(免費(fèi)資料)2004年數(shù)學(xué)四試題分析、詳解和評(píng)注_數(shù)一至數(shù)四真題+詳解

2004年數(shù)學(xué)四試題分析、詳解和評(píng)注一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）(1) 若，則a =，b =.【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問(wèn)題.【詳解】因?yàn)?，且，所以，得a = 1. 極限化為，得b = -4.因此，a = 1，b = -4.【評(píng)注】一般地，已知 A ，(1) 若g(x) 0，則f (x) 0；(2) 若f (x) 0，且A 0，則g(x) 0.完全類似的例題見(jiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P36例1.60，P43第1(3)題，P44第2(10)題、第6題，數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集P19例1.34，數(shù)學(xué)四臨考演習(xí)P79第7題，考研數(shù)學(xué)大串講P12例17、19.(2) 設(shè)，則.【分析】本題為基礎(chǔ)題型，先求導(dǎo)函數(shù)即可.【詳解】因?yàn)?，所以?【評(píng)注】 本題屬基本題型，主要考查復(fù)合函數(shù)求導(dǎo).類似例題在一般教科書(shū)上均可找到. (3) 設(shè)，則.【分析】本題屬于求分段函數(shù)的定積分，先換元：x - 1 = t，再利用對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)即可.【詳解】令x - 1 = t， .【評(píng)注】一般地，對(duì)于分段函數(shù)的定積分，按分界點(diǎn)劃分積分區(qū)間進(jìn)行求解. 完全類似的例題見(jiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P96例4.17，數(shù)學(xué)四臨考演習(xí)P61第2題，P68第15題，考研數(shù)學(xué)大串講P41例14.（4） 設(shè)，其中為三階可逆矩陣,則【分析】 將的冪次轉(zhuǎn)化為的冪次, 并注意到為對(duì)角矩陣即得答案.【詳解】因?yàn)? .故 , .【評(píng)注】本題是對(duì)矩陣高次冪運(yùn)算的考查 完全類似的例題可見(jiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.291例2.13.(5) 設(shè)是實(shí)正交矩陣，且，則線性方程組的解是【分析】利用正交矩陣的性質(zhì)即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?, 而且是實(shí)正交矩陣, 于是 , 的每一個(gè)行(列)向量均為單位向量, 所以 .【評(píng)注】本題主要考查正交矩陣的性質(zhì)和矩陣的運(yùn)算 類似的例題可見(jiàn)考研數(shù)學(xué)大串講(2002版, 世界圖書(shū)出版公司) P.174例33.(6) 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 則 .【分析】 根據(jù)指數(shù)分布的分布函數(shù)和方差立即得正確答案.【詳解】 由于, 的分布函數(shù)為故.【評(píng)注】本題是對(duì)重要分布, 即指數(shù)分布的考查, 屬基本題型.二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）(7) 函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界.(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). A 【分析】如f (x)在(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在(a , b)內(nèi)有界.【詳解】當(dāng)x 0 , 1 , 2時(shí)，f (x)連續(xù)，而，所以，函數(shù)f (x)在(-1 , 0)內(nèi)有界，故選(A).【評(píng)注】一般地，如函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a , b上連續(xù)，則f (x)在閉區(qū)間a , b上有界；如函數(shù)f (x)在開(kāi)區(qū)間(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在開(kāi)區(qū)間(a , b)內(nèi)有界.完全類似的例題見(jiàn)數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集P4例1.10，數(shù)學(xué)四臨考演習(xí)P51第15題.(8) 設(shè)f (x)在(- , +)內(nèi)有定義，且，則(A) x = 0必是g(x)的第一類間斷點(diǎn).(B) x = 0必是g(x)的第二類間斷點(diǎn).(C) x = 0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn).(D) g(x)在點(diǎn)x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān). D 【分析】考查極限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通過(guò)換元，可將極限轉(zhuǎn)化為.【詳解】因?yàn)? a(令)，又g(0) = 0，所以，當(dāng)a = 0時(shí)，即g(x)在點(diǎn)x = 0處連續(xù)，當(dāng)a 0時(shí)，即x = 0是g(x)的第一類間斷點(diǎn)，因此，g(x)在點(diǎn)x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)，故選(D).【評(píng)注】本題屬于基本題型，主要考查分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性.完全類似的例題見(jiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P41例1.70，數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集P20例1.35.(9) 設(shè)f (x) = |x(1 - x)|，則(A) x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，但(0 , 0)不是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(B) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，但(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(C) x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，且(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(D) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，(0 , 0)也不是曲線y = f (x)的拐點(diǎn). C 【分析】由于f (x)在x = 0處的一、二階導(dǎo)數(shù)不存在，可利用定義判斷極值情況，考查f (x)在x = 0的左、右兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，判斷拐點(diǎn)情況.【詳解】設(shè)0 d 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)的極小值點(diǎn).顯然，x = 0是f (x)的不可導(dǎo)點(diǎn). 當(dāng)x (-d , 0)時(shí)，f (x) = -x(1 - x)，當(dāng)x (0 , d)時(shí)，f (x) = x(1 - x)，所以(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).故選(C).【評(píng)注】對(duì)于極值情況，也可考查f (x)在x = 0的某空心鄰域內(nèi)的一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷.完全類似的例題見(jiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P141例6.9，考研數(shù)學(xué)大串講P96例5.(10) 設(shè)，則(A) F(x)在x = 0點(diǎn)不連續(xù).(B) F(x)在(- , +)內(nèi)連續(xù)，但在x = 0點(diǎn)不可導(dǎo).(C) F(x)在(- , +)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足.(D) F(x)在(- , +)內(nèi)可導(dǎo)，但不一定滿足. B 【分析】先求分段函數(shù)f (x)的變限積分，再討論函數(shù)F(x)的連續(xù)性與可導(dǎo)性即可.【詳解】當(dāng)x 0時(shí)，當(dāng)x = 0時(shí)，F(xiàn)(0) = 0. 即F(x) = |x|，顯然，F(xiàn)(x)在(- , +)內(nèi)連續(xù)，但在x = 0點(diǎn)不可導(dǎo). 故選(B).【評(píng)注】本題主要考查求分段函數(shù)的變限積分. 對(duì)于絕對(duì)值函數(shù)：在處不可導(dǎo)；f (x) =在處有n階導(dǎo)數(shù)，則.完全類似的例題見(jiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P95例4.15，考研數(shù)學(xué)大串講P42例15.(11) 設(shè)在a , b上連續(xù)，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(A) 至少存在一點(diǎn)，使得 f (a).(B) 至少存在一點(diǎn)，使得 f (b).(C) 至少存在一點(diǎn)，使得.(D) 至少存在一點(diǎn)，使得= 0. D 【分析】利用介值定理與極限的保號(hào)性可得到三個(gè)正確的選項(xiàng)，由排除法可選出錯(cuò)誤選項(xiàng).【詳解】首先，由已知在a , b上連續(xù)，且，則由介值定理，至少存在一點(diǎn)，使得；另外，由極限的保號(hào)性，至少存在一點(diǎn)使得，即. 同理，至少存在一點(diǎn)使得. 所以，(A) (B) (C)都正確，故選(D).【評(píng)注】 本題綜合考查了介值定理與極限的保號(hào)性，有一定的難度.完全類似的例題見(jiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P130例5.8，數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集P70例5.4.(12) 設(shè)階矩陣與等價(jià), 則必須(A) 當(dāng)時(shí), . (B) 當(dāng)時(shí), .(C) 當(dāng)時(shí), . (D) 當(dāng)時(shí), . D 【分析】 利用矩陣與等價(jià)的充要條件: 立即可得.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí), , 又與等價(jià), 故, 即, 從而選 (D). 【評(píng)注】本題是對(duì)矩陣等價(jià)、行列式的考查, 屬基本題型. 相關(guān)知識(shí)要點(diǎn)見(jiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.284-286.(13) 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布, 對(duì)給定的, 數(shù)滿足, 若, 則等于(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性和幾何意義即得.【詳解】 由, 以及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可得.故正確答案為(B).【評(píng)注】本題是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì), 嚴(yán)格地說(shuō)它的上分位數(shù)概念的考查. 見(jiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.489分位數(shù)概念的注釋.(14) 設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，且方差令隨機(jī)變量， 則(A) (B) (C) (D) C 【分析】 利用協(xié)方差的性質(zhì)立即得正確答案.【詳解】 由于隨機(jī)變量獨(dú)立同分布, 于是可得 .故正確答案為(C).【評(píng)注】本題是對(duì)協(xié)方差性質(zhì)的考查, 屬于基本題. 相關(guān)知識(shí)點(diǎn)見(jiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.454, 類似的例題可見(jiàn)2004文登模擬試題數(shù)三的第一套第23題.三、解答題(本題共9小題，滿分94分. 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)(15) (本題滿分8分)求.【分析】先通分化為“”型極限，再利用等價(jià)無(wú)窮小與羅必達(dá)法則求解即可.【詳解】 =. .【評(píng)注】本題屬于求未定式極限的基本題型，對(duì)于“”型極限，應(yīng)充分利用等價(jià)無(wú)窮小替換來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算.完全類似的例題見(jiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P28例1.45.(16) (本題滿分8分)求，其中D是由圓和所圍成的平面區(qū)域(如圖).【分析】首先，將積分區(qū)域D分為大圓減去小圓，再利用對(duì)稱性與極坐標(biāo)計(jì)算即可.【詳解】令，由對(duì)稱性，.所以，.【評(píng)注】本題屬于在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的基本題型，對(duì)于二重積分，經(jīng)常利用對(duì)稱性及將一個(gè)復(fù)雜區(qū)域劃分為兩個(gè)或三個(gè)簡(jiǎn)單區(qū)域來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算.完全類似的例題見(jiàn)數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集P101例8.12(1)，數(shù)學(xué)四臨考演習(xí)P16第17題，考研數(shù)學(xué)大串講P79例2.(17) (本題滿分8分)設(shè)f (u , v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足.求所滿足的一階微分方程，并求其通解.【分析】先求，利用已知關(guān)系，可得到關(guān)于y的一階微分方程.【詳解】，因此，所求的一階微分方程為.解得 (C為任意常數(shù)).【評(píng)注】 本題綜合了復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)與微分方程，但是，求偏導(dǎo)數(shù)與解微分方程都是基本題型.完全類似的例題見(jiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P243例11.11，數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集P95例7.13、例7.14，數(shù)學(xué)四臨考演習(xí)P3第16題，考研數(shù)學(xué)大串講P76例14.(18) (本題滿分9分)設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q = 100 - 5P，其中價(jià)格P (0 , 20)，Q為需求量.(I) 求需求量對(duì)價(jià)格的彈性( 0)；(II) 推導(dǎo)(其中R為收益)，并用彈性說(shuō)明價(jià)格在何范圍內(nèi)變化時(shí)，降低價(jià)格反而使收益增加.【分析】由于 0，所以；由Q = PQ及可推導(dǎo).【詳解】(I) .(II) 由R = PQ，得.又由，得P = 10.當(dāng)10 P 1，于是，故當(dāng)10 P 0時(shí)，需求量對(duì)價(jià)格的彈性公式為.利用需求彈性分析收益的變化情況有以下四個(gè)常用的公式：，(收益對(duì)價(jià)格的彈性).這些公式在文登學(xué)校輔導(dǎo)材料系列之五數(shù)學(xué)應(yīng)用專題(經(jīng)濟(jì)類)有詳細(xì)的總結(jié).完全類似的例題見(jiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P255例12.4，數(shù)學(xué)應(yīng)用專題(經(jīng)濟(jì)類)P2.(19) (本題滿分9分)設(shè)，S表示夾在x軸與曲線y = F(x)之間的面積. 對(duì)任何t 0，表示矩形-t x t，0 y F(t)的面積. 求(I) S(t) = S -的表達(dá)式；(II) S(t)的最小值.【分析】曲線y = F(x)關(guān)于y軸對(duì)稱，x軸與曲線y = F(x)圍成一無(wú)界區(qū)域，所以，面積S可用廣義積分表示.【詳解】(I) ，因此，t (0 , +).(II) 由于，故S(t)的唯一駐點(diǎn)為，又，所以，為極小值，它也是最小值.【評(píng)注】本題綜合了面積問(wèn)題與極值問(wèn)題，但這兩問(wèn)題本身并不難，屬于基本題型.完全類似的例題見(jiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P143例6.13，數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集P80例6.11.(20) (本題滿分13分)設(shè)線性方程組已知是該方程組的一個(gè)解，試求() 方程組的全部解，并用對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系表示全部解；() 該方程組滿足的全部解【分析】 含未知參數(shù)的線性方程組的求解, 當(dāng)系數(shù)矩陣為非方陣時(shí)一般用初等行變換法化增廣矩陣為階梯形, 然后對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論. 由于本題已知了方程組的一個(gè)解, 于是可先由它來(lái)(部分)確定未知參數(shù).【詳解】將代入方程組，得對(duì)方程組的增廣矩陣施以初等行變換, 得，()當(dāng)時(shí)，有，故方程組有無(wú)窮多解，且為其一個(gè)特解，對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為 ，故方程組的全部解為 (為任意常數(shù))當(dāng)時(shí)，有 ，故方程組有無(wú)窮多解，且為其一個(gè)特解，對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為 ，,故方程組的全部解為 (為任意常數(shù))() 當(dāng)時(shí)，由于，即 ，解得，故方程組的解為 當(dāng)時(shí)，由于，即 ，解得，故方程組的全部解為 ，(為任意常數(shù))【評(píng)注】：(1) 含未知參數(shù)的線性方程組的求解是歷年考試的重點(diǎn), 幾乎年年考, 務(wù)必很好掌握. 完全類似的例題可見(jiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.341例4.9, 考研數(shù)學(xué)大串講(2002版, 世界圖書(shū)出版公司)P.161例10, 以及文登數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班上講授的例子.(2) 對(duì)于題(), 實(shí)際上就是在原來(lái)方程組中增加一個(gè)方程, 此時(shí)新的方程組當(dāng)時(shí)有惟一解, 當(dāng)時(shí)有無(wú)窮多解.(3) 在題()中，當(dāng)時(shí)，解得，方程組的全部解也可以表示為，(為任意常數(shù))(21) (本題滿分13分) 設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的秩為2，是的二重特征值若, , , 都是的屬于特征值6的特征向量() 求的另一特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量；() 求矩陣 【分析】 由矩陣的秩為2, 立即可得的另一特征值為0. 再由實(shí)對(duì)稱矩陣不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量正交可得相應(yīng)的特征向量, 此時(shí)矩陣也立即可得.【詳解】() 因?yàn)槭堑亩靥卣髦担实膶儆谔卣髦?的線性無(wú)關(guān)的特征向量有2個(gè)由題設(shè)知，為的屬于特征值6的線性無(wú)關(guān)特征向量又的秩為2，于是，所以的另一特征值設(shè)所對(duì)應(yīng)的特征向量為，則有，即 得基礎(chǔ)解系為，故的屬于特征值全部特征向量為 (為任意不為零的常數(shù))() 令矩陣，則，所以 【評(píng)注】 這是一個(gè)有關(guān)特征值和特征向量的逆問(wèn)題, 即已知矩陣的部分特征值和特征向量, 要求另一部分特征值, 特征向量和矩陣. 這在歷年考研題中還是首次出現(xiàn)但幾乎原題可見(jiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.362例5.8, 考研數(shù)學(xué)大串講(2002版, 世界圖書(shū)出版公司)P.186例15和例16, 以及文登數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班上講授的例子.(22) (本題滿分13分)設(shè),為兩個(gè)隨機(jī)事件,且, , , 令 求() 二維隨機(jī)變量的概率分布;() 與的相關(guān)系數(shù) ; () 的概率分布. 【分析】