八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第13章軸對(duì)稱13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題1課件 新人教版.ppt

13.4最短路徑問題,第一課時(shí),（1）兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短；（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；（3）三角形三邊的數(shù)量關(guān)系：三角形中兩邊之和大于第三邊.,相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：?jiǎn)栴}1.如圖，A為馬廄，B為帳篷.某一天牧馬人要從馬廄A出發(fā)，牽出馬到一條筆直的河邊l飲馬，然后蹚水過河，回到對(duì)岸的帳篷B牧馬人到河邊什么地方飲馬，可使馬所走的路線全程最短？,探究一：“兩點(diǎn)一線”的最短路徑問題,活動(dòng)1,創(chuàng)設(shè)情境，引入新知,重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí),精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用幾何知識(shí)回答了這個(gè)問題.你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？,解：連接AB，線段AB與直線l交于點(diǎn)C，到河邊l的C處飲馬可使馬所走的路線全程最短.,【思路點(diǎn)撥】將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線，則AC+BC的最小值為線段AB的值.此情況可簡(jiǎn)稱為“兩點(diǎn)(直線異側(cè))一線型”.,探究一：“兩點(diǎn)一線”的最短路徑問題,重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí),問題解決了，可是將軍思考了片刻，又提出了一個(gè)新的問題：,探究一：“兩點(diǎn)一線”的最短路徑問題,活動(dòng)2,整合舊知，探究新知,重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí),問題2.牧馬人覺得蹚水過河很不方便，決定將帳篷B搬到河的另一側(cè)即與馬廄A位于河的同側(cè).如圖，牧馬人從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后回到B地到河邊什么地方飲馬，可使馬所走的路線全程最短？,學(xué)者海倫認(rèn)真思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問題這就是著名的“將軍飲馬問題”你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？,將問題2抽象為數(shù)學(xué)問題：如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，能不能在直線l上找到一點(diǎn)C，使AC與BC的和最??？,【思路點(diǎn)撥】將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線.則“所走的路線全程最短”轉(zhuǎn)化為“在直線l上找到一點(diǎn)C，使AC+BC最小”的數(shù)學(xué)問題.此情況可簡(jiǎn)稱為“兩點(diǎn)(直線同側(cè))一線型”.,探究一：“兩點(diǎn)一線”的最短路徑問題,重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí),解：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B；（2）連接AB，與直線l相交于點(diǎn)C則點(diǎn)C即為所求,探究一：“兩點(diǎn)一線”的最短路徑問題,活動(dòng)3,大膽猜想，建立模型,重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí),追問1你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？,探究一：“兩點(diǎn)一線”的最短路徑問題,活動(dòng)4,反思過程，驗(yàn)證新知,重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí),證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)C不重合），連接AC，BC，BC由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，BC=BC，BC=BC，AC+BC=AC+CB=AB，AC+CB=AC+CB又在ABC中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC，即AC+BC最短,追問2證明AC+BC最短時(shí)，為什么要在直線l上任取一點(diǎn)C(與點(diǎn)C不重合)？,探究一：“兩點(diǎn)一線”的最短路徑問題,活動(dòng)5,集思廣益，理解新知,重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí),若直線l上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合）與A，B兩點(diǎn)的距離和都大于AC+BC，就說明AC+BC最小,追問3回顧探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么來解決問題的？,【方法歸納】1、“兩點(diǎn)(直線同側(cè))一線型”在直線上求一點(diǎn)到兩點(diǎn)和最短時(shí)，利用軸對(duì)稱的知識(shí)作一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)和另一點(diǎn)與直線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn).2、求兩條線段和最小，關(guān)鍵是運(yùn)用軸對(duì)稱的知識(shí)將不在同一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到同一條直線上.,探究一：“兩點(diǎn)一線”的最短路徑問題,活動(dòng)6,反思總結(jié)，歸納新知,重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí),練習(xí)有兩棵樹位置如圖，樹腳分別為A，B.地上有一只昆蟲沿AB的路徑在地面上爬行小樹頂D處一只小鳥想飛下來抓住小蟲后，再飛到大樹的樹頂C處，問小鳥飛至AB之間何處時(shí)，飛行距離最短，在圖中畫出該點(diǎn)的位置.(保留作圖痕跡，不寫作法),【思路點(diǎn)撥】本題為“同側(cè)兩點(diǎn)一線型”，通過“作D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D”轉(zhuǎn)化為“異側(cè)兩點(diǎn)一線型”，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決.,探究一：“兩點(diǎn)一線”的最短路徑問題,重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí),解：（1）將樹頂C，D抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將路徑AB抽象為一條直線；（2）如圖，作D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接CD交AB于點(diǎn)E，則點(diǎn)E就是所求的點(diǎn).,探究一：“兩點(diǎn)一線”的最短路徑問題,重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí),問題3.如圖，有一條河流和一塊草地，馬廄A建在河流和草地所成的MON內(nèi)部.牧馬人某一天要從A牽出馬，先到筆直的草地邊牧馬，再到筆直的河邊飲馬，然后回到馬廄A.請(qǐng)你幫他確定馬這一天行走的最短路線.,探究二：“一點(diǎn)兩線型”的最短周長(zhǎng)問題,海倫善于觀察與思考，一天他在旅游途中遇到了一個(gè)不同情景的“將軍飲馬問題”：,解：分別作點(diǎn)A關(guān)于OM、ON的對(duì)稱點(diǎn)A、A，連接AA分別交OM、ON于E、F，此時(shí)AEF周長(zhǎng)有最小值.,探究二：“一點(diǎn)兩線型”的最短周長(zhǎng)問題,F,【思路點(diǎn)撥】（1）將OM，ON抽象為兩條相交的直線，將馬廄A抽象為一個(gè)點(diǎn)；（2）抽象為數(shù)學(xué)問題：如圖，點(diǎn)A在MON內(nèi)部，試在OM、ON上分別找出兩點(diǎn)E、F，使AEF周長(zhǎng)最短；（3）當(dāng)AE、EF和AF三條邊的長(zhǎng)度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時(shí)，三角形的周長(zhǎng)最小，類比“探究一”作圖.求三角形周長(zhǎng)最短，即求AE+EF+AF的最小值為AA的值，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得AE=AE，AF=AF，再由“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決.此情況簡(jiǎn)稱為“一點(diǎn)兩線型”.,探究二：“一點(diǎn)兩線型”的最短周長(zhǎng)問題,F,能不能類比探究一，證明一下“周長(zhǎng)最短作圖”的正確性？,【理由簡(jiǎn)要分析】如圖2，在OM上任取一個(gè)異于E的點(diǎn)E，在ON上任取一個(gè)異于F的點(diǎn)F，連接AE，AE，EF，AF，AF，則AEAE，AFAF，且AEEFFAAA=AEEFFA=AEEFFA，所以AEF的周長(zhǎng)最小，故E，F(xiàn)就是我們所求使AEF周長(zhǎng)最短的點(diǎn),探究二：“一點(diǎn)兩線型”的最短周長(zhǎng)問題,練習(xí)如圖所示，點(diǎn)P為AOB內(nèi)一點(diǎn)，P1、P2分別是點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)，P1P2交OA于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)F.若P1P2=9，則PEF的周長(zhǎng)是（）A.7B.8C.9D.10,解：因?yàn)镻1、P2分別是點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得PE=P1E，PF=FP2，所以PE+EF+PF=P1E+EF+P2F=P1P2=9.,C,探究二：“一點(diǎn)兩線型”的最短周長(zhǎng)問題,問題4.如圖，A為馬廄，B為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄A牽出馬，先到草地邊MN的某一處牧馬，再到河邊l飲馬，然后回到帳篷B.請(qǐng)你幫他確定馬這一天行走的最短路線.,探究三：“兩點(diǎn)兩線型”的最短路徑問題,回到家的海倫繼續(xù)思考：如果在草地和河流所成的區(qū)域里有馬廄和帳篷，又怎樣設(shè)計(jì)行走的最短路線呢？,解：（1）作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A，作B點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B；（2）連接AB，分別交MN于點(diǎn)C、交l于點(diǎn)D，則沿ACDB的路線行走，馬一天行走的路程最短,【思路點(diǎn)撥】馬一天行走的路程最短即求AC+CD+DB的最小值，AC+CD+DB的最小值為AB的值，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得CA=CA，DB=DB，再由“兩點(diǎn)之間，線段最短”即可解決.此情況簡(jiǎn)稱為“兩點(diǎn)兩線型”.,探究三：“兩點(diǎn)兩線型”的最短路徑問題,練習(xí)某中學(xué)八(2)班舉行文藝晚會(huì)，桌子擺成如圖所示兩直排(圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿橘子再去拿糖果，然后到D處座位上，請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短.(保留作圖痕跡，不寫作法),探究三：“兩點(diǎn)兩線型”的最短路徑問題,作法：(1)作點(diǎn)C關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)C1，作D點(diǎn)關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D1，(2)連接C1D1，分別交OA于P、交OB于Q，那么當(dāng)小明沿CPQD的路線行走時(shí)，所走的總路程最短.,【方法歸納】“一點(diǎn)兩線型”求三角形周長(zhǎng)最短問題，先作點(diǎn)分別關(guān)于兩直線的對(duì)稱點(diǎn)，再連接兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)與兩直線分別有兩個(gè)交點(diǎn)，順次連接所給的點(diǎn)與兩交點(diǎn)即可得三角形.“兩點(diǎn)兩線型”，也可以為求