小波與多分辨分析.ppt

數(shù)字信號處理(DigitalSignalProcessing),信號與系統(tǒng)系列課程組國家電工電子教學(xué)基地,信號時頻分析,問題的提出短時傅里葉變換小波展開與小波變換小波變換與多分辨分析小波變換與濾波器組基于小波的信號處理及應(yīng)用,為了從數(shù)學(xué)概念和工程概念上更好地理解小波分析，將通過多分辨率的概念來闡述小波理論。,尺度函數(shù)(scalingfunction)f(t),多分辨分析(MultiresolutionAnalysis,MRA),小波函數(shù)(waveletfunction)y(t),小波變換與多分辨分析,定義:多分辨分析(Multi-ResolutionAnalysis，MRA),1)存在一組嵌套的子空間，滿足,2)尺度不變性x(t)Vjx(2t)Vj+1,3)位移不變性x(t)V0x(t-k)V0,4)存在尺度函數(shù)(scalingfunction)f(t)，使得f(t-k)；kZ是V0的一個規(guī)范正交基。,由以上性質(zhì)可得：fj,k(t)=2j/2f(2jt-k)；kZ是Vj規(guī)范正交基,尺度函數(shù)與多分辨分析,多分辨分析空間嵌套關(guān)系示意圖,尺度函數(shù)與多分辨分析,例：Haar多分辨分析(分段常數(shù)函數(shù)構(gòu)成的MRA),V0:在區(qū)間上k,k+1),kZ分段常數(shù)函數(shù)構(gòu)成的構(gòu)成的空間V1:在區(qū)間上k/2,(k+1)/2),kZ分段常數(shù)函數(shù)構(gòu)成的構(gòu)成的空間V2:在區(qū)間上k/22,(k+1)/22),kZ分段常數(shù)函數(shù)構(gòu)成的構(gòu)成的空間Vj:在區(qū)間上k/2j,(k+1)/2j),kZ分段常數(shù)函數(shù)構(gòu)成的構(gòu)成的空間,V0的一個規(guī)范正交基為fH(t-k)；kZ為,稱fH(t)為Haar尺度函數(shù)。,fj,k(t)=2j/2f(2jt-k)；kZ是Vj規(guī)范正交基,尺度函數(shù)與多分辨分析,信號在嵌套子空間Vj中的正交投影：,對任意x(t)L2，由于f1,k(t)=21/2f(2t-k)；kZ是V1規(guī)范正交基，所以x(t)在V1中的正交投影可表示為,一般地，x(t)在Vj中的正交投影可表示為,例：Haar多分辨分析,函數(shù)x(t)在子空間V0和V1在的正交投影,h0n:尺度函數(shù)系數(shù)(scalingfunctioncoefficient)，也稱為尺度濾波器(scalingfilter)。,尺度函數(shù)f(t)的MRA方程,尺度函數(shù)與多分辨分析,f(t)V0,f(t)V1,由f1,k(t)kZ的正交性可得,scalingequationdilationequationrefinementequation,例：試求Haar多分辨分析系統(tǒng)中的h0k。,解：,小波函數(shù)與正交補空間,由于V0V1，定義空間V0在V1中的正交補空間為W0，即V1=V0W0,對給定的多分辨分析系統(tǒng)，則存在小波函數(shù)y(t)，使得y(t-k);kZ是W0的正交基。,一般地，空間Vj在Vj+1中的正交補空間為Wj，即Vj+1=VjWjyj,k(t)=2j/2y(2jt-k)；kZ是Wj的正交基。,例：試求Haar多分辨分析中的小波函數(shù)yH(t)。,解：由定義可知V1=W0V0所以yH(t)V1，即yH(t)在區(qū)間0,1/2，1/2,1必須是常數(shù)。又由于yH(t)必須與V0正交，所以yH(t)的一個解為,小波函數(shù)與正交補空間,小波函數(shù)y(t)的MRA方程,V1=W0V0,W0V1,y(t)W0V1,y(t)可用V1空間的正交基f1,k(t);kZ表示為,h1k稱為小波函數(shù)系數(shù)(waveletfunctioncoefficient)。,由f1,k(t)kZ的正交性可得,例：試求Haar多分辨分析系統(tǒng)中的h1k。,解：,h0k與h1k的關(guān)系為,小波函數(shù)與正交補空間,離散小波變換,若x(t)V2，則有V2=W1V1=W1W0V0所以f0,k(t)，y0,k(t)，y1,k(t);kZ構(gòu)成了空間V2的一個正交基，x(t)可表示為,小波函數(shù)與正交補空間,離散小