高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.1橢圓2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程二學(xué)案含解析新人教A版選修1.docx

2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)加深理解橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，能熟練求解與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)橢圓方程的求法思考1用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1，需要幾個(gè)獨(dú)立條件？答案需要兩個(gè)獨(dú)立條件，因?yàn)榉匠讨杏袃蓚€(gè)獨(dú)立參數(shù)a，b.思考2橢圓方程的求法，除待定系數(shù)法外，還有哪些方法？答案定義法、直接法等梳理方法名稱適用條件待定系數(shù)法已知是橢圓，且知橢圓長(zhǎng)、短軸、焦點(diǎn)、焦距、或橢圓上的點(diǎn)等條件中的某些條件直接法等量關(guān)系比較明確(推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程采用的就是直接法)定義法能得出動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值相關(guān)點(diǎn)法所求動(dòng)點(diǎn)與已知條件的另一動(dòng)點(diǎn)存在坐標(biāo)相關(guān)關(guān)系1已知F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓()2平面內(nèi)到點(diǎn)F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)兩點(diǎn)的距離之和等于點(diǎn)M(5,3)到F1，F(xiàn)2的距離之和的點(diǎn)的軌跡是橢圓()3平面內(nèi)到點(diǎn)F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)距離相等的點(diǎn)的軌跡是橢圓()類型一定義法求軌跡方程例1如圖，P為圓B：(x2)2y236上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,0)，線段AP的垂直平分線交直線BP于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程考點(diǎn)橢圓的定義題點(diǎn)由橢圓定義確定軌跡解直線AP的垂直平分線交直線BP于點(diǎn)Q，|AQ|PQ|，|AQ|BQ|PQ|BQ|6|AB|4，點(diǎn)Q的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且2a6,2c4，a3，c2，即b2a2c25，點(diǎn)Q的軌跡方程為1.反思與感悟用定義法求橢圓的方程，首先要利用平面幾何知識(shí)將題目條件轉(zhuǎn)化為到兩定點(diǎn)的距離之和為定值，然后判斷橢圓的中心是否在原點(diǎn)、對(duì)稱軸是否為坐標(biāo)軸，最后由定義得出橢圓的基本量a，b，c.跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，已知?jiǎng)訄AP過(guò)定點(diǎn)A(3,0)，并且在定圓B：(x3)2y264的內(nèi)部與其內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程考點(diǎn)橢圓的定義題點(diǎn)由橢圓定義確定軌跡解設(shè)動(dòng)圓P和定圓B內(nèi)切于點(diǎn)M，動(dòng)圓圓心P到兩定點(diǎn)A(3,0)和B(3,0)的距離之和恰好等于定圓半徑，即|PA|PB|PM|PB|BM|8|AB|，所以動(dòng)圓圓心P的軌跡是以A，B為左、右焦點(diǎn)的橢圓，其中c3，a4，b2a2c242327，其軌跡方程為1.類型二相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程例2已知x軸上一定點(diǎn)A(1,0)，Q為橢圓y21上的動(dòng)點(diǎn)，求線段AQ中點(diǎn)M的軌跡方程考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程解設(shè)中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0，y0)利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得Q(x0，y0)在橢圓y21上，y1.將x02x1，y02y代入上式，得(2y)21.故所求AQ的中點(diǎn)M的軌跡方程是24y21.反思與感悟當(dāng)題目中所求動(dòng)點(diǎn)和已知?jiǎng)狱c(diǎn)存在明顯關(guān)系時(shí)，一般利用相關(guān)點(diǎn)的方法求解用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的基本步驟為(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)所求軌跡上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為P(x，y)，已知曲線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為Q(x1，y1)(2)求關(guān)系式：用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，即得關(guān)系式(3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程得到所求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程，并把所得方程化簡(jiǎn)即可跟蹤訓(xùn)練2如圖，設(shè)P是圓x2y225上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為PD上一點(diǎn)，且|MD|PD|.當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程，并判斷此曲線的類型考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程解設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(xP，yP)，由已知易得P在圓上，x2225，即軌跡C的方程為1.該曲線表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓類型三直接法求軌跡方程例3如圖，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(2,0)，(2,0)，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是，求點(diǎn)M的軌跡方程考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)直接法求橢圓方程解設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,0)，所以直線AM的斜率kAM(x2)；同理，直線BM的斜率kBM(x2)由已知得(x2)，化簡(jiǎn)，得點(diǎn)M的軌跡方程為1(x2)引申探究若將本例中的改為a(a0)，曲線形狀如何？解設(shè)點(diǎn)M(x，y)，則a(x2)化簡(jiǎn)得1(x2)(1)當(dāng)a1時(shí)，曲線表示圓x2y24(x2)，去掉兩點(diǎn)(2,0)(2)當(dāng)a1時(shí)，曲線表示橢圓，去掉兩點(diǎn)(2,0)當(dāng)1a0時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)a22，由題意可得，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓，且b2a2c2522221，可得橢圓的方程為1，故選B.2若ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(6,0)，B(6,0)，ABC的周長(zhǎng)為32，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為()A.1B.1(y0)C.1(y0) D.1(y0)考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程答案D解析由題意知|CA|CB|AB|32，又|AB|12，|CA|CB|20|AB|，由橢圓定義知，頂點(diǎn)C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓(去掉長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn))，其方程為1(y0)3已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)F1P到Q，使得|PQ|PF2|，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是()A圓B橢圓C射線D直線考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程答案A解析由橢圓的定義知|PF1|PF2|2a，又|PQ|PF2|，|PQ|PF1|2a，即|F1Q|2a，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以F1為圓心，2a為半徑的圓4已知P是橢圓1上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則線段OP的中點(diǎn)Q的軌跡方程為_(kāi)考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程答案x21解析由題意，設(shè)P(x1，y1)，Q(x，y)，Q為線段OP的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x，y，即x12x，y12y，P是橢圓1上的點(diǎn)，1，即1，化簡(jiǎn)得Q點(diǎn)的軌跡方程為x21.5已知圓x2y29，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線PP，垂足為P，點(diǎn)M在PP上，并且2，求點(diǎn)M的軌跡考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程解設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則x0x，y03y.P(x0，y0)在圓x2y29上，xy9.將x0x，y03y代入，得x29y29，即y21.點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，其方程為y21.1解答與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的一般思路是：2注意題目要求中求軌跡和求軌跡方程的區(qū)別.一、選擇題1平面內(nèi)，若點(diǎn)M到定點(diǎn)F1(0，1)，F(xiàn)2(0,1)的距離之和為2，則點(diǎn)M的軌跡為()A橢圓B直線F1F2C線段F1F2D直線F1F2的垂直平分線考點(diǎn)橢圓的定義題點(diǎn)由橢圓定義確定軌跡答案C解析由|MF1|MF2|2|F1F2|知，點(diǎn)M的軌跡不是橢圓，而是線段F1F2.2已知橢圓1(ab0)，M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)，則線段MF1的中點(diǎn)P的軌跡是()A圓B橢圓C線段D直線考點(diǎn)橢圓的定義題點(diǎn)由橢圓定義確定軌跡答案B解析設(shè)右焦點(diǎn)為F2，由題意知|PO|MF2|，|PF1|MF1|，又|MF1|MF2|2a，所以|PO|PF1|a|F1O|c，故由橢圓的定義知P點(diǎn)的軌跡是橢圓3已知點(diǎn)A(1,0)，B(1,0)，且0，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是()Ax2y21Bx2y22Cx2y21(x1)Dx2y22(x)考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)直接法求橢圓方程答案A解析設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)，則(1x，y)，(1x，y). 由0，得(1x)(1x)(y)(y)0, 即x2y21.4橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，點(diǎn)P在橢圓上，若PF1F2的面積最大為12，則橢圓的方程為()A.1B.1C.1D.1考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程答案B解析PF1F2的最大面積為2cb12，即bc12，又c4，b3，a5，橢圓方程為1.5設(shè)定點(diǎn)F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PF1|PF2|a(a0)，則點(diǎn)P的軌跡是()A橢圓B線段C不存在D橢圓或線段考點(diǎn)橢圓的定義題點(diǎn)由橢圓定義確定軌跡答案D解析a26，當(dāng)且僅當(dāng)a，即a3時(shí)取等號(hào)，當(dāng)a3時(shí)，|PF1|PF2|6|F1F2|，點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2；當(dāng)a0且a3時(shí)，|PF1|PF2|6|F1F2|，點(diǎn)P的軌跡是橢圓6已知橢圓1(0b2)，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|BF2|AF2|的最大值為5，則b的值是()A1B.C.D.考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程答案D解析當(dāng)lx軸時(shí)，|AF2|BF2|的值最大，此時(shí)，|AF2|，由橢圓定義知|AF1|AF2|4，|AF1|，|F1F2|2.則|AF2|2|AF1|2|F1F2|2，即4(4b2)，解得b.7長(zhǎng)度為2的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)M分AB的比為，則點(diǎn)M的軌跡方程為()A.x2y21B.x2y21C.x2y21D.x2y21考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程答案B解析設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則A的坐標(biāo)為，B的坐標(biāo)為.因?yàn)閨AB|2，所以224，即x2y24，所以點(diǎn)M的軌跡方程是x2y24.即x2y21.8過(guò)已知圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)作圓C與已知圓相切，則圓心C的軌跡是()A圓B橢圓C圓或橢圓D線段考點(diǎn)橢圓的定義題點(diǎn)由橢圓定義確定軌跡答案C解析如圖，設(shè)已知圓的圓心為A，半徑為R，圓內(nèi)的定點(diǎn)為B，動(dòng)圓的半徑為r.若點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合，由于兩圓相內(nèi)切，則|AC|Rr，由于r|BC|，|AC|R|BC|CA|CB|R.動(dòng)點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離和為常數(shù)R.B為圓內(nèi)的定點(diǎn)，|AB|bc)成等差數(shù)列，A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(1,0)，(1,0)，則頂點(diǎn)B的軌跡方程為_(kāi)考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程答案1(2xbc，ac，即|BC|AB|，(x1)2y2(x1)2y2，x0，點(diǎn)B的軌跡是橢圓的一半，方程為1(x0)又當(dāng)x2時(shí)，點(diǎn)B，A，C在同一直線上，不能構(gòu)成ABC，x2.頂點(diǎn)B的軌跡方程為1(2xb0)上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程考點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)相關(guān)點(diǎn)法求橢圓的方程解由，又22，設(shè)Q(x，y)，則(x，y)，即P點(diǎn)坐標(biāo)為，又P點(diǎn)在橢圓上，1，即1，動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為1(ab0)四、探究與拓展14已知ABC的頂點(diǎn)A(2,0)和B(2,0)，頂點(diǎn)C在橢圓1上，則_.考點(diǎn)橢圓的定義題點(diǎn)橢圓定義的應(yīng)用答案2解析A(2,0)和B(2,0)，頂點(diǎn)C在橢圓1上，|CA|CB|8，|AB|4，由正弦定理得，2.15已知圓M：(x1)2y2