正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法、第三節(jié)絕對收斂與條件收斂.ppt

第二節(jié) 正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法,1.定義:,這種級數(shù)稱為正項(xiàng)級數(shù).,定理,2.正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件:,顯然，正項(xiàng)級數(shù)的部分和數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列,正項(xiàng)級數(shù)非常重要，許多級數(shù)的收斂性問題都可歸結(jié)為正項(xiàng)級數(shù)的收斂性問題.,證明,即部分和數(shù)列有界,3.比較審斂法,定理證畢.,比較審斂法的不便:,須有參考級數(shù).,解,則,重要參考級數(shù): 幾何級數(shù), P-級數(shù), 調(diào)和級數(shù).,證明,比較審斂法是一基本方法，但應(yīng)用起來卻有許多不便，因?yàn)樗枰⒍ɡ硭蟮牟坏仁?，而這種不等式常常不易建立，為此介紹在應(yīng)用上更為方便的極限形式的比較審斂法。,4.比較審斂法的極限形式:,證明,由比較審斂法的推論, 得證.,解,故原級數(shù)發(fā)散.,故原級數(shù)收斂.,故原級數(shù)收斂.,證明,原級數(shù)收斂,原級數(shù)發(fā)散,比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):,不必找參考級數(shù).,兩點(diǎn)注意:,解,比值審斂法失效, 改用比較審斂法,例5,解,而,對,由比值審斂法得,收斂,故由比較審斂法知,收斂,例6,解,故,級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散,比值審斂法失效,故級數(shù)發(fā)散,由,證明,取,收斂,收斂,發(fā)散,不能判定,如,都有,發(fā)散,解,故,級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散,根值審斂法失效,但此時級數(shù)為,第三節(jié) 絕對收斂與條件收斂 一、交錯級數(shù)及其審斂法,1.定義: 正、負(fù)項(xiàng)交錯的級數(shù)稱為交錯級數(shù).,證明,滿足收斂的兩個條件,定理證畢.,解,原級數(shù)收斂.,證明 un 單調(diào)減的方法:,？,？,？,二、絕對收斂與條件收斂,定義: 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項(xiàng)級數(shù).,證明,上定理的作用：,任意項(xiàng)級數(shù),正項(xiàng)級數(shù),解,故由定義知原級數(shù)絕對收斂.,將正項(xiàng)級數(shù)的比值審斂法和根值審斂法應(yīng)用于判定任意項(xiàng)級數(shù)的斂散性可得到如下定理：,定理,設(shè)有級數(shù),則,絕對收斂,發(fā)散,可能絕對收斂，可能條件收斂，也可能發(fā)散,如,注意,一般而言，由 發(fā)散，并不能推出,發(fā)散,如,發(fā)散,但 收斂,若 發(fā)散是由比值審斂法或根值審斂法而審定,則 必定發(fā)散,這是因?yàn)楸戎捣ê透捣?審定級數(shù)發(fā)散的原因是通項(xiàng)不趨向于0,例9,解,所以此交錯級數(shù)收斂，,故原級數(shù)是條件收斂,小結(jié),解,由比較審斂法知 收斂.,反之不成立.,例如：,收斂,發(fā)散.,思考題,1.,求極限,解,考察正項(xiàng)級數(shù),由比值法得,收斂,由級數(shù)收斂的必要條件得,補(bǔ)充題,試證,收斂.,證,再由比較審斂法知,而,即,可表為兩個收斂級數(shù),之和,3. 設(shè),且,若,收斂,則,也收斂.,證,由題設(shè)知,而,收斂,由比較法得,收斂.,Cauchy積分審斂法:,4.,證,由 f(x) 單調(diào)減少知,故,與,同斂散.,5.,證,記,則,且,而正項(xiàng)級數(shù),的部分和,又,單調(diào)增加且有界,故由單調(diào)有界原理知,存在,即,收斂,進(jìn)而,收斂,由比較法得,收斂.,證,記,由,單調(diào)減少,且,故由單調(diào)有界原理知