高中數(shù)學第二章圓錐曲線與方程2.3拋物線2.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)第2課時拋物線幾何性質(zhì)的應用學案.docx

第2課時拋物線幾何性質(zhì)的應用學習目標1.進一步加深對拋物線幾何特性的認識.2.掌握解決直線與拋物線相關綜合問題的基本方法知識點直線與拋物線的位置關系思考直線與拋物線有且只有一個公共點，那么直線與拋物線一定相切嗎？答案不一定，當直線平行于拋物線的對稱軸時，直線與拋物線相交梳理(1)直線與拋物線的位置關系有相交、相切、相離，直線與拋物線的公共點個數(shù)與由它們的方程組成的方程組的解的個數(shù)一致(2)由方程ykxb與y22px聯(lián)立，消去y得k2x22(kbp)xb20.當k0時，若0，則直線與拋物線有兩個不同的公共點；若0，則直線與拋物線有一個公共點；若0)的通徑長為2a.()類型一直線與拋物線的位置關系例1已知直線l：yk(x1)與拋物線C：y24x，問：k為何值時，直線l與拋物線C有兩個交點，一個交點，無交點？考點直線與拋物線的位置關系題點直線與拋物線公共點個數(shù)問題解由方程組消去y，得k2x2(2k24)xk20，(2k24)24k416(1k2)若直線與拋物線有兩個交點，則k20且0，即k20且16(1k2)0，解得k(1,0)(0,1)，所以當k(1,0)(0,1)時，直線l和拋物線C有兩個交點若直線與拋物線有一個交點，則k20或當k20時，0，解得k0或k1，所以當k0或k1時，直線l和拋物線C有一個交點若直線與拋物線無交點，則k20且1或k1或k0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得，k2x2(2kb2p)xb20.(1)若k20，此時直線與拋物線有一個交點，該直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合(2)若k20，當0時，直線與拋物線相交，有兩個交點；當0時，直線與拋物線相切，有一個交點；當0時，直線與拋物線相離，無公共點跟蹤訓練1設拋物線y28x的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是()A.B2,2C1,1 D4,4考點直線與拋物線的位置關系題點直線與拋物線公共點個數(shù)問題答案C解析準線方程為x2，Q(2,0)由題意知，直線的斜率存在，設l：yk(x2)，由消去y，得k2x24(k22)x4k20.當k0時，x0，即交點為(0,0)；當k0時，由0，得1k0或00.設弦的兩端點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，y1y2，y1y2.P1P2的中點為(4,1)，2，k3，滿足式所求直線方程為y13(x4)，即3xy110，y1y22，y1y222，|P1P2|.方法二設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)則y6x1，y6x2，yy6(x1x2)，又y1y22，3，所求直線的斜率k3，所求直線方程為y13(x4)，即3xy110.由得y22y220，y1y22，y1y222，|P1P2|.反思與感悟中點弦問題解題策略兩方法跟蹤訓練2已知頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線截直線y2x4所得的弦長|AB|3，求此拋物線的方程考點直線與拋物線的位置關系題點由拋物線弦長求解相關問題解設所求拋物線方程為y2ax(a0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得4x2(a16)x160，由(a16)22560，得a0或a0.所求拋物線方程為y24x或y236x.類型三拋物線中的定點(定值)問題例3已知點A，B是拋物線y22px(p0)上的兩點，且OAOB.(1)求兩點的橫坐標之積和縱坐標之積；(2)求證：直線AB過定點考點直線與拋物線的位置關系題點直線與拋物線相交時的其他問題(1)解設點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則kOA，kOB.因為OAOB，所以kOAkOB1，所以x1x2y1y20.因為y2px1，y2px2，所以y1y20.因為y10，y20，所以y1y24p2，所以x1x24p2.(2)證明因為y2px1，y2px2，所以(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，所以，所以kAB，故直線AB的方程為yy1(xx1)，所以yy1，即y.因為y2px1，y1y24p2，所以y，所以y(x2p)，即直線AB過定點(2p,0)反思與感悟在直線和拋物線的綜合題中，經(jīng)常遇到求定值、過定點問題，解決這類問題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等，解決這類問題的關鍵是代換和轉(zhuǎn)化跟蹤訓練3如圖，過拋物線y2x上一點A(4,2)作傾斜角互補的兩條直線AB，AC交拋物線于B，C兩點，求證：直線BC的斜率是定值考點直線與拋物線的位置關系題點直線與拋物線相交時的其他問題證明設kABk(k0)直線AB，AC的傾斜角互補，kACk(k0)，即直線AB的方程是yk(x4)2.由方程組消去y后，整理得k2x2(8k24k)x16k216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程組的解，4xB，即xB.以k代換xB中的k，得xC.kBC.直線BC的斜率為定值1過點P(0,1)與拋物線y2x有且只有一個交點的直線有()A4條B3條C2條D1條考點直線與拋物線的位置關系題點直線與拋物線公共點個數(shù)問題答案B解析當斜率不存在時，過P(0,1)的直線是y軸，與拋物線y2x只有一個公共點當斜率存在時，設直線為ykx1.由消去y，得k2x2(2k1)x10，當k0時，符合題意；當k0時，令(2k1)24k20，得k.所以與拋物線只有一個交點的直線共有3條2已知直線ykxk及拋物線y22px(p0)，則()A直線與拋物線有一個公共點B直線與拋物線有兩個公共點C直線與拋物線有一個或兩個公共點D直線與拋物線可能沒有公共點考點直線與拋物線的位置關系題點直線與拋物線公共點個數(shù)問題答案C解析直線ykxkk(x1)，直線過點(1,0)又點(1,0)在拋物線y22px的內(nèi)部，當k0時，直線與拋物線有一個公共點；當k0時，直線與拋物線有兩個公共點3已知點A(2,3)在拋物線C：y22px的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，設C的焦點為F，則直線BF的斜率為()A.B.C.D.考點直線與拋物線的位置關系題點直線與拋物線相交時的其他問題答案D解析點A(2,3)在拋物線C：y22px的準線x上，2，p4，拋物線C：y28x.設直線AB的方程為xk(y3)2(k0)，將與y28x聯(lián)立，得y28ky24k160，令(8k)24(24k16)0，解得k2或k.當k時，切點在第四象限，與題意不符，舍去將k2代入，得即B(8,8)又F(2,0)，kBF.故選D.4若直線xy2與拋物線y24x交于A，B兩點，則線段AB的中點坐標是_考點直線與拋物線的位置關系題點直線與拋物線相交弦中點問題答案(4,2)解析設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y24y80，y1y24，x1x2y1y248，中點坐標為(4,2)5過點P(2,1)作拋物線y24x的弦AB，若弦恰被P點平分(1)求弦AB所在的直線方程(用一般式表示)；(2)求弦長|AB|.考點直線與拋物線的位置關系題點直線與拋物線相交弦中點問題解(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則作差得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，由于直線的斜率存在，故斜率k2，從而直線AB的方程為y12(x2)，即2xy30.(2)由消去y得，4x216x90，因為0，所以于是|AB|.求拋物線的方程常用待定系數(shù)法和定義法：直線和拋物線的弦長問題、中點弦問題及垂直、對稱等可利用判別式、根與系數(shù)的關系解決；拋物線的綜合問題要深刻分析條件和結(jié)論，靈活選擇解題策略，對題目進行轉(zhuǎn)化一、選擇題1過拋物線y2x2的焦點且垂直于它的對稱軸的直線被拋物線截得的弦長為()A2B.C.D1考點拋物線的焦點弦問題題點求拋物線的焦點弦長答案B解析拋物線y2x2的標準方程為x2y，焦點坐標為，當y時，x，過拋物線y2x2的焦點且垂直于它的對稱軸的直線被拋物線截得的弦長為.2與直線2xy40平行的拋物線yx2的切線方程為()A2xy30B2xy30C2xy10D2xy10考點直線與拋物線的位置關系題點直線與拋物線公共點個數(shù)問題答案D解析設直線方程為2xym0，由消去y，得x22xm0，44m0，m1，直線方程為2xy10.3直線ykx2交拋物線y28x于A，B兩點，若AB的中點的橫坐標為2，則k等于()A2或2B1C2D3考點直線與拋物線的位置關系題點求拋物線中的直線方程答案C解析由題意知消去y，得k2x2(4k8)x40.(4k8)216k20，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則2，即x1x24，x1x24，k2或1，經(jīng)判別式檢驗知k2符合題意4已知圓C：(x2)2y2r2與拋物線D：y220x的準線交于A，B兩點，且|AB|8，則圓C的面積是()A5B9C16D25考點直線與拋物線的位置關系題點直線與拋物線相交弦中點問題答案D解析拋物線D：y220x的準線方程為x5.圓C的圓心(2,0)到準線的距離d3.又由|AB|8，r2d2225，故圓C的面積Sr225，故選D.5過拋物線y24x的焦點作一條直線與拋物線相交于A，B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線()A有且僅有一條B有且僅有兩條C有無窮多條D不存在考點直線與拋物線的位置關系題點直線與拋物線相交時的其他問題答案B解析若直線AB的斜率不存在，則橫坐標之和為2，不符合題意，故設AB的方程為yk(x1)，代入y24x，消去y，得k2x22(k22)xk20，由題意得5，則k2，所以這樣的直線有且僅有2條6已知點A(1,2)是拋物線C：y22px與直線l：yk(x1)的一個交點，則拋物線C的焦點到直線l的距離是()A.B.C.D23考點直線與拋物線的位置關系題點直線與拋物線相交時的其他問題答案B解析將點(1,2)代入y22px中，可得p2，即得拋物線y24x，其焦點坐標為(1,0)將點(1,2)代入yk(x1)中，可得k1，即得直線xy10，拋物線C的焦點到直線l的距離d.7已知點A(0，3)，B(2,3)，點P在x2y上，當PAB的面積最小時，點P的坐標是()A(1,1) B.C.D(2,4)考點直線與拋物線的位置關系題點直線與拋物線相交時的其他問題答案B解析A(0，3)，B(2,3)，kAB3，直線AB的方程y3x3.設直線y3xt是拋物線的切線，PAB高的最小值是兩直線之間的距離把直線y3xt代入x2y，化簡得x23xt0，由0，得t，此時x，y，P點坐標為.8已知直線l：yk(x2)(k0)與拋物線C：y28x相交于A，B兩點，且A，B兩點在拋物線C準線上的射影分別是M，N，若|AM|2|BN|，則k的值是()A.B.C2D.考點直線與拋物線的位置關系題點直線與拋物線相交時的其他問題答案D解析設拋物線C：y28x的準線為m：x2.直線yk(x2)(k0)恒過定點P(2,0)，如圖，過A，B分別作AMm于點M，BNm于點N.由|AM|2|BN|，得點B為AP的中點，連接OB，則|OB|AF|，|OB|BF|，點B的橫坐標為1，點B的坐標為(1,2)把B(1,2)代入直線l：yk(x2)(k0)，解得k，故選D.二、填空題9直線ykx2與拋物線y28x有且只有一個公共點，則k_.考點直線與拋物線的位置關系題點直線與拋物線公共點個數(shù)問題答案0或1解析由得k2x2(4k8)x40，當k0時，直線與拋物線只有一個公共點；當k0時，由(4k8)216k20，得k1，k0或1.10過拋物線y28x的焦點作傾斜角為的直線l，直線l與拋物線相交于A，B兩點，則弦|AB|的長是_考點拋物線的焦點弦問題題點求拋物線的焦點弦長答案16解析由y28x，得其焦點F(2,0)，則過拋物線y28x的焦點F且傾斜角為的直線l的方程為y1(x2)，即xy20.由得x212x40，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x212，x1x24，所以|AB|x1x2|16.11.如圖，直線yx3與拋物線y24x交于A，B兩點，過A，B兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為P，Q，則梯形APQB的面積為_考點直線與拋物線的位置關系題點直線與拋物線相交時的其他問題答案48解析由消去y，得x210x90，設B，A兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，解得或|AP|10，|BQ|2，|PQ|8，梯形APQB的面積為48.三、解答題12設F(1,0)，點M在x軸上，點P在y軸上，且2，0.(1)當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡C的方程；(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲線C上除去原點外的不同三點，且|，|，|成等差數(shù)列，當線段AD的垂直平分線與x軸交于點E(3,0)時，求點B的坐標考點拋物線的簡單幾何性質(zhì)的綜合運用題點拋物線的簡單幾何性質(zhì)的綜合運用解(1)設N(x，y)，由2，得點P為線段MN的中點，P，M(x,0)，.由x0，得y24x.即點N的軌跡方程為y24x.(2)由拋物線的定義，知|AF|x11，|BF|x21，|DF|x31，|，|，|成等差數(shù)列，2x22x11x31，即x2.線段AD的中點為，且線段AD的垂直平分線與x軸交于點E(3,0)，線段AD的垂直平分線的斜率為k.又kAD，1，即1.x1x3，x1x32，又x2，x21.點B在拋物線上，B(1,2)或B(1，2)13已知拋物線C：y22px(p0)上的一點M(2，y0)到焦點F的距離等于3.(1)求拋物線C的方程；(2)若過點D(3,0)的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，求ABF面積的最小值考點直線與拋物線的位置關系題點直線與拋物線相交時的其他問題解(1)拋物線的準線方程為x，M(2，y0)到焦點的距離為23，p2，拋物線的方程為y24x.(2)設AB的方程為xmy3，由得y24my120，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24m，y1y212，|y1y2|，SABF|FD|y1|FD|y2|y1|y2|y1y2|4，當m0時，