系統(tǒng)以不同形式和手段觀測客觀世界而獲得的，可以直接或間接作 用于人眼并進而產(chǎn)生視知覺的實體【“。圖像中包含了它所表達物體的豐富描述信息，是我 們最主要的信息來源。 在對圖像的研究和應(yīng)用中，人們往往僅對圖像中的某些部分感興趣。這些部分常稱為 目標和前景( 其它部分稱為背景) ，它們一般對應(yīng)圖像中特定的、具有獨特性質(zhì)的區(qū)域。 為了辨識和分析圖像中的目標，需要將它們從圖像中分離提取出來，在此基礎(chǔ)上才有可能 進一步對目標進行利用。圖像分割就是指把圖像分成各具特性的區(qū)域并提取出感興趣目標 的技術(shù)和過程【2 l 。 1 1 圖像分割的目的和意義 圖像技術(shù)在廣義上是各種與圖像有關(guān)技術(shù)的總稱。圖像技術(shù)種類很多，跨度很大， 但可以將它們歸在一個整體框架圖像工程之t t l l 。圖像工程是一個對整個圖像領(lǐng)域進 行研究應(yīng)用的新學(xué)科，它的內(nèi)容非常豐富，根據(jù)抽象程度和研究方法等的不同可分為三個 各有特點的層次：圖像處理、圖像分析和圖像理解。 操 作 對 象 符號 目標 像素 圖1 - 1 圖像分割在圖像工程中的位置閉 f i g 卜1t h ep o s i t i o no f i m a g es e g m e n t a t i o ni ni m a g ee n g i n e e r m g 圖像處理著重強調(diào)在圖像之間進行變換以改善圖像的視覺效果。圖像分析則主要是對 圖像中感興趣的目標進行分割和測量，以獲得它們的客觀信息從而建立對圖像的描述。圖 像理解的重點是在圖像分析的基礎(chǔ)上，迸一步研究圖像中各目標的性質(zhì)和它們之間的聯(lián) 系，并得出對原始成像客觀場景的解釋，從而指導(dǎo)和規(guī)劃行動。 圖像分割是由圖像處理到圖像分析的關(guān)鍵步驟，在圖像工程中占據(jù)重要的位置，一方 面，它是目標表達的基礎(chǔ)( 見圖卜1 ) ，對特征測量有重要的影響。另一方面，因為圖像 分割及其基于分割的目標表達、特征提取和參數(shù)測量等將原始圖像轉(zhuǎn)化為更抽象更緊湊的 西安理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 形式，使得更高層的圖像分析和理解成為可能。 圖像分割在實際中已得到廣泛的應(yīng)用，例如在工業(yè)自動化，在線產(chǎn)品檢驗，生產(chǎn)過程 控制，文檔圖像處理，遙感和生物醫(yī)學(xué)圖像分析，保安監(jiān)視，以及軍事，體育，農(nóng)業(yè)工程 等方面。概括來說，在各種圖像應(yīng)用中，只要需對圖像目標進行提取、測量等都離不開圖 像分割。雖然人們對圖像分割己進行了大量的研究，但還沒有一種適合于所有圖像的通用 的分割算法。所以，圖像分割一直以來都是圖像技術(shù)中的研究熱點。因此，從原理、應(yīng)用 和應(yīng)用效果等方面來深入研究圖像分割技術(shù)，對于提高圖像分析和圖像理解系統(tǒng)的性能以 及提高圖像處理技術(shù)的應(yīng)用水平都具有十分重要的意義。 1 2 圖像分割方法綜述 多年來人們對圖像分割提出了不同的解釋和表達，借助集合概念對圖像分割可給出如 下比較正式的定義囝。 令集合r 代表整個圖像區(qū)域，對r 的分割可看做將震分成個滿足以下五個條件的 非空子集( 子區(qū)域) 墨，足，： il 足一r ； 1 1 對所有的f 和j , i - ，有置n 胄，- 彩； o 對f 1 , 2 ，n ，有p ( 足) t r u e ； 對f j ，有p ( 足n r ，) 一f a l s e ； 對f 1 , 2 ，n ，冠是連通的區(qū)域。 其中p c r , ) 是對所有在集合冠中元素的邏輯謂詞，彩代表空集。 1 2 1 傳統(tǒng)的圖像分割方法 圖像分割的研究多年來一直受到人們的高度重視，至今已提出了上千種各種類型的分 割算法【3 】。由于現(xiàn)有的分割算法非常多，所以將它們進行分類的方法也提出了不少，傳統(tǒng) 的圖像分割方法，一般可以分為以下三類【2 】： 基于閾值的分割方法； 基于邊緣檢測的分割方法； 基于區(qū)域提取的分割方法。 其中，基于閾值的分割方法在本質(zhì)上也是一種區(qū)域提取方法。由于圖像種類的多樣性和復(fù) 雜性，基于閾值的分割方法往往很難確定合適的閾值大小。而基于方向?qū)?shù)的邊緣檢測方 法對于噪聲圖像、邊緣模糊圖像或紋理圖像的分割效果不理想，并且這種方法往往需要一 些預(yù)處理手段，如用高斯濾波去除圖像中的噪聲和預(yù)后處理，如進行邊緣連接等。基于區(qū) 第一章緒論 域提取的分割方法，如區(qū)域增長法，往往比較復(fù)雜。 a 基于區(qū)域的圖像分羽 基于區(qū)域的圖像分割技術(shù)以區(qū)域為處理對象，依照共同的圖像屬性劃分圖像區(qū)域。分 割的目的是把圖像中的每一個像素都賦予一個類別屬性，使得具有預(yù)定義屬性的像素都聚 集在同一個類別中。這樣的圖像屬性包括閉： 原始圖像的強度值，或基于圖像算子的強度計算值； 每類圖像區(qū)域的獨特的紋理或模式； 提供多維圖像數(shù)據(jù)的譜參數(shù)。 有些比較復(fù)雜的圖像分割系統(tǒng)可能綜合采用好幾種這些屬性，而一些比較簡單的圖像 系統(tǒng)可能只采用一些與使用的圖像數(shù)據(jù)有關(guān)的屬性?；趨^(qū)域的圖像分割技術(shù)中最為常見 的方法有：閾值分割技術(shù)、區(qū)域增長和分裂合并技術(shù)。 閾值分割技術(shù)是一種最古老、最簡單、最常用的圖像分割技術(shù)，廣泛應(yīng)用于許多圖像 分割應(yīng)用中【3 ，叼。闕值化分割算法的歷史可追溯到近四十年前，現(xiàn)已提出了大量的算法。 簡單說來，對灰度圖像的閾值分割就是先確定一個處于圖像灰度取值范圍之中的灰度閾 值，然后將圖像中各個像素的灰度值都與這個閾值相比較，并根據(jù)比較結(jié)果將對應(yīng)的像素 劃為兩類：像素的灰度值大于閾值的為一類，像素的灰度值小于閾值的為另一類( 灰度值 等于閾值的像素可歸于這兩類之一) 。這兩類像素一般分屬圖像中兩類區(qū)域，所以對像素 根據(jù)閾值分類達到了區(qū)域分割的目的。由此可見，閾值化分割算法主要有兩個步驟： 確定需要的分割閾值； 將分割閾值與像素值比較以劃分像素。 閾值分割法分為全局閾值法和局部閾值法。全局閾值分割法在圖像處理中應(yīng)用比較 多，它在整幅圖像內(nèi)采用固定的閾值分割圖像。經(jīng)典的閾值選取以灰度直方圖為處理對象。 根據(jù)閾值選擇方法的不同，可以分為模態(tài)方法、迭代式閾值選擇等方法。這些方法都是以 圖像的直方圖為研究對象來確定分割的閾值的。另外還有類間方差閾值分割法、二維最大 熵分割法、模糊閾值分割法等等。 在利用取閾值方法來分割灰度圖像時一般都對圖像有一定的假設(shè)。換句話說，是基于 一定的圖像模型的。最常用的模型可以描述如下1 2 j ：假設(shè)圖像由具有單峰的灰度分布的目 標和背景組成，處于目標或背景內(nèi)部相鄰像素間的灰度值是高度相關(guān)的，但處于目標和背 景交界處兩邊的像素在灰度值上有很大的差別。則圖像的直方圖將出現(xiàn)兩個分離的峰值， 如圖l _ 2 所示： 西安理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 圖l _ 2 雙峰直方圖 f i g l - 2d o u b l ep e a kh i s t o g r m n 對于這樣的圖像，分割閾值可以選擇直方圖的兩個波峰間的波谷所對應(yīng)的灰度值作為 分割的閾值。這種分割方法不可避免的出現(xiàn)誤分割，使一部分本屬于背景的像素被判為物 體，使屬于物體的一部分像素同樣會被誤認為是背景?？梢宰C明，當(dāng)物體的尺寸和背景相 等時，這樣選擇閾值可以使誤分概率達到最小。在大多數(shù)情況下，由于圖像的直方圖在波 谷附近的像素很稀疏，因此這種方法對圖像的分割影響不大。這一方法可以推廣到具有不 同灰度均值的多物體圖像。 局部閾值選取也叫做自適應(yīng)閾值選取，將原始圖像劃分成較小的圖像，并對每個子圖 像選取相應(yīng)的閾值。在闕值分割后，相鄰子圖像之間的邊界處可能產(chǎn)生灰度級的不連續(xù)性， 因此需用平滑技術(shù)進行排除。局部閾值技術(shù)比全局閩值技術(shù)的分割效果要好，但是計算量 也要大得多。局部閾值法常用的方法有灰度差直方圖法、微分直方圖法。局部閾值分割法 雖然能改善分割效果，但存在幾個缺點；每幅子圖像的尺寸不能太小，否則統(tǒng)計出的結(jié)果 無意義；每幅圖像的分割是任意的，如果有一幅子圖像正好落在目標區(qū)域或背景區(qū)域，而 根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果對其進行分割，也許會產(chǎn)生更差的結(jié)果；局部閾值法對每一幅子圖像都要進 行統(tǒng)計，速度慢，難以適應(yīng)實時性的要求。 區(qū)域生長的基本思想怯5 ，6 1 是將具有相似性質(zhì)的像素集合起來構(gòu)成區(qū)域。具體先對每 個需要分割的區(qū)域找一個種子像素作為生長的起點，然后將種子像素周圍鄰域中與種子像 素有相同或相似性質(zhì)的像素( 根據(jù)某種事先確定的生長或相似準則來判斷) 合并到種子像 素所在的區(qū)域中。將這些新像素當(dāng)做新的種子像素繼續(xù)進行上面的過程，直到再沒有滿足 條件的像素可被包括進來。這樣一個區(qū)域就長成了。 在實際應(yīng)用區(qū)域生長法時需要解決三個問題： 選擇或確定一組能正確代表所需區(qū)域的種子像素； 確定在生長過程中能將相鄰像素包括進來的準則； 制定讓生長過程停止的條件或規(guī)則。 分裂合并是先從整幅圖像開始通過不斷分裂得到各個區(qū)域。實際中常先把圖像分成任 意大小且不重疊的區(qū)域，然后再合并或分裂這些區(qū)域以滿足分割的要求。 基于區(qū)域的分割方法都具有算法簡單、容易實現(xiàn)、計算速度快等特點。尤其是對于面 積或體積計算以及易于鑒別的組織的分類。然而，它們也有一定的缺點限制了它們的具體 第一章緒論 應(yīng)用：沒有提供任何關(guān)于分割區(qū)域的結(jié)構(gòu)信息，因為要從分割像素點集中提取有關(guān)的幾何 信息非常困難；容易受到圖像的異常表現(xiàn)( 比如閉合但是又獨立的區(qū)域之間的錯誤橋形連 接) ，或者一個區(qū)域阻擋了另一個區(qū)域的視線的阻擋現(xiàn)象的影響；雖然能得到封閉的區(qū)域 輪廓，但是邊緣定位精確度不高。 b 基于邊界的圖像分割 邊緣是圖像最基本的特征 7 1 。根據(jù)邊緣的構(gòu)型，可以將它分為階躍型和屋脊型，階躍 型邊緣點是圖像灰度的一階導(dǎo)數(shù)的極大值點，或者二階導(dǎo)數(shù)的過零點；而屋脊型邊緣點是 圖像灰度的一階導(dǎo)數(shù)過零點，或者二階導(dǎo)數(shù)的極小點?；谶吔绲膱D像分割方法是要找出 灰度不連續(xù)的點作為邊緣。在圖像分割中常用灰度的一階和二階導(dǎo)數(shù)作為邊緣檢測的依 據(jù)，為此人們設(shè)計了個各種各樣的邊緣檢測算子，如梯度算子、方向算子、拉普拉斯算子、 馬爾算子、綜合正交算子、坎尼算子等，追蹤檢測出的邊緣點以構(gòu)成邊界。 邊緣檢測算子檢查每個像素的鄰域并對灰度變化率進行量化，通常也包括方向的確 定。有若干種方法可以使用，其中大多數(shù)是基于方向?qū)?shù)模板求卷積的方法，下面介紹幾 種經(jīng)典的邊緣檢測算子陸7 一。 ( 1 ) s o b e l 邊緣算子 s o b e l 算子采用3 3 鄰域可以避免在像素之間內(nèi)插點上計算梯度?？紤]圖1 - 3 中所 示的點( j ，) 周圍點的排列。 吒 m 嗚o ，)q a 4嗎嗎 圖1 _ 3s o b e l 算子鄰域像素點示意圖 f i g l - 3e x p l a n a t i o no f s o b e lo p e r a t o rn e i g h b o r h o o dp i x d s s o b e l 算子的梯度幅值可表示為： m 一以+ s ； 其中的偏導(dǎo)數(shù)用下式計算： 一 ( x + 1 ，y - 1 ) + 2 f ( x + l ，力+ f ( x + l ，y + 1 ) - f ( x - 1 ，y - 1 ) + 2 f ( x - i ，力+ ，o - 1 ，y + 1 ) ) j ，- 廠( x - 1 ，y + 1 ) + 2 ，( x ，y + 1 ) + f ( x + l ，y + 1 ) ) - f ( x - i ，y - 0 + 2 f ( x ，y 一1 ) + o + l ，y 1 ) ) 邑和j ，可用下列卷積模板來實現(xiàn)： ( 1 1 ) ( 1 2 ) 西安理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 雕雕 墨模板 s , 模t i 這個算子把重點放在接近于模板中心的像素點。s 0 1 ) c l 算子是邊緣檢測器中最常用的算子 之一。 s o b e l 算子檢測出來的邊緣可能大于2 個像素。對精度要求比較高的場合需要對邊緣 細化。s o b e l 算予利用像素點上下、左右相鄰點的灰度加權(quán)算法，根據(jù)在邊緣點處達到極 值這一現(xiàn)象進行邊緣檢測。因此s o b e l 算子對噪聲具有平滑作用，提供較為精確的邊緣方 向信息。但是，正是由于局部平均的影響，它同時也會檢測出許多偽邊緣，且邊緣定位精 度不夠高。所以，當(dāng)對精度要求不是很高時，這是一種較為常用的邊緣檢測方法。 ( 2 ) 拉普拉斯邊緣算子【9 】 拉普拉斯( l a p a l a c i a n ) 算予是一種常用的二階導(dǎo)數(shù)算子，實際中可根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)算 子過零點的性質(zhì)來確定邊緣的位置。對一個連續(xù)函數(shù)f ( x ，y ) ，它在位置( z ，y ) 的拉普拉斯 值定義為如下： v 2 廠孥+ 箕 ( 1 3 ) 赦 砂 其中，o ，y ) 是具有整數(shù)像素坐標的輸入圖像。它通?？梢杂脠Dl _ 4 的形式以數(shù)值化方式 的卷積核來表示。 固圍 圖l - 4l a p a l a c i a n 卷積核 f i g l - 4l a p a l a c i a nk e r n e l 當(dāng)l a p a l a c i a n 算子輸出出現(xiàn)過零點時就表明有邊緣存在，其中忽略無意義的過零點 ( 均勻零區(qū)) 。對于零交叉點剛好在兩個中心像素之間時，邊緣可以用其左邊或者右邊像 素來標記( 整幅圖像的標記必須一致) 。多數(shù)情況下，零交叉點很少恰好在兩個像素點中 間，因此邊緣的實際位置要通過內(nèi)差方法來確定。原則上，過零點的位置精度可以通過線 性內(nèi)插值方法精確得到子像素分辨率，對于含有噪聲的圖像，在利用l a p a l a c i a n 算子之前， 通常選用g a u s s 低通濾波進行預(yù)先平滑。 基于邊界的圖像分割方法計算量小，邊界探測的速度也很快，但是也存在著一些問題， 容易產(chǎn)生對邊緣點的錯誤追蹤，可能產(chǎn)生偽邊緣、不連續(xù)邊緣甚至邊緣丟失，不能保證封 閉的邊緣。此外，提取出的邊緣是基于灰度變化的某種準則而得到的“圖像意義上的邊緣”， 這種邊緣可能不與實際邊緣完全對應(yīng)。因此，它們具有靈敏性和確定性不足的問題。梯度 第一幸緒 論 空間的圖像必須經(jīng)過閾值計算或者按照邊緣或非邊緣進行分類。此外，單獨使用低層次圖 像邊緣算子不能很好地追蹤分岔邊緣。導(dǎo)數(shù)算子具有固有噪聲，將加重或惡化圖像已有噪 聲的影響，所以應(yīng)用梯度算子或l a p l a c i a n 算子之前，必須對圖像進行平滑。遺憾的是， 圖像的平滑運算可能會隱藏或損失圖像的某些精細結(jié)構(gòu)。 1 。2 2 基于模型的圖像分割方法 基于模型的分割方法一般分為兩種，一是基于變分方法的參數(shù)活動輪廓模型分割方 法，二是基于水平集方法的幾何活動輪廓模型分割方法。相比于傳統(tǒng)的圖像分割方法，基 于模型的圖像分割方法，具有以下顯著的優(yōu)點： 由于模型在連續(xù)狀態(tài)下實現(xiàn)，所以最終得到的圖像邊緣表示可以達到更高的精度， 這一點對于醫(yī)學(xué)圖像分割和應(yīng)用具有非常重要的意義。 通過約束被提取物體的邊緣是光滑的，并且融入了其它關(guān)于物體形狀的先驗信息， 所以，基于模型的圖像分割具有較強的魯棒性。 使用光滑的閉合曲線表示物體的邊緣，避免了傳統(tǒng)的圖像分割方法中的預(yù)后處理過 程，如邊緣連接等，而且對于物體的形狀分析和識別都具有重要的作用。 參數(shù)活動輪廓模型 i o 】是一種基于變分的圖像分割模型，該模型通過使得圖像的能量 函數(shù)達到最小而達到對圖像的分割，這里通過變分法對能量函數(shù)極小化，得到模型演化的 偏微分方程。1 9 8 7 年k a s $ ，w i t k i n 和t e r z o p o u l o s 提出了s n a k e 模型【l 川，該模型首次引進 了變分法。首先給定圖像和初始曲線，然后使曲線沿法線的方向演化，當(dāng)運動到物體邊界 處時，則停止演化，即已檢測到圖像中物體的邊緣，其中物體的判別需要依賴傳統(tǒng)的基于 圖像梯度的邊緣檢測器。通過該模型能得到正確的邊界，并且還能保持邊界的光滑性。然 而當(dāng)s n a k e 模型中的初始曲線離物體邊界比較遠時，會使演化陷入局部極值點，則無法得 到正確的物體邊緣。針對該缺陷，c o h e n 在s n a k e 模型中引入球形力來使輪廓沿著法向方 向向內(nèi)或向外演化【l l 】，同時最大化光滑邊界所圍區(qū)域的面積。球形力使輪廓線跨過假的、 孤立的圖像邊緣，用以抵消收斂趨勢。c o h e n 等又提出了距離有勢力模型【1 2 1 ，雖然極大拓 展了主動輪廓捕獲邊界的范圍，但該模型只適用于二值圖像分割。改進的s n a k e 模型雖然 降低了對曲線初始位置和圖像噪聲的敏感性，但仍然需要人工決定充氣還是放氣，而且也 不能自然地處理曲線拓撲結(jié)構(gòu)變化。另外，s n a k e 模型中的能量泛函只依賴曲線參數(shù)的選 擇，跟物體幾何形狀無關(guān)。 而另外一種重要的活動輪廓模型稱為幾何形式的活動輪廓模型。幾何活動輪廓模型由 c a s e l l o s 和m a u a d i 等分別獨立提出【1 3 ，1 4 】，可以認為是s n a k e 模型的擴展，不同于s n a k e 模型之處在于這種模型的輪廓曲線運動過程是基于輪廓曲線的幾何度量參數(shù)。這樣，輪廓 曲線運動過程就獨立于輪廓曲線的參數(shù)，因此可以自動處理拓撲結(jié)構(gòu)的變化。幾何活動輪 廓模型中應(yīng)用較多的是由c a s e l l o s 和y e z z i 等提出的測地活動輪廓模型【i 習(xí)，然而該方法的 主要缺點是一旦特征邊界出現(xiàn)縫隙，曲線就會越過目標邊界發(fā)生“泄露”現(xiàn)象，而且，再 也無法返回到正確的位置。隨著水平集方法的提出，幾何活動輪廓模型與水平集相結(jié)合的 西安理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 曲線演化方法是目前廣為關(guān)注的一種圖像分割方法。該方法利用輪廓曲線的幾何特性，建 立輪廓曲線運動的能量函數(shù)，最小化這個能量函數(shù)，使輪廓曲線逐漸逼近圖像中目標邊界， 并利用水平集函數(shù)將輪廓曲線運動方程轉(zhuǎn)化成求解偏微分方程問題。m u m f o r d s h a h 模型 p 6 1 是基于區(qū)域的幾何活動輪廓模型，適用于模糊邊界或不連續(xù)邊界等場合，并且對初始 輪廓曲線位置不敏感。t s a i 考慮到區(qū)域間像素的差異性，提出最大化區(qū)域間平均灰度值之 差的平方建立能量函劃用。經(jīng)典的c h a n - v e s e 模型【18 】是一種基于水平集方法的幾何活動 輪廓分割模型，該模型充分利用了圖像的全局區(qū)域信息，在圖像分割應(yīng)用中取得了令人滿 意的結(jié)果。但是由于該模型僅利用了區(qū)域灰度信息，使得在某些圖像的分割中，圖像邊緣 定位的精確性不夠高。用不同的輪廓曲線能量函數(shù)，獲得正確的或所需的圖像分割結(jié)果， 是當(dāng)前幾何活動輪廓模型與水平集方法相結(jié)合的圖像分割方法研究的熱點和難點。 1 3 水平集方法概述 水平集方法是一種新穎的求解幾何曲線演化的方法，它以一種隱含的方式來表達平面 閉合曲線或者立體閉合曲線，從而避免了對閉合曲線演化過程中的跟蹤，將曲線演化轉(zhuǎn)化 成一個純粹的求偏微分方程數(shù)值解問題【1 9 j 。另外，水平集方法應(yīng)用于幾何曲線演化時， 避免了演化曲線的參數(shù)化過程，這樣，曲線的拓撲結(jié)構(gòu)的變化，即分裂或合并，就變得非 常自然【2 0 ，越l 。因此，近年來，水平集方法逐漸成為研究的熱點，并被應(yīng)用于圖像分割【、 圖像平滑嘲、運動分割以及運動目標跟蹤嘲，甚至立體視覺和圖像的恢復(fù)。 水平集方法的基本思想【1 9 】是：先給定一封閉的初始輪廓，該初始輪廓不斷沿其法線 方向向外或向內(nèi)以一定的速度演化，得到曲線( 曲面) 族。水平集方法把曲線族看作是更 高維空間曲面廬的零水平集侈- o ，而妒y ) 則被稱為水平集函數(shù)，當(dāng)輪廓改變拓撲結(jié)構(gòu) 時，西仍可以保持連續(xù)，因而從原理上保持了這種方法很容易處理拓撲結(jié)構(gòu)改變的問題。 圖卜5 說明了水平集函數(shù)表達閉合曲線的方式，其中圖卜5 ( a ) 是一條平面閉合曲線，圖 1 - 5 是其水平集函數(shù)的隱含表達，圖中的黑線就是隱含為水平集的平面曲線。 ( a ) 平面閉曲線 閉曲線水平集函數(shù)的表達( c ) 水平集函數(shù)的演化( d ) 曲線拓撲結(jié)構(gòu)發(fā)生變化 ( a ) p l a n e rc l o s e dc u r v e ( b ) l e v e ls e tr e p r e s e n t a t i o n ( c ) t h ee v o l u t i o no f ( d ) t o p o l o g i c mc h a n g eo f t h e o f t h ec l o s e dc u r v el e v e ls e tf u n c t i o na l h v 圖l _ 5 水平集函數(shù)表達的的曲線演化”w f i gl 一5i l l u s t r a t i o nt ol e v e ls e tr e p r e s e n t e dc u r v ee v o l u t i o n 水平集方法處理平面曲線的演化問題不是試圖去跟蹤演化后的曲線位置，而是遵循一 定的規(guī)律，在二維固定坐標系中不斷更新水平集函數(shù)，從而達到演化隱含在水平集函數(shù)中 第一章緒 論 的閉合曲線的目的。這種演化曲線方式的最大特點是：即使隱含在水平集函數(shù)中的閉合曲 線發(fā)生了拓撲結(jié)構(gòu)變化( 合并或分裂) ，水平集函數(shù)仍然保持為一個有效的函數(shù)，如圖 1 - 5 ( c ) 、( d ) 所示，其中圖卜5 ( c ) 是水平集函數(shù)更新后其零水平集曲線的形狀，而圖i - 5 ( d ) 中的零水平集曲線已經(jīng)分裂為兩條。 水平集方法實現(xiàn)輪廓線演化具有如下優(yōu)科嘲： 首先，只要速度函數(shù)v ( k ) 是光滑的，則水平集函數(shù)妒o ，y , o 始終保持為一個函數(shù)， 然而( x ，y ，f ) 的水平集，即演化曲線c 可以隨著妒的演化很自然地改變其拓撲結(jié)構(gòu)，可以 分裂、合并、形成尖角等可以從圖卜5 ( c ) 和( d ) 看出，妒所表達的閉合曲線c 由圖1 - 5 ( c ) 中的一個閉合曲線變?yōu)閳D卜5 ( d ) 中的兩個閉合曲線，拓撲結(jié)構(gòu)變了，水平集函數(shù)卻仍然 保持為一個函數(shù)。 因為妒( 五y ，f ) 演化時始終保持為函數(shù)，因此很容易實現(xiàn)數(shù)值近似算法，可以利用離 散網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的有限差分方法來很容易實現(xiàn)函數(shù)妒也) - ，) 的演化。 曲線c 內(nèi)在的幾何特征，比如內(nèi)向單位法矢和曲率等，都可以直接由妒 y ，f ) 計算 出來。 水平集方法很容易擴展到高維情況，比如可以很方便的擴展到三維閉合曲面的演 化，這對于三維圖像的分割很有用的。 在水平集方法中，水平集函數(shù)妒( 工，y ，0 的選擇，通常取由初始閉合曲線生成的符號距 離函數(shù)，因此如何快速計算穩(wěn)定的任意曲線的符號距離函數(shù)，對于提高水平集方法的效率 和穩(wěn)定性非常重要，據(jù)此本文提出了一種快速構(gòu)造符號距離函數(shù)的方法。 1 4 本論文的主要工作 基于水平集方法的圖像分割具有易于處理曲線拓撲結(jié)構(gòu)變化的優(yōu)點，但在水平集方法 中符號距離函數(shù)的重構(gòu)是一個非常耗時的過程，同時對精度也有很高的要求。人們直在 尋找提高符號距離函數(shù)的重構(gòu)的有效方法，本文的工作重點之一是通過使用改進的源點掃 描法來構(gòu)造符號距離函數(shù)，該方法能快速精確的構(gòu)造出符號距離函數(shù)。其次在c h a a - v e s e 模型的基礎(chǔ)上添加能量項，從而使模型對圖像細節(jié)有更好的分割效果，在求解時引入了本 文提出的八鄰域源點掃描法來構(gòu)造水平集函數(shù)。本文共分五章，具體安排如下； 第一章概述了圖像分割的目的、意義等，同時給出了水平集方法的概述。 第二章闡述了在圖像分割領(lǐng)域占有重要地位的基于能量的三種分割模型：s n a k e 模 型、m u m f o r d - s h a h 模型、c h a n - v e s e 模型以及它們基于交分和水平集方法的求解。 第三章首先詳細介紹了曲線演化理論、水平集方法以及數(shù)值計算。水平集方法的主要 缺點是符號距離函數(shù)的計算量比較大，針對此問題，本文提出了一種快速構(gòu)造符號距離函 數(shù)的方法- ：k 鄰域源點掃描法。該方法不僅速度快，而且精度高，從而大大減少了構(gòu)造符 號距離函數(shù)所花費的時間。 第四章詳細討論了c h a n - v e s e 模型，對該模型給出了解釋并總結(jié)了該模型的優(yōu)缺點。 針對c h a n - v e s e 模型僅利用圖像區(qū)域灰度信息的不足，本文在c h a n - v e s e 模型中加入一項 西安理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 能量項，使得模型不但利用了圖像區(qū)域灰度信息，還利用了圖像區(qū)域梯度信息，從而對圖 像細節(jié)有更好的分割效果，并且在模型的求解中應(yīng)用本文提出的八鄰域源點掃描法來構(gòu)造 符號距離函數(shù)，所以減少了迭代了次數(shù)縮短了分割時間。 第五章是總結(jié)與展望。對本文工作進行總結(jié)的基礎(chǔ)上，對尚待研究的問題進行了展 望。 第二章基于變分和水平集方法的圖像分割模型 2 基于變分和水平集方法的圖像分割模型 1 9 8 7 年k a s $ 、w i t h k i n 和t e r z o p o u l o s 三人共同發(fā)表了題為“s n a k e ：a c t i v ec o n t o u r s ” 的論文【塒，首次提出了運用活動輪廓模型進行2 d 和3 d 圖像分割的思想。此后，隨著該 模型的迅速發(fā)展，逐漸成為最有生機和最成功的圖像分割技術(shù)之一。隨之活動輪廓模型也 衍生出具有各種不同特點的名稱如蛇形、形變模型、活動曲面、形變氣球、形變輪廓、形 變曲面等等。 活動輪廓模型是一類定義在圖像區(qū)域中的能量最小化的樣條曲線或曲面。模型的形變 受到同時作用到模型上的許多不同力的控制。每一種力所產(chǎn)生一部分能量，這部分能量表 示為活動輪廓模型的能量函數(shù)的一個獨立的能量項。k a s s 等人假設(shè)模型有三種不同類型 的能量：內(nèi)能、圖像能和外能。內(nèi)能描述樣條的彈性變形和歪曲變形，規(guī)范模型的演化； 圖像能描述圖像中的諸如邊和角等等各種特征，把模型吸引到圖像特征上；外能表示為用 戶強加到模型上的各種其他約束形式，用來模擬用戶交互式干預(yù)。 活動輪廓模型應(yīng)用到圖像上，它的能量函數(shù)發(fā)生最小化變化，其形狀也發(fā)生演化，使 得模型變得“活動”起來。能量最小化問題不是一個靜態(tài)問題，而是一個動態(tài)問題，模型 的演化受到彈性規(guī)律和拉格朗日動力學(xué)規(guī)律所控制。在各種力的作用下，模型不斷的發(fā)生 演變，當(dāng)所有的作用力達到一種平衡的狀態(tài)時，演化過程就停止。這種力平衡狀態(tài)等價于 能量函數(shù)的最小化狀態(tài)。這樣，圖像分割問題就轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€最優(yōu)化問題，最優(yōu)化的目的就 是獲得最小化的活動輪廓模型的能量函數(shù)。 活動輪廓模型的理論框架由三個不同的部分組成：模型的描述，模型的能量函數(shù)和模 型的最小化。自從k a s s 等人推出原始的活動輪廓模型以來，活動輪廓模型的理論得到了 很大的發(fā)展，其應(yīng)用范圍也越來越廣泛。對活動輪廓模型的推廣主要是在兩個方面改善它 的性能。其一是在活動輪廓模型中加入先驗知識。先驗知識的使用可以使模型產(chǎn)生更魯棒 性的更準確的結(jié)果，特別是對于大量的具有相似輪廓形狀的對象的情況。使用先驗知識必 須要經(jīng)過一個訓(xùn)練過程，通過人工交互方式收集對象形狀的變化信息。其二是全局形狀屬 性建模。全局形狀屬性能夠為模型的初始化提供更強的穩(wěn)定性。雖然先驗知識和全局形狀 屬性是不同的概念，實際上常常相互配合使用。 活動輪廓模型依據(jù)活動輪廓線的表達方式，可分為參數(shù)活動輪廓模型 2 4 1 ( s i m k e 模型) 和幾何活動輪廓模型【1 3 ，2 5 1 。其中，參數(shù)活動輪廓模型直接以曲線( 曲面) 的參數(shù)化形式顯式 地表達曲線( 曲面) 的變形。這種表達方式允許與模型直接交互，并且模型的表達緊湊，有 利于模型的快速實時實現(xiàn)。然而，參數(shù)化的s n a k e 模型表達難于處理模型拓撲結(jié)構(gòu)的變化。 而幾何活動輪廓模型卻能自然地處理演化曲線( 曲面) 拓撲結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)改變，它主要基于 曲線( 曲面) 演化理論和水平集方法，將活動輪廓線間接地表達為水平集函數(shù)的零水平集的 形式，曲線的參數(shù)化僅僅是在模型演化變形后用于顯示。 西安理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 2 1 參數(shù)活動輪廓模型_ ( s n a k e 模型) 2 1 。1s n a k e 模型表達 將參數(shù)活動輪廓模型的輪廓曲線想象為一條具有彈性的橡皮曲線，輪廓曲線的能量由 內(nèi)部能量和外部能量兩部分組成剛。內(nèi)部能量描述輪廓曲線的平滑性，它使得輪廓曲線 伸縮、彎曲；外部能量是基于圖像數(shù)據(jù)定義的，并在圖像中目標的邊界達到最小值。最小 化內(nèi)部能量和外部能量，使輪廓曲線沿能量降低方向運動。參數(shù)活動輪廓模型輪廓曲線c 可定義為x ( s ) - ( 曲，) ，( j ) ) 的集合，其中j 是輪廓曲線c _ l = 的- - 維坐標點，j 為歸一化 的弧長，取值為0 s s l 。輪廓曲線c 的能量層( c ) 由( 2 ，1 ) 式給出 占( c ) - 瓦+ ( 2 1 ) 點0 為內(nèi)部能量，昱二為外部能量。最小化能量時產(chǎn)生內(nèi)力和外力，( 2 1 ) 式實際上是一 個力平衡方程： f m + 吃一0 ( 2 2 ) 內(nèi)力j 孟控制輪廓曲線的伸展和彎曲，試圖收縮輪廓曲線，并保持輪廓曲線不被過度彎曲； 而外力j 二引導(dǎo)輪廓曲線朝著圖像中目標的邊界運動。 s n a k e 模型的引人之處在于，它對于廣泛的一系列視覺問題給出了統(tǒng)一的解決方法。 在最近十余年里，己被廣泛應(yīng)用于圖像邊緣檢測、圖像匹配、目標跟蹤等多個領(lǐng)域。與其 他特征提取技術(shù)相比，其主要的優(yōu)點是圖像數(shù)據(jù)、初值估計、目標輪廓特征及基于知識的 約束條件都集成在一個特征提取過程中，經(jīng)過適當(dāng)?shù)某跏蓟?，能夠自主地收斂到能量極 小值狀態(tài)。 參數(shù)化s n a k e 模型的數(shù)學(xué)表述為【1 0 】：設(shè)參數(shù)曲線為c ( s ) ，s 【o ，1 】，j ( x ，y ) ； o ，川【o ，b 卜發(fā)2 為圖像函數(shù)，曲線c ( s ) 的演化服從極小化下面的能量函數(shù)： c ( s ) - a r gm i n e ( c o ) ) ) e ( c ( s ) ) 曲c 例2 d s + 而c 釧2 d s + j | ( c ( 。弦 _ 其中口，蘆為正的實參數(shù)。前兩項稱為模型的內(nèi)部能量，是用來表示與輪廓的平滑項、連 續(xù)性等形狀特征有關(guān)的能量。第三項為外部能量，該項使得輪廓曲線朝物體的邊界演化， 一般可取e 二( x ，力- 一1 w ( x ，y ) 1 2 或點0 力一一i v 吃，阮力1 2 ，q 表示尺度參數(shù)為的二維 高斯光滑核函數(shù)。 活動輪廓模型的演化過程實際上就是其能量函數(shù)的最小化過程。而能量函數(shù)式( 2 3 ) 的最小化問題實際上對應(yīng)活動輪廓模型以能量函數(shù)定義的各種約束形式的最優(yōu)化問題。如