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地址:遠(yuǎn)大路世紀(jì)城遠(yuǎn)大園五區(qū)9號(hào)樓電話(huà):88594404第一講有理數(shù)的巧算有理數(shù)運(yùn)算是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運(yùn)算的基礎(chǔ)它要求同學(xué)們?cè)诶斫庥欣頂?shù)的有關(guān)概念、法則的基礎(chǔ)上,能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進(jìn)行運(yùn)算不僅如此,還要善于根據(jù)題目條件,將推理與計(jì)算相結(jié)合,靈活巧妙地選擇合理的簡(jiǎn)捷的算法解決問(wèn)題,從而提高運(yùn)算能力,發(fā)展思維的敏捷性與靈活性1括號(hào)的使用在代數(shù)運(yùn)算中,可以根據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律,去掉或者添上括號(hào),以此來(lái)改變運(yùn)算的次序,使復(fù)雜的問(wèn)題變得較簡(jiǎn)單例1計(jì)算:分析中學(xué)數(shù)學(xué)中,由于負(fù)數(shù)的引入,符號(hào)“+”與“-”具有了雙重涵義,它既是表示加法與減法的運(yùn)算符號(hào),也是表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的性質(zhì)符號(hào)因此進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算時(shí),一定要正確運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法則,尤其是要注意去括號(hào)時(shí)符號(hào)的變化注意在本例中的乘除運(yùn)算中,常常把小數(shù)變成分?jǐn)?shù),把帶分?jǐn)?shù)變成假分?jǐn)?shù),這樣便于計(jì)算例2計(jì)算下式的值:211555+445789+555789+211445地址:遠(yuǎn)大路世紀(jì)城遠(yuǎn)大園五區(qū)9號(hào)樓電話(huà):88594404分析直接計(jì)算很麻煩,根據(jù)運(yùn)算規(guī)則,添加括號(hào)改變運(yùn)算次序,可使計(jì)算簡(jiǎn)單本題可將第一、第四項(xiàng)和第二、第三項(xiàng)分別結(jié)合起來(lái)計(jì)算解原式=(211555+211445)+(445789+555789)=211(555+445)+(445+555)789=2111000+1000789=1000(211+789)=1000000說(shuō)明加括號(hào)的一般思想方法是“分組求和”,它是有理數(shù)巧算中的常用技巧例3計(jì)算:S=1-2+3-4+(-1)n+1n分析不難看出這個(gè)算式的規(guī)律是任何相鄰兩項(xiàng)之和或?yàn)椤?”或?yàn)椤?1”如果按照將第一、第二項(xiàng),第三、第四項(xiàng),分別配對(duì)的方式計(jì)算,就能得到一系列的“-1”,于是一改“去括號(hào)”的習(xí)慣,而取“添括號(hào)”之法解S=(1-2)+(3-4)+(-1)n+1n下面需對(duì)n的奇偶性進(jìn)行討論:當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),上式是n2個(gè)(-1)的和,所以有當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),上式是(n-1)2個(gè)(-1)的和,再加上最后一項(xiàng)(-1)n+1n=n,所以有例4在數(shù)1,2,3,1998前添符號(hào)“+”和“-”,并依次運(yùn)算,所得可能的最小非負(fù)數(shù)是多少?分析與解因?yàn)槿舾蓚€(gè)整數(shù)和的奇偶性,只與奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān),所以在1,2,3,1998之前任意添加符號(hào)“+”或“-”,不會(huì)改變和的奇偶性在1,2,3,1998中有19982個(gè)奇數(shù),即有999個(gè)奇數(shù),所以任意添加符號(hào)“+”或“-”之后,所得的代數(shù)和總為奇數(shù),故最小非負(fù)數(shù)不小于1現(xiàn)考慮在自然數(shù)n,n+1,n+2,n+3之間添加符號(hào)“+”或“-”,顯然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0這啟發(fā)我們將1,2,3,1998每連續(xù)四個(gè)數(shù)分為一組,再按上述規(guī)則添加符號(hào),即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1所以,所求最小非負(fù)數(shù)是1說(shuō)明本例中,添括號(hào)是為了造出一系列的“零”,這種方法可使計(jì)算大大簡(jiǎn)化2用字母表示數(shù)我們先來(lái)計(jì)算(100+2)(100-2)的值:(100+2)(100-2)=100100-2100+2100-4=1002-22這是一個(gè)對(duì)具體數(shù)的運(yùn)算,若用字母a代換100,用字母b代換2,上述運(yùn)算過(guò)程變?yōu)?a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2于是我們得到了一個(gè)重要的計(jì)算公式(a+b)(a-b)=a2-b2,這個(gè)公式叫平方差公式,以后應(yīng)用這個(gè)公式計(jì)算時(shí),不必重復(fù)公式的證明過(guò)程,可直接利用該公式計(jì)算例5計(jì)算30012999的值地址:遠(yuǎn)大路世紀(jì)城遠(yuǎn)大園五區(qū)9號(hào)樓電話(huà):88594404解30012999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8999999例6計(jì)算1039710009的值解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99999919例7計(jì)算:分析與解直接計(jì)算繁仔細(xì)觀(guān)察,發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個(gè)連續(xù)整數(shù):12345,12346,12347可設(shè)字母n=12346,那么12345=n-1,12347=n+1,于是分母變?yōu)閚2-(n-1)(n+1)應(yīng)用平方差公式化簡(jiǎn)得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1,即原式分母的值是1,所以原式=24690例8計(jì)算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)分析式子中2,22,24,每一個(gè)數(shù)都是前一個(gè)數(shù)的平方,若在(2+1)前面有一個(gè)(2-1),就可以連續(xù)遞進(jìn)地運(yùn)用(a+b)(a-b)=a2-b2了解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=(232-1)(232+1)=264-1例9計(jì)算:分析在前面的例題中,應(yīng)用過(guò)公式(a+b)(a-b)=a2-b2這個(gè)公式也可以反著使用,即a2-b2=(a+b)(a-b)本題就是一個(gè)例子地址:遠(yuǎn)大路世紀(jì)城遠(yuǎn)大園五區(qū)9號(hào)樓電話(huà):88594404通過(guò)以上例題可以看到,用字母表示數(shù)給我們的計(jì)算帶來(lái)很大的益處下面再看一個(gè)例題,從中可以看到用字母表示一個(gè)式子,也可使計(jì)算簡(jiǎn)化例10計(jì)算:我們用一個(gè)字母表示它以簡(jiǎn)化計(jì)算3觀(guān)察算式找規(guī)律例11某班20名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)?nèi)缦拢?qǐng)計(jì)算他們的總分與平均分87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88分析與解若直接把20個(gè)數(shù)加起來(lái),顯然運(yùn)算量較大,粗略地估計(jì)一下,這些數(shù)均在90上下,所以可取90為基準(zhǔn)數(shù),大于90的數(shù)取“正”,小于90的數(shù)取“負(fù)”,考察這20個(gè)數(shù)與90的差,這樣會(huì)大大簡(jiǎn)化運(yùn)算所以總分為9020+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799,平均分為90+(-1)20=89.95例12計(jì)算1+3+5+7+1997+1999的值分析觀(guān)察發(fā)現(xiàn):首先算式中,從第二項(xiàng)開(kāi)始,后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都等于2;其次算式中首末兩項(xiàng)之和與距首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都等于2000,于是可有如下解法解用字母S表示所求算式,即S=1+3+5+1997+1999再將S各項(xiàng)倒過(guò)來(lái)寫(xiě)為地址:遠(yuǎn)大路世紀(jì)城遠(yuǎn)大園五區(qū)9號(hào)樓電話(huà):88594404S=1999+1997+1995+3+1將,兩式左右分別相加,得2S=(1+1999)+(3+1997)+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+2000+2000(500個(gè)2000)=2000500從而有S=500000說(shuō)明一般地,一列數(shù),如果從第二項(xiàng)開(kāi)始,后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都相等(本題3-1=5-3=7-5=1999-1997,都等于2),那么,這列數(shù)的求和問(wèn)題,都可以用上例中的“倒寫(xiě)相加”的方法解決例13計(jì)算1+5+52+53+599+5100的值分析觀(guān)察發(fā)現(xiàn),上式從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)都是它前面一項(xiàng)的5倍如果將和式各項(xiàng)都乘以5,所得新和式中除個(gè)別項(xiàng)外,其余與原和式中的項(xiàng)相同,于是兩式相減將使差易于計(jì)算解設(shè)S=1+5+52+599+5100,所以5S=5+52+53+5100+5101得4S=5101-1,說(shuō)明如果一列數(shù),從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比都相等(本例中是都等于5),那么這列數(shù)的求和問(wèn)題,均可用上述“錯(cuò)位相減”法來(lái)解決例14計(jì)算:分析一般情況下,分?jǐn)?shù)計(jì)算是先通分本題通分計(jì)算將很繁,所以我們不但不通分,反而利用如下一個(gè)關(guān)系式來(lái)把每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,然后再計(jì)算,這種方法叫做拆項(xiàng)法解由于所以地址:遠(yuǎn)大路世紀(jì)城遠(yuǎn)大園五區(qū)9號(hào)樓電話(huà):88594404說(shuō)明本例使用拆項(xiàng)法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項(xiàng),這種方法在有理數(shù)巧算中很常用練習(xí)一1計(jì)算下列各式的值:(1)-1+3-5+7-9+11-1997+1999;(2)11+12-13-14+15+16-17-18
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