第8章_時(shí)間序列分析(2)

第8章 時(shí)間序列分析 Time Series Analysis,8.1 時(shí)間序列的分解 8.2 指數(shù)平滑 8.3 ARIMA模型,8.2 指數(shù)平滑 Exponential smoothing,8.2.1 單參數(shù)（一次）指數(shù)平滑 8.2.2 雙參數(shù)指數(shù)平滑 8.2.3 三參數(shù)指數(shù)平滑,指數(shù)平滑方法的基本原理,指數(shù)平滑是一種加權(quán)移動(dòng)平均，既可以用來(lái)描述時(shí)間序列的變化趨勢(shì)，也可以實(shí)現(xiàn)時(shí)間序列的預(yù)測(cè)。 指數(shù)平滑預(yù)測(cè)的基本原理是：用時(shí)間序列過(guò)去取值的加權(quán)平均作為未來(lái)的預(yù)測(cè)值，離當(dāng)前時(shí)刻越近的取值，其權(quán)重越大。,式中：,表示時(shí)間序列第t+1期的預(yù)測(cè)值；,表示時(shí)間序列第t期的實(shí)際觀測(cè)值；,表示時(shí)間序列第t期的預(yù)測(cè)值；,表示平滑系數(shù)，0,1。,8.2.1 單參數(shù)（一次）指數(shù)平滑,單參數(shù)指數(shù)平滑的模型為：,適用場(chǎng)合,單參數(shù)（一次）指數(shù)平滑適用于不包含長(zhǎng)期趨勢(shì)和季節(jié)成分的時(shí)間序列預(yù)測(cè) 如果原序列有增長(zhǎng)趨勢(shì)，平滑序列將系統(tǒng)的低于實(shí)際值 如果原序列有下降趨勢(shì)，平滑序列將系統(tǒng)的高于實(shí)際值,平滑系數(shù)的確定,選擇合適的平滑系數(shù)是提高預(yù)測(cè)精度的關(guān)鍵。 如果序列波動(dòng)較小，則平滑系數(shù)應(yīng)取小一些，不同時(shí)期數(shù)據(jù)的權(quán)數(shù)差別小一些，使預(yù)測(cè)模型能包含更多歷史數(shù)據(jù)的信息； 如果序列趨勢(shì)波動(dòng)較大，則平滑系數(shù)應(yīng)取得大一些。這樣，可以給近期數(shù)據(jù)較大的權(quán)數(shù)，以使預(yù)測(cè)模型更好地適序列趨勢(shì)的變化。 統(tǒng)計(jì)軟件中可以根據(jù)擬合誤差的大小自動(dòng)篩選最優(yōu)的平滑系數(shù)值。,初始預(yù)測(cè)值的確定,初始預(yù)測(cè)值的確定 等于第一個(gè)觀測(cè)值 等于前k個(gè)值的算術(shù)平均 適用場(chǎng)合：?jiǎn)螀?shù)（一次）指數(shù)平滑適用于不包含長(zhǎng)期趨勢(shì)和季節(jié)成分的平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測(cè),案例分析,新衛(wèi)機(jī)械廠銷售額的單參數(shù)指數(shù)平滑預(yù)測(cè) 分析預(yù)測(cè)創(chuàng)建模型方法選擇“指數(shù)平滑”;根據(jù)需要設(shè)置“條件”。 擬合情況與2年的預(yù)測(cè)值（下頁(yè)圖）。 SPSS Statistics 估計(jì)的a=0.689. 擬合數(shù)據(jù)的MAPE=12.847%.,單參數(shù)指數(shù)平滑的圖形結(jié)果,8.2.2 雙參數(shù)指數(shù)平滑,雙參數(shù)指數(shù)平滑包含兩個(gè)平滑參數(shù) 適用于包含長(zhǎng)期趨勢(shì)、不包含季節(jié)成分的時(shí)間序列預(yù)測(cè)。 其基本思想是：首先對(duì)序列選定其隨時(shí)間變化的線性模型，再通過(guò)對(duì)序列水平和增長(zhǎng)量分別進(jìn)行平滑來(lái)估計(jì)模型中的參數(shù)。,雙參數(shù)指數(shù)平滑模型,第一個(gè)平滑方程得到原序列經(jīng)趨勢(shì)調(diào)整的平滑值，第二個(gè)平滑方程是對(duì)增量進(jìn)行指數(shù)平滑。初始值取為:,應(yīng)用實(shí)例,利用指數(shù)平滑法對(duì)我國(guó)人均原油產(chǎn)量（單位：公斤/人）進(jìn)行預(yù)測(cè)。 。 從圖形看具有增長(zhǎng) 趨勢(shì)，可以用雙參數(shù) 指數(shù)平滑法進(jìn)行 預(yù)測(cè)。,應(yīng)用實(shí)例,軟件操作：分析預(yù)測(cè)創(chuàng)建模型方法選擇“指數(shù)平滑”;根據(jù)需要設(shè)置“條件”（選擇Holt線性趨勢(shì)模型） 由SPSS軟件搜索出的最終平滑系數(shù) 、 ，分別為1.00和0.001，預(yù)測(cè)2007-2010年我國(guó)人均原油產(chǎn)量的預(yù)測(cè)值分別為： 141.74 142.56 143.37 144.18,圖形,雙參數(shù)指數(shù)平滑預(yù)測(cè)新衛(wèi)機(jī)械廠的銷售收入,估計(jì)的a=0.018，b=0.000. 歷史數(shù)據(jù)MAPE=9.837%.,預(yù)測(cè)圖形,8.2.3 三參數(shù)指數(shù)平滑,對(duì)于包含季節(jié)變動(dòng)（和長(zhǎng)期趨勢(shì)）的時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)常用溫特（Winter）指數(shù)平滑法。 該法包含三個(gè)平滑系數(shù)，是依據(jù)時(shí)間序列的乘法（或加法）結(jié)構(gòu)模型，在每一步平滑中將原始時(shí)間序列分解成趨勢(shì)成分和季節(jié)成分并對(duì)它們分別進(jìn)行平滑。,三參數(shù)指數(shù)平滑模型,預(yù)測(cè)公式 (L為季節(jié)長(zhǎng)度),例子：銷售額時(shí)間序列,某企業(yè)1990-2002年各月銷售額數(shù)據(jù)。,Example : 銷售額時(shí)間序列的溫特指數(shù)平滑預(yù)測(cè),軟件操作：分析預(yù)測(cè)創(chuàng)建模型方法選擇“指數(shù)平滑”; 設(shè)置“條件”，選擇季節(jié)性模型中的“Winter(冬季）加法或乘法模型），這里選的是乘法模型。 從圖形看擬合效果很好。,Example : 銷售額時(shí)間序列的溫特指數(shù)平滑預(yù)測(cè),8.3 ARIMA模型,8.2.1 平穩(wěn)時(shí)間序列模型 （ARMA模型） 8.2.2 ARIMA模型 ARIMA: Autoregressive Integrated Moving Average,時(shí)間序列的平穩(wěn)性,隨機(jī)時(shí)間序列分析的一個(gè)重要概念是平穩(wěn)性。 時(shí)間序列平穩(wěn)性的直觀含義是指時(shí)間序列沒(méi)有明顯的長(zhǎng)期趨勢(shì)、循環(huán)變動(dòng)和季節(jié)變動(dòng)。 從統(tǒng)計(jì)意義上講，如果序列的一、二階矩存在，而且對(duì)任意時(shí)刻滿足：(1)均值為常數(shù)；(2)協(xié)方差僅與時(shí)間間隔有關(guān)，則稱該序列為寬平穩(wěn)時(shí)間序列，也叫廣義平穩(wěn)時(shí)間序列。,非平穩(wěn)序列 平穩(wěn)序列,時(shí)間序列的平穩(wěn)性（圖形）,是互不相關(guān)的序列，且均值為零，方差 為 （即為白噪聲序列）,一般假定其服從正態(tài)分布。,為零均值平穩(wěn)時(shí)間序列,1 平穩(wěn)時(shí)間序列模型,（1）ARMA模型的基本形式 P階自回歸(Autoregressive)模型AR(p),平穩(wěn)時(shí)間序列模型,滑動(dòng)平均(Moving Average)模型-MA(q) 自回歸滑動(dòng)平均(Autoregressive and Moving Average)模型 ARMA(p,q),一個(gè)模擬的AR(1)序列,一個(gè)模擬的MA(1)序列,有均值項(xiàng)的ARMA模型,對(duì)于均值是否為零未知的情況下，建模時(shí)需要給ARMA模型加上一個(gè)均值項(xiàng)。 AR模型： MA模型 ARMA模型,(2) ARMA模型的識(shí)別與估計(jì),Box-Jenkins 的模型識(shí)別方法： 根據(jù)ACF和PACF確定模型的形式。 自相關(guān)函數(shù)(ACF)描述時(shí)間序列觀測(cè)值與其過(guò)去的觀測(cè)值之間的線性相關(guān)性。 偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)描述在給定中間觀測(cè)值的條件下時(shí)間序列觀測(cè)值與其過(guò)去的觀測(cè)值之間的線性相關(guān)性。,模型（序列） AR(p) MA(q) ARMA(p,q) 自相關(guān)函數(shù) 拖尾 第q個(gè)后截尾 拖尾 偏自相關(guān)函數(shù) 第p個(gè)后截尾 拖尾 拖尾,拖尾是指以指數(shù)率單調(diào)或振蕩衰減， 截尾是指從某個(gè)開(kāi)始非常?。ú伙@著非零）。,Box-Jenkins 的模型識(shí)別方法,Example：一個(gè)零均值時(shí)間序列,下圖圖中橫線為0兩倍標(biāo)準(zhǔn)差，可以判斷ACF和PACF是否顯著非零）?？梢钥闯鯝CF呈拖尾狀，PACF第2個(gè)后截尾，可初步斷定序列適合AR(2)模型。,一個(gè)零均值時(shí)間序列的ACF和PACF,ACF拖尾,PACF截尾,模型階數(shù)的確定,對(duì)于AR或MA模型，利用ACF和PACF判定模型類型的同時(shí)也就初步斷定了模型的階數(shù)。 對(duì)于ARMA模型來(lái)說(shuō)，用ACF和PACF判定其階次有一定的困難。此時(shí)可以借助于下面介紹的信息準(zhǔn)則。,模型階數(shù)的確定（ARMA）*,實(shí)際中常用的準(zhǔn)則函數(shù)是AIC信息準(zhǔn)則和BIC信息準(zhǔn)則（也稱為Schwarz信息準(zhǔn)則，記為SIC），使準(zhǔn)則函數(shù)達(dá)到極小的是最佳模型。 是對(duì)序列擬合ARMA（p,q）模型的殘差方差，N為觀測(cè)值的個(gè)數(shù)。相對(duì)于AIC信息準(zhǔn)則，BIC信息準(zhǔn)則更多的考慮了模型的參數(shù)個(gè)數(shù)。 ,ARMA模型的參數(shù)估計(jì),對(duì)時(shí)間序列所適合的ARMA模型進(jìn)行初步識(shí)別后，接下來(lái)就需要估計(jì)出其中的參數(shù)，以便進(jìn)一步識(shí)別和應(yīng)用模型。 主要的參數(shù)估計(jì)方法有矩估計(jì)法、最小二乘估計(jì)法和極大似然估計(jì)法等，一般都由計(jì)算機(jī)軟件實(shí)現(xiàn)，這里不作介紹。,（3）ARMA模型的適應(yīng)性檢驗(yàn),模型的適應(yīng)性檢驗(yàn)主要是殘差序列的獨(dú)立性檢驗(yàn)。殘差序列可由估計(jì)出來(lái)的模型計(jì)算得到。如果殘差序列的自相關(guān)函數(shù)不顯著非零，可以認(rèn)為是獨(dú)立的。,例1：AR模型,對(duì)前面例子，由SPSS可以得到參數(shù)估計(jì)，模型表達(dá)式為： 括號(hào)中為參數(shù)的t檢驗(yàn)值，各參數(shù)都是顯著的。,例1：AR模型,由下圖可以看出殘差不存在顯著的自相關(guān)性，可以認(rèn)為是獨(dú)立的，因而模型是適應(yīng)的。,例2：MA模型,根據(jù)某化學(xué)過(guò)程讀數(shù)擬合ARMA模型。,例2：MA模型,ACF PACF 根據(jù)ACF可以嘗試MA(2)模型 根據(jù)PACF可以嘗試AR(1)模型,MA(2)模型,模型的正態(tài)化的BIC=4.969 R2=0.179,MA(2)的擬合效果圖,殘差自相關(guān)圖（MA(2)模型）,根據(jù)殘差自相關(guān)圖判斷MA(2)模型是適合的。,建立AR(1)模型的結(jié)果,也就是 模型的正態(tài)化的BIC=4.91；R2=0.166 根據(jù)BIC分析 AR(1)要好一點(diǎn)。,AR（1)的擬合效果圖,殘差自相關(guān)圖（AR(1)模型）,根據(jù)殘差自相關(guān)圖判斷AR(1)模型是適合的。,8.2.2 ARIMA模型,在實(shí)際問(wèn)題中我們常遇到的序列，特別是反映社會(huì)、經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的序列，大多數(shù)并不平穩(wěn)，而是呈現(xiàn)出明顯的趨勢(shì)性或季節(jié)性。 對(duì)于有趨勢(shì)性時(shí)間序列通常采用ARIMA模型進(jìn)行分析。 對(duì)于有季節(jié)性的時(shí)間序列可以采用乘積季節(jié)ARIMA模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。由于這類模型比較復(fù)雜，本課程不做介紹。,差分（Difference)運(yùn)算,ARIMA模型需要用到差分工具。用原序列的每一個(gè)觀測(cè)值減去其前面的一個(gè)觀測(cè)值，就形成原序列的一階差分序列： 對(duì)一階差分后的序列再進(jìn)行一次差分運(yùn)算，稱為二階差分。,差分（Difference)運(yùn)算,一階差分可以消除原序列存在的線性趨勢(shì)。有時(shí)候需要進(jìn)行高階差分才能夠使得變換后的時(shí)間序列平穩(wěn)。 大部分經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列進(jìn)行一階或二階差分后都可以變?yōu)槠椒€(wěn)序列。 對(duì)有季節(jié)性的時(shí)間序列，進(jìn)行季節(jié)差分（當(dāng)年的可以消除季節(jié)成分：,ARIMA模型,一般地，如果d階差分序列 是平穩(wěn)的，并且適合ARMA（p,q）模型，即 也就是 因?yàn)榍蠛褪遣罘诌\(yùn)算的反運(yùn)算，所以該模型稱為求和自回歸滑動(dòng)平均模型，記為 ARIMA（p,d,q）。,該序列有增長(zhǎng)的趨勢(shì)，首先對(duì)其進(jìn)行一階差分，原序列及一階差分后序列如圖所示。,Example8.4：某中部省會(huì)城市房地產(chǎn)價(jià)格數(shù)據(jù),ARIMA模型例子,差分后序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)如下圖所示?？梢钥闯鯝CF第一個(gè)后截尾，PACF呈拖尾狀，初步判定差分后序列適合MA(1)模型，即原序列適合ARIMA(0,1,1)模型。,由SPSS得到參數(shù)估計(jì),BIC=10.763,模型的殘差自相關(guān),下圖為殘差序列的自相關(guān)函數(shù)，可以認(rèn)為是獨(dú)立的，對(duì)房地產(chǎn)價(jià)格數(shù)據(jù)建立的ARIMA(0,1,1)模型是適應(yīng)的。,利用該模型可以對(duì)房地產(chǎn)價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)，下圖是實(shí)際值、擬合值以及預(yù)測(cè)值圖示。,實(shí)際值、擬合值以及預(yù)測(cè)值圖示,ARIMA(1,1,0)模型,BIC=10.838，略高于ARIMA(0,1,1)。,模型的殘差自相關(guān)（ARIMA(1,1,0),下圖為殘差序列的自相關(guān)函數(shù)，可以認(rèn)為是獨(dú)立的，對(duì)房地產(chǎn)價(jià)格數(shù)據(jù)建立的ARIMA(1，1，0)模型是適應(yīng)的。,ARIMA(1,1,0)模型。,實(shí)際值、擬合值以及預(yù)測(cè)值圖示,SPSS Statistics 可以自動(dòng)選擇p, d, p的值,在實(shí)際應(yīng)用中，可以讓SPSS 軟件根據(jù)設(shè)定的規(guī)則自動(dòng)篩選“最優(yōu)”的模型。 在“方法”中選擇“專家建模器”，在“條件”中選擇ARIMA模型。 在例8.4中， 不指定p d q的值，SPSS Statistics 選擇的是ARIMA(0,1,1)模型。,時(shí)間序列預(yù)測(cè)的一個(gè)基本假設(shè)是：現(xiàn)象在過(guò)去的發(fā)展趨