3[1].14發(fā)2012年考研數(shù)學(xué)：高數(shù)中的重要定理與公式及其證明（一）.doc

高數(shù)中的重要定理與公式及其證明（一）文章來(lái)源：跨考教育考研數(shù)學(xué)中最讓考生頭疼的當(dāng)屬證明題，而征服證明題的第一關(guān)就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶?duì)待數(shù)學(xué)的態(tài)度，一切定理的推導(dǎo)過(guò)程都是應(yīng)該掌握的。但考研數(shù)學(xué)畢竟不是數(shù)學(xué)系的考試，很多時(shí)候要求沒(méi)有那么高。而有些定理的證明又過(guò)于復(fù)雜，硬要要求自己掌握的話很多時(shí)候可能是又費(fèi)時(shí)又費(fèi)力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。現(xiàn)將高數(shù)中需要掌握證明過(guò)程的公式定理總結(jié)如下。這些證明過(guò)程，或是直接的考點(diǎn)，或是蘊(yùn)含了重要的解題思想方法，在復(fù)習(xí)的初期，先掌握這些證明過(guò)程是必要的。1）常用的極限0ln(1)lim1xxx，01lim1xxex，01limlnxxaax，0(1)1limaxxax，201cos1lim2xxx【點(diǎn)評(píng)】：這幾個(gè)公式大家在計(jì)算極限的過(guò)程中都再熟悉不過(guò)了，但有沒(méi)有人想過(guò)它們的由來(lái)呢？事實(shí)上，這幾個(gè)公式都是兩個(gè)重要極限10lim(1)xxxe與0sinlim1xxx的推論，它們的推導(dǎo)過(guò)程中也蘊(yùn)含了計(jì)算極限中一些很基本的方法技巧。證明：0ln(1)lim1xxx：由極限10lim(1)xxxe兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)即得0ln(1)lim1xxx。01lim1xxex：在等式0ln(1)lim1xxx中，令ln(1)xt，則1txe。由于極限過(guò)程是0x，此時(shí)也有0t，因此有0lim11ttte。極限的值與取極限的符號(hào)是無(wú)關(guān)的，因此我們可以吧式中的t換成x，再取倒數(shù)即得01lim1xxex。01limlnxxaax：利用對(duì)數(shù)恒等式得ln0011limlimxxaxxaexx，再利用第二個(gè)極限可得lnln0011limlnlimlnlnxaxaxxeeaaxxa。因此有01limlnxxaax。0(1)1limaxxax：利用對(duì)數(shù)恒等式得ln(1)ln(1)ln(1)00000(1)111ln(1)1ln(1)limlimlimlimlimln(1)ln(1)aaxaxaxxxxxxxeexexaaaxxaxxaxx上式中同時(shí)用到了第一個(gè)和第二個(gè)極限。201cos1lim2xxx：利用倍角公式得22220002sinsin1cos1122limlimlim222xxxxxxxxx。2）導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算法則22(),d()(),d()(),d()(0)uvuvuvdudvuvuvuvuvvduudvuvuuvuvduudvvvvvv【點(diǎn)評(píng)】：這幾個(gè)求導(dǎo)公式大家用得也很多，它們的證明需要用到導(dǎo)數(shù)的定義。而導(dǎo)數(shù)的證明也恰恰是很多考生的薄弱點(diǎn)，通過(guò)這幾個(gè)公式可以強(qiáng)化相關(guān)的概念，避免到復(fù)習(xí)后期成為自己的知識(shí)漏洞。具體的證明過(guò)程教材上有，這里就不贅述了。3）鏈?zhǔn)椒▌t設(shè)(),()yfuux，如果()x在x處可導(dǎo)，且()fu在對(duì)應(yīng)的()ux處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)()yfx在x處可導(dǎo)可導(dǎo)，且有：()()()dydydufxfuxdxdudx或【點(diǎn)評(píng)】：同上。4）反函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)()yfx在點(diǎn)x的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，在點(diǎn)0x處可導(dǎo)且()0fx，并令其反函數(shù)為()xgy，且0x所對(duì)應(yīng)的y的值為0y，則有：000111()()()dxgydyfxfgydydx或【點(diǎn)評(píng)】：同上。5）常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1xx，sincosxx，cossinxx，1lnxx，1loglnaxxa，xxee，lnxxaea【點(diǎn)評(píng)】：這些求導(dǎo)公式大家都很熟悉，但很少有人想過(guò)它們的由來(lái)。實(shí)際上，掌握這幾個(gè)公式的證明過(guò)程，不但可以幫助我們強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)的定義這個(gè)薄弱點(diǎn)，對(duì)極限的計(jì)算也是很好的練習(xí)。現(xiàn)選取其中典型予以證明。證明：1xx：導(dǎo)數(shù)的定義是0()()()limxfxxfxfxx，代入該公式得1100(1)1(1)1()limlimxxxxxxxxxxxxxxx。最后一步用到了極限0(1)1limaxxax。注意，這里的推導(dǎo)過(guò)程僅適用于0x的情形。0x的情形需要另行推導(dǎo)，這種情況很簡(jiǎn)單，留給大家。sincosxx：利用導(dǎo)數(shù)定義0sin()sinsinlimxxxxxx，由和差化積公式得002cos()sinsin()sin22limlimcosxxxxxxxxxxx。cossinxx的證明類似。1lnxx：利用導(dǎo)數(shù)定義00ln(1)ln()ln1lnlimlimxxxxxxxxxxx。1loglnaxxa的