高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐標表示2.3.4平面向量共線的坐標表示學(xué)案.docx

23.4平面向量共線的坐標表示學(xué)習(xí)目標1.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.2.能根據(jù)平面向量的坐標，判斷向量是否共線.3.掌握三點共線的判斷方法知識點平面向量共線的坐標表示已知下列幾組向量：(1)a(0,3)，b(0,6)；(2)a(2,3)，b(4,6)；(3)a(1,4)，b(3，12)；(4)a，b.思考1上面幾組向量中，a，b有什么關(guān)系？答案(1)(2)中b2a，(3)中b3a，(4)中ba.思考2以上幾組向量中，a，b共線嗎？答案共線思考3當ab時，a，b的坐標成比例嗎？答案坐標不為0時成比例思考4如果兩個非零向量共線，你能通過其坐標判斷它們是同向還是反向嗎？答案能將b寫成a形式，0時，b與a同向，0時，b與a反向梳理(1)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，a，b共線，當且僅當存在實數(shù)，使ab.(2)如果用坐標表示，可寫為(x1，y1)(x2，y2)，當且僅當x1y2x2y10時，向量a，b(b0)共線注意：對于(2)的形式極易寫錯，如寫成x1y1x2y20或x1x2y1y20都是不對的，因此要理解并熟記這一公式，可簡記為：縱橫交錯積相減1若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且ab，則.()提示當y1y20時不成立2若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1y1x2y20，則ab.()3若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1y2x2y10，則ab.()類型一向量共線的判定與證明例1(1)下列各組向量中，共線的是()Aa(2,3)，b(4,6)Ba(2,3)，b(3,2)Ca(1，2)，b(7,14)Da(3,2)，b(6，4)考點向量共線的坐標表示題點向量共線的判定與證明答案D解析A選項，(2)634240，a與b不平行；B選項，22334950，a與b不平行；C選項，114(2)7280，a與b不平行；D選項，(3)(4)2612120，ab，故選D.(2)在下列向量組中，可以把向量a(3,7)表示出來的是()Ae1(0,1)，e2(0，2)Be1(1,5)，e2(2，10)Ce1(5,3)，e2(2,1)De1(7,8)，e2(7，8)考點向量共線的坐標表示題點向量共線的判定與證明答案C解析平面內(nèi)不共線的兩個向量可以作基底，用它能表示此平面內(nèi)的任何向量，因為A，B，D都是兩個共線向量，而C不共線，故C可以把向量a(3,7)表示出來反思與感悟向量共線的判定與證明題目應(yīng)充分利用向量共線定理或向量共線的坐標條件進行判斷，特別是利用向量共線的坐標條件進行判斷時，要注意坐標之間的搭配跟蹤訓(xùn)練1下列各組向量中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是()Ae1(0,0)，e2(1，2)Be1(1,2)，e2(5,7)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2考點向量共線的坐標表示題點向量共線的判定與證明答案B解析A選項，e10，e1e2，不可以作為基底；B選項，1725170，e1與e2不共線，故可以作為基底；C選項，310560，e1e2，故不可以作為基底；D選項，2(3)0，e1e2，不可以作為基底故選B.類型二利用向量共線求參數(shù)例2已知a(1,2)，b(3,2)，當k為何值時，kab與a3b平行？考點向量共線的坐標表示的應(yīng)用題點利用向量共線求參數(shù)解方法一kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，kab與a3b平行，(k3)(4)10(2k2)0，解得k.方法二由方法一知kab(k3,2k2)，a3b(10，4)，當kab與a3b平行時，存在唯一實數(shù)，使kab(a3b)由(k3,2k2)(10，4)得解得k.引申探究1若例2條件不變，判斷當kab與a3b平行時，它們是同向還是反向？解由本例知當k時，kab與a3b平行，這時kabab(a3b)，0，kab與a3b反向2在本例中已知條件不變，若問題改為“當k為何值時，akb與3ab平行？”，又如何求k的值？解akb(1,2)k(3,2)(13k,22k)，3ab3(1,2)(3,2)(6,4)，akb與3ab平行，(13k)4(22k)60，解得k.反思與感悟根據(jù)向量共線條件求參數(shù)問題，一般有兩種思路，一是利用向量共線定理ab(b0)，列方程組求解，二是利用向量共線的坐標表達式x1y2x2y10求解跟蹤訓(xùn)練2已知向量a(1，m)，b(m,2)，若ab，則實數(shù)m等于()AB.C或D0考點向量共線的坐標表示的應(yīng)用題點利用向量共線求參數(shù)答案C解析由ab知12m2，即m或m.類型三三點共線問題例3已知A(1，3)，B，C(9,1)，求證：A，B，C三點共線考點平面向量共線的坐標表示題點三點共線的判定與證明證明，(91,13)(8,4)，7480，且AB，有公共點A，A，B，C三點共線反思與感悟(1)三點共線問題的實質(zhì)是向量共線問題，兩個向量共線只需滿足方向相同或相反，兩個向量共線與兩個向量平行是一致的，利用向量平行證明三點共線需分兩步完成：證明向量平行；證明兩個向量有公共點(2)若A，B，C三點共線，即由這三個點組成的任意兩個向量共線跟蹤訓(xùn)練3已知(k,2)，(1,2k)，(1k，1)，且相異三點A，B，C共線，則實數(shù)k_.考點向量共線的坐標表示的應(yīng)用題點利用三點共線求參數(shù)答案解析(1k,2k2)，(12k，3)，由題意可知，所以(3)(1k)(2k2)(12k)0，解得k(k1不合題意舍去).1已知向量a(2，1)，b(x1,2)，若ab，則實數(shù)x的值為()A2B2C3D3考點向量共線的坐標表示的應(yīng)用題點利用向量共線求參數(shù)答案D解析因為ab，所以22(1)(x1)0，得x3.2與a(12,5)平行的單位向量為()A.B.C.或D.考點向量共線的坐標表示的應(yīng)用題點已知向量共線求向量的坐標答案C解析設(shè)與a平行的單位向量為e(x，y)，則或3若a(，cos)，b(3，sin)，且ab，則銳角_.考點向量共線的坐標表示的應(yīng)用題點已知向量共線求參數(shù)答案解析a(，cos)，b(3，sin)，ab，sin3cos0，即tan，又為銳角，故.4已知三點A(1,2)，B(2,4)，C(3，m)共線，則m的值為_考點向量共線的坐標表示的應(yīng)用題點利用三點共線求參數(shù)答案6解析(2,4)(1,2)(1,2)(3，m)(1,2)(2，m2)A，B，C三點共線，即向量，共線，1(m2)220，m6.5已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三個頂點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標為_考點向量共線的坐標表示的應(yīng)用題點已知三點共線求點的坐標答案(2,4)解析在梯形ABCD中，ABCD，DC2AB，2.設(shè)點D的坐標為(x，y)，則(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故點D的坐標為(2,4)1兩個向量共線條件的表示方法已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)當b0，ab.(2)x1y2x2y10.(3)當x2y20時，即兩向量的相應(yīng)坐標成比例2向量共線的坐標表示的應(yīng)用(1)已知兩個向量的坐標判定兩向量共線聯(lián)系平面幾何平行、共線知識，可以證明三點共線、直線平行等幾何問題要注意區(qū)分向量的共線、平行與幾何中的共線、平行(2)已知兩個向量共線，求點或向量的坐標，求參數(shù)的值，求軌跡方程要注意方程思想的應(yīng)用，向量共線的條件，向量相等的條件等都可作為列方程的依據(jù).一、選擇題1(2017青島高一檢測)下列向量中，與向量c(2,3)不共線的一個向量p等于()A(5,4) B.C.D.考點向量共線的坐標表示題點向量共線的判定與證明答案A解析因為向量c(2,3)，對于A,243570，所以A中向量與c不共線2下列各組向量中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是()Ae1(2,2)，e2(1,1)Be1(1，2)，e2(4，8)Ce1(1,0)，e2(0，1)De1(1，2)，e2考點向量共線的坐標表示題點向量共線的判定與證明答案C解析選項C中，e1，e2不共線，可作為一組基底3已知向量a(1,0)，b(0,1)，ckab(kR)，dab，如果cd，那么()Ak1且c與d同向Bk1且c與d反向Ck1且c與d同向Dk1且c與d反向考點向量共線的坐標表示的應(yīng)用題點已知向量共線求參數(shù)答案D4已知三點A(1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，則D點坐標是()A(1,0) B(1,0)C(1，1) D(1,1)考點向量共線的坐標表示的應(yīng)用題點已知向量共線求向量的坐標答案C5已知向量a(2,3)，b(1,2)，若(manb)(a2b)，則等于()A2B2CD.考點向量共線的坐標表示的應(yīng)用題點已知向量共線求參數(shù)答案C解析由題意得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)，(manb)(a2b)，(2mn)4(3m2n)0，故選C.6已知向量a(x,3)，b(3，x)，則下列敘述中，正確個數(shù)是()存在實數(shù)x，使ab；存在實數(shù)x，使(ab)a；存在實數(shù)x，m，使(mab)a；存在實數(shù)x，m，使(mab)b.A0B1C2D3考點向量共線的坐標表示題點向量共線的判定與證明答案B解析只有正確，可令m0，則mabb，無論x為何值，都有bb.7已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三點不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)k應(yīng)滿足的條件是()Ak2BkCk1Dk1考點向量共線的坐標表示的應(yīng)用題點利用三點共線求參數(shù)答案C解析因為A，B，C三點不能構(gòu)成三角形，則A，B，C三點共線，則，又(1,2)，(k，k1)，所以2k(k1)0，即k1.二、填空題8已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，則m_.考點向量共線的坐標表示的應(yīng)用題點已知向量共線求參數(shù)答案6解析因為ab，所以由(2)m430，解得m6.9(2017廣東陽江高一期末)已知(6,1)，(4，k)，(2,1)若A，C，D三點共線，則k_.考點向量共線的坐標表示的應(yīng)用題點利用三點共線求參數(shù)答案4解析因為(6,1)，(4，k)，(2,1)，所以(10，k1)又A，C，D三點共線，所以，所以1012(k1)0，解得k4.10已知點A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，則AC與OB的交點P的坐標為_考點向量共線的坐標表示的應(yīng)用題點已知三點共線求點的坐標答案(3,3)解析由O，P，B三點共線，可設(shè)(4，4)，則(44,4)又(2,6)，由與共線，得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以點P的坐標為(3,3)11設(shè)(2，1)，(3,0)，(m,3)，若A，B，C三點能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m的取值范圍是_考點向量共線的坐標表示的應(yīng)用題點利用三點共線求參數(shù)答案m|mR且m6解析A，B，C三點能構(gòu)成三角形，不共線又(1,1)，(m2,4)，141(m2)0.解得m6.m的取值范圍是m|mR且m6三、解答題12已知向量a(2,3)，b(1,2)，若ma4b與a2b共線，求m的值考點向量共線的坐標表示的應(yīng)用題點已知向量共線求參數(shù)解ma4b(2m,3m)(4,8)(2m4,3m8)，a2b(2,3)(2,4)(4，1)，因為ma4b與a2b共線，所以4(3m8)(1)(2m4)0，得m2.13平面上有A(2，1)，B(1,4)，D(4，3)三點，點C在直線AB上，且，連接DC延長至E，使|，求點E的坐標考點向量共線的坐標表示的應(yīng)用題點已知向量共線求點的坐標解，A為BC的中點，設(shè)C(xC，yC)，則(xC2，yC1)(1，5)，xC3，yC6，C點的坐標為(3，6)，又|，且E在DC的延長線上，設(shè)E(x，y)，則(x3，y6)(4x，3y)，得解得故點E的坐標是.四、探究與拓展14已知兩點A(3，4)，B(9,2)在直線AB上，求一點P使|.考點向量共線的坐標表示的應(yīng)用題點已知向量共線求點的坐標解設(shè)點P的坐標為(x，y)，若點P在線段AB上，