期權(quán)定價(jià)模型.doc

期權(quán)定價(jià)模型【學(xué)習(xí)目標(biāo)】本章是期權(quán)部分的重點(diǎn)內(nèi)容之一。本章主要介紹了著名的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型和由J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人提出的二叉樹(shù)模型，并對(duì)其經(jīng)濟(jì)理解和應(yīng)用進(jìn)行了進(jìn)一步的講解。學(xué)習(xí)完本章，讀者應(yīng)能掌握Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式及其基本運(yùn)用，掌握運(yùn)用二叉樹(shù)模型為期權(quán)進(jìn)行定價(jià)的基本方法。自從期權(quán)交易產(chǎn)生以來(lái)，尤其是股票期權(quán)交易產(chǎn)生以來(lái)，學(xué)者們即一直致力于對(duì)期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的探討。1973年，美國(guó)芝加哥大學(xué)教授 Fischer Black和Myron Scholes發(fā)表期權(quán)定價(jià)與公司負(fù)債 Black, F., and Scholes (1973) “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”, Journal of Political Economy, 81( May-June), p. 637-659一文，提出了著名的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型，在學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界引起強(qiáng)烈的反響，Scholes并由此獲得1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。在他們之后，其他各種期權(quán)定價(jià)模型也紛紛被提出，其中最著名的是1979年由J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人提出的二叉樹(shù)模型。在本章中，我們將介紹以上這兩個(gè)期權(quán)定價(jià)模型，并對(duì)其進(jìn)行相應(yīng)的分析和探討 從本書(shū)難度的設(shè)定出發(fā)，本章只介紹期權(quán)定價(jià)模型的基本內(nèi)容及其理解，而不具體推導(dǎo)模型，更深入的內(nèi)容可參見(jiàn)鄭振龍. 金融工程. 北京: 高等教育出版社, 2003. 第六章。第一節(jié) Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型一、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的假設(shè)條件Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的七個(gè)假設(shè)條件如下：1. 期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)為一風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型中為股票），當(dāng)前時(shí)刻市場(chǎng)價(jià)格為S。S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng) 有關(guān)股票價(jià)格及其衍生證券所遵循的隨機(jī)過(guò)程的詳細(xì)信息，可參見(jiàn)鄭振龍. 金融工程. 北京: 高等教育出版社, 2003. 115頁(yè)-121頁(yè)，即 其中，為股票價(jià)格瞬時(shí)變化值，為極短瞬間的時(shí)間變化值，為均值為零，方差為的無(wú)窮小的隨機(jī)變化值（，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1.0的正態(tài)分布）中取的一個(gè)隨機(jī)值），為股票價(jià)格在單位時(shí)間內(nèi)的期望收益率（以連續(xù)復(fù)利表示），則是股票價(jià)格的波動(dòng)率，即證券收益率在單位時(shí)間內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)差。和都是已知的。簡(jiǎn)單地分析幾何布朗運(yùn)動(dòng)，意味著股票價(jià)格在短時(shí)期內(nèi)的變動(dòng)（即收益）來(lái)源于兩個(gè)方面：一是單位時(shí)間內(nèi)已知的一個(gè)收益率變化，被稱(chēng)為漂移率，可以被看成一個(gè)總體的變化趨勢(shì)；二是隨機(jī)波動(dòng)項(xiàng)，即，可以看作隨機(jī)波動(dòng)使得股票價(jià)格變動(dòng)偏離總體趨勢(shì)的部分。2在期權(quán)有效期內(nèi)，標(biāo)的資產(chǎn)沒(méi)有現(xiàn)金收益支付。綜合1和2，意味著標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)是連續(xù)而均勻的，不存在突然的跳躍。3. 沒(méi)有交易費(fèi)用和稅收，不考慮保證金問(wèn)題，即不存在影響收益的任何外部因素。綜合2和3，意味著投資者的收益僅來(lái)源于價(jià)格的變動(dòng)，而沒(méi)有其他影響因素。4. 該標(biāo)的資產(chǎn)可以被自由地買(mǎi)賣(mài)，即允許賣(mài)空，且所有證券都是完全可分的。5. 在期權(quán)有效期內(nèi)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)，投資者可以此利率無(wú)限制地進(jìn)行借貸。6期權(quán)為歐式看漲期權(quán)，其執(zhí)行價(jià)格為，當(dāng)前時(shí)刻為，到期時(shí)刻為。7不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。二、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型（一）Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式在上述假設(shè)條件的基礎(chǔ)上，Black和Scholes得到了如下適用于無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的一個(gè)微分方程： （11.1）其中f為期權(quán)價(jià)格，其他參數(shù)符號(hào)的意義同前。通過(guò)解這個(gè)微分方程，Black和Scholes得到了如下適用于無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式： （11.2）其中，c為無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格；N（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù)（即這個(gè)變量小于x的概率），根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)特性，我們有。（二）Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的理解1.期權(quán)價(jià)格的影響因素首先，讓我們將Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式與第十章中分析的期權(quán)價(jià)格的影響因素聯(lián)系起來(lái)。在第十章中，我們已經(jīng)得知期權(quán)價(jià)格的影響因素包括：標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格、執(zhí)行價(jià)格、波動(dòng)率、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、到期時(shí)間和現(xiàn)金收益。在式（11.2）中，除了由于我們假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)現(xiàn)金收益之外，其他幾個(gè)參數(shù)都包括在內(nèi)，且影響方向與前文分析的一致。2.風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理其次我們要談到一個(gè)對(duì)于衍生產(chǎn)品定價(jià)非常重要的原理：風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。觀察式（11.2），以及第十章中的期權(quán)價(jià)格影響因素分析，我們可以注意到期權(quán)價(jià)格是與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率無(wú)關(guān)的。即在第一節(jié)我們描述標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格所遵循的幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)的預(yù)期收益率在期權(quán)定價(jià)公式中消失了。這對(duì)于尋求期權(quán)定價(jià)的人們來(lái)說(shuō)無(wú)疑是一個(gè)很大的好消息。因?yàn)槠駷橹?，人們?nèi)匀粵](méi)有找到計(jì)算證券預(yù)期收益率的確定方法。期權(quán)價(jià)格與的無(wú)關(guān)性，顯然大大降低了期權(quán)定價(jià)的難度和不確定性。進(jìn)一步考慮，受制于主觀風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在期權(quán)的價(jià)值決定公式中，公式中出現(xiàn)的變量為標(biāo)的證券當(dāng)前市價(jià)（S）、執(zhí)行價(jià)格（X）、時(shí)間（t）、證券價(jià)格的波動(dòng)率（）和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，它們?nèi)际强陀^變量，獨(dú)立于主觀變量風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。既然主觀風(fēng)險(xiǎn)偏好對(duì)期權(quán)價(jià)格沒(méi)有影響，這使得我們可以利用Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型所揭示的期權(quán)價(jià)格的這一特性，作出一個(gè)可以大大簡(jiǎn)化我們工作的簡(jiǎn)單假設(shè)：在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。在所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下（有時(shí)我們稱(chēng)之為進(jìn)入了一個(gè)“風(fēng)險(xiǎn)中性世界”），所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，這是因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)中性的投資者并不需要額外的收益來(lái)吸引他們承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)。同樣，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，所有現(xiàn)金流量都可以通過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。應(yīng)該注意的是，風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是一個(gè)人為假定，但通過(guò)這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。為了更好地理解風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，我們可以舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明。假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是11元，要么是9元?，F(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。由于歐式期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行，其價(jià)值取決于3個(gè)月后股票的市價(jià)。若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于11元，則該期權(quán)價(jià)值為0.5元；若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于9元，則該期權(quán)價(jià)值為0。為了找出該期權(quán)的價(jià)值，我們可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于11元時(shí)，該組合價(jià)值等于（110.5）元；若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于9元時(shí)，該組合價(jià)值等于9元。為了使該組合價(jià)值處于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)闹?，?個(gè)月后該組合的價(jià)值不變，這意味著：110.5=9=0.25因此，一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和0.25股標(biāo)的股票。無(wú)論3個(gè)月后股票價(jià)格等于11元還是9元，該組合價(jià)值都將等于2.25元。在沒(méi)有套利機(jī)會(huì)情況下，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合只能獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。假設(shè)現(xiàn)在的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%，則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為：由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場(chǎng)為10元，因此：這就是說(shuō)，該看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為0.31元，否則就會(huì)存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。從該例子可以看出，在確定期權(quán)價(jià)值時(shí)，我們并不需要知道股票價(jià)格上漲到11元的概率和下降到9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。事實(shí)上，只要股票的預(yù)期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，則股票上升的概率P可以通過(guò)下式來(lái)求：P=62.66%。又如，如果在現(xiàn)實(shí)世界中股票的預(yù)期收益率為15%，則股票的上升概率可以通過(guò)下式來(lái)求：P=69.11%?？梢?jiàn)，投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度決定了股票的預(yù)期收益率，而股票的預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無(wú)論投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度如何，從而無(wú)論該股票上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價(jià)值都等于0.31元。3. 對(duì)期權(quán)定價(jià)公式的經(jīng)濟(jì)理解。首先，從Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型自身的求解過(guò)程來(lái)看 Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的具體推導(dǎo)過(guò)程參見(jiàn)鄭振龍. 金融工程. 北京: 高等教育出版社, 2003. 115頁(yè)-133頁(yè)，N(d2)實(shí)際上是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中ST大于X的概率，或者說(shuō)是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率，因此，e-r(T-t)XN(d2)是X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值，更樸素地說(shuō)，可以看成期權(quán)可能帶來(lái)的收入現(xiàn)值。SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值，可以看成期權(quán)持有者將來(lái)可能支付的價(jià)格的現(xiàn)值。因此整個(gè)歐式看漲期權(quán)公式就可以被看作期權(quán)未來(lái)期望回報(bào)的現(xiàn)值。其次，顯然反映了標(biāo)的資產(chǎn)變動(dòng)一個(gè)很小的單位時(shí)，期權(quán)價(jià)格的變化量；或者說(shuō)，如果要避免標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化給期權(quán)價(jià)格帶來(lái)的影響，一個(gè)單位的看漲期權(quán)多頭，就需要單位的標(biāo)的資產(chǎn)空頭加以保值。事實(shí)上，我們?cè)诘谑轮袑⒖吹?，是?fù)制交易策略中股票的數(shù)量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價(jià)值。最后，從金融工程的角度來(lái)看，歐式看漲期權(quán)可以分拆成資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)（Asset-or-noting call option）多頭和現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)（cash-or-nothing option）空頭，SN(d1)是資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)的價(jià)值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)空頭的價(jià)值。這是因?yàn)椋瑢?duì)于一個(gè)資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)來(lái)說(shuō)，如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在到期時(shí)低于執(zhí)行價(jià)格，該期權(quán)沒(méi)有價(jià)值；如果高于執(zhí)行價(jià)格，則該期權(quán)支付一個(gè)等于資產(chǎn)價(jià)格本身的金額，根據(jù)前文對(duì)N(d2)和SN(d1)的分析，可以得出該期權(quán)的價(jià)值為e-r(T-t)STN(d1)= SN(d1)的結(jié)論；同樣，對(duì)于（標(biāo)準(zhǔn)）現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)，如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在到期時(shí)低于執(zhí)行價(jià)格，該期權(quán)沒(méi)有價(jià)值；如果高于執(zhí)行價(jià)格，則該期權(quán)支付1元， 由于期權(quán)到期時(shí)價(jià)格超過(guò)執(zhí)行價(jià)格的概率為N(d2)，則1份現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)的現(xiàn)值為-e-r(T-t) N(d2)。（三）Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的拓展1.無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型給出的是無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式，根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系，可以得到無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式： （11.3）2. 無(wú)收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價(jià)公式在標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)收益情況下，由于C=c，因此式（11.2）也給出了無(wú)收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的價(jià)值。由于美式看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間不存在嚴(yán)密的平價(jià)關(guān)系，因此美式看跌期權(quán)的定價(jià)還沒(méi)有得到一個(gè)精確的解析公式，但可以用數(shù)值方法以及解析近似方法求出。3. 有收益資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià)公式到現(xiàn)在為止，我們一直假設(shè)期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)沒(méi)有現(xiàn)金收益。那么，對(duì)于有收益資產(chǎn)，其期權(quán)定價(jià)公式是什么呢？實(shí)際上，如果收益可以準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)到，或者說(shuō)是已知的，那么有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)定價(jià)并不復(fù)雜。在收益已知情況下，我們可以把標(biāo)的證券價(jià)格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分和一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)部分。當(dāng)期權(quán)到期時(shí)，這部分現(xiàn)值將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，我們只要用S表示有風(fēng)險(xiǎn)部分的證券價(jià)格。表示風(fēng)險(xiǎn)部分遵循隨機(jī)過(guò)程的波動(dòng)率從理論上說(shuō),風(fēng)險(xiǎn)部分的波動(dòng)率并不完全等于整個(gè)證券價(jià)格的的波動(dòng)率,有風(fēng)險(xiǎn)部分的波動(dòng)率近似等于整個(gè)證券價(jià)格波動(dòng)率乘以S/(SV)，這里V是紅利現(xiàn)值。但在本書(shū)中，為了方便起見(jiàn)，我們假設(shè)兩者是相等的。，就可直接套用公式（11.2）和（11.3）分別計(jì)算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)值。當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為I時(shí)，我們只要用（SI）代替式（11.2）和（11.3）中的S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率q（單位為年）時(shí)，我們只要將代替式（11.2）和（11.3）中的S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。在各種期權(quán)中，股票指數(shù)期權(quán)、外匯期權(quán)和期貨期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)可以看作支付連續(xù)紅利率，因而它們適用于這一定價(jià)公式。具體的內(nèi)容，我們將在第十三章深入闡述。另外，對(duì)于有收益資產(chǎn)的美式期權(quán)，由于有提前執(zhí)行的可能，我們無(wú)法得到精確的解析解，仍然需要用數(shù)值方法以及解析近似方法求出。三、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的計(jì)算（一） Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的參數(shù)我們已經(jīng)知道，Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型中的期權(quán)價(jià)格取決于下列五個(gè)參數(shù)：標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格、執(zhí)行價(jià)格、到期期限、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率（即標(biāo)的資產(chǎn)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差）。在這些參數(shù)當(dāng)中，前三個(gè)都是很容易獲得的確定數(shù)值。但是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率則需要通過(guò)一定的計(jì)算求得估計(jì)值。1. 估計(jì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率在發(fā)達(dá)的金融市場(chǎng)上，很容易獲得對(duì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的估計(jì)值。但是在實(shí)際應(yīng)用的時(shí)候仍然需要注意幾個(gè)問(wèn)題。首先，我們需要選擇正確的利率。一般來(lái)說(shuō)，在美國(guó)人們大多選擇美國(guó)國(guó)庫(kù)券利率作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的估計(jì)值。由于美國(guó)國(guó)庫(kù)券所報(bào)出的利率通常為貼現(xiàn)率（即利息占票面價(jià)值的比例），因此需要轉(zhuǎn)化為通常的利率，并且用連續(xù)復(fù)利的方式表達(dá)出來(lái)，才可以在Black-Scholes公式中應(yīng)用。其次，要小心地選擇國(guó)庫(kù)券的到期日。如果利率期限結(jié)構(gòu)曲線(xiàn)傾斜嚴(yán)重，那么不同到期日的收益率很可能相差很大，我們必須選擇距離期權(quán)到期日最近的那個(gè)國(guó)庫(kù)券的利率作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。我們用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的計(jì)算。假設(shè)一個(gè)還有84天到期的國(guó)庫(kù)券，其買(mǎi)入報(bào)價(jià)為8.83，賣(mài)出報(bào)價(jià)為8.77。由于短期國(guó)庫(kù)券市場(chǎng)報(bào)價(jià)為貼現(xiàn)率，我們可以推算出其中間報(bào)價(jià)對(duì)應(yīng)的現(xiàn)金價(jià)格（面值為100美元）為進(jìn)一步應(yīng)用連續(xù)復(fù)利利率的計(jì)算公式得到相應(yīng)的利率：2. 估計(jì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率估計(jì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率要比估計(jì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率困難得多，也更為重要。正如第十章所述，估計(jì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率有兩種方法：歷史波動(dòng)率和隱含波動(dòng)率。（1） 歷史波動(dòng)率所謂歷史波動(dòng)率就是從標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的歷史數(shù)據(jù)中計(jì)算出價(jià)格收益率的標(biāo)準(zhǔn)差。以股票價(jià)格為例，表11-1列出了計(jì)算股票價(jià)格波動(dòng)率的一個(gè)簡(jiǎn)單說(shuō)明。很顯然，計(jì)算波動(dòng)率的時(shí)候，我們運(yùn)用了統(tǒng)計(jì)學(xué)中計(jì)算樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差的簡(jiǎn)單方法。其中，為股票價(jià)格百分比收益率，（或者為）則為連續(xù)復(fù)利收益率（估計(jì)）均值，（或者）則是連續(xù)復(fù)利收益率（估計(jì)）方差，就是相應(yīng)的（估計(jì)）標(biāo)準(zhǔn)差（波動(dòng)率），即Black-Scholes公式計(jì)算時(shí)所用的參數(shù)。在表11-1中，共有11天的收盤(pán)價(jià)信息，因此得到10個(gè)收益率信息。表11-1 歷史波動(dòng)率計(jì)算天數(shù)0100.001101.501.01500.01490.000154298.000.9655-0.03510.001410396.750.9872-0.01280.0002344100.501.03880.03800.0012645101.001.00500.00500.0000066103.251.02230.02200.0003827105.001.01690.01680.0002058102.750.9786-0.02170.0005829103.001.00240.00240.00000010102.500.9951-0.00490.000053總計(jì)0.02470.004294樣本均值樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差在Black-Scholes公式所用的參數(shù)中，有三個(gè)參數(shù)與時(shí)間有關(guān)：到期期限、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和波動(dòng)率。值得注意的是，這三個(gè)參數(shù)的時(shí)間單位必須相同，或者同為天、周，或者同為年。年是經(jīng)常被用到的時(shí)間單位，因此，我們常常需要將諸如表11-1中得到的天波動(dòng)率轉(zhuǎn)化為年波動(dòng)率。在考慮年波動(dòng)率時(shí)，有一個(gè)問(wèn)題需要加以重視：一年的天數(shù)究竟按照日歷天數(shù)還是按照交易天數(shù)計(jì)算。一般認(rèn)為，證券價(jià)格的波動(dòng)主要來(lái)自交易日。因此，在轉(zhuǎn)換年波動(dòng)率時(shí)，應(yīng)該按照一年252個(gè)交易日進(jìn)行計(jì)算。這樣，表11-1中計(jì)算得到的天波動(dòng)率相應(yīng)的年波動(dòng)率為。在我們的例子中，我們使用的是10天的歷史數(shù)據(jù)。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，這個(gè)天數(shù)的選擇往往很不容易。從統(tǒng)計(jì)的角度來(lái)看，時(shí)間越長(zhǎng)，數(shù)據(jù)越多，獲得的精確度一般越高。但是，資產(chǎn)價(jià)格收益率的波動(dòng)率卻又常常隨時(shí)間而變化，太長(zhǎng)的時(shí)間段反而可能降低波動(dòng)率的精確度。因此，計(jì)算波動(dòng)率時(shí)，要注意選取距離今天較近的時(shí)間，一般的經(jīng)驗(yàn)法則是設(shè)定度量波動(dòng)率的時(shí)期等于期權(quán)的到期期限。因此，如果要為9個(gè)月的期權(quán)定價(jià)，可使用9個(gè)月的歷史數(shù)據(jù)。（2）隱含波動(dòng)率從Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型本身來(lái)說(shuō)，公式中的波動(dòng)率指的是未來(lái)的波動(dòng)率數(shù)據(jù)，這使得歷史波動(dòng)率始終存在著較大的缺陷。為了回避這一缺陷，一些學(xué)者將目光轉(zhuǎn)向隱含波動(dòng)率的計(jì)算。所謂的隱含波動(dòng)率，即根據(jù)Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式，將公式中除了波動(dòng)率以外的參數(shù)和市場(chǎng)上的期權(quán)報(bào)價(jià)代入，計(jì)算得到的波動(dòng)率數(shù)據(jù)。顯然，這里計(jì)算得到的波動(dòng)率可以看作是市場(chǎng)對(duì)未來(lái)波動(dòng)率的預(yù)期。當(dāng)然，由于Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式比較復(fù)雜，隱含波動(dòng)率的計(jì)算一般需要通過(guò)計(jì)算機(jī)完成。（二）Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的計(jì)算：一個(gè)例子為了使讀者進(jìn)一步理解Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型，我們下面用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，來(lái)說(shuō)明這一模型的計(jì)算過(guò)程。例11.1假設(shè)某種不支付紅利股票的市價(jià)為50元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為12%，該股票的年波動(dòng)率為10%，求該股票協(xié)議價(jià)格為50元、期限1年的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)價(jià)格。在本題中，可以將相關(guān)參數(shù)表達(dá)如下：S50，X50，r=0.12,=0.1,T=1, 計(jì)算過(guò)程可分為三步：第一步，先算出和。 第二步，計(jì)算和。 第三步，上述結(jié)果及已知條件代入公式（11.2），這樣，歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)價(jià)格分別為： 在本例中，標(biāo)的資產(chǎn)執(zhí)行價(jià)格和市場(chǎng)價(jià)格正好相等，但是看漲期權(quán)的價(jià)格卻與看跌期權(quán)的價(jià)格相差懸殊。其中的原因在于利率和到期期限對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。在本例中，利率高達(dá)12%，到期期限長(zhǎng)達(dá)一年。在這種情況下，執(zhí)行價(jià)格的現(xiàn)值將大大降低。對(duì)于歐式看漲期權(quán)來(lái)說(shuō)，這意味著內(nèi)在價(jià)值的大幅上升；而對(duì)歐式看跌期權(quán)來(lái)說(shuō)，卻意味著內(nèi)在價(jià)值的大幅降低。因此，在計(jì)算了執(zhí)行價(jià)格的現(xiàn)值以后，看漲期權(quán)是實(shí)值期權(quán)而看跌期權(quán)則是一個(gè)虛值期權(quán)。事實(shí)上，由于實(shí)際中的市場(chǎng)短期利率通常較低，期權(quán)到期期限一般不超過(guò)9個(gè)月，因此如果標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格與執(zhí)行價(jià)格相等，同樣條件下的看漲期權(quán)價(jià)格和看跌期權(quán)價(jià)格一般比較接近。四、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的精確度實(shí)證要求證Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的精確度，我們可以運(yùn)用Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式計(jì)算出期權(quán)價(jià)格的理論值，然后與市場(chǎng)上的期權(quán)價(jià)格進(jìn)行比較。如果兩者不存在顯著的差別，那么這個(gè)定價(jià)公式的精度應(yīng)該是令人滿(mǎn)意的。從總的實(shí)證研究結(jié)果來(lái)看，Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式存在一定偏差，但它依然是迄今為止解釋期權(quán)價(jià)格動(dòng)態(tài)的最佳模型之一。與CAPM解釋股票價(jià)格差異的能力相比，Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式可以較好地解釋期權(quán)的價(jià)格差異。這也正是Scholes得以獲得1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的重要原因。一般認(rèn)為，造成用Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式估計(jì)的期權(quán)價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格存在差異的原因主要有以下幾個(gè)：1. 計(jì)算錯(cuò)誤；2. 期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格偏離均衡；3. 使用的錯(cuò)誤的參數(shù)；4. Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式建立在眾多假定的基礎(chǔ)上。五、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的應(yīng)用Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式除了可以用來(lái)估計(jì)期權(quán)價(jià)格，在其它一些方面也有重要的應(yīng)用。主要包括評(píng)估組合保險(xiǎn)成本、給可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)和為認(rèn)股權(quán)證估值。（一）評(píng)估組合保險(xiǎn)成本證券組合保險(xiǎn)是指事先能夠確定最大損失的投資策略。比如在持有相關(guān)資產(chǎn)的同時(shí)買(mǎi)入看跌期權(quán)就是一種組合保險(xiǎn)。假設(shè)你掌管著價(jià)值1億的股票投資組合，這個(gè)股票投資組合于市場(chǎng)組合十分類(lèi)似。你擔(dān)心類(lèi)似于1987年10月19日的股災(zāi)會(huì)吞噬你的股票組合，這時(shí)購(gòu)買(mǎi)一份看跌期權(quán)也許是合理的。顯然，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格越低，組合保險(xiǎn)的成本越小，不過(guò)也許我們需要一個(gè)確切的評(píng)估，市場(chǎng)上可能根本就沒(méi)有對(duì)應(yīng)的期權(quán)，要準(zhǔn)確估算成本十分困難，此時(shí)Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式就十分有用。比如也許10的損失是可以接受的，那么執(zhí)行價(jià)格就可以設(shè)為9000萬(wàn)，然后再將利率、波動(dòng)率和保值期限的數(shù)據(jù)代進(jìn)公式，就可以合理估算保值成本。（二）給可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)可轉(zhuǎn)換債券是一種可由債券持有者轉(zhuǎn)換成股票的債券，因此可轉(zhuǎn)換債券相當(dāng)于一份普通的公司債券和一份看漲期權(quán)的組合。即其中表示可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值，代表從可轉(zhuǎn)換債券中剝離出來(lái)的債券的價(jià)值，代表從可轉(zhuǎn)換債券中剝離出來(lái)的期權(quán)的價(jià)值。在實(shí)際中的估計(jì)是十分復(fù)雜的，因?yàn)閷?duì)利率非常敏感，而布萊克_舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式假定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率不變，對(duì)顯然不適用。其次，從可轉(zhuǎn)換債券中隱含的期權(quán)的執(zhí)行與否會(huì)因?yàn)楣善惫衫蛡⒌膯?wèn)題復(fù)雜化。第三，許多可轉(zhuǎn)換債券的轉(zhuǎn)換比例會(huì)隨時(shí)間變化。還有就是絕大多數(shù)可轉(zhuǎn)換債券是可贖回的。可贖回債券的分解更加復(fù)雜。對(duì)債券持有者而言，它相當(dāng)于一份普通的公司債券、一份看漲期權(quán)多頭（轉(zhuǎn)換權(quán)）和一份看漲期權(quán)空頭（贖回權(quán)）的組合?？哨H回的可轉(zhuǎn)換債券對(duì)股票價(jià)格變動(dòng)很敏感，而且對(duì)利率也非常敏感。當(dāng)利率下降的時(shí)候，公司可能會(huì)選擇贖回債券。當(dāng)然，利率上升的時(shí)候債券價(jià)值也會(huì)上升。（三）為認(rèn)股權(quán)證估值認(rèn)股權(quán)證通常是與債券或優(yōu)先股一起發(fā)行的，它的持有人擁有在特定時(shí)間以特定價(jià)格認(rèn)購(gòu)一定數(shù)量的普通股，因此認(rèn)股權(quán)證其實(shí)是一份看漲期權(quán)，不過(guò)兩者之間還是存在細(xì)微的差別，看漲期權(quán)執(zhí)行的時(shí)候，發(fā)行股票的公司并不會(huì)受到影響，而認(rèn)股權(quán)證的執(zhí)行將導(dǎo)致公司發(fā)行更多的股票，因此，認(rèn)股權(quán)證的執(zhí)行存在稀釋效應(yīng)，在估值的時(shí)候必須考慮這一點(diǎn)。第二節(jié) 二叉樹(shù)模型Black-Scholes模型的提出，對(duì)期權(quán)定價(jià)的研究而言，是一個(gè)開(kāi)創(chuàng)性的研究。然而，由于該模型涉及到比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)大多數(shù)人而言較難理解和操作。1979年，J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人發(fā)表期權(quán)定價(jià)：一種被簡(jiǎn)化的方法 J. Cox, J., Ross, S., and Rubinstein: Option Pricing (1979) “a Simplified Approach”, Journal of Financial Economics, September, p.7一文，用一種比較淺顯的方法導(dǎo)出了期權(quán)定價(jià)模型，這一模型被稱(chēng)為“二叉樹(shù)模型（the Binomial Model）”或“二叉樹(shù)模型”，是期權(quán)數(shù)值定價(jià)方法的一種。二叉樹(shù)模型的優(yōu)點(diǎn)在于其比較簡(jiǎn)單直觀，不需要太多的數(shù)學(xué)知識(shí)就可以加以應(yīng)用。同時(shí)，它不僅可以為歐式期權(quán)定價(jià)，而且可以為美式期權(quán)定價(jià)；不僅可以為無(wú)收益資產(chǎn)定價(jià)，而且可以為有收益資產(chǎn)定價(jià)，應(yīng)用相當(dāng)廣泛，目前已經(jīng)成為金融界最基本的期權(quán)定價(jià)方法之一。一、二叉樹(shù)模型的基本方法我們從簡(jiǎn)單的無(wú)收益資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià)開(kāi)始講解二叉樹(shù)模型，之后再逐步加以擴(kuò)展。二叉樹(shù)模型首先把期權(quán)的有效期分為很多很小的時(shí)間間隔，并假設(shè)在每一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)證券價(jià)格只有兩種運(yùn)動(dòng)的可能：從開(kāi)始的上升到原先的倍，即到達(dá)；下降到原先的倍，即。其中，如圖11.1所示。價(jià)格上升的概率假設(shè)為，下降的概率假設(shè)為。SSuSdq1-q圖11.1 時(shí)間內(nèi)資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)相應(yīng)地，期權(quán)價(jià)值也會(huì)有所不同，分別為和。注意，在較大的時(shí)間間隔內(nèi)，這種二值運(yùn)動(dòng)的假設(shè)當(dāng)然不符合實(shí)際，但是當(dāng)時(shí)間間隔非常小的時(shí)候，比如在每個(gè)瞬間，資產(chǎn)價(jià)格只有這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方向的假設(shè)是可以接受的。因此，二叉樹(shù)模型實(shí)際上是在用大量離散的小幅度二值運(yùn)動(dòng)來(lái)模擬連續(xù)的資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng)。（一）單步二叉樹(shù)模型運(yùn)用單步二叉樹(shù)為期權(quán)定價(jià)，可以有兩種方法：無(wú)套利方法和風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法。1.無(wú)套利定價(jià)法由于期權(quán)和標(biāo)的資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)源是相同的，在如圖11.1的單步二叉樹(shù)中，我們可以構(gòu)造一個(gè)證券組合，包括股資產(chǎn)多頭和一個(gè)看漲期權(quán)空頭。如果我們?nèi)∵m當(dāng)?shù)闹?，使則無(wú)論資產(chǎn)價(jià)格是上升還是下跌，這個(gè)組合的價(jià)值都是相等的。也就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，無(wú)論股票價(jià)格上升還是下跌，該組合的價(jià)值都相等。顯然，該組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合，因此我們可以用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率對(duì)貼現(xiàn)來(lái)求該組合的現(xiàn)值。在無(wú)套利機(jī)會(huì)的假設(shè)下，該組合的收益現(xiàn)值應(yīng)等于構(gòu)造該組合的成本，即將代入上式就可得到：（11.4）2.風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法在第一節(jié)中我們已經(jīng)探討過(guò)，期權(quán)定價(jià)可以在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中進(jìn)行，同樣，我們也可以在二叉樹(shù)模型中應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，確定參數(shù)、和，從而為期權(quán)定價(jià)。這是二叉樹(shù)定價(jià)的一般方法。在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里：（1） 所有可交易證券的期望收益都是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；（2） 未來(lái)現(xiàn)金流可以用其期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)。在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，標(biāo)的證券的預(yù)期收益率應(yīng)等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，因此若期初的證券價(jià)格為，則在很短的時(shí)間間隔末的證券價(jià)格期望值應(yīng)為。因此，參數(shù)、和的值必須滿(mǎn)足這個(gè)要求，即： (11.5)二叉樹(shù)模型也假設(shè)證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，那么在一個(gè)小時(shí)間段內(nèi)證券價(jià)格變化的方差是 遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)意味著股票價(jià)格符合對(duì)數(shù)正態(tài)分布，因而可以得到這一關(guān)于股票價(jià)格方差的結(jié)論。具體內(nèi)容可參見(jiàn)鄭振龍. 金融工程. 北京: 高等教育出版社, 2003. 115頁(yè)-133頁(yè)。根據(jù)方差的定義，變量的方差等于，因此： (11.6)式（11.4）和(11.5)給出了計(jì)算、和的兩個(gè)條件。第三個(gè)條件的設(shè)定則可以有所不同， Cox、Ross和Rubinstein所用的條件 這是二叉樹(shù)模型中最常用的第三個(gè)條件，后文我們將會(huì)談到對(duì)第三個(gè)條件的其他設(shè)定方法。是： （11.7）從以上三個(gè)條件求得，當(dāng)很小時(shí)： （11.8） （11.9） （11.10）從而 （11.11）比較以上兩種方法，我們可以看到，無(wú)套利定價(jià)法和風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法實(shí)際上具有內(nèi)在一致性。在無(wú)套利定價(jià)過(guò)程中，我們并沒(méi)有考慮資產(chǎn)價(jià)格上升和下降的實(shí)際概率，由于資產(chǎn)預(yù)期收益率等于不同情況下收益率以概率為權(quán)重的加權(quán)平均值，在無(wú)套利定價(jià)法下無(wú)需考慮概率就意味著資產(chǎn)預(yù)期收益具有無(wú)關(guān)性，這正好符合風(fēng)險(xiǎn)中性的概念。其次，如果將式（11.8）代入（11.4），最后的期權(quán)公式（11.4）和（11.11）實(shí)際上是完全相同的。那么要如何理解公式（11.11）中的概率呢？這里的概率實(shí)際上是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的概率而非實(shí)際的概率，因此資產(chǎn)的預(yù)期收益率仍然對(duì)期權(quán)定價(jià)是無(wú)關(guān)的。一般來(lái)說(shuō)，在運(yùn)用二叉樹(shù)方法時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)是常用的方法，而無(wú)套利定價(jià)法則主要是提供了一種定價(jià)思想。（二）多步二叉樹(shù)模型：證券價(jià)格的樹(shù)型結(jié)構(gòu)以上所述的單步二叉樹(shù)模型雖然比較簡(jiǎn)單，但已包含著二叉樹(shù)定價(jià)模型的基本原理和方法。因此，可以進(jìn)一步拓展到多步二叉樹(shù)模型。應(yīng)用多步二叉樹(shù)模型來(lái)表示證券價(jià)格變化的完整樹(shù)型結(jié)構(gòu)如圖11.2所示。圖11.2 資產(chǎn)價(jià)格的樹(shù)型結(jié)構(gòu)當(dāng)時(shí)間為0時(shí)，證券價(jià)格為。時(shí)間為時(shí)，證券價(jià)格要么上漲到，要么下降到；時(shí)間為2時(shí)，證券價(jià)格就有三種可能：、（等于）和，以此類(lèi)推。一般而言，在時(shí)刻，證券價(jià)格有種可能，它們可用符號(hào)表示為： 其中注意：由于，使得許多結(jié)點(diǎn)是重合的，從而大大簡(jiǎn)化了樹(shù)圖。（三）倒推定價(jià)法得到每個(gè)結(jié)點(diǎn)的資產(chǎn)價(jià)格之后，就可以在二叉樹(shù)模型中采用倒推定價(jià)法，從樹(shù)型結(jié)構(gòu)圖的末端T時(shí)刻開(kāi)始往回倒推，為期權(quán)定價(jià)。由于在到期時(shí)刻的預(yù)期期權(quán)價(jià)值是已知的，例如看漲期權(quán)價(jià)值為，看跌期權(quán)價(jià)值為，因此在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下在求解時(shí)刻的每一結(jié)點(diǎn)上的期權(quán)價(jià)值時(shí)，都可通過(guò)將時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值的預(yù)期值在時(shí)間長(zhǎng)度內(nèi)以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)求出。同理，要求解時(shí)的每一結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值時(shí)，也可以將時(shí)的期權(quán)價(jià)值預(yù)期值在時(shí)間內(nèi)以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r貼現(xiàn)求出。依此類(lèi)推。采用這種倒推法，最終可以求出零時(shí)刻（當(dāng)前時(shí)刻）的期權(quán)價(jià)值。以上是歐式期權(quán)的情況，如果是美式期權(quán)，就要在樹(shù)型結(jié)構(gòu)的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)上，比較在本時(shí)刻提前執(zhí)行期權(quán)和繼續(xù)再持有時(shí)間，到下一個(gè)時(shí)刻再執(zhí)行期權(quán)，選擇其中較大者作為本結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。例11.2假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)為不付紅利股票,其當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)為50元,波動(dòng)率為每年40%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，該股票5個(gè)月期的美式看跌期權(quán)協(xié)議價(jià)格為50元，求該期權(quán)的價(jià)值。為了構(gòu)造二叉樹(shù)，我們把期權(quán)有效期分為五段，每段一個(gè)月（等于0.0833年）。根據(jù)式（11.8）到（11.10），可以算出：據(jù)此我們可以畫(huà)出該股票在期權(quán)有效期內(nèi)的樹(shù)型圖，如圖11.3所示。在每個(gè)結(jié)點(diǎn)處有兩個(gè)值，上面一個(gè)表示股票價(jià)格，下面一個(gè)表示期權(quán)價(jià)值。股價(jià)上漲概率總是等于0.5076，下降概率總是等于0.4924。在時(shí)刻，股票在第個(gè)結(jié)點(diǎn)（）的價(jià)格等于。例如，F(xiàn)結(jié)點(diǎn)（）的股價(jià)等于。在最后那些結(jié)點(diǎn)處，期權(quán)價(jià)值等于。例如，G結(jié)點(diǎn)（）的期權(quán)價(jià)格等于5035.36=14.64。圖11.3 不付紅利股票美式看跌期權(quán)二叉樹(shù)從最后一列結(jié)點(diǎn)處的期權(quán)價(jià)值可以計(jì)算出倒數(shù)第二列結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。首先，我們假定在這些結(jié)點(diǎn)處期權(quán)沒(méi)被提前執(zhí)行。這意味著所計(jì)算的期權(quán)價(jià)值是時(shí)間內(nèi)期權(quán)價(jià)值期望值的現(xiàn)值。例如，E結(jié)點(diǎn)（）處的期權(quán)價(jià)值等于：而F結(jié)點(diǎn)處的期權(quán)價(jià)值等于：然后，我們要檢查提前執(zhí)行期權(quán)是否較有利。在E結(jié)點(diǎn)，提前執(zhí)行將使期權(quán)價(jià)值為0，因?yàn)楣善笔袃r(jià)和協(xié)議價(jià)格都等于50，顯然不應(yīng)提前執(zhí)行。因此E結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值應(yīng)為2.66元。而在F結(jié)點(diǎn)，如果提前執(zhí)行，期權(quán)價(jià)值等于50.0039.69元，等于10.31元，大于上述的9.90元。因此，若股價(jià)到達(dá)F結(jié)點(diǎn)，就應(yīng)提前執(zhí)行期權(quán)，從而F結(jié)點(diǎn)上的期權(quán)價(jià)值應(yīng)為10.31元，而不是9.90元。用相同的方法我們可以算出各結(jié)點(diǎn)處的期權(quán)價(jià)值，并最終倒推算出初始結(jié)點(diǎn)處的期權(quán)價(jià)值為4.48元。如果我們把期權(quán)有效期分成更多小時(shí)段，結(jié)點(diǎn)數(shù)會(huì)更多，計(jì)算會(huì)更復(fù)雜，但得出的期權(quán)價(jià)值會(huì)更精確。當(dāng)非常小時(shí)，期權(quán)價(jià)值將等于4.29元。（四）二叉樹(shù)方法的一般定價(jià)過(guò)程下面我們給出用數(shù)學(xué)符號(hào)表示的二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)方法，仍然舉無(wú)收益證券的美式看跌期權(quán)為例。假設(shè)把該期權(quán)有效期劃分成N個(gè)長(zhǎng)度為的小區(qū)間，令表示在時(shí)間時(shí)第j個(gè)結(jié)點(diǎn)處的美式看跌期權(quán)的價(jià)值，我們將稱(chēng)為結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。同時(shí)用表示結(jié)點(diǎn)處的證券價(jià)格。由于美式看跌期權(quán)在到期時(shí)的價(jià)值是，所以有：，其中當(dāng)時(shí)間從變?yōu)闀r(shí)，從結(jié)點(diǎn)移動(dòng)到結(jié)點(diǎn)的概率為，移動(dòng)到的概率為。假定期權(quán)不被提前執(zhí)行，則在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下：其中。如果考慮提前執(zhí)行的可能性的話(huà)，式中的必須與期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值比較，由此可得：按這種倒推法計(jì)算，當(dāng)時(shí)間區(qū)間的劃分趨于無(wú)窮大，或者說(shuō)當(dāng)每一區(qū)間趨于0時(shí)，就可以求出美式看跌期權(quán)的準(zhǔn)確價(jià)值。根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，一般將時(shí)間區(qū)間分成30步就可得到較為理想的結(jié)果。二、基本二叉樹(shù)方法的擴(kuò)展（一）有紅利資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià)1.支付連續(xù)紅利率資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)收益率為的紅利時(shí)，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，證券價(jià)格的增長(zhǎng)率應(yīng)該為，因此式（11.5）就變?yōu)椋和瑫r(shí)，式（11.8）變?yōu)椋?（11.12）式（11.9）和（11.10）仍然適用。顯然，這一方法適用于支付連續(xù)紅利率的股價(jià)指數(shù)期權(quán)、外匯期權(quán)和期貨期權(quán)，第十三章將更具體地討論這些期權(quán)的定價(jià)方法。2.支付已知紅利率資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)若標(biāo)的資產(chǎn)在未來(lái)某一確定時(shí)間將支付已知紅利率（紅利與資產(chǎn)價(jià)格之比），我們只要調(diào)整在各個(gè)結(jié)點(diǎn)上的證券價(jià)格，就可算出期權(quán)價(jià)格。調(diào)整方法如下：如果時(shí)刻在除權(quán)日之前，則結(jié)點(diǎn)處證券價(jià)格仍為：如果時(shí)刻在除權(quán)日之后，則結(jié)點(diǎn)處證券價(jià)格相應(yīng)調(diào)整為： 對(duì)在期權(quán)有效期內(nèi)有多個(gè)已知紅利率的情況，也可進(jìn)行同樣處理。若為0時(shí)刻到時(shí)刻之間所有除權(quán)日的總紅利支付率，則時(shí)刻結(jié)點(diǎn)的相應(yīng)的證券價(jià)格為：3. 已知紅利額若標(biāo)的資產(chǎn)在未來(lái)某一確定日期將支付一個(gè)確定數(shù)額的紅利而不是一個(gè)確定的比率，則除權(quán)后二叉樹(shù)的分支將不再重合，這意味著所要估算的結(jié)點(diǎn)的數(shù)量可能變得很大，特別是如果支付多次已知數(shù)額紅利的情況將更為復(fù)雜（見(jiàn)圖11.4）。圖11.4 假設(shè)紅利數(shù)額已知且波動(dòng)率為常數(shù)時(shí)的二叉樹(shù)圖為了簡(jiǎn)化這個(gè)問(wèn)題，我們可以把證券價(jià)格分為兩個(gè)部分：一部分是不確定的，而另一部分是期權(quán)有效期內(nèi)所有未來(lái)紅利的現(xiàn)值。假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi)只有一次紅利，除息日在到之間，則在時(shí)刻不確定部分的價(jià)值為： 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) （11.13）其中表示紅利。設(shè)為的標(biāo)準(zhǔn)差，假設(shè)是常數(shù)，用代替式（11.8）到（11.10）中的就可計(jì)算出參數(shù)、和，這樣就可無(wú)需考慮紅利問(wèn)題，而直接用通常的方法構(gòu)造出的二叉樹(shù)了。通過(guò)應(yīng)用式（11.13），把未來(lái)收益現(xiàn)值加在每個(gè)結(jié)點(diǎn)的證券價(jià)格上，就會(huì)使的二叉樹(shù)圖得以轉(zhuǎn)化。從而得到的二叉樹(shù)圖。假設(shè)零時(shí)刻的值為，則在時(shí)刻：當(dāng)時(shí)，這個(gè)樹(shù)上每個(gè)結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的證券價(jià)格為： 當(dāng)時(shí)，這個(gè)樹(shù)上每個(gè)結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的證券價(jià)格為： 這種方法和我們?cè)?jīng)分析過(guò)的在已知紅利數(shù)額的情況下應(yīng)用Black-Scholes公式中所用的方法一致，通過(guò)這種分離，我們可以重新得到重合的分支，減少結(jié)點(diǎn)數(shù)量，簡(jiǎn)化了定價(jià)過(guò)程。同時(shí)，這種方法還可以直接推廣到處理多個(gè)紅利的情況。（二）構(gòu)造樹(shù)圖的其他方法和思路1. 的二叉樹(shù)圖在式（11.5）到（11.7）中，前兩個(gè)式子是確定參數(shù)、和的固定條件，而第三個(gè)條件是人為給定的，也是最常用的條件，但它并不是唯一的。我們也可以放棄這個(gè)假設(shè)，轉(zhuǎn)而令，當(dāng)?shù)母唠A小量可以忽略時(shí)，我們得到：這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于無(wú)論和如何變化，概率總是不變的，缺點(diǎn)在于二叉樹(shù)圖中的中心線(xiàn)上的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格不會(huì)再和初始中心值相等。2. 三項(xiàng)式樹(shù)圖（三叉樹(shù)圖）另一種替代二叉樹(shù)圖的方法是三叉樹(shù)圖法，該樹(shù)圖的形狀如圖11.5所示。在每一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)證券價(jià)格有三種運(yùn)動(dòng)的可能：從開(kāi)始的上升到原先的倍，即到達(dá)；保持不變，仍為；下降到原先的倍，即。、分別為每個(gè)結(jié)點(diǎn)價(jià)格上升、持平和下降的概率。當(dāng)?shù)母唠A小量可以忽略時(shí)，滿(mǎn)足資產(chǎn)價(jià)格變化均值和方差的參數(shù)分別為：三叉樹(shù)圖的計(jì)算過(guò)程與二叉樹(shù)圖的計(jì)算過(guò)程相似。圖11.5 資產(chǎn)價(jià)格的三叉樹(shù)圖3. 控制方差技術(shù)控制方差技術(shù)是數(shù)值方法的一個(gè)輔助技術(shù)，其基本原理為：期權(quán)A和期權(quán)B的性質(zhì)相似（比如其他條件都相同的歐式期權(quán)和美式期權(quán)），我們可以得到期權(quán)B的解析定價(jià)公式，而只能得到期權(quán)A的數(shù)值方法解。用代表期權(quán)B的真實(shí)價(jià)值（解析解），表示關(guān)于期權(quán)A的較優(yōu)估計(jì)值，和表示用同一個(gè)二叉樹(shù)過(guò)程得到的估計(jì)值。這時(shí)，我們假設(shè)用數(shù)值方法計(jì)算出的期權(quán)B的誤差應(yīng)等于用數(shù)值方法計(jì)算出的期權(quán)A的誤差： 進(jìn)而得到期權(quán)A 的更優(yōu)估計(jì)值為：可以證明，當(dāng)和之間的協(xié)方差較大時(shí)，也就是說(shuō)這個(gè)方法減少了對(duì)期權(quán)A的價(jià)值估計(jì)的方差，我們利用和的信息改進(jìn)了對(duì)期權(quán)A的價(jià)值的估計(jì)。可以看出，控制方差技術(shù)實(shí)際上是利用數(shù)值方法計(jì)算兩個(gè)類(lèi)似期權(quán)之間的價(jià)格差異而不是計(jì)算期權(quán)價(jià)格本身。雖然從計(jì)算工作量來(lái)看，我們需要計(jì)算兩個(gè)估計(jì)值和，但是由于兩個(gè)期權(quán)的性質(zhì)相似或路徑相同，實(shí)際增加的工作量并不大。三、二叉樹(shù)定價(jià)模型的深入理解由上可見(jiàn)，二叉樹(shù)模型的基本出發(fā)點(diǎn)在于：假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格的運(yùn)動(dòng)是由大量的小幅度二值運(yùn)動(dòng)構(gòu)成，用離散的隨機(jī)游走模型模擬資產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)運(yùn)動(dòng)可能遵循的路徑。同時(shí)二叉樹(shù)模型與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理相一致，即模型中的收益率和貼現(xiàn)率均為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，資產(chǎn)價(jià)格向上運(yùn)動(dòng)和向下運(yùn)動(dòng)的實(shí)際概率并沒(méi)有進(jìn)入二叉樹(shù)模型，模型中隱含導(dǎo)出的概率是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的概率，從而為期權(quán)定價(jià)。實(shí)際上，當(dāng)二叉樹(shù)模型相繼兩步之間的時(shí)間長(zhǎng)度趨于零的時(shí)候，該模型將會(huì)收斂到連續(xù)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型，即Black-Scholes偏微分方程。取當(dāng)前時(shí)刻為（這是為了后面計(jì)算的方便，并不影響結(jié)論），在給定參數(shù)、和的條件下（注意這里并未限定求、和的第三個(gè)條件，而是一般適用的），當(dāng)時(shí)，二叉樹(shù)公式：可以在進(jìn)行泰勒展開(kāi)，最終可以化簡(jiǎn)為：的高階小量可以忽略，從而說(shuō)明離散二叉樹(shù)模型和連續(xù)Black-Scholes模型是十分相似的，在時(shí)，二叉樹(shù)模型收斂于Black-Scholes偏微分方程。最后，二叉樹(shù)模型和Black-Scholes模型的另一個(gè)相似點(diǎn)在于：它們都可以通過(guò)選取適當(dāng)?shù)闹?，?gòu)造一個(gè)由份的標(biāo)的資產(chǎn)多頭和一份期權(quán)空頭組成的無(wú)套利