(考試資料下載)微分幾何教案曲面論（十、十一）

微分幾何教案（十八、十九） 直紋面和可展曲面4 直紋面和可展曲面一 直紋面的定義 由直線的軌跡所成的曲面稱為直紋面。這些直線稱為直紋面的直母線。 如，柱面、錐面、單葉雙曲面（紙簍面)、雙曲拋物面?？臻g曲線的切線曲面、正螺面、空間曲線的主法線曲面等都是直紋面。二 直紋面的參數(shù)表示O(C)在直紋面上取一條與所有直母線都相交的曲線（C），其參數(shù)表時為 ，這樣的曲線稱為直紋面的導(dǎo)線。設(shè)是過導(dǎo)線（C）上點(diǎn)的直母線上的單位向量，導(dǎo)線（C）上點(diǎn)到直母線上任一點(diǎn)P(u,v)的距離為|v|,則向徑可以表示為 : 。這就是直紋面的參數(shù)方程。直紋面的v-線是直母線，u-線是與導(dǎo)線（C）平行的曲線。三 直紋面的切平面對直紋面, , ,， 。（1）若不平行于，即，則當(dāng)P點(diǎn)在一條直母線上移動時，參數(shù)v隨 P點(diǎn)的變化而變化，因此直紋面的法向量（或切平面）繞直母線而旋轉(zhuǎn)。 （2）若平行于，即，則當(dāng)P點(diǎn)在一條直母線上移動時，雖然v變化了，但是 只改變長度，不改變方向。也即 保持不變。這說明當(dāng)P點(diǎn)沿直母線移動時，它的法向量（或切平面）不變，此時直紋面沿一條直母線有同一個切平面。四 直紋面的高斯曲率 對于直紋面,。所以曲面在P點(diǎn)沿方向的法截線就是直母線，故曲率為零。據(jù)梅尼埃定理,因此在P點(diǎn)沿的法曲率.據(jù)前面的討論,只當(dāng)P點(diǎn)是雙曲點(diǎn)或拋物點(diǎn)時才可能出現(xiàn)的情況。這說明直紋面上的高斯曲率。 下面將指出，當(dāng)時，當(dāng) 時 。由直紋面的方程得，。，L = ， ，所以當(dāng)時，當(dāng) 時 。因沿直母線總有，故直母線是直紋面的漸近線。 五 腰曲線1 腰點(diǎn)的定義：設(shè)為過導(dǎo)線上點(diǎn)的直母 線，是過導(dǎo)線上 的鄰近點(diǎn)的直母線，作和 的公垂線（如圖），垂足分別為M和，公垂線的垂足M當(dāng)時沿直母線趨于極限位置,點(diǎn)稱為直母線上的腰點(diǎn)。 2 腰點(diǎn)的向徑表達(dá)式 垂足M和對應(yīng)的向徑分別是M：，： ，由此得，又因，所以 。將帶入得：，兩邊除以，取極限令得：，所以，把它帶入得腰點(diǎn)的向徑表達(dá)式： （）3 腰曲線的定義：在直紋面的每一條直母線上（假如）有一個腰點(diǎn)，這些腰點(diǎn)的軌跡叫做腰曲線。說明：（1）（）為對應(yīng)參數(shù)為u的直母線上腰點(diǎn)的向徑，當(dāng)u變動時就得到所有直母線上的腰點(diǎn)的向徑。因此（）表示了所有腰點(diǎn)構(gòu)成的軌跡曲線。所以（）就是腰曲線的參數(shù)方程。（2）若取腰曲線為導(dǎo)線，則（）中腰曲線的向徑，于是可得；反之，若，可知腰曲線為導(dǎo)線。即有結(jié)論：腰曲線是導(dǎo)線，即 。（3）腰曲線的幾何意義: 它沿直母線的狹窄部位“圍繞”著直紋面。4.2 可展曲面一 可展曲面的定義定義 把直紋面中滿足的曲面叫做可展曲面。 推論 直紋面可展的充分必要條件是沿直紋面的每一條直母線只有一個切平面。 說明（1）有的書上就是以推論的條件定義可展曲面的，而把 作為一個充要條件。 （2）確實(shí)有沿同一直母線其切平面不是同一個的直紋面，如正螺面、單葉雙曲面、雙曲拋物面等，他們都不是可展曲面。二 可展曲面包含的曲面 命題1 每一個可展曲面或是柱面或是錐面，或是一條曲線的切線曲面。 證明 設(shè)為可展曲面，則。我們?nèi)⊙€為導(dǎo)線，此時。 （1）=常向量。表明腰曲線退化為一點(diǎn)，也就是說，各條直母線上的腰點(diǎn)都重合。所以曲面是以腰點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面。 （2） 時，由條件，所以共面，又，而，所以 。，這時可展曲面是=，可知這是導(dǎo)線（腰曲線）的切線曲面。如圖（3） ，則=常向量。這表示柱面。如上圖。 說明：命題的逆命題也成立。即：每一個柱面、錐面、任一條曲線的切線曲面一定是可展曲面。證明留做習(xí)題。三 單參數(shù)曲面族的包絡(luò) 定義 給出一個單參數(shù)曲面族：，其中是參數(shù)，當(dāng)?shù)闹底兓瘯r，我們就得到族中不同的曲面，并且假定函數(shù) 具有一階與二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。如果有一個曲面S，它的每一點(diǎn)是族中一個曲面的點(diǎn)，而且在S與的公共點(diǎn)它們有相同的切平面;另一方面，對族中每一個曲面，在曲面S上有一點(diǎn)， 使與 S在公共點(diǎn)有相同的切平面，則稱S是單參數(shù)曲面族的包絡(luò)。 例如,到z軸距離是1的平面 ，所有這樣的平面構(gòu)成一個單參數(shù) 的曲面族（實(shí)際是平面族），就是這平面族的包絡(luò)。四 單參數(shù)曲面族包絡(luò)的方程 結(jié)論：設(shè)：為單參數(shù)曲面族，每個上的點(diǎn)都是正常點(diǎn)。若曲線族 構(gòu)成曲面S，則S為包絡(luò)。從曲線族方程消去得S的方程： 。證明 對S上任一點(diǎn)P(x,y,z),則存在某個，P在 上。即P在曲面族中曲面上，且= 0 。反過來，對中每個，則在上。因S由所有構(gòu)成的，所以也在S上。在其上任取一點(diǎn)P , P是上的點(diǎn)，也是S上的點(diǎn)。 設(shè)dx,dy,dz是S在P點(diǎn)的任一切向量,設(shè)P在上：,兩邊求微分得，因，所以，這說明 是S在P點(diǎn)的法向量（因所有切向量與它垂直）（注：不全為零時P為正常點(diǎn)).而也是在P點(diǎn)的法向量。這說明在P點(diǎn)，S與有相同的切平面。 以上兩方面證明了S是的包絡(luò)。因P是上任一點(diǎn),所以以上說明了S與沿著這條曲線相切。 定義 設(shè)S是單參數(shù)曲面族的包絡(luò)，則S與族中的曲面 相切的曲線稱為特征線?？芍? 固定時，是特征線方 程.特征線的軌跡就是包絡(luò).每個曲面沿特征線切于包絡(luò)。習(xí)題P129 2, 3, 4五 曲面為可展曲面的條件 命題2 一個曲面為可展曲面的充分必要條件是此曲面為單參數(shù)曲面族的包絡(luò)。 證 充分性：設(shè)S是下面單參數(shù)平面族的包絡(luò)（其中A,B,C,D是與平面族的參數(shù)有關(guān)的系數(shù)），則S是特征線：的軌跡。而對每個特征線是直線，所以S是直紋面。下面證S是可展曲面： S的直母線是特征線，對每一, S沿特征線與曲面：相切，即在S的同一條（確定的）直母線上，S 有同一個切平面，故S為可展曲面。 必要性：設(shè) S為可展曲面，則S是直紋面，且沿S的同一條直母線有同一個切平面。于是沿S的所有直母線的切平面構(gòu)成一個平面族。因沿一條直母線的切平面是由這條直母線確定的，而直母線是單參數(shù)的（如，給定一個u，確定一條直母線，直母線是單參數(shù)u確定的 ), 所以這個平面族是單參數(shù)的。S在每一點(diǎn)處與中的一平面相切。故S是單參數(shù)平面族的包絡(luò)。 命題3 一個曲面為可展曲面的充分必要條件是它的高斯曲率等于零。 證：“”因曲面為可展曲面，所以曲面為直紋面，沿同一直母線的單位法向量不變，即。因此沿直母線，特別取為直母線的方向，則由羅德里格定理知，沿直母線的方向是主方向。因此主曲率（或 ）,于是高斯曲率K= 0 。“”：若 K= =0,不妨設(shè),這時對應(yīng)的方向是主方向，也是漸近方向。因在整個曲面上K=0,所以曲面上有一族漸近曲線，這族漸近線也是曲率線。整個曲面可視為這族漸近線的集合。由Rodrigues定理，沿漸近線有，即=常向量。這說明沿漸近線保持常向量。 由3.4中注(2)中推論，沿漸近線副法向量（平行于）為常矢。故漸近線為平面曲線，其所在平面為曲線的密切平面。又由命題2，曲面沿漸近曲線的切平面就是（固定的）密切平面。換句話說，對同一條漸近曲線上的點(diǎn)，其切平面是同一個。由此可知，曲面是一個單參數(shù)平面族的包絡(luò)面，因而是可展曲面。 例1 證明空間曲線的密切平面族的包絡(luò)是曲線 的切線曲面證 曲線的密切平面族方程是 ，這里s看作平面族的參數(shù)，是曲線的副法向量。因此將上式對s求微分得，其中為曲線的撓率。因此 。故向量同時垂直于，所以必與平行，于是有即，此即曲線的切線曲面。 例2 設(shè)是由空間曲線的副法線形成的曲面。證明是可展曲面為平面曲線。證 曲面的方程為，由伏雷內(nèi)公式知 ，。因此的基本量，。 所以高斯曲率 ，其中為曲線的撓率。所以是可展曲面= 0 曲線為平面曲線。 注：此題也可按可展曲面的定義證。 命題4 曲面上的曲線是曲率線的充分必要條件是沿此曲線曲面的法線組成一可展曲面。證明：“”設(shè)曲線是曲面上的曲率線，則沿此曲線曲面的法線組成的直紋面是。下面證它是可展曲面。 因?yàn)榍娴那示€，由 Rodrigues定理有，即 ，其中為對應(yīng)的主曲率.由此得，所以。所以為可展曲面。“”：設(shè)是曲面上一曲線，沿此曲線曲面的法線構(gòu)成的曲面是可展曲面。 所以。因是單位向量,所以，而是曲面的切向量，所以，所以（因，所以共面），據(jù)羅德里格定理, 是主方向,由定義為曲面的曲率線。 說明 該命題刻畫了任何曲面上曲率線的特征。該命題又說明,球面、平面上的任何曲線是曲率線。 推論1 若兩曲面沿一條曲線相切，則如果在一曲面上是曲率線,則在另一曲面上也是曲率線。推論2 若一個曲面和一個球面（或平面）沿一條曲線相切，則是上的曲率線。 推論3 可展曲面上的每一條直母線是曲率線。 證 因可展曲面沿每一條直母線的切平面是同一個，因此可以說可展曲面沿每一條直母線與這個切平面相切。由推論2知，直母線是可展曲面的曲率線。 推論3的逆命題也成立。即 命題 若直紋面的每一條直母線是曲率線，則該直紋面一定是可展曲面。證: 因直母線是曲率線時直母線的方向是主方向，因此一個主曲率為零，從而曲面的高斯曲率為零，因而直紋面可展。 由推論3和命題知：直紋面是可展曲面的充分必要條件是它的直母線都是曲率線。 可見，單葉雙曲面、雙曲拋物面、正螺面的直母線不是曲率線六 可展曲面的特征 命題5 可展曲面可以與平面成等距對應(yīng)（簡稱可展為平面）。 證 要證可展曲面與平面成等距對應(yīng)，只需分別證柱面、錐面、切線曲面都分別與平面有相同的第一基本形式。平面在直角坐標(biāo)系下的方程為，所以其第一基本形式為：。平面在極坐標(biāo)系下，將其帶入上式得平面第一基本形式的另一表達(dá)式。（1）對于柱面：（其中為沿柱面母線的常單位向量 。 為與柱面正交的一條曲線,s為弧長).于是， 。所以第一基本形式為，這與平面的第一基本形式相同。因此柱面可展為平面。 （2）對于錐面： ，其中為常向量，為母線上的單位向量。而s是單位球面曲線的弧長。則有，。于是，。所以錐面的第一基本形式為，這與平面的第二種第一基本形式相同，故錐面可展為平面。(3) 切線曲面，其中為的切向量，即，s是的弧長，于是，所以其第一基本形式為。這個第一基本形式中只出現(xiàn)了曲線的曲率k,而沒出現(xiàn)撓率。因此兩條曲線如果有同一曲率,那么即使撓率不同，它們的切線構(gòu)成的切線曲面也有相同的第一基本形式，因而是等距的.由曲線論基本定理，必存在平面曲線 ， 它的曲率為（即與的曲率相同,而撓率），切線曲面與等距,但是平面（或平面的一部分），故與平面等距對應(yīng)。從而可知