高考數(shù)學一輪總復習第八章立體幾何8.5空間向量及其應用空間角課件理新人教B版.ppt

8.5空間向量及其應用、空間角,高考理數(shù),一、空間向量1.向量共線的充要條件、共面向量定理和空間向量基本定理(1)向量共線的充要條件對空間任意兩個向量a,b(b0),ab的充要條件是存在實數(shù),使得a=b.,知識清單,推論:如圖所示,點P在l上的充要條件是=+ta,(*)其中a叫直線l的方向向量,tR,在l上取=a,則(*)可化為=+t或=(1-t)+t.(2)共面向量定理的向量表達式為p=xa+yb,其中x,yR,a,b為不共線向量,推論的表達式為,=x+y或對空間任意一點O有=+x+y或=u+v+w,其中u+v+w=1.(3)空間向量基本定理如果三個向量a,b,c不共面,那么對空間任一向量p,存在有序實數(shù)組x,y,z,使得p=xa+yb+zc,把a,b,c叫做空間的一個基底.2.空間向量的數(shù)量積及運算律(1)數(shù)量積及相關概念(i)兩向量的夾角已知兩個非零向量a,b,在空間內任取一點O,作=a,=b,則AOB叫做向量a與b的夾角,記作,其范圍是0,若=,則稱a與b互相垂直,記作ab.(ii)兩向量的數(shù)量積已知空間兩個非零向量a,b,則|a|b|cos叫做向量a,b的數(shù)量積,記作ab,即ab=|a|b|cos.(2)空間向量數(shù)量積的運算律,(i)結合律:(a)b=(ab);(ii)交換律:ab=ba;(iii)分配律:a(b+c)=ab+ac.3.空間向量的坐標表示及應用(1)數(shù)量積的坐標運算若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則ab=a1b1+a2b2+a3b3.(2)共線與垂直的坐標表示設a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),a,b均為非零向量,則aba=b(R)a1=b1,a2=b2,a3=b3(R),abab=0a1b1+a2b2+a3b3=0.(3)模、夾角和距離公式設a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則|a|=.,cos=.若A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),則dA、B=|=.二、立體幾何中的向量方法()證明平行與垂直1.用向量證明空間中的平行關系(1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2,則l1l2(或l1與l2重合)v1v2.(2)設直線l的方向向量為v,與平面共面的兩個不共線向量分別為v1和v2,則l或l存在兩個實數(shù)x,y,使v=xv1+yv2.(3)設直線l的方向向量為v,平面的法向量為u,則l或lvu.(4)設平面,的法向量分別為u1,u2,則u1u2.2.用向量證明空間中的垂直關系(1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2,則l1l2v1v2v1v2=0.,(2)設直線l的方向向量為v,平面的法向量為u,則lvu.(3)設平面和的法向量分別為u1和u2,則u1u2u1u2=0.三、立體幾何中的向量方法()求空間角與距離1.線直線的方向向量與平面的法向量的確定(1)找直線的方向向量:在直線上任取一非零向量可作為它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程組求出:設a,b是平面內兩不共線向量,n為平面的法向量,則求法向量的方程組為2.空間向量與空間角的關系(1)設異面直線l1,l2的方向向量分別為m1,m2,則l1與l2所成的角滿足cos=|cos|.(2)設直線l的方向向量和平面的法向量分別為m和n,則直線l與平面所成角滿足sin=|cos|.(3)求二面角的大小(i)如圖a,AB、CD是二面角-l-的兩個面內與棱l垂直的直線,則二面角的大小=.,(ii)如圖b、c,n1,n2分別是二面角-l-的兩個半平面,的法向量,則二面角的大小滿足cos=cos或-cos.3.點到面的距離的求法如圖,設A為平面內的一點,B為平面外的一點,n為平面的法向量,則B到平面的距離d=.,【知識拓展】1.理解空間向量、空間點的坐標的意義,掌握向量加法、減法、數(shù)乘、點乘的坐標表示以及兩點間的距離公式、夾角公式.利用空間向量的坐標運算可將立體幾何中平行、垂直、夾角、距離等問題轉化為向量的坐標運算,如(1)判斷線線平行或三點共線,可以轉化為證ab(b0)a=b;(2)證明線線垂直,轉化為證abab=0,若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則轉化為證x1x2+y1y2+z1z2=0;(3)在立體幾何中求線段的長度問題時,轉化為aa=|a|2,或利用空間兩點間的距離公式;(4)在計算異面直線所成的角(或線面角、二面角)時,轉化為求向量的夾角,即利用公式cos=即可.2.利用空間向量解決立體幾何中的平行問題(1)證明兩條直線平行,只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量,但要注意說明這兩條直線不共線.,(2)證明線面平行的方法證明直線的方向向量與平面的法向量垂直,但要說明直線不在平面內.證明能夠在平面內找到一個向量與已知直線的方向向量共線,也要說明直線不在平面內.利用共面向量定理,即證明直線的方向向量與平面內的兩個不共線向量是共面向量.同時要注意強調直線不在平面內.3.向量法通過空間坐標系把空間圖形的性質代數(shù)化,避免了尋找平面角和垂線段等諸多麻煩,使空間點、線、面的位置關系的判定和計算程序化、簡單化.主要是建系、設點、計算向量的坐標、利用數(shù)量積的夾角公式計算.4.求點到平面距離的方法:垂面法:借助面面垂直的性質來作垂線,其中過已知點確定已知面的垂面是關鍵;等體積法,轉化為求三棱錐的高;等價轉化法;法向量法.,1.求異面直線所成的角常采用“平移法”,平移的方法一般有三種:將圖中已有的平行線平移;利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移;補形平移.計算異面直線所成的角通常放在三角形中進行.2.幾何法求異面直線所成角的一般步驟:,突破方法,方法1異面直線所成的角,3.向量法求異面直線所成角建立空間直角坐標系后,確定兩直線的方向向量a,b,則兩直線所成角滿足cos=.,例1如圖,已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1,2,AB=4.(1)證明:PQ平面ABCD;,(2)求異面直線AQ與PB所成角的余弦值;(3)求點P到面QAD的距離.解題導引(1)連結AC,BD,設ACBD=O證PO面ABCD,QO面ABCDP,O,Q共線結論(2)建立空間直角坐標系寫出P,A,Q,B的坐標寫出,的坐標求角的余弦值(3)寫出D,的坐標求面QAD的法向量求距離解析(1)證明:如圖,連結AC,BD,設ACBD=O,連結OP,OQ.P-ABCD與Q-ABCD都是正四棱錐,PO平面ABCD,QO平面ABCD,從而P、O、Q三點在一條直線上.PQ平面ABCD.(2)由題設知,四邊形ABCD是正方形,ACBD.由(1)知,PQ平面ABCD,分別以CA,DB,QP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系O-xyz,由條件得P(0,0,1),A(2,0,0),Q(0,0,-2),B(0,2,0),=(-2,0,-2),=(0,2,-1).于是cos=.從而異面直線AQ與PB所成角的余弦值為.,(3)由(2)得D(0,-2,0),=(-2,-2,0),=(0,0,-3),設n=(x,y,z)是面QAD的法向量,由得不妨取x=1,得n=(1,-1,-).點P到面QAD的距離d=.1-1(2014課標,11,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分別是A1B1,A1C1的中點,BC=CA=CC1,則BM與AN所成角的余弦值為()A.B.C.D.答案C解析解法一:取BC的中點Q,連結QN,AQ,易知BMQN,則ANQ即為所求,設BC=CA=CC1=2,則AQ=,AN=,QN=,cosANQ=,1.用向量法證明平行(或垂直)只需證明ab(或ab=0).2.求線面角的常用方法:(1)找:即找出直線與平面所成的角,再通過解三角形求解,具體步驟為:尋找過斜線上一點與平面垂直的直線,或過斜線上一點作平面的垂線,確定垂足的位置;連結垂足和斜足得到斜線在平面內的射影,斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角;將該角歸結為某個三角形的內角(一般是直角三角形),通過解三角形(可能需要解多個三角形)求得該角或其三角函數(shù)值.(2)算:公式法:sin=.其中,為線面角,h為點B到平面的距離,l為斜線段AB的長.(如圖所示),向量法:如圖所示,設l為平面的斜線,l=A,a為l的方向向量,n為平面的法向量,為l與所成的角,則sin=|cos|=.,方法2平行與垂直、直線與平面所成的角,例2(2015課標,19,12分)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.過點E,F的平面與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);(2)求直線AF與平面所成角的正弦值.解析(1)交線圍成的正方形EHGF如圖:,(2)作EMAB,垂足為M,則AM=A1E=4,EM=AA1=8.因為EHGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=6,所以AH=10.以D為坐標原點,的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,則A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),=(10,0,0),=(0,-6,8).設n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,則即所以可取n=(0,4,3).,又=(-10,4,8),故|cos|=.所以AF與平面EHGF所成角的正弦值為.2-1(2013天津,17,13分)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側棱A1A底面ABCD,ABDC,ABAD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1的中點.(1)證明B1C1CE;(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值;(3)設點M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為,求線段AM的長.解析解法一:如圖,以點A為原點建立空間直角坐標系,依題意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).(1)證明:易得=(1,0,-1),=(-1,1,-1),于是=0,所以B1C1CE.(2)=(1,-2,-1).設平面B1CE的法向量m=(x,y,z),則即消去x,得y+2z=0,不妨令z=1,可得一個法向量為m=(-3,-2,1).由(1),B1C1CE,又CC1B1C1,可得B1C1平面CEC1,故=(1,0,-1)為平面CEC1的一個法向量.于是cos=-,從而sin=.所以二面角B1-CE-C1的正弦值為.(3)=(0,1,0),=(1,1,1).設=(,),01,有=+=(,+1,).可取=(0,0,2)為平面ADD1A1的一個法向量.設為直線AM與平面ADD1A1所成的角,則sin=|cos|=.于是=,解得=,所以AM=.解法二:(1)證明:因為側棱CC1底面A1B1C1D1,B1C1平面A1B1C1D1,所以CC1B1C1.經計算可得B1E=,B1C1=,EC1=,從而B1E2=B1+E,所以在B1EC1中,B1C1C1E,又CC1,C1E平面CC1,E,CC1C1E=C1,所以B1C1平面CC1E,又CE平面CC1E,故B1C1CE.(2)過B1作B1GCE于點G,連結C1G.由(1),B1C1CE,故CE平面B1C1G,得CEC1G,所以B1GC1為二面角B1-CE-C1的平面角.在CC1E中,由CE=C1E=,CC1=2,可得C1G=.在RtB1C1G中,B1G=,所以sinB1GC1=,即二面角B1-CE-C1的正弦值為.(3)連結D1E,過點M作MHED1于點H,可得MH平面ADD1A1,連結AH,AM,則MAH為直線AM與平面ADD1A1所成的角.設AM=x,從而在RtAHM中,有MH=x,AH=x.,在RtC1D1E中,C1D1=1,ED1=,得EH=MH=x.在AEH中,AEH=135,AE=1,由AH2=AE2+EH2-2AEEHcos135,得x2=1+x2+x,整理得5x2-2x-6=0,解得x=.所以線段AM的長為.,1.求二面角的大小的關鍵是作出二面角的平面角,作二面角的平面角的方法:作法一(定義法):在二面角的棱上找一特殊點,過該點在兩個半平面內分別作垂直于棱的射線.如圖(1),AOB為二面角-l-的平面角.作法二(垂面法):過棱上一點作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個半平面產生交線,這兩條交線的夾角即為二面角的平面角.如圖(2),AOB為二面角-l-的平面角.作法三(垂線法):過二面角的一個半平面內一點作另一個半平面所在平面的垂線,過垂足作棱的垂線,利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補角.如圖(3),ABO為二面角-l-的平面角.,方法3二面角,2.若AB,CD分別是二面角-l-的兩個平面內與棱l垂直的異面直線,則二面角(或其補角)的大小就是向量與的夾角,如圖(4).平面與相交于直線l,平面的法向量為n1,平面的法向量為n2,=,則二面角-l-為或-.設二面角的大小為,則|cos|=|cos|=,如圖(5)(6).,例3(2012課標全國,19,12分)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中點,DC1BD.(1)證明:DC1BC;(2)求二面角A1-BD-C1的大小.,解題導引(1)證DC1DC證DC1平面BCD結論(2)建立空間直角坐標系求面A1B1BD的法向量求面C1BD的法向量求角解析(1)由題設知,三棱柱的側面為矩形.由于D為AA1的中點,故DC=DC1.又AC=AA1,可得D+DC2=C,所以DC1DC.,而DC1BD,DCBD=D,所以DC1平面BCD.又BC平面BCD,故DC1BC.(2)由(1)知BCDC1,且BCCC1,則BC平面ACC1,所以CA,CB,CC1兩兩相互垂直.以C為坐標原點,的方向為x軸的正方向,的方向為y軸的正方向,|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz.由題意知A1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2).則=(0,0,-1),=(1,-1,1),=(-1,0,1).,設n=(x,y,z)是平面A1B1BD的法向量,則即可取n=(1,1,0).同理,設m是平面C1BD的法向量,則可取m=(1,2,1).從而cos=.故二面角A1-BD-C1的大小為30.3-1(2014江西,19,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,ABCD為矩形,平面PAD平面ABCD.(1)求證:ABPD;(2)若BPC=90,PB=,PC=2,問AB為何值時,四棱錐P-ABCD的體積最大?并求此時平面BPC與平面DPC夾角的余弦值.,解析(1)證明:ABCD為矩形,故ABAD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以AB平面PAD,故ABPD.(2)過P作AD的垂線,垂足為O,過O作BC的垂線,垂足為G,連結PG.,故PO平面ABCD,BC平面POG,BCPG.在RtBPC中,PG=,GC=,BG=.設AB=m,則OP=,故四棱錐P-ABCD的體積V=m=.因為m=,故當m=,即AB=時,四棱錐P-ABCD的體積最大.此時,建立如圖所示的坐標系,各點的坐標為O(0,0,0),B,C,D,P.故=,=(0,0),=.設平面BPC的一個法向量為n1=(x,y,1),則由n1,n1得解得x=1,y=0,n1=(1,0,1).同理可求出平面DPC的一個法向量為n2=.從而平面BPC與平面DPC夾角的余弦值為cos=.,空間中的距離主要包括點到點、點到線、點到面的距離,基本上只考查點到面的距離,結合體積問題,考查形式大致有兩類:直接求空間距離;已知空間距離,求相關的量或參數(shù)(如高,長度等).求空間距離常用的方法:(1)幾何法:直接法:利用線線垂直、線面垂直、面面垂直等性質定理與判定定理,作出空間距離的垂線段,再通過解三角形求出距離.其中,找垂足是作垂線段的關鍵,一般可借助線面垂直的判定定理作面的垂線.因此,要善于挖掘條件中的線線垂直,用以作平面的垂線段.間接法:利用等體積法、特殊值法等轉化求解.(2)向量法:,方法4空間中的距離,求點到平面的距離:如圖所示,已知點B(x0,y0,z0),平面內一點A(x1,y1,z1),平面的一個法向量n,直線AB與平面所成的角為,=,則sin=|cos|=|cos|.由數(shù)量積的定義知,n=|n|cos,所以點B到平面的距離d=|sin=|cos|=.例4(2014課標,18,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA平面ABCD,E為PD的中點.(1)證明:PB平面AEC;(2)設二面角D-AE-C為60,AP=1,AD=,求三棱錐E-ACD的體積.,解析(1)連結BD交AC于點O,連結EO.因為ABCD為矩形,所以O為BD的中點.又E為PD的中點,所以EOPB.又EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)因為PA平面ABCD,ABCD為矩形,所以AB,AD,AP兩兩垂直.如圖,以A為坐標原點,的方向為x軸的正方向,|為單位長,建立空間直角坐標系A-xyz,則D(0,0),E,=.,設B(m,0,0)(m0),則C(m,0),=(m,0).設n1=(x,y,z)為平面ACE的法向量,則即可取n1=.又n2=(1,0,0)為平面DAE的一個法向量,由題設得|cos|=,即=,解得m=.因為E為PD的中點,所以三棱錐E-ACD的高為.三棱錐E-ACD的體積V=.4-1(2014大綱全國,19,12分)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,點A1在平面ABC內的射影D在AC上,ACB=90,BC=1,AC=CC1=2.(1)證明:AC1A1B;(2)設直線AA1與平面BCC1B1的距離為,求二面角A1-AB-C的大小.解析解法一:(1)證明:因為A1D平面ABC,A1D平面AA1C1C,所以平面AA1C1C平