(免費資料)2004年數(shù)學四試題分析、詳解和評注_數(shù)一至數(shù)四真題+詳解

2004年數(shù)學四試題分析、詳解和評注一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）(1) 若，則a =，b =.【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題.【詳解】因為，且，所以，得a = 1. 極限化為，得b = -4.因此，a = 1，b = -4.【評注】一般地，已知 A ，(1) 若g(x) 0，則f (x) 0；(2) 若f (x) 0，且A 0，則g(x) 0.完全類似的例題見數(shù)學復(fù)習指南P36例1.60，P43第1(3)題，P44第2(10)題、第6題，數(shù)學題型集粹與練習題集P19例1.34，數(shù)學四臨考演習P79第7題，考研數(shù)學大串講P12例17、19.(2) 設(shè)，則.【分析】本題為基礎(chǔ)題型，先求導(dǎo)函數(shù)即可.【詳解】因為，所以，.【評注】 本題屬基本題型，主要考查復(fù)合函數(shù)求導(dǎo).類似例題在一般教科書上均可找到. (3) 設(shè)，則.【分析】本題屬于求分段函數(shù)的定積分，先換元：x - 1 = t，再利用對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)即可.【詳解】令x - 1 = t， .【評注】一般地，對于分段函數(shù)的定積分，按分界點劃分積分區(qū)間進行求解. 完全類似的例題見數(shù)學復(fù)習指南P96例4.17，數(shù)學四臨考演習P61第2題，P68第15題，考研數(shù)學大串講P41例14.（4） 設(shè)，其中為三階可逆矩陣,則【分析】 將的冪次轉(zhuǎn)化為的冪次, 并注意到為對角矩陣即得答案.【詳解】因為, .故 , .【評注】本題是對矩陣高次冪運算的考查 完全類似的例題可見數(shù)學復(fù)習指南P.291例2.13.(5) 設(shè)是實正交矩陣，且，則線性方程組的解是【分析】利用正交矩陣的性質(zhì)即可得結(jié)果.【詳解】因為 , 而且是實正交矩陣, 于是 , 的每一個行(列)向量均為單位向量, 所以 .【評注】本題主要考查正交矩陣的性質(zhì)和矩陣的運算 類似的例題可見考研數(shù)學大串講(2002版, 世界圖書出版公司) P.174例33.(6) 設(shè)隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 則 .【分析】 根據(jù)指數(shù)分布的分布函數(shù)和方差立即得正確答案.【詳解】 由于, 的分布函數(shù)為故.【評注】本題是對重要分布, 即指數(shù)分布的考查, 屬基本題型.二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）(7) 函數(shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界.(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). A 【分析】如f (x)在(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在(a , b)內(nèi)有界.【詳解】當x 0 , 1 , 2時，f (x)連續(xù)，而，所以，函數(shù)f (x)在(-1 , 0)內(nèi)有界，故選(A).【評注】一般地，如函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a , b上連續(xù)，則f (x)在閉區(qū)間a , b上有界；如函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)有界.完全類似的例題見數(shù)學題型集粹與練習題集P4例1.10，數(shù)學四臨考演習P51第15題.(8) 設(shè)f (x)在(- , +)內(nèi)有定義，且，則(A) x = 0必是g(x)的第一類間斷點.(B) x = 0必是g(x)的第二類間斷點.(C) x = 0必是g(x)的連續(xù)點.(D) g(x)在點x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān). D 【分析】考查極限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通過換元，可將極限轉(zhuǎn)化為.【詳解】因為= a(令)，又g(0) = 0，所以，當a = 0時，即g(x)在點x = 0處連續(xù)，當a 0時，即x = 0是g(x)的第一類間斷點，因此，g(x)在點x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)，故選(D).【評注】本題屬于基本題型，主要考查分段函數(shù)在分界點處的連續(xù)性.完全類似的例題見數(shù)學復(fù)習指南P41例1.70，數(shù)學題型集粹與練習題集P20例1.35.(9) 設(shè)f (x) = |x(1 - x)|，則(A) x = 0是f (x)的極值點，但(0 , 0)不是曲線y = f (x)的拐點.(B) x = 0不是f (x)的極值點，但(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點.(C) x = 0是f (x)的極值點，且(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點.(D) x = 0不是f (x)的極值點，(0 , 0)也不是曲線y = f (x)的拐點. C 【分析】由于f (x)在x = 0處的一、二階導(dǎo)數(shù)不存在，可利用定義判斷極值情況，考查f (x)在x = 0的左、右兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)的符號，判斷拐點情況.【詳解】設(shè)0 d 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)的極小值點.顯然，x = 0是f (x)的不可導(dǎo)點. 當x (-d , 0)時，f (x) = -x(1 - x)，當x (0 , d)時，f (x) = x(1 - x)，所以(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點.故選(C).【評注】對于極值情況，也可考查f (x)在x = 0的某空心鄰域內(nèi)的一階導(dǎo)數(shù)的符號來判斷.完全類似的例題見數(shù)學復(fù)習指南P141例6.9，考研數(shù)學大串講P96例5.(10) 設(shè)，則(A) F(x)在x = 0點不連續(xù).(B) F(x)在(- , +)內(nèi)連續(xù)，但在x = 0點不可導(dǎo).(C) F(x)在(- , +)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足.(D) F(x)在(- , +)內(nèi)可導(dǎo)，但不一定滿足. B 【分析】先求分段函數(shù)f (x)的變限積分，再討論函數(shù)F(x)的連續(xù)性與可導(dǎo)性即可.【詳解】當x 0時，當x = 0時，F(xiàn)(0) = 0. 即F(x) = |x|，顯然，F(xiàn)(x)在(- , +)內(nèi)連續(xù)，但在x = 0點不可導(dǎo). 故選(B).【評注】本題主要考查求分段函數(shù)的變限積分. 對于絕對值函數(shù)：在處不可導(dǎo)；f (x) =在處有n階導(dǎo)數(shù)，則.完全類似的例題見數(shù)學復(fù)習指南P95例4.15，考研數(shù)學大串講P42例15.(11) 設(shè)在a , b上連續(xù)，且，則下列結(jié)論中錯誤的是(A) 至少存在一點，使得 f (a).(B) 至少存在一點，使得 f (b).(C) 至少存在一點，使得.(D) 至少存在一點，使得= 0. D 【分析】利用介值定理與極限的保號性可得到三個正確的選項，由排除法可選出錯誤選項.【詳解】首先，由已知在a , b上連續(xù)，且，則由介值定理，至少存在一點，使得；另外，由極限的保號性，至少存在一點使得，即. 同理，至少存在一點使得. 所以，(A) (B) (C)都正確，故選(D).【評注】 本題綜合考查了介值定理與極限的保號性，有一定的難度.完全類似的例題見數(shù)學復(fù)習指南P130例5.8，數(shù)學題型集粹與練習題集P70例5.4.(12) 設(shè)階矩陣與等價, 則必須(A) 當時, . (B) 當時, .(C) 當時, . (D) 當時, . D 【分析】 利用矩陣與等價的充要條件: 立即可得.【詳解】因為當時, , 又與等價, 故, 即, 從而選 (D). 【評注】本題是對矩陣等價、行列式的考查, 屬基本題型. 相關(guān)知識要點見數(shù)學復(fù)習指南P.284-286.(13) 設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布, 對給定的, 數(shù)滿足, 若, 則等于(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 利用標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性和幾何意義即得.【詳解】 由, 以及標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得.故正確答案為(B).【評注】本題是對標準正態(tài)分布的性質(zhì), 嚴格地說它的上分位數(shù)概念的考查. 見數(shù)學復(fù)習指南P.489分位數(shù)概念的注釋.(14) 設(shè)隨機變量獨立同分布，且方差令隨機變量， 則(A) (B) (C) (D) C 【分析】 利用協(xié)方差的性質(zhì)立即得正確答案.【詳解】 由于隨機變量獨立同分布, 于是可得 .故正確答案為(C).【評注】本題是對協(xié)方差性質(zhì)的考查, 屬于基本題. 相關(guān)知識點見數(shù)學復(fù)習指南P.454, 類似的例題可見2004文登模擬試題數(shù)三的第一套第23題.三、解答題(本題共9小題，滿分94分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15) (本題滿分8分)求.【分析】先通分化為“”型極限，再利用等價無窮小與羅必達法則求解即可.【詳解】 =. .【評注】本題屬于求未定式極限的基本題型，對于“”型極限，應(yīng)充分利用等價無窮小替換來簡化計算.完全類似的例題見數(shù)學復(fù)習指南P28例1.45.(16) (本題滿分8分)求，其中D是由圓和所圍成的平面區(qū)域(如圖).【分析】首先，將積分區(qū)域D分為大圓減去小圓，再利用對稱性與極坐標計算即可.【詳解】令，由對稱性，.所以，.【評注】本題屬于在極坐標系下計算二重積分的基本題型，對于二重積分，經(jīng)常利用對稱性及將一個復(fù)雜區(qū)域劃分為兩個或三個簡單區(qū)域來簡化計算.完全類似的例題見數(shù)學題型集粹與練習題集P101例8.12(1)，數(shù)學四臨考演習P16第17題，考研數(shù)學大串講P79例2.(17) (本題滿分8分)設(shè)f (u , v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足.求所滿足的一階微分方程，并求其通解.【分析】先求，利用已知關(guān)系，可得到關(guān)于y的一階微分方程.【詳解】，因此，所求的一階微分方程為.解得 (C為任意常數(shù)).【評注】 本題綜合了復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)與微分方程，但是，求偏導(dǎo)數(shù)與解微分方程都是基本題型.完全類似的例題見數(shù)學復(fù)習指南P243例11.11，數(shù)學題型集粹與練習題集P95例7.13、例7.14，數(shù)學四臨考演習P3第16題，考研數(shù)學大串講P76例14.(18) (本題滿分9分)設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q = 100 - 5P，其中價格P (0 , 20)，Q為需求量.(I) 求需求量對價格的彈性( 0)；(II) 推導(dǎo)(其中R為收益)，并用彈性說明價格在何范圍內(nèi)變化時，降低價格反而使收益增加.【分析】由于 0，所以；由Q = PQ及可推導(dǎo).【詳解】(I) .(II) 由R = PQ，得.又由，得P = 10.當10 P 1，于是，故當10 P 0時，需求量對價格的彈性公式為.利用需求彈性分析收益的變化情況有以下四個常用的公式：，(收益對價格的彈性).這些公式在文登學校輔導(dǎo)材料系列之五數(shù)學應(yīng)用專題(經(jīng)濟類)有詳細的總結(jié).完全類似的例題見數(shù)學復(fù)習指南P255例12.4，數(shù)學應(yīng)用專題(經(jīng)濟類)P2.(19) (本題滿分9分)設(shè)，S表示夾在x軸與曲線y = F(x)之間的面積. 對任何t 0，表示矩形-t x t，0 y F(t)的面積. 求(I) S(t) = S -的表達式；(II) S(t)的最小值.【分析】曲線y = F(x)關(guān)于y軸對稱，x軸與曲線y = F(x)圍成一無界區(qū)域，所以，面積S可用廣義積分表示.【詳解】(I) ，因此，t (0 , +).(II) 由于，故S(t)的唯一駐點為，又，所以，為極小值，它也是最小值.【評注】本題綜合了面積問題與極值問題，但這兩問題本身并不難，屬于基本題型.完全類似的例題見數(shù)學復(fù)習指南P143例6.13，數(shù)學題型集粹與練習題集P80例6.11.(20) (本題滿分13分)設(shè)線性方程組已知是該方程組的一個解，試求() 方程組的全部解，并用對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系表示全部解；() 該方程組滿足的全部解【分析】 含未知參數(shù)的線性方程組的求解, 當系數(shù)矩陣為非方陣時一般用初等行變換法化增廣矩陣為階梯形, 然后對參數(shù)進行討論. 由于本題已知了方程組的一個解, 于是可先由它來(部分)確定未知參數(shù).【詳解】將代入方程組，得對方程組的增廣矩陣施以初等行變換, 得，()當時，有，故方程組有無窮多解，且為其一個特解，對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為 ，故方程組的全部解為 (為任意常數(shù))當時，有 ，故方程組有無窮多解，且為其一個特解，對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為 ，,故方程組的全部解為 (為任意常數(shù))() 當時，由于，即 ，解得，故方程組的解為 當時，由于，即 ，解得，故方程組的全部解為 ，(為任意常數(shù))【評注】：(1) 含未知參數(shù)的線性方程組的求解是歷年考試的重點, 幾乎年年考, 務(wù)必很好掌握. 完全類似的例題可見數(shù)學復(fù)習指南P.341例4.9, 考研數(shù)學大串講(2002版, 世界圖書出版公司)P.161例10, 以及文登數(shù)學輔導(dǎo)班上講授的例子.(2) 對于題(), 實際上就是在原來方程組中增加一個方程, 此時新的方程組當時有惟一解, 當時有無窮多解.(3) 在題()中，當時，解得，方程組的全部解也可以表示為，(為任意常數(shù))(21) (本題滿分13分) 設(shè)三階實對稱矩陣的秩為2，是的二重特征值若, , , 都是的屬于特征值6的特征向量() 求的另一特征值和對應(yīng)的特征向量；() 求矩陣 【分析】 由矩陣的秩為2, 立即可得的另一特征值為0. 再由實對稱矩陣不同特征值所對應(yīng)的特征向量正交可得相應(yīng)的特征向量, 此時矩陣也立即可得.【詳解】() 因為是的二重特征值，故的屬于特征值6的線性無關(guān)的特征向量有2個由題設(shè)知，為的屬于特征值6的線性無關(guān)特征向量又的秩為2，于是，所以的另一特征值設(shè)所對應(yīng)的特征向量為，則有，即 得基礎(chǔ)解系為，故的屬于特征值全部特征向量為 (為任意不為零的常數(shù))() 令矩陣，則，所以 【評注】 這是一個有關(guān)特征值和特征向量的逆問題, 即已知矩陣的部分特征值和特征向量, 要求另一部分特征值, 特征向量和矩陣. 這在歷年考研題中還是首次出現(xiàn)但幾乎原題可見數(shù)學復(fù)習指南P.362例5.8, 考研數(shù)學大串講(2002版, 世界圖書出版公司)P.186例15和例16, 以及文登數(shù)學輔導(dǎo)班上講授的例子.(22) (本題滿分13分)設(shè),為兩個隨機事件,且, , , 令 求() 二維隨機變量的概率分布;() 與的相關(guān)系數(shù) ; () 的概率分布. 【分析】