韋達定理的應(yīng)用與提高自招題集.docVIP

應(yīng)用題例題.1、某商場銷售一批襯衫，平均每天可出售30件，每件賺50元，為擴大銷售，加盈利，盡量減少庫存，商場決定降價，如果每件降1元，商場平均每天可多賣2件，若商場平均每天要賺2100元，問襯衫降價多少元2.某化工材料經(jīng)售公司購進了一種化工原料,進貨價格為每千克30元.物價部門規(guī)定其銷售單價不得高于每千克70元,也不得低于30元.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：單價每千克70元時日均銷售60kg；單價每千克降低一元,日均多售2kg。在銷售過程中,每天還要支出其他費用500元（天數(shù)不足一天時,按一天計算）.如果日均獲利1950元,求銷售單價3.某服裝廠生產(chǎn)一批西服，原來每件的成本價是500元，銷售價為625元，經(jīng)市場預(yù)測，該產(chǎn)品銷售價第一個月將降低20%，第二個月比第一個月提高6%，為了使兩個月后的銷售利潤達到原來水平，該產(chǎn)品的成本價平均每月應(yīng)降低百分之幾？根的判別式1、（2017和平區(qū)校級模擬）一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a0，b0，c0，則這個方程根的情況是（）A有兩個正根B有兩個負根C有一正根一負根且正根絕對值大D有一正根一負根且負根絕對值大【分析】根據(jù)根的判別式=b24ac的符號，就可判斷出一元二次方程的根的情況；由根與系數(shù)的關(guān)系可以判定兩根的正負情況【解答】解：a0，b0，c0，=b24ac0，0，0，一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根，且兩根異號，正根的絕對值較大故選：C【點評】此題考查了根的判別式；一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：（1）0方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）=0方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）0方程沒有實數(shù)根一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）知識點及應(yīng)用解析1、定義：若x1，x2 是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的兩個根，則有x1 + x2 = -，x1x2 = 。對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2+px+q=0，則有x1 + x2 =-p，x1x2 =q2、應(yīng)用的前提條件：根的判別式0 方程有實數(shù)根。3、若一個方程的兩個為x1，x2 ，那么這個一元二次方程為ax2+(x1+x2)x+ x1x2=0(a0)4、根與系數(shù)的關(guān)系求值常用的轉(zhuǎn)化關(guān)系：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(x1+a)(x2+a)= x1x2 +a(x1+x2) +a2 =-b +a2(x1-x2)2 =(x1+x2)2-4x1x2 =5、方法歸納：（1）一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的運用條件條件為一元二次方程，即a0，且必須有實數(shù)根，即0；（2）運用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系時，一元二次方程應(yīng)化為一般形式，若系數(shù)中含字母要注意分類討論；（3）一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系有時與一元二次方程根的定義綜合運用，注意觀察所求代數(shù)式是特點。（4）解題思路：將含有根的代數(shù)式變形成含有兩根和與兩根積的式子，再通過韋達定理轉(zhuǎn)化成關(guān)于系數(shù)的式子，同時要注意參量的值要滿足根的實際意義。6、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用：（1）不解方程，判別一元二次方程兩根的符號。（判別根的符號，需要把“根的判別式”和“根與系數(shù)的關(guān)系”結(jié)合起來進行確定，判別式判定根的存在與否，若0，所以可判定方程的根為一正一負；倘若0，仍需考慮的正負，方可判別方程是兩個正根還是兩個負根。）例：不解方程，判別方程兩根的符號。解：，42(7)650 方程有兩個不相等的實數(shù)根。設(shè)方程的兩個根為， 0 原方程有兩個異號的實數(shù)根。（2）已知一元二次方程的一個根，求出另一個根以及字母系數(shù)的值。（3）運用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系解題。例：已知、是關(guān)于的一元二次方程的兩個非零實數(shù)根，問和能否同號？若能同號，請求出相應(yīng)的的取值范圍；若不能同號，請說明理由，解：因為關(guān)于的一元二次方程有兩個非零實數(shù)根則有 又、是方程的兩個實數(shù)根，所以由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得：假設(shè)、同號，則有兩種可能：（1） （2）若， 則有： ；即有：解這個不等式組，得時方程才有實樹根，此種情況不成立。若 ， 則有：即有：解這個不等式組，得；又，當時，兩根能同號 練習：1設(shè)一元二次方程的根分別滿足下列條件，試求實數(shù)a的范圍。二根均大于1；一根大于1，另一根小于1。2（2013秋沙灣區(qū)期末）關(guān)于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的兩實根之和大于4，則k的取值范圍是（）Ak1Bk0C1k0D1k03（2015南充）關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正，給出三個結(jié)論：這兩個方程的根都負根；（m1）2+（n1）22；12m2n1，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A0個B1個C2個D3個(4)運用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值例:已知一元二次方程2x2-3x+1=0的兩個根分別為x1，x2 ，求（x1-x2）2的值解：由題意及韋達定理得：x1+x2= -（-）=，x1x2 =(x1-x2)2 =(x1+x2)2-4x1x2 =（）2-4=（x1-x2）2的值是(5) 運用根與系數(shù)的關(guān)系解決幾何問題例：在ABC中，若C=90，AB=5，AC、BC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個實數(shù)根，求k的值和ABC的面積解：AC2+BC2=25(AC+BC)2-2ACBC=25AC+BC=2K+3,ACBC=K2+3K+2(2K+3)2-2(K2+3K+2)=25整理，得k2+3k-10=0解得k1=-5,k2=2AC+BC=2K+30k-1.5, k=2SABC = ACBC=(K2+3K+2)=6【要點講解】1求代數(shù)式的值應(yīng)用韋達定理及代數(shù)式變換，可以求出一元二次方程兩根的對稱式的值。例1 若a，b為實數(shù)，且，求的值。思路 注意a，b為方程的二實根；（隱含）。解 （1）當a=b時，；（2）當時，由已知及根的定義可知，a，b分別是方程的兩根，由韋達定理得， ab=1.說明 此題易漏解a=b的情況。例2 若，且，試求代數(shù)式的值。思路 此例可用上例中說明部分的遞推式來求解，也可以借助于代數(shù)變形來完成。解：因為，由根的定義知m，n為方程的二不等實根，再由韋達定理，得，練習：（2017黔東南州二模）設(shè)a，b是方程x2+x2017=0的兩個實數(shù)根，則a2+2a+b的值為（）A2014B2015C2016D20172構(gòu)造一元二次方程如果我們知道問題中某兩個字母的和與積，則可以利用韋達定理構(gòu)造以這兩個字母為根的一元二次方程。例3 設(shè)一元二次方程的二實根為和。（1）試求以和為根的一元二次方程；（2）若以和為根的一元二次方程仍為。求所有這樣的一元二次方程。解 （1）由韋達定理知，。，。所以，所求方程為。（2）由已知條件可得 解之可得由得，分別討論（p,q）=(0,0)，(1,0)，(,0)，(0,1)，(2,1)，(,1)或(0, )。于是，得以下七個方程，其中無實數(shù)根，舍去。其余六個方程均為所求。3證明等式或不等式根據(jù)韋達定理（或逆定理）及判別式，可以證明某些恒等式或不等式。 例4 已知a，b，c為實數(shù)，且滿足條件：，求證a=b。證明 由已知得，。根據(jù)韋達定理的逆定理知，以a，b為根的關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程為由a，b為實數(shù)知此方程有實根。，故c=0，從而。這表明有兩個相等實根，即有a=b。說明 由“不等導(dǎo)出相等”是一種獨特的解題技巧。另外在求得c=0后，由恒等式可得，即a=b。此方法較第一種煩瑣，且需一定的跳躍性思維。5求參數(shù)的值與解方程韋達定理及其逆定理在確定參數(shù)取值及解方程（組）中也有著許多巧妙的應(yīng)用。例6 解方程。解：原方程可變形為。令，。則, 。由韋達定理逆定理知，以a，為根的一元二次方程是。解得，。即a=或a=9?；蛲ㄟ^求解x結(jié)果相同，且嚴謹。，（舍去）。解之得，。此種方法應(yīng)檢驗：是或否成立強化訓練A 級1.若k為正整數(shù)，且方程有兩個不等的正整數(shù)根，則k的值為_。2.若， ，則_。3 .已知和是方程的二實根，則_。4.已知方程（m為整數(shù)）有兩個不等的正整數(shù)根，求m的值。級 5.已知：和為方程及方程的實根，其中n為正奇數(shù)，且。求證：，是方程的實根。6.已知關(guān)于x的方程的二實根和滿足，試求k的值。參考答案12提示：原方程即，所以，由知k=1，2，3，5，11；由知k=2，3，4，7。所以k=2，3，但k=3時原方程有二相等正整數(shù)根，不合題意。故k=2。2提示：由x，y為方程的二根，知，。于。321提示：由，知，4設(shè)二個不等的正整數(shù)根為，由韋達定理，有消去m，得。即。則且。，。故。5由韋達定理有，。又，。二式相減得。，。將代入有。從而 ，同理 和是方程的根。6當時，可知，所以，當時，易證得。從而，為方程的二不同實根。，。于是，。當時，方程為。解得 或取，即能符合題意，故k的值為。練習：1、設(shè)a、b是方程x2+x2014=0的兩個實數(shù)根，則a2+2a+b的值為（）A2014B2015C2012D20132（2012德清縣自主招生）如果方程（x1）（x22x+）=0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數(shù)k的取值范圍是3已知a+b=3，ab=7，則代數(shù)式2a2+b2+3b的值為4（2015黃岡中學自主招生）已知實數(shù)ab，且滿足（a+1）2=33（a+1），3（b+1）=3（b+1）2則的值為5（2013自貢）已知關(guān)于x的方程x2（a+b）x+ab1=0，x1、x2是此方程的兩個實數(shù)根，現(xiàn)給出三個結(jié)論：x1x2；x1x2ab；x12+x22a2+b2則正確結(jié)論的序號是（填上你認為正確結(jié)論的所有序號）6（2013荊門）設(shè)x1，x2是方程x2x2013=0的兩實數(shù)根，則=7（2012成都模擬）若，是方程x23x+1=0的兩個根，則2+3=8（2010南通）設(shè)x1、x2是一元二次方程x2+4x3=0的兩個根，2x1（x22+5x23）+a=2，則a=89（2010寧陽縣模擬）已知實數(shù)a、b（ab）分別滿足，試求的值10（2009河南模擬）設(shè)A是方程x2x2009=0的所有根的絕對值之和，則A2= 11（2007瀘州）若非零實數(shù)a，b（ab）滿足a2a2007=0，b2b2007=0，則：= 12（2004廈門）已知關(guān)于x的方程x2（a+b）x+ab2=0x1、x2是此方程的兩個實數(shù)根，現(xiàn)給出三個結(jié)論：（1）x1x2；（2）x1x2ab；（3 ）x12+x22a2+b2，則正確結(jié)論的序號是 （在橫線上填上所有正確結(jié)論的序號）13（2001呼和浩特）如果關(guān)于x的一元二次方程2x22x+3m1=0有兩個實數(shù)根x1，x2，且它們滿足不等式，則實數(shù)m的取值范圍是14（2013孝感）已知關(guān)于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+2k=0有兩個實數(shù)根x1，x2（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k使得x1x2x12x220成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由一元二次方程韋達定理應(yīng)用作業(yè)一選擇題（共16小題）1若方程x2（m24）x+m=0的兩個根互為相反數(shù)，則m等于（）A2B2C2D42若關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個根為1，則另一個根為（）A4B2C4D33設(shè)a，b是方程x2+x2017=0的兩個實數(shù)根，則a2+2a+b的值為（）A2014B2015C2016D20174一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a0，b0，c0，則這個方程根的情況是（）A有兩個正根B有兩個負根C有一正根一負根且正根絕對值大D有一正根一負根且負根絕對值大5已知m、n是方程x2+3x2=0的兩個實數(shù)根，則m2+4m+n+2mn的值為（）A1B3C5D96已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx8=0的一個實數(shù)根為2，則另一實數(shù)根及m的值分別為（）A4，2B4，2C4，2D4，27一元二次方程x2+x1=0的兩根分別為x1，x2，則+=（）AB1CD8關(guān)于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的兩實根之和大于4，則k的取值范圍是（）Ak1Bk0C1k0D1k09已知方程x22（m21）x+3m=0的兩個根是互為相反數(shù)，則m的值是（）Am=1Bm=1Cm=1Dm=010已知a、b是一元二次方程x23x2=0的兩根，那么+的值為（）ABCD11已知關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個根為2，則另一個根為（）A5B1C2D512已知實數(shù)x1，x2滿足x1+x2=7，x1x2=12，則以x1，x2為根的一元二次方程是（）Ax27x+12=0Bx2+7x+12=0Cx2+7x12=0Dx27x12=013設(shè)a、b是方程x2+x2014=0的兩個實數(shù)根，則a2+2a+b的值為（）A2014B2015C2012D201314關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正，給出三個結(jié)論：這兩個方程的根都負根；（m1）2+（n1）22；12m2n1，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A0個B1個C2個D3個15（非課改）已知，是關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足+=1，則m的值是（）A3B1C3或1D3或116設(shè)a，b是方程x2+x2011=0的兩個實數(shù)根，則a2+2a+b的值為（）A2009B2010C2011D2012二填空題（共30小題）17已知：一元二次方程x26x+c=0有一個根為2，則另一根為 18一元二次方程x2+x2=0的兩根之積是 19若、是一元二次方程x2+2x6=0的兩根，則2+2= 20一元二次方程x2+mx+2m=0的兩個實根分別為x1，x2，若x1+x2=1，則x1x2= 21已知m、n是關(guān)于x的一元二次方程x23x+a=0的兩個解，若（m1）（n1）=6，則a的值為 22某學生在解一元二次方程x22x=0時，只得出一個根是2，則被他漏掉的另一個根是x= 23已知a，b是方程x2x3=0的兩個根，則代數(shù)式a2+b+3的值為 24已知關(guān)于x的方程x22ax+a22a+2=0的兩個實數(shù)根x1，x2，滿足x12+x22=2，則a的值是 25如果方程（x1）（x22x+）=0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數(shù)k的取值范圍是 26方程x23x+1=0中的兩根分別為a、b，則代數(shù)式a24ab的值為 27已知a+b=3，ab=7，則代數(shù)式2a2+b2+3b的值為 28已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2+nx+n3=0的兩個實數(shù)根，且x1+x2=2，則x1x2= 29已知實數(shù)ab，且滿足（a+1）2=33（a+1），3（b+1）=3（b+1）2則的值為 30已知m，n是方程x2+2x5=0的兩個實數(shù)根，則m2mn+3m+n= 31閱讀材料：設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系式x1+x2=，x1x2=根據(jù)該材料填空，已知x1，x2是方程x2+3x+1=0的兩實數(shù)根，則的值為 32已知關(guān)于x的方程x2（a+b）x+ab1=0，x1、x2是此方程的兩個實數(shù)根，現(xiàn)給出三個結(jié)論：x1x2；x1x2ab；x12+x22a2+b2則正確結(jié)論的序號是 （填上你認為正確結(jié)論的所有序號）33若兩個不等實數(shù)m、n滿足條件：m22m1=0，n22n1=0，則m2+n2的值是 34設(shè)x1，x2是方程x2x2013=0的兩實數(shù)根，則= 35設(shè)x1，x2是方