算法、框圖、復(fù)數(shù)、推理與證明11-4數(shù)學(xué)歸納法(理).ppt

重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法的證明思路初始值n0的確定,知識(shí)歸納1歸納法歸納法有不完全歸納法和完全歸納法，如果我們考察了某類對(duì)象中的一部分，由這一部分具有某種特征而得出該類對(duì)象中的全體都具有這種特征的結(jié)論，為不完全歸納由不完全歸納法得出的結(jié)論不一定都是正確的，其正確性還需進(jìn)一步證明；如果我們考察了某類對(duì)象中的每一個(gè)對(duì)象，而得出該類對(duì)象的某種特征的結(jié)論為完全歸納，由完全歸納法得出的結(jié)論一定是正確的，數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法,2數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)歸納奠基：驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)結(jié)論成立；(2)歸納遞推：假設(shè)當(dāng)nk(kN*，且kn0)時(shí)結(jié)論成立推出nk1時(shí)結(jié)論也成立只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有自然數(shù)n(nn0)都成立，這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法,3歸納、猜想與證明從觀察一些特殊的簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，根據(jù)它們所體現(xiàn)的共同性質(zhì)，運(yùn)用不完全歸納法作出一般命題的猜想，然后從理論上證明(或否定)這種猜想，這個(gè)過(guò)程叫做“歸納猜想證明”它是一個(gè)完整的思維過(guò)程，是人們從事科學(xué)研究、認(rèn)識(shí)發(fā)現(xiàn)規(guī)律的有效途徑，也是用來(lái)培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力的有效辦法，因此，它就成了高考命題的熱點(diǎn)之一,誤區(qū)警示在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的過(guò)程中：第步，驗(yàn)證nn0時(shí)結(jié)論成立的n0不一定為1，根據(jù)題目要求，有時(shí)可為2、3等第步，證明nk1時(shí)命題也成立的過(guò)程中，一定要用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法這兩個(gè)步驟缺一不可，前一步是遞推的基礎(chǔ)，后一步是遞推的依據(jù)，缺了哪一步得出的結(jié)論也是錯(cuò)誤的另外，歸納假設(shè)中要保證n從第一個(gè)數(shù)n0開(kāi)始，即假設(shè)nk(kn0)時(shí)結(jié)論成立，括號(hào)內(nèi)限制條件改為kn0就錯(cuò)了,添減項(xiàng)法和放縮法1用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，根據(jù)需要有時(shí)應(yīng)添項(xiàng)或減項(xiàng)，這是數(shù)學(xué)歸納法證題的常用技巧2在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，常根據(jù)題目的需要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆趴s，要注意既不能放縮的不到位，也不能放縮過(guò)了頭,例1用數(shù)學(xué)歸納法證明12222n12n1(nN*)的過(guò)程中，第二步假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立，則當(dāng)nk1時(shí)應(yīng)得到()A12222k22k12k11B12222k2k12k112k1C12222k12k12k11D12222k12k2k12k,解析：原等式左邊是2021222n1，從20到2n1，右邊是2n1，故當(dāng)nk時(shí)，等式為20212k12k1，當(dāng)nk1時(shí)，等式為20212k12k2k112k12k.答案：D點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，從nk到nk1的過(guò)渡是證題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，實(shí)際證明時(shí)，要據(jù)不同問(wèn)題用不同方法討論，證明恒等式或不等式時(shí)，關(guān)鍵要抓住項(xiàng)數(shù)和項(xiàng)的增減變化證明整除性命題時(shí)，湊出歸納假設(shè)的形式是關(guān)鍵；證明圖形類問(wèn)題時(shí)，要注意從nk到nk1，究竟圖形中發(fā)生了哪些變化等等,用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”時(shí)，假設(shè)nk(k為正奇數(shù))時(shí)，命題為真，則進(jìn)而需證當(dāng)_時(shí)命題為真()Ank1Bnk1(k為正奇數(shù))Cnk2(k為正奇數(shù))Dn2k1(k為正奇數(shù))答案：C,點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式命題關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)當(dāng)nk到nk1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng),用數(shù)學(xué)歸納法證明(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)(nN)分析：從nk到nk1的過(guò)渡，左邊增加了因式(2k1)(2k2)減少了因式k1，右邊2k變成2k1增加了因式(2k1),證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊2右邊，等式成立(2)假設(shè)nk(kN)時(shí)，等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)，則當(dāng)nk1時(shí)，(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)(k1)(k2)(kk)2(2k1)2k2(2k1)2k12(k1)1等式也成立由(1)、(2)可知，等式對(duì)任何nN都成立.,點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式常常要用到放縮法，即在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上，通過(guò)放大或縮小技巧變換出要證明的目標(biāo)不等式,點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題時(shí)，不是不能結(jié)合其它證明方法，而是證明nk1時(shí)結(jié)論成立時(shí)，必須用上歸納假設(shè)(即nk時(shí)命題的結(jié)論)本題中證明式成立，不能丟開(kāi)式另用其它方法，只要把式作為條件用上了，再結(jié)合其它方法(如放縮法、分析法、綜合法等)是合理的.,分析：關(guān)鍵弄清凸k邊形到k1邊形對(duì)角線增加的條數(shù)，可以設(shè)想將k邊形的一條邊變?yōu)閮蓷l邊增加一個(gè)頂點(diǎn)，該頂點(diǎn)與原來(lái)的k個(gè)頂點(diǎn)有k2條對(duì)角線，原來(lái)的這條邊也成了一條對(duì)角線，故對(duì)角線共增加了k1條,平面上有n個(gè)圓，其中任何兩圓都相交，任何三圓不相交于同一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓把平面分成的區(qū)域數(shù)為f(n)n2n2.分析：關(guān)鍵是nk到nk1的過(guò)渡，要想搞清f(k1)比f(wàn)(k)多出平面區(qū)域的塊數(shù)，就要先弄清第k1個(gè)圓被原來(lái)的k個(gè)圓分成了多少段，每一段把它所在的原平面區(qū)域一分為二，為此先求出第k1個(gè)圓與原來(lái)的k個(gè)圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可,證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，一個(gè)圓把平面分成兩個(gè)部分，又f(1)12122，所以n1時(shí)，命題成立(2)假設(shè)nk時(shí)命題成立，即平面內(nèi)滿足條件的k個(gè)圓把平面分成f(k)k2k2個(gè)部分則nk1時(shí)，第k1個(gè)圓與前k個(gè)圓中的每一個(gè)各有兩個(gè)交點(diǎn)，又無(wú)三圓相交于同一點(diǎn)，故共得2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)交點(diǎn)把第k1個(gè)圓分成2k條圓弧，每條圓弧把原來(lái)所在的區(qū)域一分為二，所以平面的區(qū)域增加2k個(gè)，即f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2，所以當(dāng)nk1時(shí)命題也成立由(1)(2)可知，對(duì)一切正整數(shù)n，命題都成立.,解析：(1)當(dāng)n1時(shí)，D1為RtOAB1的內(nèi)部包括斜邊，這時(shí)a13，當(dāng)n2時(shí)，D2為RtOAB2的內(nèi)部包括斜邊，這時(shí)a26，,當(dāng)n3時(shí)，D3為RtOAB3的內(nèi)部包括斜邊，這時(shí)a39，由此可猜想an3n.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，猜想顯然成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，猜想成立，即ak3k(kN*)，將不等式y(tǒng)k(x3)，kN*化為3x，kN*，可知取整點(diǎn)時(shí)x1或2.平面區(qū)域Dk為RtOABk的內(nèi)部包括斜邊、平面區(qū)域Dk1為RtOABk1內(nèi)部包括斜邊，,平面區(qū)域Dk1比平面區(qū)域Dk多3個(gè)整點(diǎn)，即當(dāng)nk1時(shí)，ak13k33(k1)，這就是說(shuō)當(dāng)nk1時(shí)，猜想也成立，由知an3n對(duì)一切nN*都成立,點(diǎn)評(píng)：還可以證明平面區(qū)域Dn內(nèi)的整點(diǎn)有(1，bk)，(1，ck)，(2，dk)，其中bk2k1，ck2k，dkk,1kn.,答案：B點(diǎn)評(píng)：歸納猜想的結(jié)論是否正確有待證明，但這里不需要證明，只要符合歸納推理的規(guī)則就行,1(09山東卷)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的nN*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b0且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上(1)求r的值；(2)當(dāng)b2時(shí)，記bn2(log2an1)(nN*),解析(1)因?yàn)閷?duì)任意的nN*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b0且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上，所以Snbnr，當(dāng)n1時(shí)，a1S1br，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1，又因?yàn)閍n為等比數(shù)列，所以r1.(2)當(dāng)b2時(shí)，an(b1)bn12n1，bn2(log22n11)2n，,1求證：32n28n9能被64整除(nN*)證明32n28n99n18n9(81)n18n9Cn108n1Cn118nCn1n182Cn1n8Cn1n18(n1)164(Cn108n1Cn118