二次曲面.ppt

第11章 多元函數(shù)微分法 11-0 平面及其方程 .二次曲面,知識(shí)邏輯關(guān)系圖,二次曲面定義,柱面坐標(biāo)如何表示空間區(qū)域,球面坐標(biāo)如何表示空間區(qū)域,重點(diǎn)：常見曲面方程 難點(diǎn)：曲面圍成的空間區(qū)域在坐標(biāo)面投影,復(fù)習(xí)： 1、平面一般式方程,2、直線方程一般式方程,求到兩定點(diǎn)A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的,化簡(jiǎn)得,即,引例:,解:設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為,軌跡方程.,一、二次曲面,定義.,如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系:,(1) 曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;,則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形.,(2) 不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,故所求方程為,求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn),特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為,設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為,即,依題意,距離為 R 的軌跡,表示上(下)球面 .,（一）球面,例. 研究方程,解: 配方得,此方程表示:,說明:,如下形式的三元二次方程 ( A 0 ),都可通過配方研究它的圖形.,其圖形可能是,的曲面.,表示怎樣,半徑為,的球面.,球心為,一個(gè)球面, 或點(diǎn), 或虛軌跡.,P(x,y,z),如果定直線為z軸，討論此柱面的方程？,柱面上任取一點(diǎn)P(x,y,z) 沿母線與xoy平面交點(diǎn)P(x,y,0),P(x,y,0),P(x,y,0)在準(zhǔn)線上，從而柱面上 任一點(diǎn)P的坐標(biāo)均滿足方程 F(x,y)=0.,準(zhǔn)線C方程,柱面方程：F(x,y)=0,定義.,平行定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 l 形成,的軌跡叫做柱面.,C 叫做準(zhǔn)線, l 叫做母線.,（二）柱面,一般地,在三維空間,柱面,柱面,平行于 x 軸;,平行于 y 軸;,平行于 z 軸;,準(zhǔn)線 xoz 面上的曲線 l3.,母線,柱面,準(zhǔn)線 xoy 面上的曲線 l1.,母線,準(zhǔn)線 yoz 面上的曲線 l2.,母線,例. 分析方程,表示怎樣的曲面 .,解:，,表示準(zhǔn)線為xoy面的圓C,圓柱面.,母線平行于z軸,表示拋物柱面,母線平行于 z 軸;,準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線.,z 軸的平面.,表示母線平行于,(且 z 軸在平面上),定義. 一條平面曲線,（三）旋轉(zhuǎn)曲面,繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn),一周,所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.,該定直線稱為旋轉(zhuǎn),軸 .,例如 :,建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:,故旋轉(zhuǎn)曲面方程為,當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若點(diǎn),給定 yoz 面上曲線 C:,則有,則有,該點(diǎn)轉(zhuǎn)到,思考：當(dāng)曲線 C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？,例1. 試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn), 旋轉(zhuǎn)軸為z 軸, 半頂角為,的圓錐面方程.,解: 在yoz面上直線L 的方程為,繞z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為,兩邊平方,例2. 求 xoz面上的雙曲線,分別繞 x軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周,所生成旋轉(zhuǎn)曲面方程.,解:繞 x 軸旋轉(zhuǎn),繞 z 軸旋轉(zhuǎn),叫做單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面.,所成曲面方程為,所成曲面方程為,叫做雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面.,例3,解,由于高度不變,故所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為,空間曲線的一般方程,1、空間曲線的一般方程 空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.,二、空間曲線的一般方程,注：表示同一條曲線的方程不唯一。,例2 方程組 表示怎樣的曲線？,解,表示圓柱面，,表示平面，,交線為橢圓.,例1 柱面 f(x,y)=0的準(zhǔn)線方程：,例3 方程組 表示怎樣的曲線？,解,上半球面,圓柱面,交線如圖.,(2),(1),練習(xí),空間曲線的向量函數(shù)表示,空間曲線的參數(shù)方程,螺旋線的參數(shù)方程,取時(shí)間t為參數(shù)，,解,例. 將下列曲線化為參數(shù)方程表示:,解: (1),根據(jù)第一方程引入?yún)?shù) ,(2) 將第二方程變形為,故所求為,得所求為,例. 求空間曲線 :,繞 z 軸旋轉(zhuǎn),時(shí)的旋轉(zhuǎn)曲面方程 .,解:,點(diǎn) M1繞 z 軸旋轉(zhuǎn),轉(zhuǎn)過角度 后到點(diǎn),則,這就是旋轉(zhuǎn)曲面滿足的參數(shù)方程 .,例如, 直線,繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為,消去 t 和 , 得旋轉(zhuǎn)曲面方程為,繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面 ( 即球面 ) 方程為,又如, xoz 面上的半圓周,說明: 一般曲面的參數(shù)方程含兩個(gè)參數(shù) , 形如,三、畫二次曲面的截痕法,三元二次方程,畫二次曲面的基本方法: 截痕法,基本類型:,橢球面、拋物面、雙曲面、錐面,的圖形通常為二次曲面.,(二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 ),例 方程 的圖形是怎樣的？,根據(jù)題意有,圖形上不封頂，下封底,解,最底點(diǎn)（1，2，-1）,1. 橢圓錐面,橢圓,在平面 x0 或 y0 上的 截痕為過原點(diǎn)的直線 .,2.橢球面,橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線：,圖形有界，并且關(guān)于坐標(biāo)面對(duì)稱。,橢球面的幾種特殊情況：,旋轉(zhuǎn)橢球面,由橢圓 繞 軸旋轉(zhuǎn)而成,方程可寫為,球面,方程可寫為,3.單葉雙曲面,橢圓.,時(shí), 截痕為,(實(shí)軸平行于x 軸；,虛軸平行于z 軸）,雙曲線:,y,o,z,雙曲線:,3),x,4. 雙葉雙曲面,雙曲線,橢圓,雙曲線,假如將方程中的1換為0，得到橢圓錐面的方程,則稱雙曲面漸近于這個(gè)錐面,(1)與平面 的交線為橢圓.,（2）用坐標(biāo)面 與曲面相截 截得拋物線,與平面 y=k的交線為拋物線,x,y,z,o,5.橢圓拋物面,（3）用坐標(biāo)面 與曲面相截,截得拋物線.,橢圓拋物面的圖形如下：,特殊地：當(dāng) 時(shí)，方程變?yōu)?旋轉(zhuǎn)拋物面,6.雙曲拋物面（馬鞍面）,o,內(nèi)容小結(jié),1. 空間曲面,三元方程,球面,旋轉(zhuǎn)曲面,如, 曲線,繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲面:,柱面,如,曲面,表示母線平行 z 軸的柱面.,又如,橢圓柱面, 雙曲柱面, 拋物柱面等 .,2. 二次曲面,三元二次方程,橢球面,拋物面:,橢圓拋物面,雙曲拋物面,雙曲面:,單葉雙曲面,雙葉雙曲面,橢圓錐面:,拋物線,平面解析幾何中,空間解析幾何中,方 程,平行于 y 軸的直線,平行于 yoz 面的平面,圓心在(0,0),半徑為 3 的圓,以 z 軸為中心軸的 圓柱面,母線平行 y 軸的拋物柱面,練習(xí),指出下列方程的圖形:,四、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影,設(shè)空間曲線 C 的一般方程為,消去 z 得投影柱面,則C 在xoy 面上的投影曲線 C為,消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲線方程,消去y 得C 在zox 面上的投影曲線方程,例,在xoy 面上的投影曲線方程為,消Z得過曲線C的投影柱面方程為：,如圖:投影曲線的研究過程.,空間曲線,投影曲線,投影柱面,五、 空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影.,空間立體,曲面,所圍的立體在 xoy 面上的投影區(qū)域:,例求上半球面,和錐面,xoy 面上的投影曲線,解先求二者交線,所圍圓域:,求下列空間區(qū)域在坐標(biāo)面的投影,1),所圍立體區(qū)域,（2）,3)：z0,x2+y2+z2=R2 , x2+y2=z2所圍。,(5