浙江專用高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量8.5直線平面垂直的判定與性質(zhì)課件.pptx

8.5 直線、平面垂直的判定與性質(zhì),第八章 立體幾何與空間向量,NEIRONGSUOYIN,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,課時作業(yè),1,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),PART ONE,知識梳理,1.直線與平面垂直 (1)定義 如果直線l與平面內(nèi)的 直線都垂直，則直線l與平面互相垂直，記作l，直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面.,ZHISHISHULI,任意一條,(2)判定定理與性質(zhì)定理,a，b,abO,la,lb,a,b,相交,平行,2.直線和平面所成的角 (1)定義 平面的一條斜線和 所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.若一條直線垂直于平面，它們所成的角是 ，若一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是 的角.,它在平面上的射影,直角,0,3.平面與平面垂直 (1)二面角的有關(guān)概念 二面角：從一條直線出發(fā)的 所組成的圖形叫做二面角； 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作 的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角. (2)平面和平面垂直的定義 兩個平面相交，如果它們所成的二面角是 ，就說這兩個平面互相垂直.,兩個半平面,垂直于棱,直二面角,(3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理,垂線,交線,【概念方法微思考】,1.若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面嗎？,提示 垂直.若兩平行線中的一條垂直于一個平面，那么在平面內(nèi)可以找到兩條相交直線與該直線垂直，根據(jù)異面直線所成的角，可以得出兩平行直線中的另一條也與平面內(nèi)的那兩條直線成90的角，即垂直于平面內(nèi)的這兩條相交直線，所以垂直于這個平面.,2.兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面嗎？,提示 垂直.在兩個相交平面內(nèi)分別作與第三個平面交線垂直的直線，則這兩條直線都垂直于第三個平面，那么這兩條直線互相平行.由線面平行的性質(zhì)定理可知，這兩個相交平面的交線與這兩條垂線平行，所以該交線垂直于第三個平面.,基礎(chǔ)自測,JICHUZICE,題組一 思考辨析 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l.( ) (2)垂直于同一個平面的兩平面平行.( ) (3)直線a，b，則ab.( ) (4)若，a，則a.( ) (5)若直線a平面，直線b，則直線a與b垂直.( ) (6)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則.( ),1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,題組二 教材改編 2.P73T1下列命題中錯誤的是 A.如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面 B.如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面 C.如果平面平面，平面平面，l，那么l平面 D.如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面,解析 對于D，若平面平面，則平面內(nèi)的直線可能不垂直于平面，即與平面的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面內(nèi)，其他選項均是正確的.,1,2,3,4,5,6,3.P67練習(xí)T2在三棱錐PABC中，點P在平面ABC中的射影為點O. (1)若PAPBPC，則點O是ABC的_心；,解析 如圖1，連接OA，OB，OC，OP， 在RtPOA，RtPOB和RtPOC中，PAPCPB， 所以O(shè)AOBOC，即O為ABC的外心.,外,1,2,3,4,5,6,(2)若PAPB，PBPC，PCPA，則點O是ABC的_心.,解析 如圖2，延長AO，BO，CO分別交BC，AC，AB于點H，D，G. PCPA，PBPC，PAPBP，PA，PB平面PAB， PC平面PAB，又AB平面PAB，PCAB， ABPO，POPCP，PO，PC平面PGC， AB平面PGC，又CG平面PGC， ABCG，即CG為ABC邊AB上的高. 同理可證BD，AH分別為ABC邊AC，BC上的高， 即O為ABC的垂心.,垂,1,2,3,4,5,6,題組三 易錯自糾 4.(2018臺州模擬)若l，m為兩條不同的直線，為平面，且l，則“m”是“ml”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,解析 由l且m能推出ml，充分性成立； 若l且ml，則m或者m，必要性不成立， 因此“m”是“ml”的充分不必要條件，故選A.,1,2,3,4,5,6,5.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點O，M，N分別是線段BD，DD1，D1C1的中點，則直線OM與AC，MN的位置關(guān)系是 A.與AC，MN均垂直 B.與AC垂直，與MN不垂直 C.與AC不垂直，與MN垂直 D.與AC，MN均不垂直,1,2,3,4,5,6,解析 因為DD1平面ABCD，所以ACDD1， 又因為ACBD，DD1BDD，所以AC平面BDD1B1， 因為OM平面BDD1B1，所以O(shè)MAC. 設(shè)正方體的棱長為2，,所以O(shè)M2MN2ON2，所以O(shè)MMN.故選A.,6.如圖所示，AB是半圓O的直徑，VA垂直于半圓O所在的平面，點C是圓周上不同于A，B的任意一點，M，N分別為VA，VC的中點，則下列結(jié)論正確的是 A.MNAB B.平面VAC平面VBC C.MN與BC所成的角為45 D.OC平面VAC,解析 由題意得BCAC，因為VA平面ABC，BC平面ABC， 所以VABC. 因為ACVAA，所以BC平面VAC. 因為BC平面VBC，所以平面VAC平面VBC.故選B.,1,2,3,4,5,6,2,題型分類 深度剖析,PART TWO,題型一 直線與平面垂直的判定與性質(zhì),例1 如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA13，BC2，D是BC的中點，F(xiàn)是CC1上一點.當(dāng)CF2時，證明：B1F平面ADF.,師生共研,證明 因為ABAC，D是BC的中點，所以ADBC. 在直三棱柱ABCA1B1C1中， 因為BB1底面ABC，AD底面ABC， 所以ADB1B. 因為BCB1BB，BC，B1B平面B1BCC1， 所以AD平面B1BCC1. 因為B1F平面B1BCC1，所以ADB1F. 方法一 在矩形B1BCC1中， 因為C1FCD1，B1C1CF2， 所以RtDCFRtFC1B1， 所以CFDC1B1F，,所以B1FD90，所以B1FFD. 因為ADFDD，AD，F(xiàn)D平面ADF， 所以B1F平面ADF. 方法二 在RtB1BD中，BDCD1，BB13，,在RtB1C1F中，B1C12，C1F1，,在RtDCF中，CF2，CD1，,顯然DF2B1F2B1D2， 所以B1FD90. 所以B1FFD. 因為ADFDD，AD，F(xiàn)D平面ADF， 所以B1F平面ADF.,證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵 (1)證明線面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的傳遞性；面面垂直的性質(zhì). (2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直，則需借助線面垂直的性質(zhì).,跟蹤訓(xùn)練1 (2019紹興模擬)如圖，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD. 求證：(1)EF平面ABC；,證明 在平面ABD內(nèi)，因為ABAD，EFAD， 則ABEF. 又因為EF平面ABC，AB平面ABC， 所以EF平面ABC.,(2)ADAC.,證明 因為平面ABD平面BCD， 平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD， 所以BC平面ABD. 因為AD平面ABD，所以BCAD. 又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC， 所以AD平面ABC. 又因為AC平面ABC，所以ADAC.,題型二 平面與平面垂直的判定與性質(zhì),例2 (2018全國)如圖，在平行四邊形ABCM中，ABAC3，ACM90.以AC為折痕將ACM折起，使點M到達(dá)點D的位置，且ABDA.,證明 由已知可得，BAC90，即BAAC. 又BAAD，ADACA，AD，AC平面ACD， 所以AB平面ACD. 又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.,師生共研,(1)證明：平面ACD平面ABC；,(2)Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BPDQ 求三棱錐QABP的體積.,如圖，過點Q作QEAC，垂足為E，,由已知及(1)可得，DC平面ABC， 所以QE平面ABC，QE1.,(1)判定面面垂直的方法 面面垂直的定義； 面面垂直的判定定理(a，a). (2)在已知平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.,跟蹤訓(xùn)練2 (2018寧波調(diào)研)如圖，三棱錐PABC中，底面ABC是邊長為2的正三角形，PAPC，PB2.,(1)求證：平面PAC平面ABC；,證明 如圖，取AC的中點O，連接BO，PO， 因為ABC是邊長為2的正三角形，,因為PB2，所以O(shè)P2OB2PB2， 所以POOB. 因為ACOPO，AC，OP平面PAC， 所以BO平面PAC.又OB平面ABC， 所以平面PAC平面ABC.,(2)若PAPC，求三棱錐PABC的體積.,解 因為PAPC，PAPC，AC2，,由(1)知BO平面PAC，,題型三 與垂直有關(guān)的探索性問題,例3 如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是棱BC，AB的中點，點F在棱CC1上，已知ABAC，AA13，BCCF2. (1)求證：C1E平面ADF；,師生共研,證明 連接CE交AD于O，連接OF. 因為CE，AD為ABC的中線，,因為OF平面ADF，C1E平面ADF， 所以C1E平面ADF.,(2)設(shè)點M在棱BB1上，當(dāng)BM為何值時，平面CAM平面ADF.,解 當(dāng)BM1時，平面CAM平面ADF. 證明如下：因為ABAC，AD平面ABC， 故ADBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中， BB1平面ABC，BB1平面B1BCC1， 故平面B1BCC1平面ABC. 又平面B1BCC1平面ABCBC，AD平面ABC， 所以AD平面B1BCC1， 又CM平面B1BCC1，故ADCM. 又BM1，BC2，CD1，F(xiàn)C2， 故RtCBMRtFCD.,易證CMDF，又DFADD，DF，AD平面ADF， 故CM平面ADF. 又CM平面CAM， 故平面CAM平面ADF.,對命題條件的探索的三種途徑 途徑一：先猜后證. 途徑二：先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性. 途徑三：將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.,跟蹤訓(xùn)練3 如圖所示的空間幾何體ABCDEFG中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE平面ABCD，EFAB，EGAD，EFEG1.,(1)求證：平面CFG平面ACE；,證明 連接BD交AC于點O，則BDAC. 設(shè)AB，AD的中點分別為M，N，連接MN，則MNBD， 連接FM，GN，則FMGN，且FMGN， 所以四邊形FMNG為平行四邊形， 所以MNFG，所以BDFG，所以FGAC. 由于AE平面ABCD，所以AEBD. 所以FGAE， 又因為ACAEA，AC，AE平面ACE， 所以FG平面ACE. 又FG平面CFG，所以平面CFG平面ACE.,(2)在AC上是否存在一點H，使得EH平面CFG？若存在，求出CH的長，若不存在，請說明理由.,解 存在.設(shè)平面ACE交FG于Q，則Q為FG的中點， 連接EQ，CQ，取CO的中點H，連接EH， 由已知易知，平面EFG平面ABCD， 又平面ACE平面EFGEQ， 平面ACE平面ABCDAC，,所以四邊形EQCH為平行四邊形，所以EHCQ， 又CQ平面CFG，EH平面CFG， 所以EH平面CFG，,3,課時作業(yè),PART THREE,基礎(chǔ)保分練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1.已知互相垂直的平面，交于直線l，若直線m，n滿足m，n，則 A.ml B.mn C.nl D.mn,解析 因為l， 所以l，又n，所以nl.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.(2019寧波模擬)已知直線l，m與平面，l，m，則下列命題中正確的是 A.若lm，則必有 B.若lm，則必有 C.若l，則必有 D.若，則必有m,解析 對于選項A，平面和平面還有可能相交，所以選項A錯誤； 對于選項B，平面和平面還有可能相交或平行，所以選項B錯誤； 對于選項C，因為l，l，所以.所以選項C正確； 對于選項D，直線m可能和平面不垂直，所以選項D錯誤.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.如圖，在四面體DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中點，則下列結(jié)論正確的是 A.平面ABC平面ABD B.平面ABD平面BDC C.平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDE D.平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE,解析 因為ABCB，且E是AC的中點， 所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE. 因為AC在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC平面BDE. 又由于AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則 A.MNC1D1 B.MNBC1 C.MN平面ACD1 D.MN平面ACC1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 對于選項A，因為M，N分別是BC1，CD1的中點，所以點N平面CDD1C1，點M平面CDD1C1，所以直線MN是與平面CDD1C1相交的直線， 又因為直線C1D1在平面CDD1C1內(nèi)，故直線MN與直線C1D1不可能平行，故選項A錯； 對于選項B，正方體中易知NBNC1，因為點M是BC1的中點，所以直線MN 與直線BC1不垂直，故選項B不對； 對于選項C，假設(shè)MN平面ACD1，可得MNCD1，因為N是CD1的中點， 所以MCMD1，這與MCMD1矛盾，故假設(shè)不成立，所以選項C不對； 對于選項D，分別取B1C1，C1D1的中點P，Q，連接PM，QN，PQ. 因為點M是BC1的中點，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以PMQN且PMQN， 所以四邊形PQNM為平行四邊形. 所以PQMN. 在正方體中，CC1PQ，PQAC， 因為ACCC1C，AC平面ACC1，CC1平面ACC1， 所以PQ平面ACC1. 因為PQMN，所以MN平面ACC1. 故選項D正確.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如圖，取正三角形ABC的中心O，連接OP，,則PAO是PA與平面ABC所成的角.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.如圖，已知PA平面ABC，BCAC，則圖中直角三角形的個數(shù)為_.,解析 PA平面ABC，AB，AC，BC平面ABC， PAAB，PAAC，PABC，則PAB，PAC為直角三角形. 由BCAC，且ACPAA，得BC平面PAC，從而BCPC， 因此ABC，PBC也是直角三角形.,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，則C1在底面ABC上的射影H必在直線_上.,解析 ACAB，ACBC1，ABBC1B，AC平面ABC1. 又AC平面ABC，平面ABC1平面ABC. C1在平面ABC上的射影H必在兩平面交線AB上.,AB,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足_時，平面MBD平面PCD.(只要填寫一個你認(rèn)為正確的條件即可),解析 PA底面ABCD，BDPA，連接AC，則BDAC，且PAACA， BD平面PAC，BDPC. 當(dāng)DMPC(或BMPC)時，即有PC平面MBD， 而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.,DMPC(或BMPC等),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 連接A1C1，則AC1A1為AC1與平面A1B1C1D1所成的角.,又AA11，所以AC13，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在線段D1E上.點P到直線CC1的距離的最小值為_.,解析 點P到直線CC1的距離等于點P在平面ABCD上的射影到點C的距離， 設(shè)點P在平面ABCD上的射影為P，顯然點P到直線CC1的距離的最小值為PC的長度的最小值. 當(dāng)PCDE時，PC的長度最小，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，點E在棱PC上(異于點P，C)，平面ABE與棱PD交于點F. (1)求證：ABEF；,證明 因為四邊形ABCD是矩形， 所以ABCD. 又AB平面PDC，CD平面PDC， 所以AB平面PDC， 又因為AB平面ABE，平面ABE平面PDCEF， 所以ABEF.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若AFEF，求證：平面PAD平面ABCD.,證明 因為四邊形ABCD是矩形， 所以ABAD. 因為AFEF，(1)中已證ABEF， 所以ABAF. 又ABAD， 由點E在棱PC上(異于點C)，所以點F異于點D， 所以AFADA，AF，AD平面PAD， 所以AB平面PAD， 又AB平面ABCD， 所以平面PAD平面ABCD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)證明：MN平面PDC；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,證明 因為ABBC，ADCD， 所以BD垂直平分線段AC. 又ADC120，,所以ABC是等邊三角形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以MNPD. 又MN平面PDC，PD平面PDC， 所以MN平面PDC.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求直線MN與平面PAC所成角的正弦值.,解 因為PA平面ABCD，BD平面ABCD， 所以BDPA， 又BDAC，PAACA，PA，AC平面PAC， 所以BD平面PAC. 由(1)知MNPD， 所以直線MN與平面PAC所成的角即直線PD與平面PAC所成的角， 故DPM即為所求的角. 在RtPAD中，PD2，,技能提升練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.(2018湖州質(zhì)檢)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，G是EF的中點.現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H.那么，在這個空間圖形中必有 A.AG平面EFH B.AH平面EFH C.HF平面AEF D.HG平面AEF,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 根據(jù)折疊前、后AHHE，AHHF不變， AH平面EFH，B正確； 過A只有一條直線與平面EFH垂直，A不正確； AGEF，EFGH，AGGHG，AG，GH平面HAG，EF平面HAG，又EF平面AEF， 平面HAG平面AEF，過點H作直線垂直于平面AEF，一定在平面HAG內(nèi)，C不正確； 由條件證不出HG平面AEF，D不正確.故選B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.(2018全國)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，平面AB1D1與棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等， 又正方體的其余棱都分別與A1A，A1B1，A1D1平行， 故正方體ABCDA1B1C1D1的每條棱所在直線與平面AB1D1所成的角都相等. 取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中點E，F(xiàn)，G，H，M，N， 則正六邊形EFGHMN所在平面與平面AB1D1平行且面積最大，,故選A.,拓展沖刺練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.(2019金華模擬)如圖，在直角梯形ABCD中，BCDC，AEDC，且E為CD的中點，M，N分別是AD，BE的中點，將三角形ADE沿AE折起，則下列說法正確的是_.(寫出所有正確說法的序號),不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN平面DEC； 不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MNAE； 不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MNAB； 在折起過程中，一定不會有ECAD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由已知，在未折疊的原梯形中，易知四邊形ABCE為矩形， 所以ABEC，所以ABDE， 又ABDE， 所以四邊形ABED