高中數(shù)學常用邏輯用語知識點.doc

高中數(shù)學常用邏輯用語 目標認知考試大綱要求：1. 理解命題的概念；了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義.2. 了解命題“若p,則q”的形式及其逆命題、否命題與逆否命題，分析四種命題相互關(guān)系.3. 理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.4. 理解全稱量詞與存在量詞的意義；能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.重點：充分條件與必要條件的判定難點：根據(jù)命題關(guān)系或充分(或必要)條件進行邏輯推理。知識要點梳理知識點一：命題1. 定義：一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的語句叫做命題.（1）命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分構(gòu)成. 命題通常用小寫英文字母表示，如p,q,r,m,n等.（2）命題有真假之分，正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題. 數(shù)學中的定義、公理、定理等都是真命題（3）命題“”的真假判定方式： 若要判斷命題“”是一個真命題，需要嚴格的邏輯推理；有時在推導時加上語氣詞“一定”能幫助判斷。如：一定推出. 若要判斷命題“”是一個假命題，只需要找到一個反例即可.注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命題.2. 邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞.（1）不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫簡單命題，由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫復合命題.（2）復合命題的構(gòu)成形式：p或q；p且q；非p（即命題p的否定）.（3）復合命題的真假判斷（利用真值表）：非真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假 當p、q同時為假時，“p或q”為假，其它情況時為真，可簡稱為“一真必真”； 當p、q同時為真時，“p且q”為真，其它情況時為假，可簡稱為“一假必假”。 “非p”與p的真假相反.注意：（1）邏輯連結(jié)詞“或”的理解是難點，“或”有三層含義，以“p或q”為例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立?？梢灶惐扔诩现小盎颉?（2）“或”、“且”聯(lián)結(jié)的命題的否定形式：“p或q”的否定是“p且q”； “p且q” 的否定是“p或q”.（3）對命題的否定只是否定命題的結(jié)論；否命題，既否定題設(shè)，又否定結(jié)論。知識點二：四種命題1. 四種命題的形式：用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用p和q分別表示p和q的否定，則四種命題的形式為：原命題：若p則q； 逆命題：若q則p；否命題：若p則q； 逆否命題：若q則p.2. 四種命題的關(guān)系原命題逆否命題.它們具有相同的真假性，是命題轉(zhuǎn)化的依據(jù)和途徑之一.逆命題否命題，它們之間互為逆否關(guān)系，具有相同的真假性，是命題轉(zhuǎn)化的另一依據(jù)和途徑.除、之外，四種命題中其它兩個命題的真?zhèn)螣o必然聯(lián)系.命題與集合之間可以建立對應關(guān)系，在這樣的對應下，邏輯聯(lián)結(jié)詞和集合的運算具有一致性，命題的“且”、“或”、“非”恰好分別對應集合的“交”、“并”、“補”，因此，我們就可以從集合的角度進一步認識有關(guān)這些邏輯聯(lián)結(jié)詞的規(guī)定。知識點三：充分條件與必要條件1. 定義：對于“若p則q”形式的命題：從邏輯觀點上，關(guān)于充分不必要條件、必要不充分條件、充分必要條件、既不充分也不必要條件的判定在于區(qū)分命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系 若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件； 若pq，但qp，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；若且，則是成立的必要不充分條件；若既有pq，又有qp，記作pq，則p 是q的充分必要條件（充要條件）.若且，則是成立的既不充分也不必要條件從集合的觀點上，關(guān)于充分不必要條件、必要不充分條件、充分必要條件、既不充分也不必要條件的判定在于判斷、相應的集合關(guān)系建立與、相應的集合，即成立，成立若，則是的充分條件，若，則是成立的充分不必要條件；若，則是的必要條件，若，則是成立的必要不充分條件；若，則是成立的充要條件；若AB且BA，則是成立的既不充分也不必要條件2. 理解認知：（1）在判斷充分條件與必要條件時，首先要分清哪是條件，哪是結(jié)論；然后用條件推結(jié)論，再用結(jié)論 推條件，最后進行判斷.（2）充要條件即等價條件，也是完成命題轉(zhuǎn)化的理論依據(jù).“當且僅當”.“有且僅有”.“必須且只須”.“等價于”“反過來也成立”等均為充要條件的同義詞語.3. 判斷命題充要條件的三種方法（1）定義法：（2）等價法：由于原命題與它的逆否命題等價，否命題與逆命題等價，因此，如果原命題與逆命題真假不好判斷時，還可以轉(zhuǎn)化為逆否命題與否命題來判斷即利用與；與；與的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系（或否定式）的命題，一般運用等價法.(3) 利用集合間的包含關(guān)系判斷，比如AB可判斷為AB；A=B可判斷為AB，且BA，即AB.如圖：“”“，且”是的充分不必要條件.“”“”是的充分必要條件. 知識點四：全稱量詞與存在量詞1. 全稱量詞與存在量詞全稱量詞及表示：表示全體的量詞稱為全稱量詞。表示形式為“所有”、“任意”、“每一個”等，通常用符號“”表示，讀作“對任意”。含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。全稱命題“對M中任意一個x，有p(x)成立”可表示為“”，其中M為給定的集合，p(x)是關(guān)于x的命題.（II）存在量詞及表示：表示部分的量稱為存在量詞。表示形式為“有一個”，“存在一個”,“至少有一個”，“有點”,“有些”等，通常用符號“”表示，讀作“存在”。含有存在量詞的命題，叫做特稱命題特稱命題“存在M中的一個x，使p(x)成立”可表示為“”，其中M為給定的集合，p(x)是關(guān)于x的命題.2. 對含有一個量詞的命題進行否定（I）對含有一個量詞的全稱命題的否定全稱命題p：，他的否定： 全稱命題的否定是特稱命題。（II）對含有一個量詞的特稱命題的否定 特稱命題p：，他的否定： 特稱命題的否定是全稱命題。注意：（1）命題的否定與命題的否命題是不同的.命題的否定只對命題的結(jié)論進行否定（否定一次），而命題的否命題則需要對命題的條件和結(jié)論同時進行否定（否定二次）。（2）一些常見的詞的否定：正面詞等于大于小于是都是一定是至少一個至多一個否定詞不等于不大于不小于不是不都是一定不是一個也沒有至少兩個規(guī)律方法指導1. 解答命題及其真假判斷問題時，首先要理解命題及相關(guān)概念，特別是互為逆否命題的真 假性一致.2. 要注意區(qū)分命題的否定與否命題.3. 要注意邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”與集合中的“并”“交”“補”是相關(guān)的，將二者相互對照可加深認識和理解.4. 處理充要條件問題時，首先必須分清條件和結(jié)論。對于充要條件的證明，必須證明充分性，又要證明必要性；判斷充要條件一般有三種方法：用集合的觀點、用定義和利用命題的等價性；求充要條件的思路是：先求必要條件，再證明這個必要條件是充分條件.5. 特別重視數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的運用?？偨Y(jié)升華：1. 判斷復合命題的真假的步驟： 確定復合命題的構(gòu)成形式； 判斷其中簡單命題p和q的真假； 根據(jù)規(guī)定（或真假表）判斷復合命題的真假.2. 條件“或”是“或”的關(guān)系，否定時要注意.類型二：四種命題及其關(guān)系2. 寫出命題“已知是實數(shù)，若ab=0，則a=0或b=0”的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷其真假。解析：逆命題：已知是實數(shù)，若a=0或b=0, 則ab=0, 真命題； 否命題：已知是實數(shù)，若ab0，則a0且b0，真命題； 逆否命題：已知是實數(shù)，若a0且b0，則ab0，真命題。總結(jié)升華：1.“已知是實數(shù)”為命題的大前提，寫命題時不應該忽略；2. 互為逆否命題的兩個命題同真假；3. 注意區(qū)分命題的否定和否命題. 類型三：全稱命題與特稱命題真假的判斷總結(jié)升華：1. 要判斷一個全稱命題是真命題，必須對限定的集合M中每一個元素，驗證成立；要判斷全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個，使不成立可；2. 要判斷一個特稱命題的真假，依據(jù)：只要在限定集合M中，至少能找到一個，使成立，則這個特稱命題就是真命題，否則就是假命題.類型四：充要條件的判斷總結(jié)升華：1. 處理充分、必要條件問題時，首先要分清條件與結(jié)論；2. 正確使用判定充要條件的三種方法，要重視等價關(guān)系轉(zhuǎn)換，特別是與關(guān)系.類型五：求參數(shù)的取值范圍總結(jié)升華：由p或q為真，知p、q必有其一為真，由p且q為假，知p、q必有一個為假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命題p及命題q為真的條件，再分類討論總結(jié)升華：從認知已知條件切入，將四種命題或充要條件問題向集合問題轉(zhuǎn)化，是解決這類問題的基本策略。類型六：證明總結(jié)升華： 1. 利用反證法證明時，首先正確地作出反設(shè)（否定結(jié)論）.從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾，從而假設(shè)不正確，原命題成立，反證法一般適宜結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn)，或以“至多”、“至少”形式出現(xiàn)，或關(guān)于唯一性、存在性問題，或者結(jié)論的反面是比原命題更具體更容易研究的命題.2. 反證法時對結(jié)論進行的否定要正確，注意區(qū)別命題的否定與否命題總結(jié)升華：1. 對于充要條件的證明，既要證明充分性，又要證明必要性，所以必須分清條件是什么，結(jié)論是什么。2. 充分性：由條件結(jié)論；必要性：由結(jié)論條件.3.敘述方式的變化（比如是的充分不必要條件”等價于“的充分不必要要條件是”）.三、典型例題選講例1 寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假（1）已知，為實數(shù)，若，則有兩個不相等的實數(shù)根；（2）兩條平行線不相交；（3）若，則，全為零分析：寫出一個命題的四種命題形式，關(guān)鍵是分清命題的條件與結(jié)論，把命題寫成“如果那么”的形式，再根據(jù)四種命題的定義寫出其他三種命題即可解：（1）原命題是真命題；逆命題：若有兩個不相等的實數(shù)根，則，（假）；否命題：若，則沒有兩個不相等的實數(shù)根，（假）；逆否命題：若沒有兩個不相等的實數(shù)根，則，（真）（2）原命題形式可寫成：若兩條直線平行，則它們不相交，（真）；逆命題：若兩條直線不相交，則它們平行，（假）；否命題：若兩條直線不平行，則它們相交，（假）；逆否命題：若兩條直線相交，則它們不平行，（真）（3）原命題是真命題；逆命題：若，全為零，則，（真）；否命題：若，則，不全為零，（真）；逆否命題：若，不全為零，則，（真）歸納小結(jié)：(1)本題考查了命題的四種形式，并能進行真假判斷，強化對知識運用的靈活性(2)要注意四種命題之間的等價關(guān)系，即原命題與逆否命題等價，否命題與逆命題等價在判斷一個命題是真命題時，要嚴格按照數(shù)學邏輯進行推理證明，而要說明它是假命題時，只需要舉出一個反例即可(3)在否定條件或結(jié)論時，要注意否定詞語的使用常見否定詞語有：正面詞語等于大于小于是都是至多有一個否定詞語不等于不大于不小于不是不都是至少有兩個正面詞語至少有一個任意的所有的一定否定詞語一個也沒有某個某些一定不例2 說明下列命題形式，指出構(gòu)成它們的簡單命題：矩形的對角線垂直平分；不等式的解集是或；方程沒有實數(shù)根分析：根據(jù)命題中出現(xiàn)的邏輯聯(lián)結(jié)詞或隱含的邏輯聯(lián)結(jié)詞，進行命題結(jié)構(gòu)的判斷，其中解題的關(guān)鍵是正確理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”、“或”、“非”的含義解：這個命題是“”的形式，其中：矩形的對角線互相垂直，：矩形的對角線互相平分這個命題是“”的形式，其中：不等式的解集是，：不等式的解集是或這個命題是“”的形式，其中：，：這個命題是“”的形式，其中：方程有實數(shù)根歸納小結(jié)：本題考查了含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題結(jié)構(gòu)，要求能正確理解邏輯聯(lián)結(jié)詞，并找出隱含的邏輯聯(lián)結(jié)詞，能根據(jù)命題形式分析問題、解決問題把簡單命題合成為復合命題或把復合命題分解為兩個簡單命題并判斷其真假是本節(jié)的重點之一，關(guān)鍵在于理解邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義熟悉真值表可以加快對含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷邏輯聯(lián)結(jié)詞中的“或”、“且”、“非”與日常用語中的“或”、“且”、“非”的意義是不完全相同的如邏輯詞中的“或”含有可以兼有之意，而生活中的“或”一般不可兼有的意思例3（2008廣東）已知命題：所有有理數(shù)都是實數(shù)，命題：正數(shù)的對數(shù)都是負數(shù)，則下列命題中為真命題的是（）ABCD分析：本題只需要判斷出命題和命題的真假，根據(jù)真值表進行判斷即可解：由題意可以判斷命題是真命題，命題是假命題，所以命題是假命題，命題是真命題只有是真命題，故選D歸納小結(jié)：（1）本題考查了命題的真假判斷和真值表的使用，考查了邏輯判斷的思辯能力和推理能力；（2）命題的真假判斷是“一真就真，全假為假”；命題的真假判斷是“一假就假，全真為真”；命題與的真假相反.例4（年北京）“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件分析：簡易邏輯中充要條件的判斷前提是先明確條件與結(jié)論，即弄清楚哪個是條件，哪個是結(jié)論，再根據(jù)條件分析出推式的關(guān)系，從而利用定義和推式得到結(jié)論解：當時，w即反之，當時，有，或，即綜上所述，“”是“”的充分不必要條件，故選A例5（2008福建)設(shè)集合,那么“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件分析：本題條件與結(jié)論的形式都是集合形式，只要理清集合之間的關(guān)系，按照充要條件與集合的對應關(guān)系即可作出判斷解：，.故選A歸納小結(jié)：（1）本題考查了充要條件的定義，這是高考試題題型的常見形式之一，可與其他考查內(nèi)容綜合同時還考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想、合情推理能力（2）充分不必要條件、必要不充分條件、充分必要條件、既不充分也不必要條件反映了條件和結(jié)論之間的因果關(guān)系，在結(jié)合具體問題進行判斷時，要注意以下幾點：確定問題的條件和結(jié)論；嘗試從條件推結(jié)論，結(jié)論推條件；確定條件是結(jié)論的什么條件也可以從命題體現(xiàn)的集合運算關(guān)系，判斷出命題間的條件在從條件推結(jié)論，結(jié)論推條件時，可以利用學過的定理、定義和公式直接做邏輯判斷，或利用數(shù)軸或Venn圖分析兩個集合的關(guān)系判斷出“”和“”的真假例6（2007湖北）已知是的充分條件而不是必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件現(xiàn)有下列命題：是的充要條件；是的充分條件而不是必要條件；是的必要條件而不是充分條件；的必要條件而不是充分條件；是的充分條件而不是必要條件，則正確命題序號是（ ）A. B. C. D. 分析：本題命題及其關(guān)系較多，如果直接解決則比較麻煩，可以用符號“”、“”等符號表示，簡化題意，解決方便解：由題意可知：，且，所以，正確；，且，正確；，不正確；，且，正確；，不正確故選B歸納小結(jié)：（1）本題考查了充分條件、必要條件、充要條件的概念及命題之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化，逆否命題的等價性，考查了邏輯思辯能力和轉(zhuǎn)化思想（2）在命題之間的充分條件、必要條件、充要條件的推導過程中，使用符號語言可以簡化過程，降低思維量例7 已知命題：，命題：，若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍分析：是的充分不必要條件轉(zhuǎn)化為等價命題形式：是的充分不必要條件，利用等價命題先進行命題的等價轉(zhuǎn)化，搞清晰命題中條件與結(jié)論的關(guān)系，再去解不等式，找解集間的包含關(guān)系，從而求出的取值范圍解：記，是的充分不必要條件，是的充分不必要條件，即.，解得.所以實數(shù)的取值范圍是歸納小結(jié)：(1)本題以含絕對值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對象，同時考查了充分必要條件及四種命題中等價命題的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想的運用，強調(diào)了知識點運用的靈活性(2)對四種命題以及充要條件的定義實質(zhì)理解不清晰是解此題的難點，在判斷或利用兩個命題的充要條件時，可以利用它們的等價式，即將命題轉(zhuǎn)化為另一個等價形式的命題，一般可以利用逆否命題的等價形式：若，即，則是的必要條件，是的充分條件；若，且，即，且，則是的必要不充分條件；若，且，即，且，則是的充分不必要條件；若，則，即、互為充要條件；若，且，即，且，則是的既不充分也不必要條件例8（年海南、寧夏）有四個關(guān)于三角函數(shù)的命題：， ：、，：, ：其中是假命題的有（ ）A， B， C， D，分析：若全稱命題為真命題，必須對限定范圍內(nèi)的元素中的全體都成立；若特稱命題是真命題，只需在限定范圍中有一個元素滿足條件即可解：是假命題，因為，；是真命題，如時成立；是真命題，.；是假命題，如，時，但故選A歸納小結(jié)：（1）本題考查了全稱命題與特稱命題的真假判斷，同時也考查了對概念的轉(zhuǎn)化能力和推理能力（2）一般地說，全稱命題與特稱命題的真假判斷方法是：判定一個全稱命題是真命題時，必須對限定的集合中的每一個元素，驗證成立即可；判定一個全稱命題是假命題時，只要能列舉出集合中的一個元素，使不成立即可；判定一個特稱命題是真命題時，只要在限定的集合中，至少能找到一個元素，使成立即可，否則，這個特稱命題就是假命題例9（2007寧夏）已知命題：，則（ ）A. B.C. D.分析：對全稱（特稱）命題的否定是將其全稱（存在）量詞改為存在（全稱）量詞，再將結(jié)論否定解：將變?yōu)椋瑫r否定，可以得到故選C歸納小結(jié)