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微分幾何教案（二十四） 6.5高斯波涅(GaussBonnet)公式6.5 高斯波涅(Gauss-Bonnet)公式 在平面幾何中三角形的內(nèi)角和為 ,如何把這個(gè)結(jié)論推廣到曲面上,這是我們這節(jié)解決的問(wèn)題.高斯波涅定理: 在曲面S上給出一個(gè)由k條光滑曲線段組成的曲線多邊形,它圍成一個(gè)單連通區(qū)域G,多邊形是G的邊緣,記為。設(shè)曲面S的高斯曲率和的測(cè)地曲率分別為K和,曲面面積元素和弧長(zhǎng)元素分別為和,則其中是的第i個(gè)內(nèi)角的角度，是第i個(gè)外角的角度。該公式叫做高斯波涅公式證明 在曲面上引進(jìn)半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng),有,則由習(xí)題13知,于是得 （）據(jù)格林公式：（這里）有：,但由5習(xí)題6知 。所以， ，。 下面再看（）中右端部分: 設(shè)的切向量和u-曲線的切向量的夾角為，因在半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)下,E=1,F=0, ，所以，所以，所以（）式可化為 。易知,繞一周后，的增值是，但這個(gè)增值并不完全由上式中的第三個(gè)積分產(chǎn)生的,其中每一個(gè)外角是自然增量,所以 ，所以（）式變?yōu)?。證畢.推論1. 如果是一條光滑曲線，則有 。 2. 如果是由測(cè)地線構(gòu)成，則有。3. 如果是一個(gè)測(cè)地三角形，即三條測(cè)地線圍成的三角形，則有 ，其中表示三角形的內(nèi)角和。說(shuō)明 (1)當(dāng)曲面S是平面(可展曲面)時(shí),K=0,則?？梢?jiàn)曲面上的測(cè)地三角形是平面三角形在曲面上的推廣.(2) 如果曲面的高斯曲率為常數(shù),其上曲面域G的邊界為測(cè)地三角形,這時(shí) ，其中A為G的面積.若K0,則。如半徑為R的球面, ，即球面上測(cè)地三角形的內(nèi)角和大于,即球面上由大圓弧構(gòu)成的三角形的內(nèi)角和大于；球面上測(cè)地三角形的面積： ,這是球面

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