和倍差倍及和差問題.doc

小學奧數(shù)：和倍、差倍及和差問題（適合四至六年級學生自學）第一講 和倍問題和倍問題是已知大小兩個數(shù)的和與它們的倍數(shù)關系，求大小兩個數(shù)的應用題。為了幫助我們理解題意，弄清兩種量彼此間的關系，常采用畫線段圖的方法來表示兩種量間的這種關系，以便于找到解題的途徑。例1.甲班和乙班共有圖書160本。甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？分析：設乙班的圖書本數(shù)為1倍數(shù)，則甲班圖書為3倍數(shù)，那么甲班和乙班圖書本數(shù)的和是4倍數(shù)。4倍數(shù)的數(shù)量是160本，可以求出1倍數(shù)，即乙班的圖書本數(shù)，然后再求甲班的圖書本數(shù)。用下圖表示它們的關系： 解：160（3+1）40（本）乙班 403120（本）或16040120（本）甲班答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。這道應用題答完了，怎樣驗算呢？可把求出的甲班本數(shù)和乙班本數(shù)相加，看和是不是160本：再把甲班的本數(shù)除以乙班本數(shù)，看是不是等于3倍。如果與條件相符，表明這題作對了。注意驗算決不是把原式再算一遍。驗算：120+40160（本） 120403（倍）。例2.甲班有圖書120本，乙班有圖書30本，甲班給乙班多少本，甲班的圖書是乙班圖書的2倍？分析：解這題的關鍵是找出哪個量是變量，哪個量是不變量。從已知條件中得出，不管甲班給乙班多少本書，還是乙班從甲班得到多少本書，甲、乙兩班圖書總和是不變的量。最后要求甲班圖書是乙班圖書的2倍，那么甲、乙兩班圖書總和相當于乙班現(xiàn)有圖書的3倍。依據例1解和倍問題的方法，先求出乙班現(xiàn)有圖書多少本，再與原有圖書本數(shù)相比較，可以求出甲班給乙班多少本書（如上圖所示）。解：（30+120）（2+1）150350（本）乙班現(xiàn)有圖書 503020（本）答：甲班給乙班20本圖書后，甲班圖書是乙班圖書的2倍。驗算：（12020）（30+20）2（倍） （12020）+（30+20）150（本）。例3.光明小學有學生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？分析：把女生人數(shù)看作1倍數(shù)，則男生人數(shù)加上40是3倍數(shù)，那么全校人數(shù)加上40就是4倍數(shù)（見圖）。解：（760+40）（3+1）200（人）女生 200340560（人）或760200560（人）男生答：男生有560人，女生有200人。驗算：560+200760（人） （560+40）2003（倍）。例4.果園里有桃樹、梨樹、蘋果樹共552棵。桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，求桃樹、梨樹和蘋果樹各有多少棵？分析：把梨樹看作1倍數(shù)，則（桃樹12）是2倍數(shù)，（蘋果樹+20）是1倍數(shù)。那么（55212+20）就是（2+1+1）倍數(shù)，可以求出1倍數(shù)。（如圖）解：（55212+20）（2+1+1）5604140（棵）梨樹 1402+12292（棵）桃樹 14020120（棵）蘋果樹答：桃樹、梨樹、蘋果樹分別是292棵、140棵和120棵。例5.549是甲、乙、丙、丁4個數(shù)的和。如果甲數(shù)加上2，乙數(shù)減少2，丙數(shù)乘以2，丁數(shù)除以2以后，則4個數(shù)相等。求4個數(shù)各是多少？分析：右圖可以看出，丙數(shù)最小。由于丙數(shù)乘以2和丁數(shù)除以2相等，也就是丙數(shù)的2倍和丁數(shù)的半相等，即丁數(shù)相當于丙數(shù)的4倍。乙減2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍。根據這些倍數(shù)關系，可以先求出丙數(shù)，再分別求出其他各數(shù)。解：（549+22）（2+2+1+4）549961丙數(shù)（1倍數(shù)） 6122120甲數(shù) 612+2124乙數(shù) 614244丁數(shù)答：甲、乙、丙、丁分別是120、124、61、244。驗算：120+124+61+244549 120+2122 1242122 612122 2442122小結：利用關鍵字“是”和“比”設1倍數(shù)解題什么方便。一般是設“是”或“比”后面的量為1倍數(shù)。如例1中“甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍”，“是”后面的量是乙班的圖書本數(shù)，因些設乙班的圖書本數(shù)為1倍數(shù)；例2中“甲班的圖書是乙班圖書的2倍”，設乙班圖書本數(shù)為1倍數(shù)；例3中“男生比女生的3倍少40人”，“比”后面的量是女生人數(shù)，因些設女生人數(shù)為1倍數(shù)；例4中“桃樹比梨樹的2倍多12棵”，設梨樹為1倍數(shù)。后面將會學到的差倍問題也是利用關鍵字“是”和“比”設1倍數(shù)。和倍問題習題1. 小明和小強共有圖書120本，小強的圖書本數(shù)是小明的2倍，他們兩人各有圖書多少本？2. 果園里一共種340棵桃樹和杏樹，其中桃樹的棵數(shù)比杏樹的3倍多20棵，兩種樹各種了多少棵？3. 一個長方形，周長是30厘米，長是寬的2倍，求這個長方形的面積。4. 甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分鐘23立方米的速度流入乙水池，那么多少分鐘后，乙水池中的水是甲水池的4倍？5. 甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍？6. 有3條繩子，共長95米，第一條比第二條長7米，第二條比第三條長8米，問3條繩子各長多少米？和倍問題習題解答1. 小明的本數(shù)：120（2+1）40（本）。小強的本數(shù)：20280（本）2. 杏樹：（34020）（3+1）80（棵）。桃樹：803+20260（棵）。3. 寬：（302）（2+1）5（厘米）。長：5210（厘米）。面積：10550（平方厘米）4. 乙兩水池共有水：2600+12003800（立方米）。甲水池剩下的水：3800（4+1）760（立方米）。甲水池流入乙水池中的水：26007601840（立方米）。經過的時間（分鐘）：18402380（分鐘）5. 乙兩桶油總重量：470+190660（千克）。當甲桶油是乙桶油2倍時，乙桶油是：660（2+1）220（千克）。由甲桶倒入乙桶中的油：22019030（千克）。6. 變化后的繩子總長：957+896（米）。第二條繩子長：96（1+1+1）32（米）。第一條繩長：32+739（米）。第三條繩子長：32824（米）。第二講 差倍問題前面講了應用線段圖分析“和倍”應用題，這種方法使分析問題具體、形象，使我們能比較順利地解答些類應用題。下面我們再來研究與“和倍”問題有相似之處的“差倍”應用題?！安畋秵栴}”就是已知兩個數(shù)的差和它們的倍數(shù)關系，求這兩個數(shù)。差倍問題的解題思路與和倍問題一樣，先要在題目中找到1倍數(shù)，再畫圖確定解題方法。被除數(shù)的數(shù)量和除數(shù)的倍數(shù)關系要相對應，相除后得到的結果是一倍數(shù)，然后求出另一個數(shù)，最后答題和驗算。例1.甲班的圖書本數(shù)比乙班多80本，甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？分析：如右圖：把乙班的圖書本數(shù)看作1倍數(shù)，則甲班的圖書本數(shù)是3倍數(shù)，那么甲班的圖書本數(shù)比乙班多2倍數(shù)。又知“甲班的圖書比乙班多80本”，即2倍數(shù)與80本相對應，可以理解為2倍數(shù)是80，這樣可以算出1倍數(shù)是多少本。最后就可以求出甲、乙班各有圖書多少本。解：80（31）40（本）乙班 403120（本）或40+80120（本）甲班答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。驗算：1204080（本） 120403（倍）例2.菜站運來的白菜是蘿卜的3倍，賣出白菜1800千克，蘿卜300千克，剩下的兩種蔬菜的重量相等，菜站運來的白菜和蘿卜各是多少千克？分析：這樣想：根據“菜站運來的白菜是蘿卜的3倍”應把運來的蘿卜的重量看作1倍數(shù)；“賣出白菜1800千克，蘿卜300千克后，剩下兩種蔬菜的重量正好相等”，說明運來的白菜比蘿卜千克）。從右圖中清楚地看到這個重量相當于蘿卜重量的312（倍），這樣就可以先求出運來的蘿卜是多少千克，再求運來的白菜是多少千克。解：（1800300）（31）750（千克）蘿卜 75032250（千克）白菜答：菜站運來白菜2250千克，蘿卜750千克。驗算：22501800450（千克）（白菜剩下部分） 750300450（千克）（蘿卜剩下部分）例3.有兩根同樣長的繩子，第一根截去12米，第二根接上14米，這時第二根長度是第一根長的3倍，兩根繩子原來各長多少米？分析：如圖所示，兩根繩子原來的長度一樣長，但是從第一根截去12米，第二根繩子又接上14米后，第二根的長度是第一根的3倍。應該把變化后的第一根長度看作1倍數(shù)，而12+1426（米），正好是2倍數(shù)。所以，當從第一根截去12米后剩下的長度可以求出來了，那么第一根、第二根原有長度也就可以求出來了。解：（12+14）（31）13（米）（1倍數(shù)，即第一根截去12米剩下的長度） 13+1225（米）（兩根繩子原來的長度）答：兩根繩子原來各長25米。自己進行驗算，看答案是否正確。另外還可以想想，有無其他方法求兩根繩子原來各有多長。小結：解答這類題的關鍵是要找出兩個數(shù)量的差與兩個數(shù)量的倍數(shù)的差的對應關系。用除法求出1倍數(shù)，再求其它數(shù)量。解題規(guī)律：差倍數(shù)的差1倍數(shù)例4.三（1）班與三（2）班原有圖書數(shù)一樣多。后來，三（1）班又買來新書74本，三（2）本從本班原書中拿出96本送給一年級小同學，這時，三（1）班圖書是三（2）班的3倍，求兩班原有圖書各多少本？分析：如圖所示：兩個班原有圖書一樣多。后來三（1）班又買新書74本，即增加了74本；三（2）班從本班原有圖書中取出96本送給一年級同學，則圖書減少了96本。結果是一個班增加，另一個班減少，這樣兩個班圖書就相差96+74170（本），也就是三（1）班比三（2）班多了170本。又知三（1）班現(xiàn)有圖書是三（2）班現(xiàn)有圖書的3倍，把三（2）班現(xiàn)有圖書看作1倍數(shù)，則三（1）班現(xiàn)有圖書是3倍數(shù)，相差312倍數(shù)，2倍數(shù)對應170本，從而可以求得一倍數(shù)。隨之原有圖書也可以求出來了。解：74+96（31） 1702 85（本）（1倍數(shù)）85+96181（本）答：兩班原來各有圖書181本。例5.兩塊同樣長的花布，第一塊賣出31米，第二塊賣出19米后，第二塊是第一塊的4倍，求每塊花布原有多少米？分析：如圖所示：已知兩塊花布同樣長，由于第一塊賣出的多，第二塊賣出的少，因此第一塊剩下的少，第二塊剩下的多。所剩下的布第二塊比第一塊多311912（米）。又知第二塊所剩下的布是第一塊的4倍，那么第二塊比第一塊多出的12米正好相當于所剩布的（41）倍，這樣，第一塊所剩布的長度即可求出。解：（3119）（41）1234(米)（1倍數(shù)，即第一塊剩下的） 4+3135（米）答:每塊花布原有35米。差倍問題習題1. 一只大象的體重比一頭牛重4500千克，又知大象的重量是一頭牛的10倍，一只大象和一頭牛的重量各是多少千克？2. 果園里的桃樹比杏樹多90棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，桃樹和杏樹各有多少棵？3. 有兩塊布，第一塊長74米，第二塊長50米，兩塊布各剪去同樣長的一塊布后，剩下的第一塊米數(shù)是第二塊的3倍，問每塊布各剪去多少米？4. 甲、乙兩校教師的人數(shù)相等，由于工作需要，從甲校調30人到乙校去，這時乙校教師人數(shù)正好是甲校教師人數(shù)的3倍，求甲、乙兩校原有教師各多少人？5. 兩筐重量相同的蘋果，從甲筐蘋果取出7千克，乙筐加入19千克，這時乙筐是甲筐蘋果的3倍，問兩筐原有蘋果多少千克？6. 甲、乙兩個數(shù)，如果甲數(shù)加上320就等于乙數(shù)了。如果乙數(shù)加上460就等于甲數(shù)的3倍，兩個數(shù)各是多少？7. 有兩塊同樣長的布，第一塊賣出25米，第二塊賣出14米，剩下的布第二塊是第一塊的2倍，求每塊布原有多少米？差倍問題習題解答1. 一頭牛重量是：4500（101）500（千克）。一只大象重量：500105000（千克）。2. 杏樹棵樹：90（31）45（棵）。桃樹棵數(shù)：453135（棵）3. 把第二塊布剩下的米數(shù)看作1倍數(shù)：（7450）（31）12（米）。剪去的米數(shù)：501238（米）4. 把甲校調走30人后的甲校人數(shù)看作1倍數(shù)：（302）（31）30（人）。甲、乙兩校原有教師各30+3060（人）。5. 甲筐重量：（19+7）（31）13（千克）。乙筐重量：13339（千克）。原有重量：13+720（千克）6. 甲數(shù)：（320+460）2390。乙數(shù)：390+320710。7. （2514）（21）+25111+2511+2536（米）。第三講 和差問題和差問題是已知大小兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差，求大小兩個數(shù)各是多少的應用題。為了解答這種問題，首先要弄清兩個數(shù)相差多少的不同敘述方式。有些題目明確給了兩個數(shù)的差，而有些應用題把兩個數(shù)的差“暗藏”起來，我們管暗藏的差叫“暗差”。例：“把姐姐的鉛筆拿出3支后，姐姐、弟弟的鉛筆支數(shù)就同樣多?！边@說明姐姐的鉛筆比弟弟多3支，也說明姐姐和弟弟鉛筆相差3支。再例：“把姐姐的鉛筆給弟弟3支后，兩人鉛筆支數(shù)就同樣多?！比绻J為姐姐的鉛筆比弟弟多3支（差是3），那就錯了。實際上姐姐比弟弟多2個3支。姐姐給弟弟3支后，自己留下3支，再加上他們原有的鉛筆數(shù)，他們的鉛筆支數(shù)才可能一樣多。這里326支，就是暗差?！鞍呀憬愕你U筆給弟弟3支后還比弟弟多1支”，這說明姐姐的鉛筆支數(shù)比弟弟多32+17（支）。例1.已知甲數(shù)比乙數(shù)大8，甲數(shù)和乙數(shù)的和是98，求甲、乙兩個數(shù)各是多少？分析：如圖所示：假設甲數(shù)為1倍數(shù)，則（乙數(shù)+8）也是1倍數(shù)，兩數(shù)的和98加上8就是2倍數(shù)，從而可以求出一倍數(shù)，即甲數(shù)。也可以假設乙數(shù)為1倍數(shù)，則（甲數(shù)8）是1倍數(shù)，兩數(shù)的和98減去8是2倍數(shù)，也可以求出1倍數(shù)，即乙數(shù)。記住以下兩個公式很有用：大數(shù)（兩數(shù)的和+兩數(shù)的差）2小數(shù)（兩數(shù)的和兩數(shù)的差）2解：（98+8）2116253甲數(shù)（988）290245乙數(shù)答：甲數(shù)是53，乙數(shù)是45。例2.今年小強7歲，爸爸35歲，當兩人年齡和是58歲時，兩人年齡各多少歲？分析：如圖，題中沒有給出小強和爸爸年齡之差，但是已知兩人今年的年齡，那么今年兩人的年齡差是35728（歲）。不論過多少年，兩人的年齡差是保持不變的。所以，當兩人年齡和為58歲時他們年齡差仍是28歲。根據例1的和差公式直接求出。解：35728（歲）（差） （58+28）2 862 43（歲）爸爸（把爸爸年齡看作1倍數(shù)） （5828）215（歲）或584315（歲）小強答：當兩人年齡和是58歲時，爸爸43歲，小強15歲。例3.小明期末考試時語文和數(shù)學的平均分數(shù)是94分，數(shù)學比語文多8分，問語文和數(shù)學各得了幾分？分析：解和差問題的關健就是求得和與差，這道題中數(shù)學與語文成績之差是8分，但是數(shù)學和語文成績之和沒有直接告訴我們?？墒?，條件中給出了兩科的平均成績是94分，這就可以求得這兩科的總成績。解：942188（分）（和）（188+8）2196298（分）數(shù)學（把數(shù)學成績看作1倍數(shù)）（1888）2180290（分）語文（把語文成績看作1倍數(shù)）答：小明期末考試語文得90分，數(shù)學得98分。例4.甲、乙兩校共有學生864人，為了照顧學生就近入學，從甲校調入乙校32名同學，這樣甲校學生還比乙校多48人，問甲、乙兩校原來各有學生多少人？分析：如圖所示：這樣想：甲、乙兩校學生人數(shù)的和是864人，根據由甲校調入乙校32人，這樣甲校比乙校還多48人可以知道，甲校比乙校多322+48112（人）。112是兩校人數(shù)差。解：322+48112（人）（差） （864112）2376（人）乙校 864376488（人）甲校答：甲校原有學生488人，乙校原有學生376人。和差問題習題1. 果園里有桃樹和梨樹共150棵，桃樹比梨樹多20棵，兩種果樹各有多少棵？2. 甲、乙兩桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么兩桶油重量相等