數(shù)學建模與經(jīng)濟學的關系

數(shù)學模型與經(jīng)濟學的關系摘要：隨著科學技術的迅速發(fā)展，數(shù)學模型這個詞匯越來越多的出現(xiàn)在現(xiàn)代人的生產(chǎn)、工作和社會活動中。每一門學科要想成為一門科學，首先要經(jīng)過數(shù)學的推理驗證，構建相應的數(shù)學模型，經(jīng)濟學也不例外。本文主要闡述了最優(yōu)價格模型在經(jīng)濟學中的指導意義，經(jīng)濟數(shù)學模型是研究經(jīng)濟學的重要工具，在經(jīng)濟應用中占有重要的地位。文章從經(jīng)濟數(shù)學模型的內(nèi)涵、構建經(jīng)濟數(shù)學模型的方法、遵循的基本原則以及所要注意的問題進行了簡要分析和論述。 數(shù)學與經(jīng)濟學息息相關，可以說每一項經(jīng)濟學的研究、決策，都離不開數(shù)學的應用。特別是自從諾貝爾經(jīng)濟學獎創(chuàng)設以來，利用數(shù)學工具來分析經(jīng)濟問題得到的理論成果層出不窮，經(jīng)濟學中使用數(shù)學方法的趨勢越來越明顯。當代西方經(jīng)濟學認為，經(jīng)濟學的基本方法是分析經(jīng)濟變量之間的函數(shù)關系，建立經(jīng)濟模型，從中引申出經(jīng)濟原則和理論，進行預測、決策和監(jiān)控。在經(jīng)濟領域，數(shù)學的運用首要的問題是實用性和實踐性問題，即能否用所建立的模型去概括某一經(jīng)濟現(xiàn)象或說明某一經(jīng)濟問題。因而，數(shù)學模型分析已成為現(xiàn)代經(jīng)濟學研究的基本趨向，經(jīng)濟數(shù)學模型在研究許多特定的經(jīng)濟問題時具有重要的不可替代的作用，在經(jīng)濟學日益計量化、定量分析的今天，數(shù)學模型方法顯得愈來愈重要。關鍵字：經(jīng)濟學 數(shù)學模型 最優(yōu)價格 一.引言科學與生產(chǎn)生活和數(shù)學模型的關系變得越來越緊密。工程師要建立數(shù)學模型，用這個模型對控制裝置作出相應的設計和計算。城市規(guī)劃工作者需要建立一個包括人口、經(jīng)濟、交通、環(huán)境等大系統(tǒng)的數(shù)學模型。建立數(shù)學模型是溝通擺在面前的實際問題與工作者掌握的數(shù)學工具之間聯(lián)系的一座必不可少的橋梁。將數(shù)學方法應用到實際問題中時，往往首先是把這個問題的內(nèi)在規(guī)律用數(shù)字、圖表或者公式、符號表示出來，然后經(jīng)過數(shù)學的處理得到定量的結果，以供人們作分析、預報、決策或者控制，這個過程實際上就是一個建立數(shù)學模型的過程。數(shù)學和經(jīng)濟的聯(lián)系是十分緊密的，而對數(shù)學的應用往往要通過數(shù)學模型。無論現(xiàn)在還是以后的學習和工作，建立數(shù)學模型都將是一個解決問題的重要的方法。二.最優(yōu)價格模型經(jīng)濟問題往往通過轉化為數(shù)學模型來分析。數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關系和空間形式的科學。它具有高度的抽象性，在經(jīng)濟上應用的范圍很廣。經(jīng)濟范疇和經(jīng)濟過程同樣是質(zhì)和量的統(tǒng)一。在對生產(chǎn)方式以及與之相適應的生產(chǎn)關系進行質(zhì)的分析的前提下，對反映生產(chǎn)方式以及與之相適應的生產(chǎn)關系的經(jīng)濟范疇和經(jīng)濟過程進行量的分析，將有助于認識的深化，有助于理論的應用。從這一方面來說，馬克思主義經(jīng)濟學所提示的原理和規(guī)律，不少都有可能用數(shù)學語言來表達，用數(shù)學模型來表示。馬克思自己就曾經(jīng)想運用數(shù)學方法來說明經(jīng)濟危機的規(guī)律性。馬克思提出了運用數(shù)學方法的前提條件：首先，材料必須是足夠的；其次，材料必須是經(jīng)過檢驗的。數(shù)學模型為西方經(jīng)濟學家提供了方便。西方經(jīng)濟學家在他們的研究中大量地運用數(shù)學模型，他們所用的數(shù)學方法幾乎遍及純數(shù)學的各主要分支。不可否認，數(shù)理分析的方法要比單純文字說明、推理更方便、更精確，有時也更能說服人。大量的數(shù)學符號和算式推導，使經(jīng)濟過程和現(xiàn)象的表述較為簡潔、清晰和直觀?，F(xiàn)在的數(shù)理經(jīng)濟學，金融數(shù)學，計量經(jīng)濟學等學科的蓬勃發(fā)展和其廣闊的發(fā)展前景都說明了經(jīng)濟是必須要和數(shù)學結合起來研究的，而且經(jīng)濟學的研究史是一個從定性分析研究向定量研究轉變的過程，并最終是嚴密的定量研究的趨勢，而在定量研究過程中，是否能準確地建立數(shù)學模型關系著該領域研究的成功與否。在經(jīng)濟學界和數(shù)學界都赫赫有名的數(shù)學和經(jīng)濟學大師約翰納什，通過數(shù)學模型把日常生活中生動的經(jīng)濟問題分析并深化研究，總結出了著名的納什均衡1。這個著名的經(jīng)濟論斷成為經(jīng)濟學界堅實的理論基石，為以后研究更個領域的博弈問題提供了理論基礎，可以說正是數(shù)學和經(jīng)濟的完美結合才創(chuàng)造除了世界寶貴的財富，經(jīng)濟和數(shù)學密不可分的關系也就不言而喻了。下面的最優(yōu)價格模型是我們經(jīng)濟學中比較經(jīng)典的一個數(shù)學模型，從中也可以看出數(shù)學模型的建立對經(jīng)濟學有很重要的意義。1.最優(yōu)價格如何建立模型2 2.分析問題我們要簡練一個最有的的價格模型，首先要深入了解實際經(jīng)濟問題以及與問題有關的背景知識，對現(xiàn)實經(jīng)濟現(xiàn)象及原始背景進行細致觀察和周密調(diào)查，以獲取大量的數(shù)據(jù)資料，并對數(shù)據(jù)進行加工分析、分組整理。 3.模型基本假設假設2最優(yōu)價格，簡單的說就是使商家或企業(yè)獲得最大利潤的產(chǎn)品的價格。對于最優(yōu)價格的問題，應該是每個企業(yè)關注的。如果一個廠長有權根據(jù)產(chǎn)品成本和銷售情況制定商品價格的話，他當然會尋求能使工廠利潤最大的所謂最優(yōu)價格。本文所討論的最優(yōu)價格模型，是指在產(chǎn)銷平衡狀態(tài)下的模型，這里的產(chǎn)銷平衡是指工廠產(chǎn)品的產(chǎn)量等于市場上的銷售量。為了模型的更加合理性，這里假設產(chǎn)品的銷售量依賴于產(chǎn)品的價格，產(chǎn)品的成本與產(chǎn)品的產(chǎn)量也是相關聯(lián)的。4.模型建立2利潤是銷售收入與生產(chǎn)支出之差。假設每件產(chǎn)品售價為p,成本為q，銷售量為x（與產(chǎn)量相等），總收入與總支出分別是I和C，則可以得到:I=px （1）C=qx （2）另外，我們知道在市場競爭的情況下銷售量x依賴于價格p，因此銷售量應該是價格的函數(shù)，記作:x = f (p) （3）這里f稱為需求函數(shù)，是p的減函數(shù)。我們再考慮成本與產(chǎn)品數(shù)量的關系。通常情況下，成本是隨著產(chǎn)品的數(shù)量逐漸降低的，因此可以認為產(chǎn)品的成本是產(chǎn)品數(shù)量的函數(shù)。記作: q = Q(x)（4）其中，我們把Q叫做成本函數(shù)，是x的減函數(shù)。這樣，x和q都可以由p來確定?？梢缘玫戒N售收入和生產(chǎn)支出C都是價格p的函數(shù)，設利潤為U，則可以表示為:U(p) = I(p) - C(p)（5）其中，I (p) = px = pf (p)，C (p) = qx = Q (x)x =Q (f (p)f (p)。使利潤U達到最大的價格就是最優(yōu)價格。設最優(yōu)價格為p*，那么可以得到當dU/dp = 0時p的值即為p*。即有dU/dp = dU/dp 當p = p*時：我們把dI/dp稱為邊際收入（價格變動一個單位時收入的改變量），dC/dp稱為邊際支出（價格變動一個單位時的支出的改變量）。上式表明，最大利潤是在邊際收入等于邊際支出時達到的。為了得到進一步的結果，本文假設出需求函數(shù)和成本函數(shù)的具體形式。設需求函數(shù)是簡單的線性函數(shù)： f (p) = a-bp ab0 bp （6） 其中，a可以理解為這種產(chǎn)品免費供應（p = 0）社會的需求量，稱為“絕對需求量”。b表示價格上漲一個單位時銷售量下降的幅度（當然也是價格下跌一個單位時銷售量上升的幅度），它反映市場需求對價格的敏感程度。接下來，設成本函數(shù)為：Q (x) = m + 1/ (tx + n) （其中 m ，t ，n 0） （7）其中，m表示產(chǎn)品的最底成本，t表示產(chǎn)品數(shù)量增加或減少帶來的幅度，n調(diào)節(jié)常數(shù)，即產(chǎn)品的最大成本為（m + 1/n）。5.模型求解將（1）（3）和（6），（7）帶入（4）式可得:U (p) = I (p) C (p)= pf(p) Q (f (p)f (p)=(a bp) p m 1/(ta + n tbp) （8） 用微分的方法可以求出使U (p)最大的最優(yōu)價格。由dU/dp = 0式和（8）式可以得到：b t p(2btn + 2abt + b t m)p +(n + 2atn + a t + 2abt m + 2btmn)p m(n + ta)n = 0 （9）這是一個關于p的三次方程，對于實際問題，當?shù)玫絘、b 、m 、n 、t的數(shù)值帶到（9）式中，再用相應的數(shù)學方法求出p*。6.結果分析在實際的工作之中，a和b可以由價格p和銷售量x的統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法擬合來確定。m和n實際上是已知的常數(shù)，t也是根據(jù)產(chǎn)量的多少可以得出的。對于（9）式的求解在有些時候可能不容易得到精確的數(shù)值，我們可以根據(jù)實際情況得到具有一定精度的近似值。四.總結除了上述最優(yōu)價格模型，經(jīng)濟學中的彈性理論，金融工程中的期貨期權理論，最優(yōu)化和影子價格都是經(jīng)濟和數(shù)學的完美結合，數(shù)學模型為經(jīng)濟學的研究開辟了一條寬闊的大路，同時也使經(jīng)濟學從定性研究向定量研究轉化，更加具有理性和發(fā)散思維，正是數(shù)學和經(jīng)濟