2014年清北學(xué)堂 寒假高一理科精英班導(dǎo)學(xué)2-數(shù)學(xué)部分 函數(shù) 數(shù)列等

2014 年寒假 高一理科精英班 導(dǎo)學(xué) （第 二 次） 資料 說(shuō)明 本 導(dǎo)學(xué)用于學(xué)員在實(shí)際授課之前，了解授課方向及重難點(diǎn)。同時(shí)還附上部分知識(shí)點(diǎn)的詳細(xì)解讀。本班型導(dǎo)學(xué)共由 2 次書面資料構(gòu)成。此次發(fā)布的為第 2 次導(dǎo)學(xué)。 2 次導(dǎo)學(xué)的相應(yīng)關(guān)聯(lián)以及課程詳細(xì)授課內(nèi)容，請(qǐng)參見(jiàn)相應(yīng)班型的詳細(xì)授課大綱。寒假授課即將開(kāi)始，除現(xiàn)場(chǎng)授課及答疑外，歡迎大家參加寒假之后的在線答疑活動(dòng)。祝大家在寒假中收獲良多，學(xué)習(xí)進(jìn)步！ 自主招生郵箱： 數(shù)學(xué)競(jìng)賽郵箱： 物理競(jìng)賽郵箱： 化學(xué)競(jìng)賽郵箱： 生物競(jìng)賽郵箱： 理科精英郵箱： 清北學(xué)堂集中 培訓(xùn)課程 導(dǎo)學(xué)資料 （ 2014 年寒假集中培訓(xùn) 課程 使用 ） QBXT/JY/DX2013/12-4-3 2013-12-25 發(fā)布 清北學(xué)堂教學(xué)研究部 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 1 頁(yè) 2014 年寒假 高一理科精英班 導(dǎo)學(xué) (數(shù)學(xué) 部分 ) 目錄 知識(shí)框架 . 3 重點(diǎn)難點(diǎn) . 4 知識(shí)梳理 . 5 一、 函數(shù)問(wèn)題 . 5 1. 函數(shù)的基本要素及性質(zhì) . 5 2. 函數(shù)的值域（最值）的求法 . 5 3. 函數(shù)不等式問(wèn)題 . 6 二、 數(shù)列問(wèn)題 . 6 1. 等差數(shù)列及其性質(zhì) . 6 2. 等比數(shù)列及其性質(zhì) . 6 3. 等差乘等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 nS 的求法 . 7 4. 幾種數(shù)列遞推關(guān)系求通項(xiàng)方法 . 7 三、 不等式 . 8 1. 常用不等式 . 8 2. 常用不等式證明方法 . 10 3. 利用不等式求最值 . 10 四、 平面幾何 . 11 1. 基本定理 . 11 2. 三角形的心 . 12 3. 多點(diǎn)共圓問(wèn)題 . 13 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 2 頁(yè) 4. 面積問(wèn)題 . 14 五、 數(shù)論基礎(chǔ) . 14 1. 整除問(wèn)題 . 14 2. 整除 . 15 3. 染色、博弈問(wèn)題 . 16 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 3 頁(yè) 知識(shí)框架 函數(shù)問(wèn)題 基本內(nèi)容 函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值 函數(shù)不等式 經(jīng)典方法 換元法、構(gòu)造法、反函數(shù)法、 判別式法 數(shù)列問(wèn)題 基本內(nèi)容 等差數(shù)列及其性質(zhì) 等比數(shù)列及其性質(zhì) 數(shù)列前 n 項(xiàng)和求法 數(shù)列通項(xiàng)求法 經(jīng)典方法 不動(dòng)點(diǎn)法、構(gòu)造法 不等式 基本內(nèi)容 常用不等式 不等式求極值 不等式證明 不等式的綜合應(yīng)用 經(jīng)典方法 換元法、放縮法、反證法、 比較法、調(diào)整法 空間幾何 基本內(nèi)容 常用定理及證明方法 三角形的心 多點(diǎn)共圓問(wèn)題 面積問(wèn)題 經(jīng)典方法 作圖法、反證法、等積變換 數(shù)論基礎(chǔ) 基本內(nèi)容 整數(shù)問(wèn)題 整除問(wèn)題 染色及博弈問(wèn)題 經(jīng)典方法 假設(shè)法、反證法、排列組合方法 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 4 頁(yè) 重點(diǎn)難點(diǎn) 函數(shù)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)，要求同學(xué)們能夠熟練掌握。其中函數(shù) 單調(diào)性 、 周期性 、常用初等函數(shù) 的形式是該部分的重點(diǎn)； 可導(dǎo)性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 、 函數(shù)極值 、 函數(shù)不等式 是該部分的難點(diǎn)。 在數(shù)列部分中， 等差數(shù)列 及其性質(zhì) 、 等比數(shù)列及其性質(zhì) 、 數(shù)列前 n 項(xiàng)和求法 、 通項(xiàng)公式的求法 、 遞歸數(shù)列處理方法 是該部分的重點(diǎn)；數(shù)列相關(guān) 不等式的證明技巧 、 新數(shù)列構(gòu)造等問(wèn)題是該部分的難點(diǎn)。 在 不等式部分 中 ， 常用不等式 、 應(yīng)用不等式求極值 、不 等式證明 技巧是該部分的重點(diǎn)；其中 柯西不等式 、 排序不等式 、 不等式證明中的換元法 、 不等式的綜合應(yīng)用 是不等式學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。 平面幾何的基本知識(shí)一般出現(xiàn)在競(jìng)賽大綱中，題目的難度超出了高考的大綱范圍。但一些 基本的定理和方法 應(yīng)該當(dāng)做難點(diǎn)來(lái)學(xué)習(xí)掌握。 數(shù)論問(wèn)題是近些年加入考綱的內(nèi)容，其重點(diǎn)為 整除 和 同余問(wèn)題 。在學(xué)習(xí)中應(yīng)重點(diǎn)掌握考慮問(wèn)題的 方法和思路 ，難點(diǎn)是準(zhǔn)確快速地運(yùn)用相關(guān)的 定理 。 而在解題中最終將轉(zhuǎn)換為排列組合的知識(shí)，因此在本文中不做具體介紹。 函數(shù)和數(shù)列 的知識(shí)是自主招生及高考中的 壓軸 所在，需要同學(xué)們能夠靈活運(yùn)用解題方法，綜合多種解題技巧，在平日練習(xí)中更要注重方法的積累，舉一反三。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 5 頁(yè) 知識(shí)梳理 一、 函數(shù)問(wèn)題 1. 函數(shù)的基本要素及性質(zhì) a) 定義： 函數(shù) ()y f x 可以看做實(shí)數(shù)域 A 到實(shí)數(shù)域 B 的 映射 。其中 A 為 f 的 定義域 ，B 為 f 的 值域 。 b) 基本性質(zhì)： 連續(xù)性 、 單調(diào)性 、 奇偶性 、 周期性 。 c) 有界性 ：函數(shù) ( ),y f x x D，若存在 ,mM R ，使得 , ( )x D m f x M ，則稱 f 有界， m 為其下界， M 為其上界。有時(shí)函數(shù)只有上界或只有下界。當(dāng)函數(shù)無(wú)界時(shí)，不存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的確定區(qū)間可包含函數(shù)的值域。 d) 可導(dǎo)性 ：函數(shù) ( ),y f x x D。 0xD ，若 000( ) ( )limxf x x f xx 存在，稱 f在 0x 點(diǎn)可導(dǎo)，記為 00() dyf x x xdx為 f 0x 點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。 e) 高階導(dǎo)數(shù) ：如果函數(shù) ()y f x 的導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)，稱 ()fx為 f 的二階導(dǎo)數(shù)。高階導(dǎo)數(shù)類似定義。 f) 凸性 ： ()y f x 在區(qū)間 I 上 有 定 義 ， 若 12(0 ,1), ,x x I ，有1 2 1 2( ( 1 ) ) ( ) ( 1 ) ( )f x x f x f x ，則稱 ()y f x 為區(qū)間 I 上凸函數(shù)。 若 ()y f x 的二階導(dǎo)數(shù)存在，則 ()y f x 為區(qū)間 I 上凸函數(shù) , ( ) 0x I f x 2. 函數(shù)的值域（最值）的求法 a) 配方法 ：如果所給的函數(shù)是 二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的形式 ，一般采用配方法，但在求解時(shí)，要注意作為二次函數(shù)形式的自變量的取值范圍。 b) 判別式法 ：將所給函數(shù) y f x 看作是關(guān)于 x 的方程。若是關(guān)于 x 的一元二次方程則可利用 判別式大于等于 0 來(lái)求 y 的取值范圍 ，但要注意取等號(hào)的問(wèn)題。 c) 換元法 ：將一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)中某個(gè)式子當(dāng)作 整體 ，通過(guò)換元可化為我們熟知的表達(dá)式，這里要注意所換元的表達(dá)式的取值范圍。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 6 頁(yè) d) 單調(diào)性法 ：如果所給的函數(shù)是熟悉的 已知函數(shù)的形式 ，則可利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)示值域，但要注意其單調(diào)區(qū)間。 e) 反函數(shù)法 ：若某函數(shù) 存在反函數(shù) ，則可利用互為反函數(shù)兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域互換，改求反函數(shù)的定義域。 f) 均值不等式法 。 （在不等式中介紹） g) 構(gòu)造法 ：通過(guò)構(gòu)造相應(yīng)圖形， 數(shù)形結(jié)合 求出最值。 3. 函數(shù)不等式問(wèn)題 a) 凸性 ： 對(duì)于 定義域 ,ab 上 的凸函數(shù)，若 11 ni ia，則 ni iini ii xfaxaf 11 b) 單調(diào)性 ：利用函數(shù)單調(diào)性 證明不等式，如：求證 ( ) ( )f x g x ，可證 ( ) ( )f x g xee c) 配方法 ：配方法 證明函數(shù)不等式：求證 22, , 3 3 3 0x y R x y x y x y d) 求導(dǎo)法 ： 利用導(dǎo)函數(shù)及單調(diào)性證明：求證 0, 1xx e x 二、 數(shù)列問(wèn)題 1. 等差數(shù)列及其性質(zhì) a) 如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè) 常數(shù) ，這個(gè)數(shù)列就叫做 等差數(shù)列 ，而這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的 公差 ，公差常用 d 字母表示 。 遞推公式 為： 1 ()nna a d const 。 任意兩項(xiàng)間有關(guān)系 式 ()mna a m n d 。 b) 等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和公式 11 ()( 1 )22 nn n a annS n a d 。 2. 等比數(shù)列及其性質(zhì) a) 如果一個(gè) 數(shù)列 從第 二 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè) 常數(shù) ，這個(gè)數(shù)列就叫做 等比數(shù)列 。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的 公比 ，公比通常用字母 q 表示 ( 0)q 。遞推公式 為： 1 ( , 0 )nna q const qa 。當(dāng) 1q 時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列。 任意兩項(xiàng)間有關(guān)系 式 mnmna qa 。 b) 要注意的是， 等比數(shù)列一般 不含 0 元素項(xiàng) 。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 7 頁(yè) c) 等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式 11(1 ) ,11,1nnaq qS qna q 3. 等差乘等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 nS 的求法 1: ( 1)nna a a n d ， 11: ( 0 , 1 )nnnb b b q q q ， :n n n nc c a b 1111 1 1 ( 1 )n n n kn k k kk k kS c a b a k d b q 1 11 1 1 112( 1 ) ( 2 )nn kkn kkq S a k d b q a k d b q 1 1 11 1 1 1 12 ( 1 )1nn knn k d b q qS q S a b d b q a b q 故 1 1 12(1 ) ,1 (1 )nn a b d b q qS n Nq q 4. 幾種數(shù)列遞推關(guān)系求通項(xiàng)方法 a) 11, , ,nna pa q a p q 已 知1 ( ) ,1 1 1n n nq q qa p a ap p p 為 一 個(gè) 新 的 等 比 數(shù) 列 故 11()11nn qqa a ppp b) 1 1 1 2, , , ,n n na p a q a a a p q 已 知 該遞推關(guān)系式對(duì)應(yīng)的特征方程為 2x px q，如果方程有不等兩根 12,xx，那么212nna Ax Bx，由 12,aa定得 ,AB，從而確定數(shù)列通項(xiàng)公式；如果特征方程有重根 12xx ，那么 1()nna An B x ，由 12,aa定得 ,AB，從而確定數(shù)列通項(xiàng)公式。 c) 不動(dòng)點(diǎn)法 求數(shù)列通項(xiàng) 對(duì)于一個(gè)函數(shù) ()y f x ，該函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)指的是方程 ()x f x 的根，也就是()y f x 與直線 yx 的交點(diǎn)。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 8 頁(yè) 假設(shè)1 nn naa ba ca d ，已知 1, , , ,abc d a 令 () ax bfx cx d ，可求函數(shù) ()y f x 的不動(dòng)點(diǎn)滿足 ax bx cx d ，即2 ( ) 0cx d a x b ，令方程的兩根為 12,xx （ 1） 若 12xx ，則有1 1 11 1 2()nncppa x a x a d 其 中 （ 2） 若 12xx ，則有 1 1 1 11 2 2 2()nna x a x a c xqqa x a x a c x 其 中 從而可以求出 na 的通項(xiàng)公式。 總之，在已知數(shù)列前后項(xiàng)之間的遞推關(guān)系時(shí)，我們首要的任務(wù)就是 嘗試構(gòu)造新數(shù)列 ，使新數(shù)列滿足等差或等比數(shù)列的性質(zhì) ，繼而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式。 三、 不等式 1. 常用不等式 a) 均值不等式 12, na a a R，有 22111111 nnn nna a a an aannaa 常用形式： , 0 , 2x y x y xy b) 柯西不等式 若 , , 1, 2, ,iia b R i n ，則 2 2 21 1 1( ) ( ) ( )n n ni i i ii i ia b a b ，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)1212nnaaab b b 常用變形一： 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 9 頁(yè) RbRa ii ，若 (i=1,2,n) ，則 niniiniiiibaba11212 注：要求 bi 為正數(shù) 常用變形二： 若 Rba ii， (i=1,2,n) ，則 niiiniini iibaaba1211 c) 排序不等式 設(shè)有兩個(gè)有序數(shù)組 12 na a a 及 12 nb b b ，則 1 1 2 2 ()nna b a b a b 同 序 和 1 1 2 2 ()j j n jna b a b a b 亂 序 和 1 2 1 1 ()n n na b a b a b 逆 序 和 其中 12,nj j j 為 1,2, ,n 的任意一個(gè)排列。當(dāng)且僅當(dāng) 12 na a a 或12 nb b b 時(shí)等號(hào)（對(duì)任一排列 12,nj j j ）成立。 d) 琴生不等式 （了解即可） 如果在定義域 ,ab 上函數(shù) ()y f x 為上凸函數(shù)，則 12, , , ,nx x x a b，有 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ()nnf x f x f x x x xfnn ； 如果在定義域 ,ab 上函數(shù) ()y f x 為下凸函數(shù)，則 12, , , ,nx x x a b，有 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ()nnf x f x f x x x xfnn 。 加權(quán)的琴生不等式 : 對(duì)于 定義域 ,ab 上 的 上 凸函數(shù)，若 11 ni ia，則 ni iini ii xfaxaf 11 e) 車比雪夫不等式 （了解即可） 若 1 2 1 2,nna a a b b b ，則 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 10 頁(yè) 1 1 2 2 1 2 1 2n n n na b a b a b a a a b b bn n n f) 絕對(duì)值不等式 a b a b a b 1 2 1 2nna a a a a a 2. 常用不等式證明方法 a) 比較法 ：依據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及大小順序之間的關(guān)系，通過(guò)兩個(gè)實(shí)數(shù)的差或商的符號(hào)（范圍）確定兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系的方法?；窘忸}步驟是： 作差（商） 變形 判號(hào)（范圍） 定論 。證題時(shí)常用到 配方、因式分解、換元、乘方、恒等式、重要不等式、優(yōu)化假設(shè)、放縮 等變形技巧。 b) 分析綜合法 ：所謂 “綜合 ”指由 “因 ”導(dǎo) “果 ”，從已知條件出發(fā)，依據(jù)不等式的性質(zhì)、函數(shù)的性質(zhì)、重要不等式等逐步推進(jìn)，證得所要證的不等式。所謂 “分析 ”指的是執(zhí)“果 ”索 “因 ”， 從欲證不等式出發(fā)，層層推求使之成立的充分條件 ，直至已知事實(shí)為止。一般先用分析法分析證題思路，再用綜合法書寫證明過(guò)程。 c) 換元法 ：適當(dāng) 引入新變量 ，通過(guò)代換簡(jiǎn)化原有結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)某種變通，給證明的成功帶來(lái)新的轉(zhuǎn)機(jī)。具體地講， 就是化超越式為代數(shù)式，化無(wú)理式為有理式，化分式為整式，化高次式為低次式 等等。比較常見(jiàn)的有三角代換、均值代換、增量代換、對(duì)稱代換、復(fù)數(shù)代換、局部代換、整體代換、比值代換、常量 代換等。至于到底如何代換，因題而異。應(yīng)用換元法時(shí)， 要注意新變量的取值范圍，即代換的等價(jià)性 。 d) 放縮法 ：要證 AB（或 AB） , 可以先證明 AC（或 AC），再證明 CB（或 CB），由傳遞性得證。證明不等式的實(shí)質(zhì)就是如何把不等式的一邊經(jīng)過(guò)適當(dāng)放縮得到另一邊。放縮法的 常用技巧 ： 在恒等式中舍掉或添加一些項(xiàng)； 在分式中放大或縮小分子或分母； 應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)（如單調(diào)性、有界性等）進(jìn)行放縮； 應(yīng)用基本不等式進(jìn)行放縮。運(yùn)用放縮法證明不等式時(shí)，要注意目標(biāo)明確和放縮適度。 e) 數(shù)學(xué)歸納法 ：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù) 有關(guān)的不等式。對(duì)于某些較弱的不等式，可以加強(qiáng)命題后再作歸納法證明。 f) 構(gòu)造法 ：針對(duì)要證的不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，展開(kāi)類比、聯(lián)想，抓住知識(shí)間的橫向聯(lián)系，構(gòu)造出數(shù)列、函數(shù)、圖形等輔助模型 ，通過(guò)轉(zhuǎn)化達(dá)到目的。 g) 反證法 ：通過(guò)否定結(jié)論 ,導(dǎo)出矛盾 ,從而肯定結(jié)論 。 一般用于證明否定性、唯一性、存在性命題，或用于直接證明比較困難的命題 。 3. 利用不等式求最值 利用平均值不等式求函數(shù)的最值時(shí)，要特別注意 “正數(shù)、定值和相等 ”三個(gè)條件缺一不可，清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 11 頁(yè) 有時(shí)需要適當(dāng)拼湊，使之符合這三個(gè)條件 。 為了用好該不等式，首先要正確理解該不等式中的三個(gè)條件（三要素）： 正（各項(xiàng)或各因式均為正值）、定（和或積為定值）、等（各項(xiàng)或各因式都能取得相等的值，即具備等號(hào)成立的條件） ，簡(jiǎn)稱 “一正、二定、三相等 ”，這三條缺一不可，當(dāng)然還要牢記結(jié)論： 積定 和最小，和定 積最大 。但是在具體問(wèn)題中，往往所給條件并非 “標(biāo)準(zhǔn) ”的正、定、等（或隱含于所給條件之中），所以還必須作適當(dāng)?shù)刈冃?，通過(guò)湊、拆（拼）項(xiàng)、添項(xiàng)等技巧，對(duì) “原始 ”條件進(jìn)行調(diào)整、轉(zhuǎn)化，使其符合標(biāo)準(zhǔn)的正、定、等，以保證使用該不等式。 四、 平面幾何 1. 基本定理 a) 梅捏勞斯（ Menelaus）定理（梅式線） ABC 的三邊 BC、 CA、 AB 或其延長(zhǎng)線上有點(diǎn) P、 Q、R，則 P、 Q、 R 共線的充要條件 是 1BP CQ ARPC QA RB 。 說(shuō)明： 恰當(dāng)選擇三角形的截線或作出截線，是應(yīng)用梅涅勞斯定理的關(guān)鍵，其逆定理常應(yīng)用于證明三點(diǎn)共線問(wèn)題。 b) 賽瓦（ Ceva）定理（塞瓦點(diǎn)） ABC 的三邊 BC、 CA、 AB 上有點(diǎn) P、 Q、 R，則 AP、 BQ、CR 三線共點(diǎn)的充要條件是 1BP CQ ARPC QA RB 。 說(shuō)明： 對(duì)較復(fù)雜的問(wèn)題，要注意梅涅勞斯定理和塞瓦定理的聯(lián)合應(yīng)用。 c) 托勒密 (Ptolemy)定理 四邊形的兩對(duì)邊乘積之和等于其對(duì)角線乘積 （如圖，即A B C D B C D A A C B D ） 的充要條件是該四邊形內(nèi)接于一圓。 說(shuō)明： 托勒密定理可作如下推廣：在凸四邊形 ABCD 中，有A B C D B C D A A C B D ，等號(hào)成立的充要條件是 ABCD 為圓的內(nèi)接四邊形，稱為廣 義托勒密定理。 d) 西姆松 (Simson)定理（西姆松線） 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 12 頁(yè) 從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。 e) 其它定理 i. 內(nèi)角平分線定理 如圖，如果 1= 2，則有 BD ABDC AC 。 ii. 外角平分線定理 如果， AD 是 ABC 中 A 的外角平分線，交 BC 的延長(zhǎng)線于 D，則有 BD ABDC AC 。 iii. 余弦定理推論 推論 1：平行四邊形兩對(duì)角的平方和等于四邊平方和。 推論 2：設(shè) ABC 三邊長(zhǎng)分別為 a， b， c，對(duì)應(yīng)邊上的中線分別為 ma， mb， mc，則： 2 2 21 222am b c a ； 2 2 21 222bm a c b ； 2 2 21 222cm a b c iv. 斯德瓦特定理 如圖， ABC 的 BC 邊上有一點(diǎn) P，則可滿足下列關(guān)系： 2 2 2A B P C A C B P A P B C B P P C B C v. 張角定理 由 P 點(diǎn)出發(fā)的三條射線 ,PAPBPC ，設(shè) APC ， CPB ，180APB ，則 ,ABC 三 點(diǎn) 共 線 的 充 要 條 件 是 ：s in s in s in ( )P B P A P C 2. 三角形的心 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 13 頁(yè) 三角形的外心、重心、垂心、內(nèi)心及旁心，統(tǒng)稱為三角形的五心 。 a) 外心 三角形中垂線的交點(diǎn)，三角形外接圓的圓心，簡(jiǎn)稱外心 .與外心關(guān)系密切的有圓心角定理和圓周角定理 。 b) 重心 三角形三條中線的交點(diǎn)，叫做三角形的重心 .掌握重心將每條中線都分成定比 2:1及中線長(zhǎng)度公式，便于解題 。 c) 垂心 三角形三條高的交戰(zhàn)，稱為三角形的垂心 .由三角形的垂心造成的四個(gè)等 (外接 )圓三角形，給我們解題提供了極大的便利 。 d) 內(nèi)心 三角形角平分線的交點(diǎn)，三角形內(nèi)切圓的圓心，簡(jiǎn)稱為內(nèi)心 .對(duì)于內(nèi)心，要掌握張角公式 。 e) 旁心 三角形的一條內(nèi)角平分線與另兩個(gè)內(nèi)角的外角平分線相交于一點(diǎn)，是旁切圓的圓心，稱為旁心 .旁心常常與內(nèi)心聯(lián)系在一起，旁心還與三角形的半周長(zhǎng)關(guān)系密切 。 3. 多點(diǎn)共圓問(wèn)題 a) 利用圓的定義證明 即要證 A、 B、 C、 D 四點(diǎn)共圓，只需要找到一點(diǎn) P，證得 PA=PB=PC=PD 即可 。 b) 利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理的逆定理 i. 若四邊形的兩個(gè)對(duì)角互補(bǔ)，則四點(diǎn)共圓 。 ii. 若四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，則四點(diǎn)共圓 。 c) 利用圓周角定理的逆定理證明 即兩三角形有公共底邊，且在公共底邊同側(cè)又有相等的頂角，則四頂點(diǎn)共圓 。 d) 利用圓冪定理的逆定理證明 即 i. 若二線段 AB 和 CD 相交與 E，且 AE EB CE ED 則 A、 B、 C、 D 四點(diǎn)共圓。 ii. 若相交于 P 點(diǎn)的二線段 PB、 PD 上各有一點(diǎn) A、 C，且 ,PA PB PC PD 則 A、B、 C、 D 四點(diǎn)共圓。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 14 頁(yè) e) 利用托勒密定理的逆定理證明 即 如果四邊形 ABCD 的兩組對(duì)邊乘積的和等于它的兩條對(duì)角線的乘積：,A B C D B C D A A C B D 則 A、 B、 C、 D 四點(diǎn)共圓 。 f) 多點(diǎn)（大于 4 點(diǎn)）共圓 i. 通常先證其中四點(diǎn)共圓，再證其余點(diǎn)中一一與共圓四點(diǎn)組中的三點(diǎn)共圓。 ii. 直接利用位似變換證明。 4. 面積問(wèn)題 面積的等積變換 等積變換是處理有關(guān)面積問(wèn)題的 重要方法之一，它的特點(diǎn)是 利用間面積相等而進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換證（解）題 。 面積法是一個(gè)很強(qiáng)大的工具，它可以讓你在看不清應(yīng)該如何去算的時(shí)候，提供一個(gè)有力的方法，尤其在處理線段比例上，它有著很強(qiáng)大的功能 .在后面很多地方都會(huì)用到面積的比例來(lái)轉(zhuǎn)化邊 的比例，這也正是面積法的真正作用所在 。 我們先來(lái)熟悉一下這些定理，比如先證明在右圖 的圖形中要證明 AH AFHB BF， 就 可 以 由 AGE AGEBGE ABESSAHHB S S，ABEBGES DG ACS BC CG得到：只要證明 1DG AC BFBD CG AF 即可，這即是以 ABG 關(guān)于直線 DCF 的梅氏定理 .于是我們要證明的東西就出來(lái)了，其中用到的只有共邊定理，再加上梅氏定理作為一個(gè)輔助的工具 。 面積法決不是那種能獨(dú)當(dāng)一面的方法，它一定是作為配角來(lái)使用的，而在證明過(guò)程中起到一個(gè)過(guò)渡的作用 。 五、 數(shù)論基礎(chǔ) 1. 整除問(wèn)題 a) 整數(shù)與其進(jìn)位制 ： 在集合觀點(diǎn)下，整數(shù)是整數(shù)集合的簡(jiǎn)稱，記為 Z ， =n|n=0, 1, 2, Z 。 整數(shù)對(duì) “加、減、乘”三種運(yùn)算封閉 ，對(duì) “除、開(kāi)方”運(yùn)算不封閉 。 正整數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，為了用有限的個(gè)數(shù)符號(hào)表示出無(wú)限個(gè)正整數(shù)，前人發(fā)明了進(jìn)位制。 10 是十進(jìn)制的基， 任何大于 1 的整數(shù) r 均可作為 r 進(jìn)位制的基 。 自然數(shù) N 的 r 進(jìn)制是把 N 表示成 r 的 n 次多項(xiàng)式的形式，即圖 1 - 4GCA FEBDH清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 15 頁(yè) 11 1 0nnnnN a r a r a r a ，其中 0 , 1 , 2 , , 1 , 0 , 1 , 2 , . 0ina r i n a ，并記作1 1 0()n n rN a a a a 。 r 進(jìn)制記數(shù)法的基本原則是“逢 r 進(jìn) 1” 。 不同進(jìn)位制的數(shù)可以相互轉(zhuǎn)換，如 324 1 0(1 0 2 1 ) 1 4 0 4 2 4 1 ( 7 3 ) 。十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成 P進(jìn)制數(shù)是“除 P取余”法，例如 4 3 21 3 7 1 3 + 2 3 + 0 3 + 0 3 + 2 ，故 3137 (12002) 。a 進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)為 b 進(jìn)制數(shù)，只需先把 a 進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，再由十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為b 進(jìn)制數(shù)。 b) 整數(shù)的奇偶性 ： 將全體整數(shù)分為兩類， 凡是 2 的倍數(shù)的數(shù)稱為偶數(shù)，否則稱為奇數(shù) ，因此，任意偶數(shù)可表示成 2 ( )mm Z ，任意奇數(shù)可表示為 21m 的形式。奇數(shù)偶數(shù)具有如下性質(zhì)： 奇數(shù) 奇數(shù) =偶數(shù)；偶數(shù) 偶數(shù) =偶數(shù)；奇數(shù) 偶數(shù) =奇數(shù)；偶數(shù) 偶數(shù) =偶數(shù)；奇數(shù) 偶數(shù) =奇數(shù)；奇數(shù) 奇數(shù) =奇數(shù)。 奇數(shù)的平方都可以表示為 81m 的形式，偶數(shù)的平方都可以表示為 8m 或 84m的形式。任何一個(gè)正整數(shù) n，都可以寫成 2mnl 的形式，其中 m 為非負(fù)整數(shù)， l 為奇數(shù)。 c) 質(zhì)數(shù)與合數(shù)、算術(shù)基本定理 ： 大于 1 的整數(shù)按它具有因數(shù)的情況可以分為 質(zhì)數(shù) 和 合數(shù) 兩類。 一個(gè)大于 1 的整數(shù)，如果除了 1 和它自身外沒(méi)有任何正因子，則稱此數(shù)為質(zhì)數(shù)或素?cái)?shù)，否則，稱為合數(shù)。 顯然， 1 既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù) ； 2 是最小的且是唯一的偶質(zhì)數(shù) 。 算術(shù)基本定理 ：任何大于 1 的整數(shù) A 都可以分解成質(zhì)數(shù)的乘積，若不計(jì)這些質(zhì)數(shù)額次序，則這種質(zhì)因子分解表達(dá)式是唯一的，進(jìn)而 A 可以寫成標(biāo)準(zhǔn)分解式：12 naaa nA p p p ，其中 12 np p p ， ip 為質(zhì)數(shù)， ia 為非負(fù)整數(shù)， 1,2, ,in 。 合數(shù)的因子個(gè)數(shù)計(jì)算公式：若 12 naaa nA p p p 為標(biāo)準(zhǔn)分解式，則 A 的所有因子（包括 1 和 A 本身）的個(gè)數(shù)為1( 1)n ii a 。 2